[Toán 8] đại chiến : War mathematical

[thienlong_cuong]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

kêu gọi huynh đệ tỉ muội tổ chức đại chiến : War mathematical

Hè năm ngoái , box 7 sôi động với cuộc chiến tranh toán học giữa Boy and Girl ! Hè năm nay chúng ta lại tiếp tục cuộc chiến nha! Thoải mái post bài tẹt ga ! Cứ vào số 4 lút ga mà post ! Monh mọi ng` tham gia nhiệt tình
Râấtvui nếu các bậc tiần bối lớp trên tham gia vào đóng góp !


Mở đầu với 1 bài hơi "cùn" một tý

CHứng minh BĐT bunhiacopski với bộ n số thực a_1 ; ... ; a_n Và b_1 , ..., b_n (cauchy schwar)

[TEX](a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + .. + b_n^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2[/TEX]
bài 2 :
Cho 3 số thực a, b ,c > 1

[TEX]\frac{1}{a^2 -1} + \frac{1}{b^2 -1} + \frac{1}{c^2 -1} = 1[/TEX]
CMR :
[TEX]\frac{1}{a +1} + \frac{1}{b +1} + \frac{1}{c +1} \leq 1 [/TEX]

Bai` 3 :
(có vẻ ngon ăn hơn)
Cho [TEX]x\sqrt{1 -y^2} + y\sqrt{1 -x^2} = 1[/TEX]
CMR : [TEX]x^2 + y^2 = 1[/TEX]


Mong mọi ng` tham gia nhiệt tình ! Chém từng bài 1 nhé ! Đừng làm gộp 3 bài vô 1 !

p/s: bà tuyet và bà quynh nhờ 2 bà giúp đỡ vs nhé ! Tham gia vô hây !

 

[quynhnhung81]

nói lại nghen, tên tui hok phải là zậy đâu ah

thui bỏ qua, chém bài 1 đã, hihi, đọc rồi

Xét tam thức bậc 2

[TEX]f_{(x)}=(a_1^2+....+a_n^2)x^2-2(a_1b_1+...+a_nb_n)x+(b_1^2+...+b_n^2)[/TEX]

Đặt [TEX](a_1^2+....+a_n^2)=A[/TEX]

[TEX](a_1b_1+...+a_nb_n)=B[/TEX]

[TEX](b_1^2+...+b_n^2)=C[/TEX], lúc đó [TEX]f_{(x)}[/TEX] có dạng

[TEX]f_{(x)}=Ax^2-2Bx+C[/TEX]

Dễ dàng chứng minh được

[TEX]f_{(x)}=(a_1x-b_1)^2+(a_2x-b_2)^2+...+(a_nx-b_n)^2[/TEX]

Dễ thấy [TEX]f_{(x)} \geq 0 \forall x[/TEX]

*) A=0 \Leftrightarrow [TEX]a_i=0 [/TEX](i=1,2,3,..,n) \Rightarrow bđt đúng

*) A [TEX]\neq[/TEX] 0

Ta có [TEX]f_{(x)} \geq 0 \forall x[/TEX] \Leftrightarrow [TEX]B^2-AC \leq 0[/TEX]

[TEX]\Rightarrow (a_1^2+...+a_n^2)(b_1^2+...+b_n^2) \geq (a_1b_1+...+a_nb_n)^2[/TEX]

Dấu bằng xảy ra khi [TEX]\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=...=\frac{a_n}{b_n}[/TEX]

p/s: có gì sai cả nhà chỉ bảo

 

[thuyduong1851998]

bài 3 có điều kiện x, y không zậy ****************************************************************************************************************?????

 

[thienlong_cuong]

bài 3 có điều kiện x, y không zậy ****************************************************************************************************************?????

Chưa học ah` !
Thấy trong căn thì nó phải dương rồi ! Điều kiện của x , y phải tự tìmn chứ !
Mà cho là x , y là 2 số thực bất kì đi !

 

[bananamiss]

Bai` 3 :
(có vẻ ngon ăn hơn)
Cho [TEX]x\sqrt{1 -y^2} + y\sqrt{1 -x^2} = 1[/TEX]
CMR : [TEX]x^2 + y^2 = 1[/TEX]

[TEX]x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2} \leq \sqrt{(x^2+y^2)(2-x^2-y^2)} [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 1 \leq \sqrt{(x^2+y^2)(2-x^2-y^2)} [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (x^2+y^2-1)^2 \leq 0 \Leftrightarrow x^2+y^2=1[/TEX]

 

[thienlong_cuong]

sao ko ai nốc bài 2 vậy !

