[Toán 8] CLB dành cho mem muốn giỏi toán

[quynhnhung81]

hôm trươc nới làm bài kiểm tra đại số 45' (dễ lém) thử post lên cho các mem làm thử coi ha
Bài 1: [TEX] x^2- 2xy+2x+2y^2+2=0[/TEX] Tìm x,y
Bài 2: Rút gọn [TEX] (x^3+y^3+z^3 -3xyz)/[ (x-y)^2 +(y-z)^2+(z-x)^2] [/TEX]
Bài 3: Cho[TEX] a+b+c = 1 ; a^2+b^2+c^2=1; x/a = y/b = z/c [/TEX]
Chứng minh rằng [TEX] xy+yz+xz = 0 [/TEX]

 

[duonga4k88]

Bài 1
[TEX]x^2-2xy+2x+2y^2+2=0 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2y^2-2xy+\frac{x^2}{2}+\frac{x^2}{2}+2x+2=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2(y-\frac{x^2}{2})^2+\frac{(x+2)^2}{2}=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left{\begin{x=-2}\\{y=-1}[/TEX]

 

[bboy114crew]

hôm trươc nới làm bài kiểm tra đại số 45' (dễ lém) thử post lên cho các mem làm thử coi ha

Bài 2: Rút gọn [TEX] \frac{x^3+y^3+z^3 -3xyz}{ (x-y)^2 +(y-z)^2+(z-x)^2} [/TEX]
Bài 3: Cho[TEX] a+b+c = 1 ; a^2+b^2+c^2=1; [/COLOR][/B][B][COLOR=Green]\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c} [/TEX]
Chứng minh rằng [TEX] xy+yz+xz = 0 [/TEX]

2) ta có:[TEX]x^3+y^3+z^3 -3xyz = \frac{1}{2}(a+b+c)[(x-y)^2 +(y-z)^2+(z-x)^2] [/TEX] => [TEX] \frac{x^3+y^3+z^3 -3xyz}{ (x-y)^2 +(y-z)^2+(z-x)^2} = \frac{1}{2}(a+b+c)[/TEX]
3) ta có:[TEX] \frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c} = \frac{x+y+z}{a+b+c} = x+y+z => x = (x+y+z)a ; y={x+y+z)b ; z=(x+y+z)c[/TEX]
=>[TEX]xy+yz+xz = ab(x+y+z)^2+ cb(x+y+z)^2+ ac(x+y+z)^2 = (x+y+z)^2(ab+bc+ac) = \frac{1}{2}(x+y+z)^2[(a+b+c)^2 - a^2-b^2-c^2]=\frac{1}{2}(x+y+z)^2[1^2 - 1] =0[/TEX]

 

[duonga4k88]

bài 3:
[TEX]\frac{x^3+y^3+z^3-3xyz}{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{(x+y+z)^2-3(x+y+z)(xy+yz+zx)}{2(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)}{2(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{x+y+z}{2}[/TEX]

 

[linhhuyenvuong]

[TEX]x^2-2xy+2x+2y^2+2=0 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2y^2-2xy+\frac{x^2}{2}+\frac{x^2}{2}+2x+2=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2(y-\frac{x^2}{2})^2+\frac{(x+2)^2}{2}=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left{\begin{x=-2}\\{y=-1}[/TEX][/QUOTE]
__________________________________________


thử xem cách này có gọn hơn ko nha!
[tex]x^2-2xy+2x+2y^2+2=0[/tex­] =[tex]x^2+1+y^2-2xy+2x-2y)+(y^2+2y+1)=0[/TEX­] =[TEX­](x-y+1)^2+(y+1)^2=0[/TEX­] [tex]\Leftrightarrow \left{\begin{x=-2}\\{y=-1}[/TEX]

 

[linhhuyenvuong]

Bài 1
[tex]x^2-2xy+2x+2y^2+2=0[/tex­] [tex­](x^2+y^2+1-2xy+2x-2y)+(y^2+2y+1)=0[/tex­] [tex­](x-y+1)^2+(y+1)^2=0[/tex­] \Rightarrow[tex]\left\{ \begin{array}{|} y+1=0 \\ x-y+1=0 \end{array} \right.[/tex]
\Rightarrow y=-1
x=-2

 

[cobala_3582]

bây giờ mình mới tham gia không biết có muôn không nhỉ?
họ và tên:hồ nguyễn phương nhi
lớp:8a
học đại số kha hơn một chút
xin hứa sẽ tuân thủ đúng quy định của diên đàn va của clb
bây giờ tui xin mạo muội post một bài lên để các bạn cùng làm nha.
Cho\{ABC}=90 độ,một điểm cố định M nằm trong góc đó, d là một đường thẳng quay quanh M cắt OA và OB lần lượt ở P và Q hãy xác định vị trí của đường thăng d sao cho tam giác POQ có:
a, diện tích nhỏ nhất
b, OP+OQ đạt Min
đây là một dạng toán rất khó và người ta hay ra trong các kì thi hsg lắm các bạn cố gắng giải nha!!!

