Toán 8 [Toán 8] Chuyên đề về số nguyên tố

B

boy_100

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

hôm nay tớ mở ra chuyên đề này để chúng ta giao lưu học hỏi :khi (176)::khi (176)::khi (176)::khi (176)::khi (176)::khi (176):
nắm thêm một số tính chất của số nguyên tố :khi (4)::khi (4):

Trước hết chúng ta nêu lại những tính chất của số nguyên tố :
số nguyên tố​
1- Định nghĩa
Số nguyên tố là gì ?
+ Số nguyên tố là những số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có ước là 1 và chính nó
Hợp số là gì ?
+ Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 , có nhiều hơn hai ước
vd: 3;5;7;9;.................

2 Các tính chất
*Tính chất chính
Nếu số nguyên tố p chia hết cho số nguyên tố q thì p=q
Nếu tích abc chia hết cho một số nguyên tố p thì ít nhất phải có một thừa số của tích abc chia hết cho số nguyên tố p
Nếu a và b không chia hết cho số nguyên tố p thì tích ab không chia hết cho số nguyên tố p
*Cách tìm số nguyên tố ?
+Ta làm như sau
Trước hết xóa số 1
Giữ lại số 2 rồi xóa tất cả các bội của 2 mà lớn hơn 2
Giữ lại số 3 rồi xóa tất cả các bội của 3 mà lớn hơn 3
Giữ lại số 5 rồi xóa tất cả các bội của 5 mà lớn hơn 5 (tất nhiên số 4 đã bị xóa )
Giữ lại số 7 rồi xóa tất cả các bội của 7 mà lớn hơn 7 (tất nhiên số 6 đã bị xóa )
Số 8;9;10 đã bị xóa bội của chúng sẽ cũng bị xóa hết
Vi dụ dùng bảng các số nguyên tố nhỏ hơn 100, hãy nêu cách kiểm tra một số nhỏ hơn 1000 có là số nguyên tố không? xét bài toán trên đối với các số 259 ,353
giải
Cho số n <10000 (n>1).
Nếu n chia hết cho 1 số k nào đó (1<k<n) thì n là hợp số . nếu n không chia hết cho mọi số nguyên tố p (p.p\leq n)thì n là số nguyên tố
Số 259 chia hết cho 7 nên là hợp số
Số 353 không chia hết cho tất cả các số nguyên tố p mà p.p\leq353 (đó là các số nguyên tố 2,3,7,5,11,13,17) Nên 353 là số nguyên tố
*Số nguyên tố phân bố như thế nào
từ 1 đến 100 có 25 số nguyên tố ,trong trăm thứ 2 có 21 số nguyên tố ,trong trăm thứ 3 có 16 số nguyên tố ,... trong nghìn đầu tiên có 168 số nguyên tố ,trong nghìn thứ 2 có 145 số nguyên tố ,trong nghìn thứ 3 có 127 số nguyên tố , như vậy ta có thể kết luận được càng đi xa theo dãy số tự nhiên ,các số nguyên tố càng thưa dần
VD có tồn 1001 số tự nhiên liên tiếp đều là hợp số không
giải
có .gọi A=1. 2.3.4....1000.1001.
các số A+1, A+2,A+3,.....,A+1001 là 1000 số tự nhiên liên tiếp và rõ ràng toàn là hợp số (đpcm)
*Số nguyên tố là 1 tập hợp vô hạn
3 Một số dạng số nguyên tố
- Số nguyên tố Fermat
- Số nguyên tố Mersenne
- Số nguyên tố GAUSS
- Số nguyên tố CHEN
- Số nguyên tố RAMANUJAN
- Số nguyên tố GIAI THÙA

4 Tiếp theo là phần bài tập ứng dụng


-
tuyệt đối cấm spam
ai spam nhờ anh tú xóa hộ
những ai trả lời sẽ được thank hậu hĩnh
 
Last edited by a moderator:
B

boy_100

4 bài tập ứng dụng
bài 1
viết các số chẵn từ 20 đến 30 dưới dạng tổng của 2 số nguyên tố
 
Last edited by a moderator:
B

boy_100

bài 2 : bài này khó hơn một chút
Tìm 3 số nguyên tố sao cho tích của chúng gấp 5 lần tổng của chúng
.......................................................................
 
