[Toán 8] đại chiến : War mathematical

[khanhtoan_qb]

Bài này dễ thui mà:
xét hịu [TEX]a^2 + b^2 - ab = a^2 - 2. \frac{1}{2}ab + \frac{1}{4}b^2 +\frac{3}{4}b^2 [/TEX]
[TEX]= (a - \frac{1}{2}b)^2 + \frac{3}{4}b^2 \geq 0[/TEX]
dấu''=''xảy ra \Leftrightarrow b = 0 và a = 0
\Rightarrow đpcm

 

[thienlong_cuong]

Mình lập pic ni mà cuối cùng lại ko làm bài nào cả !Ặc !

Cho các số thực
[TEX]a_1 ;a_2; a_3 ; ...; a_n [/TEX]

[TEX]b_1 ; b_2 ; b_3 ; ... ; b_n[/TEX]

CMR :

[TEX]\sqrt{a_1^2 + b_1^2} + \sqrt{a_2^2 + b_2^2} + ... + \sqrt{a_n^2 + b_n^2} \geq \sqrt{(a_1 + a_2 + ... + a_n)^2 + (b_1 + b_2 + ... + b_n)^2}[/TEX]

Hệ quả cauchy ! Ẹc ! Chết như gián !

 

[hoa_giot_tuyet]

Ai vô mấy bài này đi
2Cho a>c,b>c, c>0.C/m [TEX]sqrt{c(a-c)}+sqrt{c(b-c)}[/TEX]\geq[TEX]sqrt{ab}[/TEX]
|
Dạo này hơi chán!!!!

Mik ko hề post bài ko này ) toàn ra BĐT mà mik thì đang ngu cái này

Ê cái đề bài 2 sai rồi nàng ạ, phải \leq chứ

Áp dụng Bunyakovsky

[TEX](sqrt{c(a-c)}+sqrt{c(b-c)})^2\leq [(\sqrt{c})^2 + (\sqrt{b-c})^2][(\sqrt{a-c})^2 + (\sqrt{c})^2 = (c+b-c)(a-c+C) = ab [/TEX]

\Rightarrow đpcm

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

Ai vô mấy bài này đi
1Cho a,b,c là 3 số thực dương t/m
[TEX]a^2+b^2+c^2=(a-b)^2+(b-c)^2-(c-a)^2[/TEX]
C/m nếu c\geqa, c\geqb thì 2(a+b)\geqc\geqa+b

xem ở 105+135 sách chị An
mà mi cũng pro thật:-*
[TEX]a^2+b^2+c^2=(a-b)^2+(b-c)^2-(c-a)^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=2ab+2bc+2ca \geq 2ab+2b^2+2a^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow c^2 \geq (a+b)^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow c \geq a+b[/TEX]
[TEX] a^2+b^2+c^2=2ab+2bc+2ca[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (c-a-b)^2=4ab[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow c-a-b=2\sqrt{ab} \leq a+b [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2(a+b) \geq c[/TEX]

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

Cho a, b, c là các số thực dương t/m [TEX]a^2+b^2+c^2=1[/TEX]. C/m
[TEX]\frac{bc}{a^2+1}+\frac{ca}{b^2+1}+\frac{ab}{c^2+1} \leq \frac{3}{4}[/TEX]

 

[ththbode]

xem ở 105+135 sách chị An
mà mi cũng pro thật:-*
[TEX]a^2+b^2+c^2=(a-b)^2+(b-c)^2-(c-a)^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=2ab+2bc+2ca \geq 2ab+2b^2+2a^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow c^2 \geq (a+b)^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow c \geq a+b[/TEX]
[TEX] a^2+b^2+c^2=2ab+2bc+2ca[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (c-a-b)^2=4ab[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow c-a-b=2\sqrt{ab} \leq a+b [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2(a+b) \geq c[/TEX]

Ê! thế ra mi cũng đọc à! Ta chỉ đọc bài C/Mc\geqa+b!
Còn cái vế sau nghĩ ra khi nghĩ vế trước

 

[hoa_giot_tuyet]

Góp vui nè

1. Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn [TEX]\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 4[/TEX]
C/m [tex]\frac{1}{2x+y+z} + \frac{1}{2y+z+x} + \frac{1}{2z+x+y} \leq 1[/tex]

2. [TEX]\forall a,b,c \in R c/m (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) \geq (ab+bc+ca-1)^2[/TEX]