 

[cobala_3582]

bây giờ tui mới tham gia không biết co muộn qua không??
Ho và tên :hồ nguyễn phương nhi
lớp 8a
học khá đại số hơn một chút.
xin hứa sẽ siêng năng post bài cho clb
hjhj... nói xong thực hiện luôn nha.
cho\{ABC}=90 độ điểm cố định M nằm trong góc đó. đường thẳng d quay quanh M cắt AB ở P cắt BC ở Q. hãy xácn định vị trí của đường thẳng d sao cho tam giác BPQ :
a; có diện tích nhỏ nhất
b; BP+BQ đạt Min
MONG CÁC BẠN ỦNG HỘ!!!

 

[hoa_giot_tuyet]

.
cho\{ABC}=90 độ điểm cố định M nằm trong góc đó. đường thẳng d quay quanh M cắt AB ở P cắt BC ở Q. hãy xácn định vị trí của đường thẳng d sao cho tam giác BPQ :
a; có diện tích nhỏ nhất
b; BP+BQ đạt Min
MONG CÁC BẠN ỦNG HỘ!!!

Tks bạn nhìu :|
a) Kẻ đường thảng song song với BC cắt AB tại D. Lấy E đối xứng với B qua D. EM cắt BC tại F. Ta chứng minh [TEX]S_{BEF}[/TEX] nhỏ nhất.
Kẻ đường thẳng bất kỳ qua M cắt AB, BC tại P, Q. Cần c/m [TEX]S_{BEF} \leq S_{BPQ}[/TEX]
Vì qua M chỉ có duy nhất một đường cắt AB,BC ở P,Q sao cho M là trung điểm. Do ME=MF(dễ cm) \Rightarrow MP và MQ ko = nhau. Giả sử MP > MQ, trên Mp lấy Q' sao cho MQ=MQ' \Rightarrow [tex]\large\Delta[/tex]MEQ' = [tex]\large\Delta[/tex]MFQ
\Rightarrow [TEX]S_{PEM} > S_{MQF}[/TEX] \Rightarrow [TEX]S_{BPQ} > S_{BEF} [/TEX]
\Rightarrow done
Câu a ko chỷ dành cho góc 90 độ, còn có cách khác là kẻ hai đường song song với AB và AC
b) Bạn xem kách làm nỳ của tớ đúng ko hen, thý nó cứ sao sao ý
Kẻ ME // BQ, MF // BF
Do M cố định nên ME và MF ko đổi. Ta lại có ME=BF, MF = BE nên để BP+BQ nhỏ nhất thì chỉ cần PE+QF nhỏ nhất
Ta có [tex]\large\Delta[/tex]PEM ~ [tex]\large\Delta[/tex]MFQ
\Rightarrow [TEX]\frac{PE}{MF}=\frac{ME}{FQ} = k [/TEX]
\Rightarrow PE.FQ = ME.MF ko đổi
Đặt PE=a, FQ = b ta có ab const
Áp dụng Cô-si [TEX](a+b) \geq 2\sqrt{ab}[/TEX]
\Rightarrow PE+QF hay BP+BQ nhỏ nhất khi PE=QF
tớ mới nghĩ dc thế thui

 

[hoa_giot_tuyet]

Làm thử xem

Bài 1. Cho x,y dương có tổng là 4. Tìm GTNN A=[TEX]\frac{1}{x+4}+\frac{1}{y+4}[/TEX]
Bài 2. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn abc=1. Tìm GTNN
[TEX]P = \frac{a^2+b^2-c^2}{c} + \frac{b^2+c^2-a^2}{a} + \frac{c^2+a^2-b^2}{b}[/TEX]
Bài 3. Giải phương trình: [TEX](x-2005)^6 + (x-2006)^8 = 1[/TEX]

 

[quynhnhung81]

Bài 1: A=[TEX] \frac{1}{x+4}[/TEX] + [TEX]\frac{1}{y+4}[/TEX] =[TEX] \frac{x+y+8}{(y+4)(x+4)}[/TEX] =[TEX] \frac{12}{(x+4)(y+4)}[/TEX]
Để A đạt GTNN \Rightarrow (x+4)(y+4) đạt giá trị lớn nhất
\Leftrightarrow xy + 4(x+y) +16
\Leftrightarrow xy + 32
Theo bài ra x+y=4
Để xy+32 đạt giá trị lớn nhất \Rightarrow x=y=2
\Rightarrow xy + 32=36
Min A =[TEX] \frac{12}{36}[/TEX]=[TEX]\frac{1}{3}[/TEX]

