[Toán 8] Chuyên đề bất đẳng thức

[vansang02121998]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

I. Quy tắc

1. Mỗi lần chỉ được đăng 2 bài, không hơn không kém

2. Chỉ khi nào giải đúng cả 2 bài mới được post bài khác ( ai post cũng được )

3. Không spam. Bài sai và bài spam xóa hết.

4. Lưu ý đây không là event nên không có phần thưởng

II. Kiến thức và kĩ năng cơ bản

1. Các phương pháp cơ bản chứng minh bất đẳng thức

a, Phương pháp biến đổi tương đương
- Đưa về bình phương và tổng bình phương
- Đưa về dạng tích để xét dấu
- Đưa về tổng các số cùng dấu
b, Phương pháp sử dụng bất đẳng thức
c, Phương pháp phản chứng
d, Phương pháp làm trội, Làm giảm

2. Một số BĐT cơ bản cần nhớ

a)

Tổng quát

Dấu "=" xảy ra khi

b)

Tổng quát

Dấu "=" xảy ra khi

Tổng quát

Dấu "=" xảy ra khi

Hệ quả

Dấu "=" xảy ra khi

Dấu "=" xảy ra khi

Ngoài ra còn một số nữa các bạn tự tìm hiểu

III. Một số bài tập

Bài 1: Cho 3 số dương a; b; c. Chứng minh

Bài 2: Chứng minh bất đẳng thức Cauchy cho 3 bộ ( áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 bộ )

Mở hàng ngon cho các bạn đó nghe!!!

 

[minhtuyb]

Bài 1: Cho 3 số dương a; b; c. Chứng minh

Bài 2: Chứng minh bất đẳng thức Cauchy cho 3 bộ ( áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 bộ )

Mở hàng ngon cho các bạn đó nghe!!!

Mở hàng ^_^
Bài 1: Áp dụng BĐT $\frac{16}{a+b+c+d}\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\ with\ a,b,c,d>0$, ta có:

$\frac{1}{2x+y+z}=\frac{1}{x+x+y+z}\leq \frac{1}{16}(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}) \\ \frac{1}{x+2y+z}=\frac{1}{x+y+y+z}\leq \frac{1}{16}(\frac{2}{y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{z}) \\ \frac{1}{x+y+2z}=\frac{1}{x+y+z+z}\leq \frac{1}{16}(\frac{2}{z}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x})$

Cộng vế với vế, ta có:
$VT\leq \frac{1}{16}(\frac{2}{x}+$$\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+$$\frac{2}{y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{2}{z}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x})=1<Q.E.D>$
Dấu bằng xảy ra khi: $\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\ \frac{1}{z}=4\\ x=y=z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=z=\frac{3}{4}$

Bài 2:
BĐT cần cm tương đương:
$$a+b+c+\sqrt[3]{abc}\geq 4\sqrt[3]{abc}(1)$$
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số, ta có:
$$VT(1)=(a+b)+(c+\sqrt[3]{abc})\geq 2\sqrt{ab}+2\sqrt{c\sqrt[3]{abc}}\geq 2\sqrt{2\sqrt{ab}.2\sqrt{c\sqrt[3]{abc}}}=4\sqrt[3]{abc}=VP(1)$$
Vậy (1) đúng, suy ra ĐPCM
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$

 

[minhtuyb]

Mấy cái BĐT 3 biến nhé

Bài 3: Với các số thực không âm $a,b,c$, chứng minh các BĐT sau:
$1/3(a^3+b^3+c^3) \geq (a^2+b^2+c^2)(a+b+c)\\ 2/ (a^2+b^2+c^2)(a+b+c)\geq \frac{1}{3}(a+b+c)^3\\ 3/(a+b+c)^3\geq \frac{27}{8}(a+b)(b+c)(c+a)\\ 4/(a+b)(b+c)(c+a)\geq \frac{8}{9}(ab+bc+ca)(a+b+c)$

(Trích từ chu kì BĐT 3 biến ^_^

$\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}\geq \frac{\left ( a^{2}+b^{2} +c^{2}\right )\left ( a+b+c \right )}{3^{2}}\geq \frac{(a+b+c)^{3}}{3^{3}}\geq \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8}\geq \frac{(ab+bc+ca)(a+b+c)}{9}\geq \sqrt{\left ( \frac{ab+bc+ca}{3} \right )^{3}}\geq abc\geq \frac{3}{\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{c^{3}}}$

Bài 4: Cm BĐT Cauchy với 4 số, 5 số, 6 số:
$1/ a+b+c+d\geq 4\sqrt[4]{abcd}\\ 2/ a+b+c+d+e\geq 5\sqrt[5]{abcde}\\ 3/ a+b+c+d+e+f\geq 6\sqrt[6]{abcdef}$
Với $a,b,c,d,e,f$ là các số thực không âm