Last edited by a moderator:
H

hermes_legend

Ủng hộ chuyên đề của em, ah có 1 bài như sau:

Bài 3:Tìm m,n là các số tự nhiên để:
A= [TEX]3^{3m^3+6n-61}+4[/TEX] là số nguyên tố

(đề thi HSG toán 8- huyện TT- HN-2006)
(đề thi chọn vòng 1 toán 9 huyện TT -HN 2010).
Chúc chuyên đề thành công:)

Bài 2: của 1 thành viên khác trình bày như sau:
Gọi 3 số đó là a,b,c ta có:
abc=5(a+b+c)
abc:5=a+b+c
-->abc chia hết cho 5
Mà a,b,c là số nguyên tố-->a,b hoặc c=5
Cho a=5 ta có:
5bc:5=5+b+c
bc=5+b+c
bc-b-c=5
b(c-1)-c+1=6
(c-1).(b-1)=6
Xét các tích=6(cái này làm hơi dài,ai có cách khác cho lên)
+(c-1).(b-1)=1.6=6
-> c-1=1->c=2 ; b-1=6-->b=7(tm)
+(c-1).(b-1)=2.3=6 =>c-1=2-->c=3 ;b-1=3-->b=4(loại vì 4 phải tm là số nguyên tố)
Vậy 3 số cần tìm là 2,5,7
 
Last edited by a moderator:
B

boy_100

theo bài làm của một bạn làm như sau
lời giải
ta có [TEX]3m^3[/TEX]+6n -61 = 3k + 2
như vậy
[TEX]3^3m^3 +6n -61 [/TEX] +4 = [TEX]3^3k +2[/TEX] +4 = [TEX]27^k .9 +4[/TEX]
ta có [TEX]27^k[/TEX] = 1 (mod 13)\Rightarrow [TEX]27^k[/TEX] .9+4 = 0 mod 13
vậy 13 | A, mà A là số nguyên tố thì A = 13
do đó [TEX]3m^3[/TEX] +6n -61 =2 \Rightarrow [TEX]3m^3[/TEX]+6n = 63 \Rightarrow [TEX]m^3 [/TEX] +3n =21
\Rightarrow m,n thuộc 0;1;2
không có biết đúng không nữa
 
Last edited by a moderator:
M

minhtuyb

Duy trì topic :D:
Bài 3:Chứng minh rằng nếu P là số nguyên tố lớn hơn 3 và 2P+1 là số nguyên tố thì 4P+1 là hợp số
Bài 4:Chứng minh rằng mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đều được viết dưới dạng [tex]6k+1[/tex] hoặc [tex]6k+5[/tex]
Bài 5:Tìm các số nguyên tố [tex]x,y,z[/tex] thỏa mãn:
[tex]x^y+1=z[/tex]
Tạm thời thế đã, sẽ post tiếp sau :D
 
B

braga

minhtuyb said:
Bài 3:Chứng minh rằng nếu P là số nguyên tố lớn hơn 3 và 2P+1 là số nguyên tố thì 4P+1 là hợp số
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=54379

minhtuyb said:

Bài 5:Tìm các số nguyên tố [tex]x,y,z[/tex] thỏa mãn:
[tex]x^y+1=z[/tex]
Tạm thời thế đã, sẽ post tiếp sau :D
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Vì x,y nguyên tố nên [TEX]x,y\geq2 \Rightarrow x \geq5[/TEX]
z nguyên tố lẻ nên [TEX]x^y [/TEX] là số chẵn \Rightarrow x =2 \Rightarrow [TEX]z= 2^y +1[/TEX]
Nếu y lẻ thì [TEX]2^y +1 [/TEX] chia hết cho 3, vô lý. Vậy y chẵn [TEX] \Rightarrow y=2 \Rightarrow z=5[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
D

daovuquang

Bài 4:
NX: x không chia hết cho 3 và không chia hết cho 2.
  • [TEX]x=6k\Rightarrow x\vdots 3\Rightarrow[/TEX] loại.
  • [TEX]x=6k+2\Rightarrow x\vdots 2\Rightarrow[/TEX] loại.
  • [TEX]x=6k+3\Rightarrow x\vdots 3\Rightarrow[/TEX] loại.
  • [TEX]x=6k+4\Rightarrow x\vdots 2\Rightarrow[/TEX] loại.
Vậy ta có đpcm.:)
 
B

boy_100

để duy trì topic tớ trả lời như sau
[TEX]p^5[/TEX] +[TEX]q^5[/TEX] -[TEX]q^4[/TEX].(q+1) = [TEX](p+q)^3[/TEX] nên (p+q)/[TEX]q^4[/TEX].(q+1)
mà p+q > q+1 -->q/p +q ---> p=q
suy ra phương trình vô nghiệm
 
K

kool_boy_98

duy trì topic???????

