[Toán 12] Ôn tập HHKG

[maxqn]

anh max ơi cho em hỏi bài này có dùng đến điểm K đâu!
gọi điểm K làm gì ạ?
bỏ k gọi điểm K đc không ạ?

Thêm điểm K cho nó đẹp thôi =)) Thik thì vẽ, k thì bỏ cũng chẳg sao =))

 

[hardyboywwe]

1/
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho mặt phẳng (a) : 3x + 2y - z + 4 = 0 và 2 điểm A(4;0;0) , B(0;4;0).Gọi I là trung điểm đoạn thẳng AB.Xác định tọa độ điển K sao cho KI vuông góc với mặt phẳng (a) đồng thời K cách đều gốc tọa độ O và (a).


2/
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình [TEX]x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 6z - 11 = 0 [/TEX]và mặt phẳng (a) có phương trình 2x + 2y - z + 17 = 0.Viết phương trình mặt phẳng (B) song song với mp (a) và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng [TEX]6\pi[/TEX]

 

[phuong4_11a1]

Các bạn cho mình hỏi: Muốn học hình không gian thì nên học thầy nào trên hocmai.vn. Mình yếu nhất hình không gian đấy.
Thanks các bạn nhiều.
Mà ai học tốt phần này cho mình hỏi: Để học được hình không gian cần nắm vững những kiến thức gì?

 

[tbinhpro]

Góp cho Khanh 1 bài nhé, thấy dạo này ít hàng quá ha:

Cho hình chóp tam giác S.ABC có tam giác ABC vuông tại A, $BC=a, \widehat{ABC}=30, (SAB)\perp (ABC)$. Hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(SAC)$ hợp với đáy 1 góc 60 độ. Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.

Bài này tớ thấy hay lém nên đưa lên cậu làm thử .Hihi!

 

[maxqn]

Các bạn cho mình hỏi: Muốn học hình không gian thì nên học thầy nào trên hocmai.vn. Mình yếu nhất hình không gian đấy.
Thanks các bạn nhiều.
Mà ai học tốt phần này cho mình hỏi: Để học được hình không gian cần nắm vững những kiến thức gì?

Các thầy giáo trên học mãi dạy đều tốt cả. Thích thầy nào thì c cứ đkí mà học.
Còn về HHKG nói riêng và HH nói chung thì đầu tiên là fải trang bị một số kiến thức chuẩn làm nền, sau đó là việc liên tưởng, tưởng tượng để có cảm giác. Cái này thì tùy người nhưng nếu làm nhiều + rút ra đc nhận xét về mối liên hệ giữa các đại lượng trong bài cho làm j, cho thế dùng ntn... thì cũng có thể sẽ có cảm giác

 

[maxqn]

Góp cho Khanh 1 bài nhé, thấy dạo này ít hàng quá ha:

Cho hình chóp tam giác S.ABC có tam giác ABC vuông tại A, $BC=a, \widehat{ABC}=30, (SBC)\perp (ABC)$. Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAC)$ hợp với đáy 1 góc 60 độ. Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.

Bài này tớ thấy hay lém nên đưa lên cậu làm thử .Hihi!

Có sửa đề tí nhé.

Gọi H là hình chiếu của S xuống $(ABC)$ thì H nằm trên BC
Gọi I, K lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC thì HI, HK lần lượt song song với AC, AB
Góc tạo bởi các mp $(SAB)$ và $(SAC)$ với $(ABC)$ là $\hat{SIH},\hat{SKH}$
Ta có:
$\Delta{SIH} = \Delta{SKH} \ (g.c.g)$ nên $HI = HK$ hay H là chân đường phân giác kẻ từ A của tam giác ABC.
Ta có:

$$\frac{HB}{HC} = \frac{AB}{AC} = cot30^o = \sqrt3 \Rightarrow \frac{HB}{BC} = \frac{\sqrt3}{\sqrt3+1} \Rightarrow HB = \frac{\sqrt3}{\sqrt3+1}BC = \frac{a\sqrt3}{\sqrt3+1}$$

Trong $\Delta{BIH}$ vuông tại I:
$$HI = HB.sin30^o = \frac{a\sqrt3}{2(\sqrt3+1)}$$
Trong tam giác $SIH$ vuông tại H:
$$SH = IH.tan60^o = \frac{3a}{2(\sqrt3+1)}$$

Diện tích tam giác ABC:
$$S_{ABC} = \frac12.BC.AB.sin30^o = \frac14.sin60^o.BC^2 = \frac{a^2\sqrt3}8$$

Vậy thể tích khối chóp $S.ABC$ là

$$V_{S.ABC} = \frac13.SH.S_{ABC} = \frac13.\frac{3a}{2(\sqrt3+1)}.\frac{a^2\sqrt3}8 = \frac{a^3\sqrt3}{16(\sqrt3+1)} \ \ (dvtt)$$