3. Cho a,b,c >o thoả [TEX]\frac{1}{a+b+1} + \frac{1}{b+c+1} + \frac{1}{c+a+1} \geq 1[/TEX]. C/m a+b+c \geq ab+bc+ca

p/s: đố bây điểm chung của mấy bài này là gì =))

 

[thienlong_cuong]

Góp vui nè

1. Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn [TEX]\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 4[/TEX]
C/m [tex]\frac{1}{2x+y+z} + \frac{1}{2y+z+x} + \frac{1}{2z+x+y} \leq 1[/tex]

2. [TEX]\forall a,b,c \in R c/m (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) \geq (ab+bc+ca-1)^2[/TEX]

3. Cho a,b,c >o thoả [TEX]\frac{1}{a+b+1} + \frac{1}{b+c+1} + \frac{1}{c+a+1} \geq 1[/TEX]. C/m a+b+c \geq ab+bc+ca

p/s: đố bây điểm chung của mấy bài này là gì =))

bài1 áp dụng 2 lần BĐT [TEX]\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a +b}[/TEX]

chúa ah` !
Con đoán thế thui mà !
[TEX]\frac{1}{2x+y+z} + \frac{1}{2y+z+x} + \frac{1}{2z+x+y}[/TEX]

thấy
[TEX]\frac{1}{2x +y +z} \leq \frac{1}{16}.(2\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z})[/TEX]

cứ tiếp tục như thế nữa ! Cộng 3 vế thế là OK

HÌnh như sai thì phải, trình bày rõ ra xem nào ! HÌNH NHƯ RỨA THÌ PHỈA ! HE HE

 

[hoa_giot_tuyet]

Góp vui nè
2. [TEX]\forall a,b,c \in R c/m (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) \geq (ab+bc+ca-1)^2[/TEX]

Hix post lên mấy bài mà k ai chịu giúp mik, nhớ giúp trong vòng 2 ngày nữa nha cần để nộp (.

À còn bài 2 này nè, là đề thi chọn đổi tuyển dự thi Quốc tế của Inđônêxia năm 2007 đấy.

Ta có [TEX](a^2+1)[b^2+(bc+ca-1)^2] \geq (ab+bc+ca-1)^2 (bunyakovsky)[/TEX]

Nên ta chỉ cần c/m [TEX](b^2+1)(c^2+1) \geq b^2 + (bc+ca-1)^2[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow c^2 - 2abc^2 + 2bc + 2ca - c^2a^2 \geq 0[/TEX]

Đến đây thì tịt =(( mà k bik có đúng hướng k nữa :|

Đứa nào chứng minh tiếp jùm với, hoặc giải theo hướng khác cũng đc

 

[ththbode]

Cho a, b, c là các số thực dương t/m [TEX]a^2+b^2+c^2=1[/TEX]. C/m
[TEX]\frac{bc}{a^2+1}+\frac{ca}{b^2+1}+\frac{ab}{c^2+1} \leq \frac{3}{4}[/TEX]

[TEX]4VT= \frac{4bc}{a^2+a^2+b^2+c^2} +\frac{4ca}{b^2^2+a^2+b^2+c^2}+\frac{4ab}{c^2+a^2+b^2+c^2} [/TEX]
[TEX]\leq \frac{bc}{a^2+b^2}+\frac{bc}{a^2+c^2} + \frac{ca}{a^2+b^2} +\frac{ca}{b^2+c^2} +\frac{ab}{a^2+c^2}+ \frac{ab}{b^2+c^2} [/TEX]
[TEX]\leq 4VP[/TEX]

 

[thienlong_cuong]

Cho a, b, c là các số thực dương t/m [TEX]a^2+b^2+c^2=1[/TEX]. C/m
[TEX]\frac{bc}{a^2+1}+\frac{ca}{b^2+1}+\frac{ab}{c^2+1} \leq \frac{3}{4}[/TEX]

Tui đoán mù mịt zậy !
BDT t/m

[TEX]\Leftrightarrow \frac{a^2+1}{bc} + \frac{b^2 +1}{ac} + \frac{c^2 +1}{ab} \geq 12[/TEX]

Giờ cần c/m điều này đúng
thật vậy !
[TEX] \frac{a^2+1}{bc} + \frac{b^2 +1}{ac} + \frac{c^2 +1}{ab} \geq 3\sqrt[3]{\frac{(a^2 +1)(b^2 +1)(c^2 +1)}{a^2b^2c^2}} = 3\sqrt{\frac{[(a^2 +b^2) +(a^2 +c^2)][(b^2 +c^2) + (b^2 +a^2)][(a^2 +c^2) + (c^2 + b^2)]}{a^2b^2c^2}} = 3\sqrt[3]{\frac{4a\sqrt{bc}. 4b\sqrt{ac}.4c\sqrt{ab}}{a^2b^2c^2}} = 3.4 = 12[/TEX] (đpcm)

