Toán 8 [Toán 8] Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử

[trydan]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Phân tích đa thức thành nhân tử là 1 kiến thức cơ bản của chương trình Toán lớp 8. Đây là dạng toán tương đối khó và khá phức tạp. Trong các kì thi HSG, thi chuyển cấp, thi chuyên Toán, ... đều có các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử. Vì vậy mình lập pic này để mọi người cùng nhau trao đổi kiến thức, nâng cao khả năng của mỗi người.
Mong các bạn tham gia tích cực và tuyệt đối không Spam

Một số phương pháp cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử
1. Phương pháp đặt nhân tử chung

2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức
Vận dụng các hằng đẳng thức để biến đổi đa thức thành tích các nhân tử hoặc luỹ thừa của một đa thức đơn giản.
3. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
Dùng các tính chất giao hoán, kết hợp của phép cộng các đa thức, ta kếp hợp những hạng tử của đa thức thành từng nhóm thích hợp rồi dùng các phương pháp khác phân tích nhân tử theo từng nhóm rồi phân tích chung đối với các nhóm.
4. Phương pháp tách
Ta có thể tách 1 hạng tử nào đó của đa thức thành hai hay nhiều hạng tử thích hợp để làm xuất hiện những nhóm hạng tử mà ta có thể dùng các phương pháp khác để phân tích được
Ví dụ:

5. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử
Ta có thể thêm bớt 1 hạng tử nào đó của đa thức để làm xuất hiện những nhóm hạng tử mà ta có thể dùng các phương pháp khác để phân tích được.
Ví dụ:

6. Phương pháp đặt biến phụ
Trong một số trường hợp, để việc phân tích đa thức thành nhân tử được thuận lợi, ta phải đặt biến phụ thích hợp.
Ví dụ: Phân tích thành nhân tử

Đặt

ta có

7. Phương pháp giảm dần số mũ của lũy thừa
Phương pháp này chỉ áp dụng được cho các đa thức như

là những đa thức có dạng

. Khi phân tích các đa thức có dạng như trên thì biểu thức sau khi phân tích đều có 1 nhân tử là

Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử

8. Phương pháp hệ số bất định (nói sau)

Khi phân tích đa thức thành nhân tử phải biết vận dụng linh hoạt nhiều phương pháp và phối hợp 1 cách hợp lí

 

[trydan]

Bài tập vận dụng
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
Bài 1:

Bài 2:

Bài 3:

Bài 4:

 

[816554]

1/ [TEX](ax+ by)^2 - (ay+bx)^2[/TEX]
= [TEX](ax+ay+bx+by)(ax-ay+by-bx)[/TEX]
= [TEX](a+b)(x+y)(a-b)(x-y)[/TEX]

2/ [TEX](a^2+b^2 -5)^2 - 4(ab +2)^2[/TEX]
= [TEX](a^2 + b^2 -5 -2ab-4)(a^2+b^2 - 5+2ab+4)[/TEX]
= [TEX][ (a-b)^2 -9][(a+b)^2 - 1][/TEX]
= [TEX](a-b-3)(a-b+3)(a+b+1)(a+b-1)[/TEX]

3/ [TEX]x^2 - x-12[/TEX]
[TEX]= x^2 - 4x +3x -12[/TEX]
[TEX]=x(x-4) +3 (x-4)[/TEX]
[TEX]=(x-4)(x+3)[/TEX]

4/ [TEX](x^2 +3x+1)(x^2+3x+2) - 6[/TEX]
= [TEX](x^2 +3x+ 1,5)^2 -0,5^2 -6[/TEX]
=[TEX] (x^2 +3x+ 1,5)^2 -2,5^2[/TEX]
=[TEX] (x^2 +3x +1,5 -2,5)(x^2 +3x +1,5+2,5)[/TEX]
=[TEX] (x^2 +3x-1)(x^1+3x+4)[/TEX]

 

[0915549009]

Bài tập vận dụng
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
Bài 1:

Bài 2:

Bài 3:

Bài 4:

