[Toán 8] Chuyên đề bất đẳng thức

Thảo luận trong 'Thảo luận chung' bắt đầu bởi vansang02121998, 28 Tháng tư 2012.

Lượt xem: 26,266

  1. Sở hữu bí kíp ĐỖ ĐẠI HỌC ít nhất 24đ - Đặt chỗ ngay!

    Đọc sách & cùng chia sẻ cảm nhận về sách số 2


    Chào bạn mới. Bạn hãy đăng nhập và hỗ trợ thành viên môn học bạn học tốt. Cộng đồng sẽ hỗ trợ bạn CHÂN THÀNH khi bạn cần trợ giúp. Đừng chỉ nghĩ cho riêng mình. Hãy cho đi để cuộc sống này ý nghĩa hơn bạn nhé. Yêu thương!

    I. Quy tắc

    1. Mỗi lần chỉ được đăng 2 bài, không hơn không kém

    2. Chỉ khi nào giải đúng cả 2 bài mới được post bài khác ( ai post cũng được )

    3. Không spam. Bài sai và bài spam xóa hết.

    4. Lưu ý đây không là event nên không có phần thưởng


    II. Kiến thức và kĩ năng cơ bản


    1. Các phương pháp cơ bản chứng minh bất đẳng thức

    a, Phương pháp biến đổi tương đương
    - Đưa về bình phương và tổng bình phương
    - Đưa về dạng tích để xét dấu
    - Đưa về tổng các số cùng dấu
    b, Phương pháp sử dụng bất đẳng thức
    c, Phương pháp phản chứng
    d, Phương pháp làm trội, Làm giảm


    2. Một số BĐT cơ bản cần nhớ

    a) [​IMG]

    Tổng quát

    [​IMG]

    Dấu "=" xảy ra khi

    [​IMG]

    b) [​IMG]

    Tổng quát

    [​IMG]

    Dấu "=" xảy ra khi

    [​IMG]

    [​IMG]

    Tổng quát

    [​IMG]



    Dấu "=" xảy ra khi

    [​IMG]

    [​IMG]

    Hệ quả

    [​IMG]

    Dấu "=" xảy ra khi [​IMG]

    [​IMG]

    [​IMG]

    Dấu "=" xảy ra khi [​IMG]

    Ngoài ra còn một số nữa các bạn tự tìm hiểu

    III. Một số bài tập

    Bài 1: Cho 3 số dương a; b; c. Chứng minh

    [​IMG]

    Bài 2: Chứng minh bất đẳng thức Cauchy cho 3 bộ ( áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 bộ )

    [​IMG]


    Mở hàng ngon cho các bạn đó nghe!!!
     
    Last edited by a moderator: 30 Tháng tư 2012
  2. minhtuyb

    minhtuyb Guest

    Mở hàng ^_^
    Bài 1: Áp dụng BĐT $\frac{16}{a+b+c+d}\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\ with\ a,b,c,d>0$, ta có:


    $\frac{1}{2x+y+z}=\frac{1}{x+x+y+z}\leq \frac{1}{16}(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}) \\ \frac{1}{x+2y+z}=\frac{1}{x+y+y+z}\leq \frac{1}{16}(\frac{2}{y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{z}) \\ \frac{1}{x+y+2z}=\frac{1}{x+y+z+z}\leq \frac{1}{16}(\frac{2}{z}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x})$

    Cộng vế với vế, ta có:
    $VT\leq \frac{1}{16}(\frac{2}{x}+$$\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+$$\frac{2}{y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{2}{z}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x})=1<Q.E.D>$
    Dấu bằng xảy ra khi: $\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\ \frac{1}{z}=4\\ x=y=z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=z=\frac{3}{4}$

    Bài 2:
    BĐT cần cm tương đương:
    $$a+b+c+\sqrt[3]{abc}\geq 4\sqrt[3]{abc}(1)$$
    Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số, ta có:
    $$VT(1)=(a+b)+(c+\sqrt[3]{abc})\geq 2\sqrt{ab}+2\sqrt{c\sqrt[3]{abc}}\geq 2\sqrt{2\sqrt{ab}.2\sqrt{c\sqrt[3]{abc}}}=4\sqrt[3]{abc}=VP(1)$$
    Vậy (1) đúng, suy ra ĐPCM
    Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$