Sao toàn girl tham gia cuộc chiến nhỉ !!! Boy đâu hết rồi !

Ngon ăn bài này nè !

Cho x; y ; z là các số thực dương !

[TEX]\frac{x^3}{yz} + \frac{y^3}{xz} + \frac{z^3}{xy} \geq x + y + z[/TEX]

 

[quynhnhung81]

Sao toàn girl tham gia cuộc chiến nhỉ !!! Boy đâu hết rồi !

Ngon ăn bài này nè !

Cho x; y ; z là các số thực dương !

[TEX]\frac{x^3}{yz} + \frac{y^3}{xz} + \frac{z^3}{xy} \geq x + y + z[/TEX]

Girl là nhất oy

Làm luôn nhé

Áp dụng bdt [TEX]a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca[/TEX] (không cần chứng minh đâu nhỉ)

[TEX]x^4+y^4+z^4 \geq x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 \geq xy^2z+xyz^2+x^2yz[/TEX]

mà x,y,z là các số dương nên xyz > 0

[TEX]\Rightarrow \frac{x^4+y^4+z^4}{xyz} \geq \frac{xy^2z+xyz^2+x^2yz}{xyz}[/TEX]

\Rightarrow dpcm

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

Sao toàn girl tham gia cuộc chiến nhỉ !!! Boy đâu hết rồi !

Ngon ăn bài này nè !

Cho x; y ; z là các số thực dương !

[TEX]\frac{x^3}{yz} + \frac{y^3}{xz} + \frac{z^3}{xy} \geq x + y + z[/TEX]

[TEX]VT+2VP \geq 3VP( AM-GM) \Rightarrow dpcm[/TEX]
[TEX]VT \geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{3xyz} \geq VP[/TEX]

=================================================

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

Cho x, y, z, t nguyên và số a t/m [TEX]xa^3+ya^2+za+t[/TEX] chia hết cho 5
C/m ta luôn tìm đc b nguyên để [TEX]x+yb+zb^2+tb^3[/TEX] chia hết cho 5
===============================================
cho [TEX]a, b, c > 0[/TEX]
c/m [TEX](1+a^3)(1+b^3)(1+c^3) \geq (a+bc)(b+ca)(c+ab)[/TEX]
cái này đứa nào tinh ý là nhận ra ngay;

 

[tvht_2607]

cái câu bất đẳng thức đó.mình nghĩ thế này
nhân tung ra sau đó cosi cho 3 số
[TEX]a^3b^3c^3+1+1\geq 3abc[/TEX]
[TEX]a^3b^3c^3+a^3b^3c^3+1\geq 3a^2[/TEX]
[TEX]a^3b^3+a^3+b^3\geq 3a^2b^2[/TEX]
[TEX]b^3c^3+b^3+c^3\geq 3b^2c^2[/TEX]
[TEX]a^3c^3+a^3+c^3\geq 3a^2c^2[/TEX]
[TEX]a^3b^3+c^3b^3+b^3\geq 3acb^3[/TEX]
[TEX]a^3b^3+c^3a^3+a^3\geq 3bca^3[/TEX]
[TEX]c^3a^3+c^3b^3+c^3\geq 3bca^3[/TEX]
cộng từng vế các bất đẳng thức \Rightarrow điều phải chứng minh

Chú ý latex

 

[htdhtxd]

bài 2 :
Cho 3 số thực a, b ,c > 1

[TEX]\frac{1}{a^2 -1} + \frac{1}{b^2 -1} + \frac{1}{c^2 -1} = 1[/TEX]
CMR :
[TEX]\frac{1}{a +1} + \frac{1}{b +1} + \frac{1}{c +1} \leq 1 [/TEX]

bài này sao ko ai chém nhỉ )

mình năm nay lên 11 có cho tham gia ko vậy )
:-SS:-SS:-SS:-SS:-SS

 

[khanh_ndd]