 

[01263812493]

Bài 1. Cho x,y dương có tổng là 4. Tìm GTNN A=[TEX]\frac{1}{x+4}+\frac{1}{y+4}[/TEX]
Bài 2. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn abc=1. Tìm GTNN
[TEX]P = \frac{a^2+b^2-c^2}{c} + \frac{b^2+c^2-a^2}{a} + \frac{c^2+a^2-b^2}{b}[/TEX]

1. Áp dụng BDT:

[tex]\frac{1}{a}+ \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a+b} \Leftrightarrow a=b[/tex]

[TEX]\Rightarrow A \geq \frac{4}{x+y+8}=\frac{1}{3} \Leftrightarrow x=y=2[/TEX]

2.
[TEX]P= \sum \frac{a^2+b^2-c^2}{c} \geq 2(\sum \frac{ab}{c})-a-b-c \geq a+b+c \geq 3 \sqrt[3]{abc}=3 \Leftrightarrow a=b=c=1[/TEX]

[tex] \frac{ab}{c}+\frac{bc}{a} \geq 2b[/tex]
[TEX] \frac{ac}{b}+\frac{ab}{c} \geq 2a[/TEX]
[TEX]\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a} \geq 2c [/TEX]

[TEX]\huge \Rightarrow \sum \frac{ab}{c}=\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+ \frac{ac}{b} \geq a+b+c[/TEX]

 

[cobala_3582]

sorry!!! mấy hôm nay tớ không lên mạng nên thật sự không biết lời đề nghị của hoa_giot_tuyet hôm nay tớ xin trả lời ..thực ra thì tớ cũng chưa giải ra bài này nhưng tớ có một số gợi y của thầy đây bạn xem rùi cùng làm nha!
-kẻ MK vuông góc vs OP; MH vuông góc vs OQ\Rightarrow H,K cố định
- cho góc \{ABC}=90 độ (không đổi)
- M cố định ; P,Q di động
đặt OP=x , OB=y, MH=a , MK=b\Rightarrow x,y thay đổi , a, b không đổi
\Rightarrowxy/2=1/2ax+1/2by
\Rightarrowxy=ax+by(1)
do x,y khác 0\Rightarrowchia (1) cho xy
\Rightarrowa/y=b/x( chỗ này tớ cung không hỉu lăm)
...................................................(tự giải tiếp)
a, diện tích đạt min = 2ab tại x= 2a ; y= ab \Leftrightarrow d song song vs HK
b, OP+OQ đạt min tại x=a+2căn ab
y=b+căn ab

 

[hoa_giot_tuyet]

sorry!!! mấy hôm nay tớ không lên mạng nên thật sự không biết lời đề nghị của hoa_giot_tuyet hôm nay tớ xin trả lời ..thực ra thì tớ cũng chưa giải ra bài này nhưng tớ có một số gợi y của thầy đây bạn xem rùi cùng làm nha!
-kẻ MK vuông góc vs OP; MH vuông góc vs OQ\Rightarrow H,K cố định
- cho góc \{ABC}=90 độ (không đổi)
- M cố định ; P,Q di động
đặt OP=x , OB=y, MH=a , MK=b\Rightarrow x,y thay đổi , a, b không đổi
\Rightarrowxy/2=1/2ax+1/2by
\Rightarrowxy=ax+by(1)
do x,y khác 0\Rightarrowchia (1) cho xy
\Rightarrowa/y=b/x( chỗ này tớ cung không hỉu lăm)
...................................................(tự giải tiếp)
a, diện tích đạt min = 2ab tại x= 2a ; y= ab \Leftrightarrow d song song vs HK
b, OP+OQ đạt min tại x=a+2căn ab
y=b+căn ab

Tớ ko hỉu :|

cho\{ABC}=90 độ điểm cố định M nằm trong góc đó. đường thẳng d quay quanh M cắt AB ở P cắt BC ở Q. hãy xácn định vị trí của đường thẳng d sao cho tam giác BPQ :
a; có diện tích nhỏ nhất
b; BP+BQ đạt Min

