[Toán 8] Chuyên đề bất đẳng thức

[son9701]

Bài 13: Cho $a+b+c \leq 3$. Chứng minh

$\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{2009}{ab+ac+bc} \geq 670$

Bài 14: Cho $a+b+c=4$. Chứng minh

$\frac{ab}{a+b+2c}+\frac{bc}{b+c+2a}+\frac{ca}{c+a+2b} \leq 1$

Chém bài 14: bổ sung điều kiện a;b;c dương
Áp dụng bất đẳng thức [TEX]\frac{4}{x+y} \leq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}[/TEX]

Ta có:
[TEX]\frac{ab}{a+b+2c} \leq \frac{ab}{4(a+c)}+\frac{ab}{4(b+c)}[/TEX]
Tg tự ta có 2 bđt tg tự để cộng vào theo vế:
[TEX]\Leftrightarrow VT \leq \frac{ab+bc}{4(a+c)}+\frac{bc+ca}{4(a+b)}+\frac{ab+ac}{4(b+c)}=\frac{a+b+c}{4}=1[/TEX](làm tắt chút)

Bài này muốn hiểm hơn thì các chú cô-sy cái ở mẫu rồi được cái ms:

[TEX]\frac{ab}{\sqrt{ab}+c}+\frac{bc}{\sqrt{bc}+a}+ \frac{ca}{\sqrt{ca}+b} \leq 2[/TEX]

 

[vansang02121998]

Bài 15: Cho $a;b>0$. Chứng minh

$\sqrt{x+2y}+\sqrt{2x+y} \leq 2 with x+y=\frac{2}{3}$

Bài 16: Cho $a;b;c<0$. Chứng minh

$\frac{a^3}{a+b}+\frac{b^3}{b+c}+\frac{c^3}{c+a} \geq 1 with a^2+b^2+c^2=2$

 

[son9701]

Bài 15: Cho $a;b>0$. Chứng minh

$\sqrt{x+2y}+\sqrt{2x+y} \leq 2 with x+y=\frac{2}{3}$

Bài 16: Cho $a;b;c<0$. Chứng minh

$\frac{a^3}{a+b}+\frac{b^3}{b+c}+\frac{c^3}{c+a} \geq 1 with a^2+b^2+c^2=2$

Anh chém bài 16 nhá :
Áp dụng cauchy-schwardz :

[TEX]\frac{a^4}{a^2+ab}+\frac{b^4}{b^2+bc}+\frac{c^4}{c^2+ac} \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca} \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(a^2+b^2+c^2}=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}=1[/TEX]

------------------------------------
Bài 15:Áp dụng bunhia:

[tex](\sqrt{x+2y}+\sqrt{y+2x})^2 \leq 2(x+2y+y+2x) = 2.3(x+y)=4[/tex]
Rõ ràng cả 2 vế đều dương nên ta được quyền khai căn:

[tex]\sqrt{x+2y}+\sqrt{y+2x} \leq 2[/tex]

Xong

 

[son9701]

Anh post 1 bài khá hay mà nhóc trường anh đố anh ) :

Bài 17 : Cho a;b;c thực thỏa mãn : [tex](a+c)(a+b+c) < 0[/tex] . Chứng minh :

[tex](b-c)^2 > 4a(a+b+c)[/tex]

P/s: 1 bài khá hay đã

 

[vansang02121998]

$+; (a+c)(a+b+c) < 0$

$\Leftrightarrow a+c=-a-b-c (a;b;c \neq 0)$

$\Leftrightarrow a=\frac{-b-2c}{2}$

$+; (b-c)^2 > 4a(a+b+c)$

$\Leftrightarrow b^2-2bc+c^2 > (-b-2c)(-b-2c+2b+2c)$

$\Leftrightarrow b^2-2bc+c^2 > -b^2-2bc$

$\Leftrightarrow 2b^2+c^2>0$ ( luôn đúng với $b;c \neq 0$ )

Vậy, ...

P/s: luật là mỗi lần ra 2 bài cơ mà, lần sau phải post 3 bài đấy

.....: viết truyện sao mà hay thế

 

[son9701]

Nào thì 3 bài :

Bài 17 chú vansang giải sai rồi nhé,thôi để anh post lại:
Cho $(a+c)(a+b+c) < 0$.Chứng minh rằng
$(b-c)^2$ \geq $4a(a+b+c)$

Bài 18: Cho a;b;c;d > 0.Chứng minh :

[TEX]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b} \geq 2[/TEX]

(bất đẳng thức nesbitt 4 số :d )

Bài 19 :CMR:
[tex]\frac{1}{x^2+y+1}+\frac{1}{y^2+z+1}+\frac{1}{z^2+x+1} \leq 1[/tex]

Với x;y;z dương thoả mãn : [TEX]x+y+z+3 \leq 2(xy+yz+zx)[/TEX] ( Giả thiết này chú nào thích thì sào nấu sang cái khác tương đương nhìn cho chất)

Bài 20 : Cho a;b;c dương,chứng minh rằng :
[TEX]\frac{3}{ab+bc+ca} + 1 \geq \frac{6}{a+b+c}[/TEX]