Cho 3 số thực a, b ,c > 1

[TEX]\frac{1}{a^2 -1} + \frac{1}{b^2 -1} + \frac{1}{c^2 -1} = 1[/TEX]
CMR :
[TEX]\frac{1}{a +1} + \frac{1}{b +1} + \frac{1}{c +1} \leq 1 [/TEX]

sử dụng pp phản chứng để quy về CM:
với [TEX]a,b,c>1[/TEX] thoả mãn:[TEX]\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=1[/TEX] thì bdt sau đúng [TEX]\frac{1}{a^2 -1} + \frac{1}{b^2 -1} + \frac{1}{c^2 -1}\geq 1[/TEX]

bđt cần cm tương đương
[TEX] \frac{4-a^2}{a^2-1}+\frac{4-b^2}{b^2-1}+\frac{4-c^2}{c^2-1}\geq 0\Leftrightarrow \frac{a-2}{a+1}.\frac{a+2}{a-1}+\frac{b-2}{b+1}.\frac{b+2}{b-1}+\frac{c-2}{c+1}.\frac{c+2}{c-1}\leq 0[/TEX]

từ gt dễ thấy [TEX]\frac{a-2}{a+1}+\frac{b-2}{b+1}+\frac{c-2}{c+1}=0[/TEX]

áp dụng bđt Chebychev cho ta đpcm

STBDT

p/s: lớp 8 ai lại làm mấy bài này

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

Cho [TEX]a, b, c > 0[/TEX]. C/m
[TEX]a^3b^2c+\frac{c^2}{b^2}+\frac{b}{ac^2} \geq ac+ab+1[/TEX]

 

[tvht_2607]

[TEX]a^3b^2c+\frac{c^2}{b^2}+1\geq3ac[/TEX]
[TEX]ac+a^3b^2c+\frac{b}{ac^2}\geq3ab[/TEX]
[TEX]ab+\frac{c^2}{b^2}+\frac{b}{ac^2}\geq3[/TEX]
cộng từng vế các bất đẳng thức trên \Rightarrowdpcm

 

[thienlong_cuong]

1 bài toán vui nha !
1 con vịt cái 1 ngày đẻ ra 2 quả trứng
9 con vịt cái đẻ ra 8 quả !
5 con vịt cái đẻ ra 4 quả
Hỏi 3 con vịt cái đẻ ra bao nhiêu quả !

 

[htdhtxd]

1 bài toán vui nha !
1 con vịt cái 1 ngày đẻ ra 2 quả trứng
9 con vịt cái đẻ ra 8 quả !
5 con vịt cái đẻ ra 4 quả
Hỏi 3 con vịt cái đẻ ra bao nhiêu quả !

1 con vịt cái 1 ngày đẻ ra 2 quả trứng
9 con vịt cái đẻ ra 8 quả ! ->5 trong 9 con vô sinh )
5 con vịt cái đẻ ra 4 quả -> 3 trong 5 con vô sinh =))
3 con vịt cái thì hên xui chưa biết trong này có mấy con vô sinh nữa ) =))
>->->->->->->-
chuẩn @@ duyệt )

 

[traitimbangtuyet]

===============================================
cho [TEX]a, b, c > 0[/TEX]
c/m [TEX](1+a^3)(1+b^3)(1+c^3) \geq (a+bc)(b+ca)(c+ab)[/TEX]
cái này đứa nào tinh ý là nhận ra ngay;

cái ni hình như k ai giải hả ??? tớ giải nha

áp dụng bất đẳng thức holder ta có :
[TEX](1+a^3)(1+b^3)(c^3+1)\geq(c+ab)^3[/TEX]
làm tương tự , nhân lại là ra thui

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

Cho đa thức P(x) với các hệ số nguyên t/m P(0)=0, P(1)=2. C/m P(7) k là số cp

Cho x, y, z, t nguyên và số a t/m [TEX]xa^3+ya^2+za+t[/TEX] chia hết cho 5
C/m ta luôn tìm đc b nguyên để [TEX]x+yb+zb^2+tb^3[/TEX] chia hết cho 5

k ai làm à
bài cô ra mà cả lớp k ai làm đc

 

[ththbode]

Ai vô mấy bài này đi
1Cho a,b,c là 3 số thực dương t/m
[TEX]a^2+b^2+c^2=(a-b)^2+(b-c)^2-(c-a)^2[/TEX]
C/m nếu c\geqa, c\geqb thì 2(a+b)\geqc\geqa+b
2Cho a>c,b>c, c>0.C/m [TEX]sqrt{c(a-c)}+sqrt{c(b-c)}[/TEX]\geq[TEX]sqrt{ab}[/TEX]
|
Dạo này hơi chán!!!!

 

[conloctrang1997]

Toán 8 cực khó

Giúp mình giải bài này nha:
Chứng minh các bất đẳng thức:
a) a^2+b^2 \geq ab