     
    Last edited by a moderator: 28 Tháng tư 2012
  3. minhtuyb

    minhtuyb Guest

    Mấy cái BĐT 3 biến nhé :D

    Bài 3: Với các số thực không âm $a,b,c$, chứng minh các BĐT sau:
    $1/3(a^3+b^3+c^3) \geq (a^2+b^2+c^2)(a+b+c)\\ 2/ (a^2+b^2+c^2)(a+b+c)\geq \frac{1}{3}(a+b+c)^3\\ 3/(a+b+c)^3\geq \frac{27}{8}(a+b)(b+c)(c+a)\\ 4/(a+b)(b+c)(c+a)\geq \frac{8}{9}(ab+bc+ca)(a+b+c)$

    (Trích từ chu kì BĐT 3 biến ^_^:)
    Bài 4: Cm BĐT Cauchy với 4 số, 5 số, 6 số:
    $1/ a+b+c+d\geq 4\sqrt[4]{abcd}\\ 2/ a+b+c+d+e\geq 5\sqrt[5]{abcde}\\ 3/ a+b+c+d+e+f\geq 6\sqrt[6]{abcdef}$
    Với $a,b,c,d,e,f$ là các số thực không âm
     
    Last edited by a moderator: 28 Tháng tư 2012
  4. locxoaymgk

    locxoaymgk Guest

    Bài 3:
    Câu 3:
    Đặt [TEX]a+b=x,b+c=y,c+a=z.[/TEX]

    [TEX]BDT \Leftrightarrow (x+y+z)^3 \geq 27 abc[/TEX]

    Luôn đúng vì [TEX]x+y+z \geq 3\sqrt[3]{xyz}[/TEX]
    Câu 2:
    Ta có [TEX]a^2+b^2+c^2 \geq \frac{(a+b+c)^2}{3}[/TEX]

    [TEX]\Rightarrow (a^2+b^2+c^2)(a+b+c) \geq \frac{(a+b+c)^3}{3}.[/TEX]
    Câu 1:Theo Bunhia ta có:
    [TEX] (a^3+b^3+c^3)(a+b+c) \geq (a^2+b^2+c^2)^2\geq (a^2+b^2+c^2).\frac{(a+b+c)^2}{3}.[/TEX]
    [TEX]\Rightarrow a^3+b^3+c^3 \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)}{3}[/TEX]
    [TEX]\Rightarrow dpcm[/TEX].
    Bài 4:
    Theo AM-GM với 2 số ko âm ta có:
    [TEX]a+b+c+d \geq 2[\sqrt{ab}+\sqrt{cd}] \geq 4\sqrt[4]{abcd}[/TEX]
    Theo AM-GM với 3 số không âm ta có:
    [TEX] (a+b+c)+(d+e+f)\geq 3(\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{def}) \geq6\sqrt[6]{abcdef}[/TEX]
     
    Last edited by a moderator: 28 Tháng tư 2012
  5. minhtuyb

    minhtuyb Guest

    Các bạn cố gắng giải xong thì post thêm bài duy trì topic nhé :D
    Bài 5: Với các số thực dương $a,b,c,d$ và $a+b+c+d=1$, tìm GTNN của biêt thức:
    $$A=\frac{(a+b+c)(a+b)}{abcd}$$

    Bài 6: Cm BĐT Schur bậc 1:
    $$a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b)\geq 0$$
    Với $a,b,c$ là các số thực không âm
    , $r\geq 0$
    <CM càng nhiều cách càng tốt, đây là topic thảo luận mà ^_^>
     
    Last edited by a moderator: 1 Tháng năm 2012
  6. Ta có [tex]a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b)[/tex]

    Ta thấy vai trò của a; b; c là như nhau nên ta xét [tex] a \geq b \geq c \geq 0 [/tex]

    [tex]\Rightarrow a(a-b)(a-c) \geq 0 [/tex]

    [tex]& b(b-a)(b-c) \geq c(c-a)(b-c)=-c(c-a)(c-b) \Rightarrow b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b) \geq 0[/tex]

    [tex]\Rightarrow a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b) \geq 0 [/tex]

    Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
     
  7. daovuquang

    daovuquang Guest

    Nốt bài 5 nào:
    [TEX]A=\frac{(a+b+c)(a+b)}{abcd}\geq\frac{(a+b+c)(a+b)}{\frac{(a+b)^2}{4}cd}=\frac{4(a+b+c)}{(a+b)cd}\geq\frac{16}{(a+b+c)d}\geq\frac{64}{a+b+c+d}=64.[/TEX]
    [TEX]"="\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{8}; c=\frac{1}{4}; d=\frac{1}{2}.[/TEX]
     