 

[vansang02121998]

Bài 18:

Đặt

$A=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}$

$B=\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a}+\frac{a}{a+b}$

$C=\frac{c}{b+c}+\frac{d}{c+d}+\frac{a}{d+a}+\frac{b}{a+b}$

Ta có

$B+C=\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+d}{c+d}+\frac{d+a}{d+a}+\frac{a+b}{a+b}$

$B+C=1+1+1+1=4$

và

$A+B=\frac{a+b}{b+c}++\frac{b+c}{c+d}+\frac{c+d}{d+a}+\frac{d+a}{a+b}$

$A+B \geq 4\sqrt[4]{\frac{(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)}{(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)}$

$A+B \geq 4\sqrt[4]{1}=4$

và

$A+C=\frac{a+c}{b+c}+\frac{b+d}{c+d}+\frac{c+a}{d+a}+\frac{d+b}{a+b}$

$A+C=(a+c)(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a})+(b+d)(\frac{1}{c+d}{a+b})$

$A+C \geq (a+c).\frac{4}{a+b+c+d}+(b+d).\frac{4}{a+b+c+d}$

$A+C \geq \frac{4(a+b+c+d)}{a+b+c+d}$

$A+C \geq 4$

$\Rightarrow A+B+A+C \geq 4+4=8$

$\Leftrightarrow 2A+B+C \geq 8$

$\Leftrightarrow 2A \geq 4$

$\Leftrightarrow A \geq 2$

Tạm thế đã, online n` quá bị bố mắng nè hu hu

 

[son9701]

Pic ế quá các chú.Thôi,anh nêu 1 hai gợi ý cho pic sôi nổi chút :d :
Bài 17 : Đặt a+b=x;b+c=y;c+a=z thì bài toán đc chuyển về ...............
Bài 19 : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki
Bài 20: Áp dụng bất đẳng thức $(a+b+c)^2$ \geq $3(ab+bc+ca)$

 

[vansang02121998]

Ta có

$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \geq 0 \forall a;b;c$

$\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2 \geq 0$

$\Leftrightarrow 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc \geq 0$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc \geq 0$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc \geq 3ab+3ac+3bc$

$\Leftrightarrow (a+b+c)^2 \geq 3(ab+ac+bc)$

Áp dụng

$\frac{3}{ab+ac+bc}=\frac{9}{3(ab+ac+bc)} \geq \frac{9}{(a+b+c)^2}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số, ta có

$\frac{9}{(a+b+c)^2}+1 \geq 2\sqrt{\frac{9}{(a+b+c)^2}.1} = 2.\frac{3}{a+b+c}= \frac{6}{a+b+c}$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

 

[braga]

\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b} \geq 2[/TEX]

(bất đẳng thức nesbitt 4 số :d )

Cách 2: Điều cần chứng minh [TEX]\Leftrightarrow \frac{{{a^2}}}{{ab + ac}} + \frac{{{b^2}}}{{bc + bd}} + \frac{{{c^2}}}{{cd + ac}} + \frac{{{d^2}}}{{ad + bd}} \ge 2[/TEX]

Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu:

[TEX]\frac{{{a^2}}}{{ab + ac}} + \frac{{{b^2}}}{{bc + bd}} + \frac{{{c^2}}}{{cd + ac}} + \frac{{{d^2}}}{{ad + bd}} \ge \frac{{{{(a + b + c + d)}^2}}}{{2(ab + bc + cd + da)}} \ge 2[/TEX]

Thật vậy: [TEX]{\left( {a + b + c + d} \right)^2} \ge 4\left( {ab + bc + cd + da} \right)[/TEX] luôn đúng.

Dấu bằng xảy ra khi [TEX]a=b=c=d[/TEX]

Cách 3: [TEX]VT=\left (\frac{a}{b+c}+\frac{c}{a+d} \right )+\left ( \frac{b}{d+c} +\frac{d}{a+b}\right )[/TEX]

[TEX]=\frac{d(d+a)+c(b+c)}{(b+c)(d+a)}+\frac{b(a+b)+d(c+d)}{(a+b)(c+d)}[/TEX]

Áp dụng BĐT [TEX]\frac{1}{xy}\geq \frac{4}{(x+y)^2}[/TEX] Ta được:

[TEX]VT\geq \frac{a^2+ad+bc+c^2}{(a+b+c+d)^2}+4.\frac{b^2+ad+cd+d^2}{(a+b+c+d)^2}[/TEX]

[TEX]\geq 2.\frac{(a+b+c+d)^2+(a-c)^2+(b-d)^2}{(a+b+c+d)^2}\geq 2[/TEX]

 

[full_house2104]

Các bạn làm giùm minh bai nay nha, THanks nhju

Tim min,max cua ham so tren tap xac dinh cua no:
a) y=[TEX]\sqrt{x-2}+ 2\sqrt{6-x}[/TEX]
b) y=5[TEX]\sqrt{x+1}+ 3\sqrt{6-x}[/TEX]