câu 1: tìm số nguyên tố p để 4p + 1 là số chính phương
câu 2: tìm số nguyên tố p để:
a) [TEX]2p^2 + 1[/TEX] cũng là số nguyên tố
b) [TEX]4p^2 + 1[/TEX] và [TEX]6p^2 +1[/TEX] cũng là số nguyên tố
câu 3: tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức sau là số nguyên tố:
a)[TEX]12n^2 - 5n - 25[/TEX]
b)[TEX]8n^2 + 10n + 3[/TEX]
c)[TEX](n^2 + 3n) / 4[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
S

smilelove_chuotxinh

kool_boy_98 said:
câu 1: tìm số nguyên tố p để 4p + 1 là số chính phương
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Câu 1:
-Vì [TEX]4p+1[/TEX] lẻ nên sẽ là bình phương của một STN lẻ. Đặt:
[TEX]4p + 1 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 (k\in N)[/TEX]
[tex]\Rightarrow 4p = 4k(k + 1) \Rightarrow p= k(k + 1)[/TEX]
Do p là số nguyên tố nên k= 1. Khi đó [tex]p= 2[/tex] và [tex]4p + 1= 9 = 3^2[/tex]
câu 2: tìm số nguyên tố p để:
a) [TEX]2p^2 + 1[/TEX] cũng là số nguyên tố
b) [TEX]4p^2 + 1[/TEX] và [TEX]6p^2 +1[/TEX] cũng là số nguyên tố
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
a/-Với [TEX]p=2\Rightarrow 2p^2 + 1=9(False)[/TEX]
-Với [TEX]p=3\Rightarrow 2p^2+1=19(True)[/TEX]
-Với [TEX]p>3[/TEX]. Vì p là số nguyên tố nên p không chia hết cho 3:
[TEX]p\equiv 1;2(mod3)\Rightarrow p^2\equiv 1(mod3)\Rightarrow 2p^2+1\equiv 2.1+1\equiv 0(mod3)\Rightarrow 2p^2+1[/TEX] không phải số nguyên số
-Vậy p=3
b/b> Xét [tex]p\equiv \pm 1(mod 5)[/tex] thì [tex]4p^2 + 1[/tex] là hợp số
Xét [tex]p\equiv \pm 2(mod 5)[/tex] thì [tex]6p^2 + 1[/tex] là hợp số
Do đó [tex]p=5[/tex]. Khi đó [tex]4p^2 + 1 = 101; 6p^2 + 1 = 151 (True)[/tex].
 
Last edited by a moderator:
K

kool_boy_98

câu 1 đúng rồi nhưng k thuộc Z thì chuẩn hơn bạn ạ
câu 2a) đúng rồi nhưng hơi phức tạp có bạn nào có cách giải nào ngắn gọn dễ hiểu hơn không?
còn câu 2b và câu 3 nữa nha!
 
I

izamaek

kool_boy_98 said:
câu 3: tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức sau là số nguyên tố:
a)[TEX]12n^2 - 5n - 25[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Chỉ mới là được câu này :D. Hi vọng khộng làm sai
[TEX]12n^2 - 5n - 25[/TEX]
[TEX]= 12n^2-20+15n-25[/TEX]
[TEX]= 4n(3n+5)+ 5(3n-5)[/TEX]
[TEX]= (4n+5)(3n-5)[/TEX]
Vậy để [TEX]= (4n+5)(3n-5)[/TEX] là số nguyên tố thì [TEX]4n+5= \pm1[/TEX] hoặc [TEX]3n-5 = \pm1[/TEX]
Vậy ta sẽ tìm ra [TEX] n\in{{{{{{{-1;\frac{-3}{2};2;\frac{4}{3}}}}}}}}[/TEX]
Thử n với thừa số còn lại:
[TEX]= [4.(-1)+5][3.(-1)-5]= 8[/TEX](loại)
[TEX]= (4.\frac{-3}{2}+5)(3.\frac{-3}{2}-5) = -\frac{19}{2}[/TEX](loại)
[TEX]= (4.2+5)(3.2-5)=13 [/TEX](chọn)
[TEX]= (4.\frac{4}{3}+5)(3.\frac{4}{3}-5)= \frac{-31}{3}[/TEX] (loại)
 
S

smilelove_chuotxinh

WLOG, giả sử [tex]a\geq b\geq c[/tex], ta có:
[tex]abc<a+b+c\leq 3a\Rightarrow bc<3[/tex]. Mà [tex]b,c[/tex] nguyên tố nên [tex]b,c\geq 2\Rightarrow bc\geq 4[/tex]. Vậy pt đã cho vô nghiệm nguyên tố ;)
 
Last edited by a moderator:
B

boy_100

tiếp nè
cho p và p +4 là các số nguyên tố ( p >3 ). chứng minh rằng p+8 là hợp số
 
M

minhtuyb

-Với [tex]p=3k+2\Rightarrow p+4=3k+6\vdots 3(False)[/tex]
Vậy [tex]p=3k+1[/tex]. Với [tex]p=3k+1\Rightarrow p+8=3k+9\vdots 3\Rightarrow p+8[/tex] là hợp số <DPCM>

Tìm số nguyên tố p sao cho các số sau cũng là SNT:
[tex]a/p+10;p+14[/tex]
[tex]b/p+2;p+6;p+8;p+12;p+14[/tex]
 
Last edited by a moderator:
You must log in or register to reply here.
Top Bottom