[Toán 12] Phương trình, hệ phương trình LOGARIT

[tuyn]

Bài 27 : [TEX]log_{2008}\frac{4x^2+2}{x^6+x^2+1}=x^6-3x^2-1[/TEX]

TXĐ=R
[TEX]PT log_{2008}(4x^2+2)-log_{2008}(x^6+x^2+1)=(x^6+x^2+1)-(4x^2+2)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow log_{2008}(4x^2+2)+(4x^2+2)=log_{2008}(x^6+x^2+1)+(x^6+x^2+1)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow g(4x^2+2)=g(x^6+x^2+1)[/TEX]
Với [TEX]g(t)=log_{2008}t+t,t > 0[/TEX]
[TEX]g'(t)=\frac{1}{tln2008}+1 > 0 \forall t > 0[/TEX]
\Rightarrow Hàm số đồng biến trên (0;+\infty)
[TEX]\Rightarrow PT \Leftrightarrow 4x^2+2=x^6+x^2+1 \Leftrightarrow x^6-3x^2-1=0[/TEX]
Đặt [TEX]2y=x^2 \geq 0 \Rightarrow 8y^3-6y=1 \Leftrightarrow 4y^3-3y=\frac{1}{2}[/TEX]
Dễ thấy y \geq 1 \Rightarrow PTVN \Rightarrow 0 \leq y \leq 1
Đặt [TEX]y=cost,t \in [-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}] \Rightarrow 4cos^3t-3cost=\frac{1}{2}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow cos3t=\frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[\begin{t=\frac{\pi}{9}+\frac{k2\pi}{3}}\\{t=\frac{-\pi}{9}+\frac{\k2\pi}{3}}[/TEX]
[TEX]t \in [-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}] \Rightarrow t=\frac{\pi}{9},t=-\frac{\pi}{9},t=\frac{5\pi}{9}[/TEX]
Từ đó suy ra x

 

[duynhan1]

Tiếp !

Bài 26 : [TEX]2^{2}^{x}+3^{2}^{x}=2^{x}+3^{x+1}+x+1[/TEX]

[TEX]2^2^x +3^2^x + 2^x = 2^{x+1} + 3^{x+1} + x+ 1 (1) [/TEX]
Xét hàm [TEX]f(t) = 2^t + 3^t + t [/TEX]
[TEX]f'(t) = 2^t ln 2 + 3^t ln 3 + 1 >0 \forall t \in R[/TEX]
suy ra f(t) đồng biến trên R.
[TEX](1) \Leftrightarrow f( 2^x) = f(x+1) \\ \Leftrightarrow 2^x = x+ 1 \\ \Leftrightarrow 2^x - x - 1 = 0 [/TEX]
Xét hàm số :
[TEX]g(x) = 2^x - x - 1 [/TEX]
[TEX]g'(x) = 2^x ln 2 - 1 \\ g''(x) = 2^x ln^2 2>0 \forall x \in R[/TEX]
Do đó g'(x) = 0 có nhiều nhất 1 nghiệm
Suy ra g(x) = 0 có nhiều nhất 2 nghiệm.
Nhận thấy x=0, 1 là 2 nghiệm

Bài 27 : [TEX]log_{2008}\frac{4x^2+2}{x^6+x^2+1}=x^6-3x^2-1[/TEX]

[TEX]\log_{2008} (4x^2 + 2) + 4x^2 + 2 = \log_{2008} ( x^6 + x^2 + 1) + x^6 + x^2 + 1 \ (1) [/TEX]
Dễ thấy [TEX]f(t) = log_{2008} t + t [/TEX] đồng biến trên R nên ta có:
[TEX](1) \Leftrightarrow 4x^2 + 2 = x^6 + x^2 + 1 \\ x^6 - 3x^2 = 1 [/TEX]
Đặt [TEX]x^2 = 2t [/TEX]:
[TEX]4 t^3 - 3t = \frac12 [/TEX]
Nhận thấy : [TEX]cos{ \frac{\pi}{9} },\ cos{ \frac{5\pi}{9} },\ cos{ \frac{7\pi}{9} }[/TEX] mà phương trình bậc 3 không có quá 3 nghiệm nên ...

 

[daculla123]

Bài 28hương trình mũ logarit
[TEX]{2log_{3}(cotx)}={log_{2}(cosx)}[/TEX]

 

[tuyn]

Bài 28hương trình mũ logarit
[TEX]{2log_{3}(cotx)}={log_{2}(cosx)}[/TEX]

DK: cotx,cosx >0
[TEX]t=2log_3cotx=log_2cosx \Rightarrow cot^2x=3^t,cosx=2^t[/TEX]
[TEX]cot^2x=3^t \Leftrightarrow 4^t=3^t(1-4^t) \Leftrightarrow (\frac{4}{3})^t+4^t=1[/TEX]
VT là hàm số nghịch biến \Rightarrow PT có nghiệm duy nhất t=-1
[TEX]\Rightarrow cosx=\frac{1}{2} \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{3}+k2\pi}[/TEX]