  8. daovuquang

    daovuquang Guest

    Bài 7: Cho [TEX]a,b>0.[/TEX] CMR: [TEX]a, a^3+b^3\geq ab(a+b)[/TEX] [TEX]b, a^5+b^5\geq a^2b^2(a+b)[/TEX]
    Bài 8 (tổng quát): Cho [TEX]a,b>0[/TEX] và [TEX]m,n[/TEX] là số tự nhiên. CMR: [TEX]a^{m+n}+b^{m+n}\geq a^mb^n+a^nb^m.[/TEX]
     
  9. Hix !Mình chưa đọc kỹ nội quy.

    __________________
    Box toán 8 nhóm 5.
    Dù sao cũng thử tý bài 7 cho vui
    7.a) Xét hiệu:
    [TEX] a^3 + b^3 - ab(a +b) =(a + b)(a^2-ab+b^2) - ab(a + b) = (a + b)(a^2 - 2ab + b^2) = (a + b)(a - b)^2 \geq 0[/TEX] (1)
    (1) luôn đúng nên bất đẳng thức được chứng minh
     
    Last edited by a moderator: 30 Tháng tư 2012
  10. [tex]a) a^3+b^3 \geq ab(a+b)[/tex]

    [tex]\Leftrightarrow a^3+b^3-ab(a+b) \geq 0 [/tex]

    [tex]\Leftrightarrow (a+b)(a^2-ab+b^2)-ab(a+b) \geq 0 [/tex]

    [tex]\Leftrightarrow (a+b)(a^2-2ab+b^2) \geq 0 [/tex]

    [tex]\Leftrightarrow (a+b)(a-b)^2 \geq 0[/tex] ( luôn đúng [tex]\forall a;b > 0[/tex] )

    Dấu "=" xảy ra khi a=b

    [tex]b) a^5+b^5 \geq a^2b^2(a+b)[/tex]

    [tex]\Leftrightarrow a^5+b^5-a^2b^2(a+b) \geq 0[/tex]

    [tex]\Leftrightarrow (a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4)-a^2b^2(a+b) \geq 0[/tex]

    [tex]\Leftrightarrow (a+b)(a^4-a^3b-ab^3+b^4) \geq 0[/tex]

    [tex]\Leftrightarrow (a+b)[a^3(a-b)-b^3(a-b)] \geq 0[/tex]

    [tex]\Leftrightarrow (a+b)(a-b)(a^3-b^3) \geq 0[/tex]

    [tex]\Leftrightarrow (a+b)(a-b)^2(a^2+ab+b^2) \geq 0[/tex] ( luôn đúng với [tex]\forall a;b>0[/tex])

    Dấu "=" xảy ra khi a=b
     
  11. $a^{m+n}+b^{m+n} \geq a^mb^n+a^nb^m$

    $\Leftrightarrow a^ma^n+b^mb^n-a^mb^n-a^nb^m \geq 0$

    $\Leftrightarrow a^m(a^n-b^n)-b^m(a^n-b^n) \geq 0$

    $\Leftrightarrow (a^n-b^n)(a^m-b^m) \geq 0$

    $\Leftrightarrow (a-b)^2(a^{n-1}+a^{n-2}.b+a^{n-3}.b^2+...+a.b^{n-2}+b^{n-1})(a^{m-1}+a^{m-2}.b+a^{m-3}.b^2+...+a.b^{m-2}+b^{m-1}) \geq 0$ ( luôn đúng $\forall a;b >0$ )

    Dấu "=" xảy ra khi a=b
     
    Last edited by a moderator: 1 Tháng năm 2012
  12. Bài 9: Cho các số dương x; y; z; t thỏa mãn [​IMG]. Chứng minh

    [​IMG]

    Bài 10: Cho các số dương a; b; c. Chứng minh

    [​IMG]
     
  13. locxoaymgk

    locxoaymgk Guest

    Bài 9

    Đặt [TEX]\sqrt{x}=a,\sqrt{y}=b,\sqrt{z}=c,\sqrt{t}=d.[/TEX]

    [TEX]\Rightarrow a,b,c,d >0[/TEX].

    Ta có:

    [TEX]\frac{a}{b^2+1}=a-\frac{ab^2}{b^2+1}\geq a-\frac{ab}{2}.[/TEX]

    CM tương tự rồi cộng từng vế ta có:

    [TEX]\frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{d^2+1}+ \frac{d}{a^2+1} \geq (a+b+c+d)-\frac{ab+bc+cd+da}{2}.[/TEX]

    Mà [TEX](a+b+c+d)^2\geq 4(a+b)(c+d)=4(ab+bc+cd+da)[/TEX]

    [TEX]\Rightarrow VT \geq 4-\frac{(a+b+c)^2}{8}=4-2=2[/TEX]

    [TEX]= \Leftrightarrow a=b=c=d \Leftrightarrow x=y=z=t=1[/TEX]
     