O là điểm ở đâu vậy bạn
Cách giải câu a bạn xem tớ giải đúng chưa

Kẻ đường thảng song song với BC cắt AB tại D. Lấy E đối xứng với B qua D. EM cắt BC tại F. Ta chứng minh

nhỏ nhất.
Kẻ đường thẳng bất kỳ qua M cắt AB, BC tại P, Q. Cần c/m

Vì qua M chỉ có duy nhất một đường cắt AB,BC ở P,Q sao cho M là trung điểm. Do ME=MF(dễ cm) \Rightarrow MP và MQ ko = nhau. Giả sử MP > MQ, trên Mp lấy Q' sao cho MQ=MQ' \Rightarrow

MEQ' =

MFQ
\Rightarrow <IMG title="S_{PEM} > S_{MQF}" alt="S_{PEM} > S_{MQF}" src="http://diendan.hocmai.vn/latex.php?S_{PEM} > S_{MQF}"> \Rightarrow <IMG title="S_{BPQ} > S_{BEF} " alt="S_{BPQ} > S_{BEF} " src="http://diendan.hocmai.vn/latex.php?S_{BPQ} > S_{BEF}">
\Rightarrow done
Câu a ko chỷ dành cho góc 90 độ, còn có cách khác là kẻ hai đường song song với AB và AC

Hơi bị lỗi bạn cố gắng tìm bài này ở trang tr' nhé

 

[hoa_giot_tuyet]

NGóm lên mồi lửa )
Cuối cùng cũng hí hoáy làm ra, mik` ngôk" :|

Cho tứ giác ABCD có M,N lần lượt là trung điểm BC và AD. I là giao điểm của AM và BN, J là giao của CN và DM. C/m
[TEX]S_{MINJ} = S_{ABI} + S_{DJC}[/TEX]

 

[quynhnhung81]

NGóm lên mồi lửa )
Cuối cùng cũng hí hoáy làm ra, mik` ngôk" :|

Cho tứ giác ABCD có M,N lần lượt là trung điểm BC và AD. I là giao điểm của AM và BN, J là giao của CN và DM. C/m
[TEX]S_{MINJ} = S_{ABI} + S_{DJC}[/TEX]

giải
từ D, N, A lần lượt kẻ đường DG, NM, AH vuông góc với BC
\Rightarrow AH //NK//DG
\Rightarrow AHCD là hình thang
Dễ chứng minh NK là đường trung bình của hình thang AHCD
\Rightarrow NK = [TEX]\frac{1}{2}[/TEX](AH+DG)
\Rightarrow NK.BC = [TEX]\frac{1}{2}[/TEX](AH+DG).BC
\Rightarrow [TEX]2S_{BNC} = S_{ABC} + S_{DBC}[/TEX] (1)
Chứng minh tương tự ta cũng có:
[TEX]2S_{AMD}= S_{ABD} + S_{DCA} [/TEX] (2)
Công vế theo vế của (1) và (2) ta có:
[TEX] 2S_{BNC}+ 2S_{AMD} = 2S_{ABCD}[/TEX]
\Rightarrow [TEX] S_{BIM}+S_{NIMJ}+S_{JMC}+S_{AIN}+S_{NIJM}+S_{NJD}=S_{AIB}+S_{BIM}+S_{AIN}+S_{MINJ}+S_{NJD}+S_{MJC}+S_{DJC}[/TEX]
\Rightarrowdpcm

 

[thienlong_cuong]

Bài 3. Giải phương trình:
(x-2005)^6 + (x-2006)^8 =1
_________________________________________________________
Ta có
(x -2005)^6 \leq 1
(x-2006)^8 \leq 1
=>
-1 \leq x -2005 \leq1
-1 \leq x -2006 \leq 1
Giải bất phương trình
=> 2005 \leq x \leq 2006
Ta lại có :
với 2005 < x < 2006 thì
(x-2005)^6 = |x -2005|^6 < |x-2005| ______(1)
(do |x -2005| < 1 nên khi số mũ nó càg lớn thì nó càng nhỏ)
Tương tự
(x-2006)^8 = |x -2006|^8 < |x -2006| = |2006-x| ____________(2)
Cộng 2 vế (1) và (2)
=> (x-2005)^6 + (x-2006)^8 < |x-2005| + |2006-x| \leq |x -2005+2006-x| = 1
=> (x-2005)^6 + (x-2006)^8 < 1 (loại)
Như vậy x phải thỏa mãn
2005 \leq x \leq 2006
x ko nằm trong khoảng 2005 < x < 2006
Như vậy chỉ còn lại 2 nghiệm là x = 2005 và x = 2006
Thật vậy ! Thay x = 2005 và x = 2006 vào đề bài ta thấy chúng là 2 nghiệm của phương trình !
=> S = {2005 ; 2006}