 

[xlovemathx]

Bài 29 : [TEX](e^x - e).\sqrt{x^3-3x^2+2} \geq 0[/TEX]

Bài 30 : [TEX]log_{7}x > log_{3}(2+\sqrt{x})[/TEX]

 

[tuyn]

Bài 29 : [TEX](e^x - e).\sqrt{x^3-3x^2+2} \geq 0[/TEX]

ĐK: [TEX]x^3-3x^2+2 \geq 0 \Leftrightarrow x \in [1-\sqrt{3};1]\bigcup_{}^{}[1+\sqrt{3};+\infty)[/TEX]
[TEX]BPT \Leftrightarrow \left{\begin{x^3-3x^2+2=0}\\{e^x-e \geq 0} \Leftrightarrow x \in [1;+\infty)\bigcup_{}^{}{1-\sqrt{3}}[/TEX]
Vậy tập nghiệm của BPT:
[TEX]S={1;1-\sqrt{3}}\bigcup_{}^{}[1+\sqrt{3};+\infty)[/TEX]
​

Bài 30 : [TEX]log_{7}x > log_{3}(2+\sqrt{x})[/TEX]

ĐK: x > 0
Đặt [TEX]t=log_7x > log_3(2+\sqrt{x}) \Rightarrow x=7^t,2+\sqrt{x} < 3^t[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 2+(\sqrt{7})^t < 3^t \Leftrightarrow f(t)=\frac{2}{3^t}+(\frac{\sqrt{7}}{3})^t < 1[/TEX]
VT là hàm số nghịch biến
[TEX]BPT \Leftrightarrow f(t) < f(2) \Leftrightarrow t > 2 \Leftrightarrow x > 49[/TEX]
Vậy: x > 49

 

[lucifer_bg93]

BÀI 31:
{log_{2}(x-\sqrt{x^2 -1})}.log_{3}(x+\sqrt{x^2 -1}) = log_{6}|x-\sqrt{x^2 -1}|

 

[xlovemathx]

Bài 32 : [TEX]|1+log_{x}2000|<2[/TEX]

Bài 33 : Cho phương trình : [TEX]log_{3}^2x+\sqrt{log_{3}^2x+1}-2m-1=0[/TEX]
a. Giải pt với [TEX]m=2[/TEX]
b. Tìm m để pt có ít nhất 1 nghiệm thuộc [TEX][1;3^{\sqrt{3}}][/TEX]

 

[destinyx4]

Bài 34:Cho bất phương trình
[TEX]{log_{2}\sqrt{x^2-2x+m}+{4\sqrt{{log_{4}(x^2-2x+m)}}\leq 5[/TEX]
Tìm m=? bpt có nghiệm x thuộc [0;2]

 

[tuyn]

BÀI 31:
[TEX]log_{2}(x-\sqrt{x^2 -1}).log_3(x+\sqrt{x^2 -1}) = log_6|x-\sqrt{x^2 -1}|[/TEX]

ĐK: x \geq 1
Đặt [TEX]t=x+\sqrt{x^2-1} > 0 \Rightarrow x-\sqrt{x^2-1}=\frac{1}{t} > 0[/TEX]
[TEX]PT \Leftrightarrow log_2t.log_3t=log_6t=log_62.log_2t[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow log_2t=0,hoac:log_3t=log_62 \Leftrightarrow t=1,hoac:t=3^{log_62}[/TEX]
Từ đó thay vào tìm x

 

[nerversaynever]

Bài 32 : [TEX]|1+log_{x}2000|<2[/TEX]

Bài 33 : Cho phương trình : [TEX]log_{3}^2x+\sqrt{log_{3}^2x+1}-2m-1=0[/TEX]
a. Giải pt với [TEX]m=2[/TEX]
b. Tìm m để pt có ít nhất 1 nghiệm thuộc [TEX][1;3^{\sqrt{3}}][/TEX]

32
[TEX]x > 0;x \ne 1[/TEX]
[TEX]\begin{array}{l}bpt \Leftrightarrow - 3 < {\log _x}2000 < 1 \Leftrightarrow - 3 < \frac{1}{{{{\log }_{2000}}x}} < 1\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{x - \frac{1}{{\sqrt[3]{{2000}}}}}}{{x - 1}} > 0\\\frac{{x - 2000}}{{x - 1}} > 0\\x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2000\\0 < x < \frac{1}{{\sqrt[3]{{2000}}}}\end{array} \right.\end{array}[/TEX]
p/s
bpt [TEX]{\log _a}x - b > 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {a - 1} \right)\left( {x - {a^b}} \right) > 0\\0 < a \ne 1\\x > 0\end{array} \right.\][/TEX]

33.
[TEX]\sqrt {1 + \log _3^2x} = t = > t \in \left[ {1; + \infty } \right)[/TEX] và mỗi t thuộc đoạn này hiển nhiên có nghiệm x thuộc đoạn yêu cầu
[TEX]x \in \left[ {1;{3^{\sqrt 3 }}} \right] = > t \in \left[ {1;2} \right][/TEX] do đó cần tìm m để pt [TEX]{t^2} + t - 2 = 2m[/TEX] có nghiệm thuộc [TEX]\left[ {1;2} \right][/TEX]
lập bảng biến thiên suy ra [TEX]0 \le m \le 2[/TEX]

 

[canhcutndk16a.]