    Last edited by a moderator: 1 Tháng năm 2012



  14. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm, ta có


    $\frac{a^2}{b}+4b \geq 2\sqrt{\frac{a^2}{b}.4b}=4a$

    $\frac{4b^2}{c}+9c \geq 2\sqrt{\frac{4b^2}{c}.9c}=12b$

    $\frac{9c^2}{a}+a \geq 2\sqrt{\frac{9c^2}{a}.a}=6c$

    Cộng vế với vế

    $\frac{a^2}{b}+\frac{4b^2}{c}+\frac{9c^2}{a}+4b+9c+a \geq 4a+12b+6c$

    $\Leftrightarrow \frac{a^2}{b}+\frac{4b^2}{c}+\frac{9c^2}{a} \geq 3a+8b-3c$
     
  15. Bài 11: Cho $x^2+y^2+z^2=1$. Chứng minh

    $\frac{x^3}{y+2z}+\frac{y^3}{z+2x}+\frac{z^3}{x+2y} \geq \frac{1}{3}$

    Bài 12: Cho $a+b+c=2$. Chứng minh

    $\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2} \geq 1$
     
  16. locxoaymgk

    locxoaymgk Guest

    Viết cái này khó nhìn quá!
    bài 11:
    Ta có:
    [TEX]\frac{x^3}{y+2z}+\frac{y^3}{z+2x}+\frac{z^3}{x+2y}=\frac{x^4}{xy+2xz}+\frac{y^4}{yz+2xy}+\frac{z^4}{xz+2yz}[/TEX]

    [TEX]VT \geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{3(xy+yz+zx)}\geq \frac{1}{3(x^2+y^2+x^2)}\geq 1/3.[/TEX]

    [TEX] =\Leftrightarrow x=y=z=1.[/TEX]
     
  17. Bài 12. Ui hình như nếu a, b, c > 0 thì mới làm được thế này:
    Ta có:[tex]\frac{a^3}{a^2+b^2}= a - \frac{ab^2}{a^2+b^2}[/tex]
    Mà [tex]a^2 + b^2 \geq 2ab => \frac{ab^2}{a^2+b^2}\leq \frac{ab^2}{2ab} = \frac{b}{2} => \frac{a^3}{a^2+b^2} = a- \frac{ab^2}{a^2+b^2} \geq a - \frac{b}{2} = \frac{2a- b}{2} (1) [/tex]
    Tương tự [tex]\frac{b^3}{b^2+c^2} \geq \frac{2b- c}{2} (2)[/tex] và [tex]\frac{c^3}{c^2+a^2} \geq \frac{2c- a}{2} (3)[/tex]
    Cộng từng vế (1) (2) và (3) ta có:
    [tex]\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2} \geq \frac{a+b+c}{2}= \frac{2}{2} = 1[/tex]
     
    Last edited by a moderator: 3 Tháng năm 2012
  18. Bài 13: Cho $a+b+c \leq 3$. Chứng minh

    $\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{2009}{ab+ac+bc} \geq 670$

    Bài 14: Cho $a+b+c=4$. Chứng minh

    $\frac{ab}{a+b+2c}+\frac{bc}{b+c+2a}+\frac{ca}{c+a+2b} \leq 1$
     
  19. daovuquang

    daovuquang Guest

    [TEX]13. \frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{2009}{ab+bc+ca}[/TEX]
    [TEX]=[\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{4}{2(ab+bc+ca)}]+\frac{2007}{ab+bc+ca}[/TEX]
    [TEX]\geq\frac{9}{(a+b+c)^2}+\frac{2007}{\frac{(a+b+c)^2}{3}}[/TEX]
    [TEX]\geq1+669=670.[/TEX]
    Dấu $"="$ xảy ra [TEX]\Leftrightarrow a=b=c=1.[/TEX]
    [TEX]14. \frac{ab}{a+b+2c}+\frac{bc}{b+c+2a}+\frac{ca}{c+a+2b}[/TEX]
    [TEX]\geq \frac{1}{4}(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{bc}{b+a}+\frac{bc}{c+a}+\frac{ca}{c+b}+\frac{ca}{a+b})[/TEX]
    [TEX]=\frac{1}{4}(a+b+c)[/TEX]
    [TEX]=1.[/TEX]
    Dấu [TEX]"="[/TEX] xảy ra [TEX]\Leftrightarrow a=b=c=\frac{4}{3}.[/TEX]
     
  20. munna123

    munna123 Guest

    Ở đây ai có đề toán chuyên 8 mô hông up lin vúi:(:(:(:(:(
     
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->