1)
[TEX](ax+by)^2-(ay+bx)^2=(ax+by+ay+bx)(ax+by-ay-bx)=(a+b)(x+y)(a-b)(x-y)[/TEX]
2) [TEX](a^2+b^2-5)^2-[2(ab+2)]^2=(a^2+b^2-5-2ab-4)(a^2+b^2-5+2ab+4)=(a-b-3)(a-b+3)(a+b-1)(a+b+1)[/TEX]
3) [TEX]x^2-x-12=x^2-4x+3x-12=(x+3)(x-4)[/TEX]
4) Đặt [TEX]x^2+3x+1=y[/TEX], ta có:
[TEX]y(y+1)-6=y^2+y-6=y^2-2y+3y-6=(y-2)(y+3)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow(x^2+3x+1)(x^2+3x+2)-6=(x^2+3x-1)(x^2+3x+4)[/TEX]

 

[01263812493]

Bài tập vận dụng
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
Bài 1:

Bài 2:

Bài 3:

Bài 4:

Mới post thì tham gia tích cực nào :
1)[TEX] (ax+by)^2-(ay+bx)^2 =(ax+by-ay-bx)(ax+by+ay+bx)=(a-b)(a+b)(x-y)(x+y)[/TEX]
2)[TEX](a^2+b^2-5)^2-4(ab+2)^2=(a^2+b^2-5-2ab-4)(a^2+b^2-5+2ab+4)=[(a-b)^2 -9][(a+b)^2-1][/tex]
[tex]=(a-b-3)(a-b+3)(a+b+1)(a+b-1)[/TEX]
3)[TEX]x^2-x-12=x^2+3x-4x-12=x(x+3)-4(x+3)=(x+3)(x-4)[/TEX]
4)[TEX](x^2+3x+1)(x^2+3x+2)-6[/TEX] Đặt [TEX]x^2+3x+1=t[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow t(t+1)-6=t^2+t-6=t^2+3t-2t-6=(t+3)(t-2)=(x^2+3x+4)(x^2+3x-1)[/tex]

Thêm mấy bài nữa nè :
1)[TEX]x^4+6x^3+7x^2-6x+1[/TEX]
2)[TEX]x^4-7x^3+14x^2-7x+1[/TEX]
3)[TEX](x+1)^4+(x^2+x+1)^2[/TEX]
4)[TEX]x^4+y^4+(x+y)^4[/TEX]
5)[TEX]12x^2-11x-36[/TEX]

 

[girltoanpro1995]

4. Phương pháp tách
Ta có thể tách 1 hạng tử nào đó của đa thức thành hai hay nhiều hạng tử thích hợp để làm xuất hiện những nhóm hạng tử mà ta có thể dùng các phương pháp khác để phân tích được
Ví dụ:

Khi phân tích đa thức thành nhân tử phải biết vận dụng linh hoạt nhiều phương pháp và phối hợp 1 cách hợp lí

Cái phương pháp này mình có quy tắc nè:
Công thức tổng quát [TEX] ax^n + bx + c [/TEX]( với a, b, c là các số cho trước.)
Ta cần tách b ra 2 số sao cho tổng 2 số bằng b. Tích 2 số bằng tích của a và c.
Ví dụ: [TEX] 2x^2 + 6x + 3[/TEX]
Ta tách 6x ra thành 2x và 3x roài nhóm như thường.
P/s: cái ny` chắc mọi ng` bjk oy` nhưng ko bjk lèm chj hít nên post cho đỡ chán!