 

[maxqn]

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh 2a. Mặt bên $(SAB)$ vuông góc với đáy. Biết $SA = a, SB = a\sqrt3$. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, BC. Tính khoảng cách giữa 2 đt SM và DN

Bài này là của ontoandaihoc send hồi trưa Giải 2 cách luôn nhé


Cách 1: Tọa độ hóa (tọa độ hóa thì chưa cần mấy điểm kia đâu )
Xét tam giác $SAB$ có $SA^2 + SB^2 = AB^2$ nên vuông tại S.
Do đó SH là đcao của tam giác $SAB$, suy ra $SH = \frac{a\sqrt3}2$
Đặt $AH = x, 0 < x < 2a$.
Vì $SA < SB$ nên $HA < HB$ hay $0<x<a$
Ta có:
$$SH^2 = HB.HA \Leftrightarrow x(2a-x) = \frac{3a^2}4 \Leftrightarrow x = \frac{a}2 \vee x = \frac{3a}2 \Rightarrow x = \frac{a}2$$

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho:
$A \equiv O(0;0;0), \ B(2a;0;0), \ D(0;2a;0) , \ C(2a;2a;0)$
Khi đó ta có:

$H(\frac{a}{2};0;0),\ S(\frac{a}2; 0; \frac{a\sqrt3}2), \ M(a;0;0), \ N(2a;a;0)$


SM, DN lần lượt nhận các vector $\vec{u_1}, \vec{u_2}$ làm VTCP với $\vec{u_1} = (1;0;-\sqrt3), \vec{u_2} = (2;-1;0)$


Từ đây tính ra được kcách giữa SM và DN là $\frac{3a\sqrt3}4$


Cách 2: hình học thuần túy

Gọi H là hình chiếu của S xuống $(ABCD)$ thì $H \in AB$.

Xét tam giác $SAB$ có $SA^2 + SB^2 = AB^2$ nên vuông tại S.
Do đó SH là đcao của tam giác $SAB$, suy ra $SH = \frac{a\sqrt3}2$
Đặt $AH = x, 0 < x < 2a$.
Vì $SA < SB$ nên $HA < HB$ hay $0<x<a$
Ta có:
$$SH^2 = HB.HA \Leftrightarrow x(2a-x) = \frac{3a^2}4 \Leftrightarrow x = \frac{a}2 \vee x = \frac{3a}2 \Rightarrow x = \frac{a}2$$

Trong mp $(ABCD)$:
Từ M dựng MK // DN, cắt HD tại I, K thuộc AD.
Từ K dựng KJ // AM, cắt HD tại J
Gọi P là trung điểm CD.
Qua H dựng HE // AP, cắt CD tại E, cắt MK tại Q

Xong phần dựng, h tới fần tìm

Ta dễ dàng cminh được những điều sau:
$$MK // DN \perp AP \\ HQ \perp MK (// AP) \\ \Delta{MAK} \sim \Delta{DCN} \Rightarrow \frac{AK}{AD} = \frac14$$

-----
Ta có:
$$\Delta{IKJ} = \Delta{IMH} \Rightarrow \begin{cases} IJ = IH \\ KJ = MH \end{cases}$$
Xét 2 tam giác đồng dạng $DKJ, DAH$ ta có:

$$\frac{DK}{DA} = \frac{DJ}{DH} \Rightarrow \frac{DK}{AK} = \frac{DJ}{2IJ} = 3 ( HJ = 2 IJ = 2IH) \Rightarrow \frac{DI}{IH} = 6 \Rightarrow d(D;(SMK)) = 6d(H;(SMK))$$

Ta có:
$$DN // MK \Rightarrow d(SM,DN) = d(D;(SMK)) = 6d(H;(SMK))$$

Ta có:
Trong tam giác vuông AMK:
$$HQ = \frac12.d(A;MK) = \frac{S_{AMK}}{MK} = \frac{a\sqrt5}{10}$$

Do đó
$$\frac1{[d(H;(SMK))]^2} = \frac1{HQ^2} + \frac1{SH^2} = \frac{a\sqrt3}8$$

Vậy kcách giữa SM, DN là $$d(SM,DN) = 6d(H;(SMK)) = \frac{3a\sqrt3}4$$

 

[tbinhpro]

Có sửa đề tí nhé.

Nếu đề như thế thì đúng nhưng đề bài của tớ khác cơ, t có viết nhầm phải là $(SAB)\perp (ABC)$ cơ. Đã Edit lại rồi cậu làm thử nhé!

 

[maxqn]

Góp cho Khanh 1 bài nhé, thấy dạo này ít hàng quá ha:

Cho hình chóp tam giác S.ABC có tam giác ABC vuông tại A, $BC=a, \widehat{ABC}=30, (SAB)\perp (ABC)$. Hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(SAC)$ hợp với đáy 1 góc 60 độ. Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.

Bài này tớ thấy hay lém nên đưa lên cậu làm thử .Hihi!

Gọi H là hình chiếu của S xuống $(ABC)$ thì H nằm trên AB
Gọi K là hình chiếu của H lên BC
Góc tạo bởi $(SAC), (SBC)$ với $(ABC)$ chính là góc $\hat{SAH}, \hat{SKH}$
Dễ cminh được H là chân đường phân giác góc C của $\Delta{ABC}$
Do đó:
$$\frac{HA}{HB} = \frac{AB}{BC} = sin30^o = \frac12 \Rightarrow \frac{HA}{AB} = \frac13$$

Ta có:
Trong tam giác $\Delta{SAH}$ vuông tại H:
$$SH = AH.tan60^o = \frac{AB}{3}.\sqrt3 = \frac{BC\sqrt3}{3cos30^o} = \frac{2a}3$$
$$S_{ABC} = \frac12.AB.BC.sin30^o = \frac{a^2\sqrt3}8$$

Vậy thể tích khối chóp $S.ABC$ là
$$V_{S.ABC} = \frac13.SH.S_{ABC} = \frac13. \frac{2a}3.\frac{a^2\sqrt3}8 = \frac{a^3\sqrt3}{36} \ \ (dvtt)$$

Coi thử nhẩm sai chỗ nào k nhé c :-ss

 

[lithoi_cp]

Đóng góp 1 bài nhé!
Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thoi cạnh a, góc BAD = 60 độ, SA vuông góc (ABCD), SA=a. Gọi C' là trung điểm của SC. (P) đi qua AC' và song song với BD, cắt các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B',D'. Tính thể tích khối chóp S.A'B'C'D'.

 

[hothithuyduong]

Bài ni anh Khanh giải ùi)

http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=192236

Em góp bài tiếp nềy, tại cái pic bên 11 chẳng có ai giải

Cái câu này có 2 cách giải thì phải)

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có độ dài cạnh đáy bằng a và độ dài cạnh bên $$\frac{a\sqrt{2}}{2}$$.Chứng minh rằng [tex]AB^' \perp BC^' [/tex] và tính khoảng cách từ B' đến mặt phẳng (ABC') theo a.

 

[maxqn]

Bài ni anh Khanh giải ùi)

http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=192236

Em góp bài tiếp nềy, tại cái pic bên 11 chẳng có ai giải

Cái câu này có 2 cách giải thì phải)

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có độ dài cạnh đáy bằng a và độ dài cạnh bên $$\frac{a\sqrt{2}}{2}$$.Chứng minh rằng [tex]AB^' \perp BC^' [/tex] và tính khoảng cách từ B' đến mặt phẳng (ABC') theo a.

Tọa độ hóa cho lẹ )
Gọi M là trung điểm BC
Chọn hệ trục tọa đô Oxyz sao cho
$$M \equiv O(0;0;0), B(\frac{a}2;0;0) , \ C(-\frac{a}{2};0;0) \ A(0;\frac{a\sqrt3}2;0) , \ A'(0; \frac{a\sqrt3}2; \frac{a\sqrt2}2)$$
R đó =))

 

[tbinhpro]

Gọi H là hình chiếu của S xuống $(ABC)$ thì H nằm trên AB
Gọi K là hình chiếu của H lên BC
Góc tạo bởi $(SAC), (SBC)$ với $(ABC)$ chính là góc $\hat{SAH}, \hat{SKH}$
Dễ cminh được H là chân đường phân giác góc C của $\Delta{ABC}$
Do đó:
$$\frac{HA}{HB} = \frac{AB}{BC} = sin30^o = \frac12 \Rightarrow \frac{HA}{AB} = \frac13$$

Ta có:
Trong tam giác $\Delta{SAH}$ vuông tại H:
$$SH = AH.tan60^o = \frac{AB}{3}.\sqrt3 = \frac{BC\sqrt3}{3cos30^o} = \frac{2a}3$$
$$S_{ABC} = \frac12.AB.BC.sin30^o = \frac{a^2\sqrt3}8$$

Vậy thể tích khối chóp $S.ABC$ là
$$V_{S.ABC} = \frac13.SH.S_{ABC} = \frac13. \frac{2a}3.\frac{a^2\sqrt3}8 = \frac{a^3\sqrt3}{36} \ \ (dvtt)$$

Coi thử nhẩm sai chỗ nào k nhé c :-ss

Sai rồi Khanh ới ơi!

Bôi đỏ 1 chỗ đấy còn chỗ nào chưa kiểm tra hết, nó ra khá lẻ và phải chia 3 trường hợp cơ, như trên c đã cho $H$ thuộc $BC$ nhưng còn $H$ nằm ngoài $BC$ hoặc $H$ trùng với $B$ or $C$ nữa. Nói chung nó ra khá là lẻ

 

[maxqn]

Sai rồi Khanh ới ơi!