Bài 34:
[TEX](3+2\sqrt{x})^x=(\sqrt{2}-1)^x+3[/TEX]

. .

 

[duynhan1]

1 bài khá hay:
[tex] (1+ cos x )( 2 + 4^{cosx} ) = 3.4^{cosx} [/tex]

. .

 

[xlovemathx]

1 bài khá hay:
[tex] (1+ cos x )( 2 + 4^{cosx} ) = 3.4^{cosx} [/tex]

. .

Đặt [TEX]cosx=y (-1 \leq y \leq 1)[/TEX]

PT đã cho [TEX]\Leftrightarrow (1+y)(2+4^y)=3.4^y[/TEX]

Đặt [TEX]f(y)=\frac{3.4^y}{2+4^y}-y-1 \Rightarrow f'(y)=\frac{6.4^y.ln4}{(2+4^y)^2} -1[/TEX]

Ta có : [TEX]f'(y)=0 \Leftrightarrow 16.ln4.4^y=(2+4^y)^2 [/TEX]

Dễ thấy đây là pt bậc 2 theo [TEX]4^y[/TEX] nên có không quá 2 nghiệm . Vậy theo định lí Lagrange thì pt [TEX]f(y)=0[/TEX] có không quá 3 nghiệm .

Thử trực tiếp ta được : [TEX]y=0 ;y=\frac{1}{2} ;y=1[/TEX] là 3 nghiệm của pt [TEX]f(y)=0[/TEX]

Suy ra pt đã cho có nghiệm : [TEX]x=k2\pi ; x=\frac{\pi}{2}+k\pi ; x=\frac{\pm 2\pi}{3}+k2\pi[/TEX]

 

[nhocngo976]

Bài 35: Giải pt

[TEX]\huge log_{\frac{x}{2}} x^2 - 14 log_{16x}x^3 +40 log_{4x} \sqrt{x}=0[/TEX]

 

[duynhan1]

Bài 35: Giải pt

[TEX]\huge log_{\frac{x}{2}} x^2 - 14 log_{16x}x^3 +40 log_{4x} \sqrt{x}=0 (1) [/TEX]

Điều kiện:
[TEX]\left{ x>0 \\ x \not\in \{ 2;\frac{1}{16};\ \frac14\} \right. [/TEX]
[TEX](1) \Leftrightarrow \frac{2 . \log_2 x }{\log_2 x - 1 } - \frac{42 . \log_2 x}{\log_2 x + 4} + \frac{20 . \log_2 x}{\log_2 x + 2} = 0[/TEX]
Đặt [TEX]t= \log_2 x[/TEX],

 

[kem_chocolate13]

Giải pt

[TEX]x^2.3^{x - 1} + x(3^x - 2^x ) = 2(2^x - 3^{x - 1} )[/TEX]

 

[tuyn]

Giải pt

[TEX]x^2.3^{x - 1} + x(3^x - 2^x ) = 2(2^x - 3^{x - 1} )[/TEX]

[TEX]PT \Leftrightarrow 3^{x-1}(x^2+3x+2)-2^x(x+2)=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x+2)[3^{x-1}(x+1)-2^x]=0[/TEX]
+) x+2=0 \Leftrightarrow x=-2
[TEX]+) 3^{x-1}(x+1)-2^x=0 \Leftrightarrow x+1=3. ( \frac{2}{3})^x(1)[/TEX]
VT của (1) là hàm số đồng biến, VP (1) là hàm số nghịch biến \Rightarrow PT (1) có nghiệm duy nhất x=1
Vậy PT có 2 nghiệm: x=-2,x=1

 

[kem_chocolate13]

giải hệ phương trình
[TEX]\left{\begin{3^x-3^y=y-x}\\{x^2+xy+y^2-12=0} [/TEX]

 

[tuyn]

giải hệ phương trình
[TEX]\left{\begin{3^x-3^y=y-x}\\{x^2+xy+y^2-12=0} [/TEX]

Từ PT đầu của hệ suy ra: [TEX]3^x+x=3^y+y[/TEX]
Xét hàm số [TEX]f(t)=3^t+t[/TEX]. Khi đó PT có dạng: f(x)=f(y)
[TEX]f'(t)=3^tln3+1 > 0 \forall t[/TEX]
\Rightarrow f(t) đồng biên. Do vậy: f(x)=f(y) \Leftrightarrow x=y. Thay vào PT thứ 2 ta được:
[TEX]x^2=4 \Leftrightarrow x= \pm 2[/TEX]
Vậy HPT có nghiệm: [TEX]x=y= \pm 2[/TEX]