\Rightarrow BĐT đc chứng minh

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

BDT t/m

[TEX]\Leftrightarrow \frac{a^2+1}{bc} + \frac{b^2 +1}{ac} + \frac{c^2 +1}{ab} \geq 12[/TEX]

Giờ cần c/m điều này đúng

k hiểu:khi (3)::khi (3)::khi (3):
=========================================

 

[thienlong_cuong]

k hiểu:khi (3)::khi (3)::khi (3):
=========================================

ẹc ! NHầm thì phải! ???

Coi giùm chứ chính bản thân tui cũng ko biết chính xác nữa !@
Chắc sai zá!|||

đùa tý thui ! Chứ tui nghĩ thía này !

[TEX](\frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z})(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c}) \geq 9[/TEX]

áp dụng cái ni !@-)@-)@-)@-)

chả biết sai hay đúng ! Nhưng chắc khoảng 99,(9)% ! he he

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

[TEX](\frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z})(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c}) \geq 9[/TEX]

áp dụng cái ni !@-)@-)@-)@-)

a/d cái này thì làm sao???
=====================================

 

[thienlong_cuong]

Cauchy ngược dấu cứ thế mà cày,.. . . . . . . . . . . . . . . . .0. . . . .0. . . . .0. .0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

Cauchy ngược dấu cứ thế mà cày,.. . . . . . . . . . . . . . . . .0. . . . .0. . . . .0. .0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

k thấy dùng Côsi ngược dấu ở đâu cả
nhưng mà thực sự vẫn k hiểu
nếu a/d cái trên thì có ra bđt cần c/m

đâu

 

[dngoc123]

thử làm cáib-(b-(b-(b-(b-(
nhận xét ta thấy: [TEX]a^2+1+b^2+1+c^2+1[/TEX] = 4
dùng cái bdt mà đồng bậc dạng cộng mẫu số :-SS:-SS:-SS:-SS
\Rightarrow[TEX]\frac{bc}{a^2+1}[/TEX] + [TEX]\frac{ca}{b^2+1}[/TEX] + [TEX]\frac{ab}{c^2+1}[/TEX] \leq\frac{1}{4}
dấu = xảy ra \Leftrightarrowa=b=c(còn =mấy thì ko biết =)) )
mà\frac{1}{4}<\frac{3}{4}
từ đấy mà suy ra cái dpcm
ôi ôi, nhìn điêu quá đi mất =)) b-(b-(b-(

 

[thienlong_cuong]

k thấy dùng Côsi ngược dấu ở đâu cả
nhưng mà thực sự vẫn k hiểu
nếu a/d cái trên thì có ra bđt cần c/m

đâu

thì đại khái là thế này ! Mà cũng chả chắc nó có phải là cauchy ngược dấu đâu ! Thấy nó ngược thì nói nó ngược ! Ẹc ! Ko biết dùng cauchy ngược dấu mà toàn nói ngây ! hihih
Đặt BĐT cần chứng minh là A
[TEX]A. \frac{1}{A}\geq 9[/TEX] (*)

BĐT cần chững minh là [TEX]A \leq \frac{3}{4} [/TEX] \Leftrightarrow BĐT [TEX]\frac{1}{A} \geq 12 [/TEX]! Có thế mới t/m đc (*)

 

[traitimbangtuyet]

cái ni có phải tương đương với : [TEX]\frac{(c-1)^2}{c-1} \geq \frac{(c-1)^2}{ab}[/TEX] hiển nhiên điều này đúng vì :c=max(a,b,c)

 

[hoa_giot_tuyet]

Góp vui nè

1. Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn [TEX]\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 4[/TEX]
C/m [tex]\frac{1}{2x+y+z} + \frac{1}{2y+z+x} + \frac{1}{2z+x+y} \leq 1[/tex]

3. Cho a,b,c >o thoả [TEX]\frac{1}{a+b+1} + \frac{1}{b+c+1} + \frac{1}{c+a+1} \geq 1[/TEX]. C/m a+b+c \geq ab+bc+ca

p/s: đố bây điểm chung của mấy bài này là gì =))

K ai giải giùm à (

Nhanh lên giùm cái, mấy bài này trong chuyên đề Bunyakovsky đó, cứ thế mà chém

thích spam lắm hả