 

[trydan]

Típ
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
Bài 1:

Bài 2:

Bài 3:

Bài 4:

 

[0915549009]

Típ
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
Bài 1:

Bài 3: [TEX]x^3-x^2-14x+24[/TEX]

Chém bài dễ đã
1) [TEX]4a^2-4ab+b^2-9a^2b^2=(2a-b)^2-(3ab)^2=(2a-b-3ab)(2a-b+3ab)[/TEX]
3) [TEX]x^3-x^2-14x+24 = (x^3-2x^2)+(x^2-2x)-(12x-24)=x^2(x-2)+x(x-2)-12(x-2)=(x-2)(x^2+x-12)=(x-2)(x-3)(x+4)[/TEX]

 

[yunjaecouple_jaeno1]

Típ
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
Bài 3:

[TEX] x^3 - x^2 - 14x + 24[/TEX]
[TEX]= x^3 + 2x^2 + x - x^2 - 2x - 1 - 2x^2 - 4x - 2 -9x + 27[/TEX]
[TEX]= [x(x - 1)^2 - 9x] - [(x - 1)^2 - 9] - [2(x - 1)^2 -18][/TEX]
[TEX]= x(x + 1 + 3)(x + 1 - 3) - (x + 1 + 3)(x + 1 - 3) - 2(x + 1 + 3)(x + 1 - 3)[/TEX]
[TEX]= (x + 4)(x - 2)(x - 3)[/TEX]

 

[0915549009]

1)[TEX]x^4+6x^3+7x^2-6x+1[/TEX]
2)[TEX]x^4-7x^3+14x^2-7x+1[/TEX]
5)[TEX]12x^2-11x-36[/TEX]

Chém mấy bài dễ đã
1) [TEX]x^4+6x^3+7x^2-6x+1 = x^4-2x^2+1+6x^3+9x^2-6x=(x^2-1)^2+6x(x^2-1)+9x^2=(x^2-1+3x)^2[/TEX]
2)[TEX]x^4-7x^3+14x^2-7x+1 = x^4+2x^2+1-7x^3+12x^2-7x=(x^2+1)^2-7x(x^2+1)+12x^2=(x^2-3x+1)(x^2-4x+1)[/TEX]
5)[TEX]12x^2-11x-36=12x^2-27x+16x-36=3x(4x-9)+4(4x-9)=(4x-9)(3x+4)[/TEX]

 

[01263812493]

Típ
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

Bài 2:

Gây go nhỉ :
[TEX]4x(x+y)(x+y+z)(x+z)+y^2z^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 4(x^2+xy+xz)(x^2+xy+xz+yz)+y^2z^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 4(x^2+xy+xz)^2+4(x^2+xy+xz)yz+y^2z^2[/TEX]
[TEX]=[2(x^2+xy+xz)+yz]^2[/TEX]

 

[muathu1111]

Ai làm giúp tui bìa này vs:
[TEX]2x^4 - x^3 + 2x^2 +1[/TEX]
Có cần tui nói cái phương pháp hệ số bất định kok???????????
Tuy nhiên bài tui áp dụng kok ra!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

 

[0915549009]

Ai làm giúp tui bìa này vs:
2.x^4 - x^3 + 2.x^2 +1
Có cần tui nói cái phương pháp hệ số bất định kok???????????
Tuy nhiên bài tui áp dụng kok ra!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

[TEX]c) x^4+y^4+(x+y)^4[/TEX]

Chém luôn
[TEX]1) 2.x^4 - x^3 + 2.x^2 +1=(2x^4+x^3+x^2)-(2x^3+x^2+x)+(2x^2+x+1)[/TEX]
[TEX]=x^2(2x^2+x+1)-x(2x^2+x+1)+(2x^2+x+1)=(x^2-x+1)(2x^2+x+1)[/TEX]
[TEX]2) x^4+y^4+(x+y)^4 =x^4+y^4+x^4+y^4+4x^y+6x^2y^2+4xy^3=2(x^4+y^4+2x^3y+3x^2y^2+2xy^3)=2(x^2+y^2+xy)^2[/TEX]
:khi (54)::khi (54)::khi (54):

 

[trydan]

Ai làm giúp tui bìa này vs:
[TEX]2x^4 - x^3 + 2x^2 +1[/TEX]
Có cần tui nói cái phương pháp hệ số bất định kok???????????
Tuy nhiên bài tui áp dụng kok ra!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Hệ số bất định
Đa thức sau khi phân tích có dạng

Đồng nhất hai biểu thức, ta có

 

[phananthai4]

phân tích thành nhân tử [TEX]x^2(x^2+4)-x^2+4[/TEX]
chú ý latex

 