 

[locxoaymgk]

Mấy cái BĐT 3 biến nhé

Bài 3: Với các số thực không âm $a,b,c$, chứng minh các BĐT sau:
$1/3(a^3+b^3+c^3) \geq (a^2+b^2+c^2)(a+b+c)\\ 2/ (a^2+b^2+c^2)(a+b+c)\geq \frac{1}{3}(a+b+c)^3\\ 3/(a+b+c)^3\geq \frac{27}{8}(a+b)(b+c)(c+a)\\ 4/(a+b)(b+c)(c+a)\geq \frac{8}{9}(ab+bc+ca)(a+b+c)$

(Trích từ chu kì BĐT 3 biến ^_^


Bài 4: Cm BĐT Cauchy với 4 số, 5 số, 6 số:
$1/ a+b+c+d\geq 4\sqrt[4]{abcd}\\ 2/ a+b+c+d+e\geq 5\sqrt[5]{abcde}\\ 3/ a+b+c+d+e+f\geq 6\sqrt[6]{abcdef}$
Với $a,b,c,d,e,f$ là các số thực không âm

Bài 3:
Câu 3:
Đặt [TEX]a+b=x,b+c=y,c+a=z.[/TEX]

[TEX]BDT \Leftrightarrow (x+y+z)^3 \geq 27 abc[/TEX]

Luôn đúng vì [TEX]x+y+z \geq 3\sqrt[3]{xyz}[/TEX]
Câu 2:
Ta có [TEX]a^2+b^2+c^2 \geq \frac{(a+b+c)^2}{3}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow (a^2+b^2+c^2)(a+b+c) \geq \frac{(a+b+c)^3}{3}.[/TEX]
Câu 1:Theo Bunhia ta có:
[TEX] (a^3+b^3+c^3)(a+b+c) \geq (a^2+b^2+c^2)^2\geq (a^2+b^2+c^2).\frac{(a+b+c)^2}{3}.[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a^3+b^3+c^3 \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)}{3}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow dpcm[/TEX].
Bài 4:
Theo AM-GM với 2 số ko âm ta có:
[TEX]a+b+c+d \geq 2[\sqrt{ab}+\sqrt{cd}] \geq 4\sqrt[4]{abcd}[/TEX]
Theo AM-GM với 3 số không âm ta có:
[TEX] (a+b+c)+(d+e+f)\geq 3(\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{def}) \geq6\sqrt[6]{abcdef}[/TEX]

 

[minhtuyb]

Các bạn cố gắng giải xong thì post thêm bài duy trì topic nhé
Bài 5: Với các số thực dương $a,b,c,d$ và $a+b+c+d=1$, tìm GTNN của biêt thức:
$$A=\frac{(a+b+c)(a+b)}{abcd}$$

Bài 6: Cm BĐT Schur bậc 1:
$$a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b)\geq 0$$
Với $a,b,c$ là các số thực không âm, $r\geq 0$
<CM càng nhiều cách càng tốt, đây là topic thảo luận mà ^_^>

 

[vansang02121998]

Ta có [tex]a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b)[/tex]

Ta thấy vai trò của a; b; c là như nhau nên ta xét [tex] a \geq b \geq c \geq 0 [/tex]

[tex]\Rightarrow a(a-b)(a-c) \geq 0 [/tex]

[tex]& b(b-a)(b-c) \geq c(c-a)(b-c)=-c(c-a)(c-b) \Rightarrow b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b) \geq 0[/tex]

[tex]\Rightarrow a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b) \geq 0 [/tex]

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c

 

[daovuquang]

Nốt bài 5 nào:
[TEX]A=\frac{(a+b+c)(a+b)}{abcd}\geq\frac{(a+b+c)(a+b)}{\frac{(a+b)^2}{4}cd}=\frac{4(a+b+c)}{(a+b)cd}\geq\frac{16}{(a+b+c)d}\geq\frac{64}{a+b+c+d}=64.[/TEX]
[TEX]"="\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{8}; c=\frac{1}{4}; d=\frac{1}{2}.[/TEX]

 

[daovuquang]

Bài 7: Cho [TEX]a,b>0.[/TEX] CMR: [TEX]a, a^3+b^3\geq ab(a+b)[/TEX] [TEX]b, a^5+b^5\geq a^2b^2(a+b)[/TEX]
Bài 8 (tổng quát): Cho [TEX]a,b>0[/TEX] và [TEX]m,n[/TEX] là số tự nhiên. CMR: [TEX]a^{m+n}+b^{m+n}\geq a^mb^n+a^nb^m.[/TEX]

 

[buithinhvan77]

Hix !Mình chưa đọc kỹ nội quy.

__________________
Box toán 8 nhóm 5.

Xem lại nội quy trước khi post. Mod vansang vào đây del bài nào.
P/S: bao h mới được làm mod đây?[/TEX]

Dù sao cũng thử tý bài 7 cho vui
7.a) Xét hiệu:
[TEX] a^3 + b^3 - ab(a +b) =(a + b)(a^2-ab+b^2) - ab(a + b) = (a + b)(a^2 - 2ab + b^2) = (a + b)(a - b)^2 \geq 0[/TEX] (1)
(1) luôn đúng nên bất đẳng thức được chứng minh

 

[vansang02121998]

[tex]a) a^3+b^3 \geq ab(a+b)[/tex]

[tex]\Leftrightarrow a^3+b^3-ab(a+b) \geq 0 [/tex]

[tex]\Leftrightarrow (a+b)(a^2-ab+b^2)-ab(a+b) \geq 0 [/tex]

[tex]\Leftrightarrow (a+b)(a^2-2ab+b^2) \geq 0 [/tex]

[tex]\Leftrightarrow (a+b)(a-b)^2 \geq 0[/tex] ( luôn đúng [tex]\forall a;b > 0[/tex] )

Dấu "=" xảy ra khi a=b

[tex]b) a^5+b^5 \geq a^2b^2(a+b)[/tex]

[tex]\Leftrightarrow a^5+b^5-a^2b^2(a+b) \geq 0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow (a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4)-a^2b^2(a+b) \geq 0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow (a+b)(a^4-a^3b-ab^3+b^4) \geq 0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow (a+b)[a^3(a-b)-b^3(a-b)] \geq 0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow (a+b)(a-b)(a^3-b^3) \geq 0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow (a+b)(a-b)^2(a^2+ab+b^2) \geq 0[/tex] ( luôn đúng với [tex]\forall a;b>0[/tex])

Dấu "=" xảy ra khi a=b

 

[vansang02121998]

$a^{m+n}+b^{m+n} \geq a^mb^n+a^nb^m$

$\Leftrightarrow a^ma^n+b^mb^n-a^mb^n-a^nb^m \geq 0$

$\Leftrightarrow a^m(a^n-b^n)-b^m(a^n-b^n) \geq 0$

$\Leftrightarrow (a^n-b^n)(a^m-b^m) \geq 0$

$\Leftrightarrow (a-b)^2(a^{n-1}+a^{n-2}.b+a^{n-3}.b^2+...+a.b^{n-2}+b^{n-1})(a^{m-1}+a^{m-2}.b+a^{m-3}.b^2+...+a.b^{m-2}+b^{m-1}) \geq 0$ ( luôn đúng $\forall a;b >0$ )

Dấu "=" xảy ra khi a=b

 

[vansang02121998]

Bài 9: Cho các số dương x; y; z; t thỏa mãn

. Chứng minh

Bài 10: Cho các số dương a; b; c. Chứng minh

 

[locxoaymgk]

Bài 9: Cho các số dương x; y; z; t thỏa mãn

. Chứng minh

Bài 10: Cho các số dương a; b; c. Chứng minh

Bài 9

Đặt [TEX]\sqrt{x}=a,\sqrt{y}=b,\sqrt{z}=c,\sqrt{t}=d.[/TEX]

[TEX]\Rightarrow a,b,c,d >0[/TEX].

Ta có:

[TEX]\frac{a}{b^2+1}=a-\frac{ab^2}{b^2+1}\geq a-\frac{ab}{2}.[/TEX]

CM tương tự rồi cộng từng vế ta có:

[TEX]\frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{d^2+1}+ \frac{d}{a^2+1} \geq (a+b+c+d)-\frac{ab+bc+cd+da}{2}.[/TEX]

Mà [TEX](a+b+c+d)^2\geq 4(a+b)(c+d)=4(ab+bc+cd+da)[/TEX]

[TEX]\Rightarrow VT \geq 4-\frac{(a+b+c)^2}{8}=4-2=2[/TEX]

[TEX]= \Leftrightarrow a=b=c=d \Leftrightarrow x=y=z=t=1[/TEX]

 

[vansang02121998]

Bài 10: Cho các số dương a; b; c. Chứng minh

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm, ta có

$\frac{a^2}{b}+4b \geq 2\sqrt{\frac{a^2}{b}.4b}=4a$

$\frac{4b^2}{c}+9c \geq 2\sqrt{\frac{4b^2}{c}.9c}=12b$

$\frac{9c^2}{a}+a \geq 2\sqrt{\frac{9c^2}{a}.a}=6c$

Cộng vế với vế

$\frac{a^2}{b}+\frac{4b^2}{c}+\frac{9c^2}{a}+4b+9c+a \geq 4a+12b+6c$

$\Leftrightarrow \frac{a^2}{b}+\frac{4b^2}{c}+\frac{9c^2}{a} \geq 3a+8b-3c$

 

[vansang02121998]

Bài 11: Cho $x^2+y^2+z^2=1$. Chứng minh

$\frac{x^3}{y+2z}+\frac{y^3}{z+2x}+\frac{z^3}{x+2y} \geq \frac{1}{3}$

Bài 12: Cho $a+b+c=2$. Chứng minh

$\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2} \geq 1$

 

[locxoaymgk]

Bài 11: Cho $x^2+y^2+z^2=1$. Chứng minh

$\frac{x^3}{y+2z}+\frac{y^3}{z+2x}+\frac{z^3}{x+2y} \geq \frac{1}{3}$

Bài 12: Cho $a+b+c=2$. Chứng minh

$\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2} \geq 1$

Viết cái này khó nhìn quá!
bài 11:
Ta có:
[TEX]\frac{x^3}{y+2z}+\frac{y^3}{z+2x}+\frac{z^3}{x+2y}=\frac{x^4}{xy+2xz}+\frac{y^4}{yz+2xy}+\frac{z^4}{xz+2yz}[/TEX]

[TEX]VT \geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{3(xy+yz+zx)}\geq \frac{1}{3(x^2+y^2+x^2)}\geq 1/3.[/TEX]

[TEX] =\Leftrightarrow x=y=z=1.[/TEX]

 

[buithinhvan77]

Bài 11: Cho $x^2+y^2+z^2=1$. Chứng minh

$\frac{x^3}{y+2z}+\frac{y^3}{z+2x}+\frac{z^3}{x+2y} \geq \frac{1}{3}$

Bài 12: Cho $a+b+c=2$. Chứng minh

$\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2} \geq 1$

Bài 12. Ui hình như nếu a, b, c > 0 thì mới làm được thế này:
Ta có:[tex]\frac{a^3}{a^2+b^2}= a - \frac{ab^2}{a^2+b^2}[/tex]
Mà [tex]a^2 + b^2 \geq 2ab => \frac{ab^2}{a^2+b^2}\leq \frac{ab^2}{2ab} = \frac{b}{2} => \frac{a^3}{a^2+b^2} = a- \frac{ab^2}{a^2+b^2} \geq a - \frac{b}{2} = \frac{2a- b}{2} (1) [/tex]
Tương tự [tex]\frac{b^3}{b^2+c^2} \geq \frac{2b- c}{2} (2)[/tex] và [tex]\frac{c^3}{c^2+a^2} \geq \frac{2c- a}{2} (3)[/tex]
Cộng từng vế (1) (2) và (3) ta có:
[tex]\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2} \geq \frac{a+b+c}{2}= \frac{2}{2} = 1[/tex]

 

[vansang02121998]

Bài 13: Cho $a+b+c \leq 3$. Chứng minh

$\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{2009}{ab+ac+bc} \geq 670$

Bài 14: Cho $a+b+c=4$. Chứng minh

$\frac{ab}{a+b+2c}+\frac{bc}{b+c+2a}+\frac{ca}{c+a+2b} \leq 1$

 

[daovuquang]

[TEX]13. \frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{2009}{ab+bc+ca}[/TEX]
[TEX]=[\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{4}{2(ab+bc+ca)}]+\frac{2007}{ab+bc+ca}[/TEX]
[TEX]\geq\frac{9}{(a+b+c)^2}+\frac{2007}{\frac{(a+b+c)^2}{3}}[/TEX]
[TEX]\geq1+669=670.[/TEX]
Dấu $"="$ xảy ra [TEX]\Leftrightarrow a=b=c=1.[/TEX]
[TEX]14. \frac{ab}{a+b+2c}+\frac{bc}{b+c+2a}+\frac{ca}{c+a+2b}[/TEX]
[TEX]\geq \frac{1}{4}(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{bc}{b+a}+\frac{bc}{c+a}+\frac{ca}{c+b}+\frac{ca}{a+b})[/TEX]
[TEX]=\frac{1}{4}(a+b+c)[/TEX]
[TEX]=1.[/TEX]
Dấu [TEX]"="[/TEX] xảy ra [TEX]\Leftrightarrow a=b=c=\frac{4}{3}.[/TEX]

 

[munna123]

Ở đây ai có đề toán chuyên 8 mô hông up lin vúi