Bôi đỏ 1 chỗ đấy còn chỗ nào chưa kiểm tra hết, nó ra khá lẻ và phải chia 3 trường hợp cơ, như trên c đã cho $H$ thuộc $BC$ nhưng còn $H$ nằm ngoài $BC$ hoặc $H$ trùng với $B$ or $C$ nữa. Nói chung nó ra khá là lẻ

Àh uh, cái đó là tan chứ k fải là sin T___T
Còn cái TH phân giác ngoài thì lười wá =))

 

[lithoi_cp]

Bài này làm như nào hả b?
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA=a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SB và SD, I là giao của SC và (AMN). CM: SC vuông góc với AI và tính thể tích khối chóp MIAB.

 

[maxqn]

Bài này làm như nào hả b?
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA=a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SB và SD, I là giao của SC và (AMN). CM: SC vuông góc với AI và tính thể tích khối chóp MIAB.

Gọi O là tâm hình vuông $ABCD$
Gọi J là giao điểm của SO và MN, I là giao điểm của AJ và SC thì I chính là giao điểm của SC và $(AMN)$
Ta có:
$$\begin{cases} MN // BD \perp (SAC) \\ CD \perp (SAD) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} SC \perp MN \\ SC \perp AN \end{cases} \Rightarrow SC \perp (AMN) \Rightarrow SC \perp AI$$

Tính thể tích $I.AMB$
$$S_{AMB} = \frac12S_{SAB} = \frac{a^2}4$$
Đặt $SI = x, 0 < x < \frac{a\sqrt3}2$ thì ta có:
Trong $\Delta{SAC}$ vuông tại A có AI là đường cao:


$$\begin{cases} \frac1{AI^2} = \frac{1}{SA^2} + \frac1{AC^2} = \frac3{2a^2} \\ \\ AI^2 = x(a\sqrt3-x) \end{cases} \Rightarrow x = \frac{a\sqrt3}3$$

Do đó:
$$\frac{d(I;(SAB))}{d(C;(SAB))} = \frac{SI}{CS} = \frac13 \Rightarrow d(I;(SAB)) = \frac13.CD = \frac{a}{3}$$

Vậy $$V_{I.AMB} = \frac13.d(I;(SAB)).S_{AMB} = \frac13.\frac{a}3.\frac{a^2}4 = \frac{a^3}{36} \ \ (dvtt)$$

 

[boyvipcc16]

Tính thể tích khối chop S.ABC. Biết AB=AC=a, BC=a/2, SA=a căn 3
, góc giữa (SAB) và (SBC) bằng 30°

 

[pheo56]

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có SA = a, góc giữa (SAB) và (ABCD) là alpha ,alpha thuộc đoạn 0 -> pi/2
a) Tính V_S.ABC theo a và alpha
b) Giả sử a không đổi. Tìm alpha để V_S.ABCD max

 

[tbinhpro]

Gọi độ dài cạnh $AB$ là $b$ Ta có:
$$OA=OB=OC=OD=\frac{b\sqrt{2}}{2}$$
Tam giác $SNO$ có:
$$SO=NO.tan \alpha =\frac{b.tan \alpha}{2}$$
Tam giác $SOA$ có:
$$\begin{aligned} SA=\sqrt{OA^2+SO^2}=\frac{b}{2}\sqrt{2+tan^2 \alpha}=a \\ => b=\frac{2a}{\sqrt{2+tan^2 \alpha}} \end{aligned}$$
Mà ta lại có:
$$\begin{aligned} V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.SO.S_{ABCD}=\frac{b^3.tan \alpha}{6} \\ => V_{SABCD}=\frac{4a^3.tan \alpha}{3(\sqrt{2+tan^2 \alpha})^{3}} \end{aligned}$$

Đặt $t=tanx (t>0)$ Ta có:
$$f(t)=\frac{t}{3(\sqrt{2+t^2})^3}$$
Đạo hàm $f(t)$ ta được:
$$\begin{aligned} f'(t)=\frac{1}{3}.\frac{(t^2+2)(1-t^2)}{(\sqrt{2+t^2})^7} \\ =>f'(t)=0 \\ <=>t=1 \end{aligned}$$
Lập bảng xét dấu suy ra được:
$$V_{SABCDmax}=\frac{4a^3.\sqrt{3}}{27} \\ <=> \alpha=45$$

 

[lithoi_cp]

Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC. $$(\alpha )$$ chứa BC và vuông góc với AA' cắt lăng trụ theo 1 thiết diện có diện tích bằng $$\frac{a^{2}\sqrt{3}}{8}$$ . Tính thể tích lăng trụ đã cho.