[trydan]

Típ
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

Bài 4:

Bài 4:

@: 01263812493 post đáp án bài

nha

 

[01263812493]

Thêm mấy bài nữa nè :
3)[TEX](x+1)^4+(x^2+x+1)^2[/TEX]

Nếu mọi người cùng đường thì bổ nó ra
[TEX](x+1)^4+(x^2+x+1)^2[/TEX]
[TEX]=x^4+4x^3+6x^2+4x+1+x^4+x^2+1+2x^3+2x^2+2x[/TEX]
[TEX]=2x^4+6x^3+9x^2+6x+2[/TEX]
Đến đây chơi phương pháp đồng nhất hệ số :
[TEX]=2x^4+6x^3+9x^2+6x+2[/TEX] sẽ có dạng :
[TEX](2x^2+ax+1)(x^2+bx+2)=2x^4+x^3(2b+a)+x^2(5+ab)+x(2a+b)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \left{2b+a=6} \\{5+ab=9} \\{2a+b}=6[/TEX]

[tex]\Rightarrow a=b=2 \Rightarrow 2x^4+6x^3+9x^2+6x+2=(2x^2+2x+1)(x^2+2x+2)[/tex] OK rồi đó
Mấy bài nữa nè :
1)[TEX]2(x^2+x+1)^2-(2x+1)^2-(x^2+2x)^2[/TEX]
2)[TEX]x^8+x^6+x^4+x^2+1[/TEX]
3)[TEX]x^8+98x^4+1[/TEX]
4)[TEX]x^8+14x^4+1[/TEX]
5)[TEX]8(x+y+z)^3-(x+y)^3-(y+z)^3-(x+z)^3[/TEX]

 

[0915549009]

Mấy bài nữa nè :
1)[TEX]2(x^2+x+1)^2-(2x+1)^2-(x^2+2x)^2[/TEX]
2)[TEX]x^8+x^6+x^4+x^2+1[/TEX]
3)[TEX]x^8+98x^4+1[/TEX]
4)[TEX]x^8+14x^4+1[/TEX]
5)[TEX]8(x+y+z)^3-(x+y)^3-(y+z)^3-(x+z)^3[/TEX]

1) [TEX]2(x^2+x+1)^2-(2x+1)^2-(x^2+2x)^2=(x^2+x+1)^2-(2x+1)^2+(x^2+x+1)^2-(x^2+2x)=(x^2+3x+2)(x^2-x)+(1-x)(2x^2+3x+1)[/TEX]
[TEX]=(x+1)(x+2)(x-1)x-(x-1)(2x+1)(x+1)=(x+1)(x-1)(x^2+2x-2x-1)=(x+1)^2(x-1)^2[/TEX]
3) [TEX]x^8+98x^4+1=(x^8+2x^4+1)+96x^4=(x^4+1)^2+64x^4+32x^4[/TEX]
[TEX]=(x^4+1)^2+(8x^2)^2+16x^2(x^4+1)-16x^2(x^4+1)+32x^4[/TEX]
[TEX]=(x^4+8x^2+1)^2-16x^2(x^2-1)^2=(x^4+8x^2+1-4x^3+4x)(x^4+8x^2+1+4x^3-4x)[/TEX]
4) [TEX]x^8+14x^4+1=(x^8+2x^4+1) + 12x^4=(x^4+1)^2+(2x^2)^2+4x^2(x^4+1)-4x^2(x^4+1)+8x^4[/TEX]
[TEX]=(x^4+2x^2+1)^2-4x^2(x^4-2x^2+1)=(x^4+2x^2+1-2x^3+2x)(x^4+2x^2+1+2x^3-2x)[/TEX]

 

[trydan]

5)[TEX]8(x+y+z)^3-(x+y)^3-(y+z)^3-(x+z)^3[/TEX]

Bài này phải tinh ý.
Ta có

Xem như

thì ta có

 

[trydan]

Típ
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
Bài 1:

Bài 2:

Bài 3:

Bài 4: