[Toán 12] Một cách biến đổi tích phân

[vivietnam]

Tính:

[TEX]\int_{2}^{\sqrt{3}} \sqrt{x^2-1} [/TEX] .

[TEX]I=\int_2^{\sqrt{3}}\sqrt{x^2-1}dx=x.\sqrt{x^2-1}|_2^{\sqrt{3}}-\int_2^{\sqrt{3}}\frac{x^2-1+1}{\sqrt{x^2-1}}dx=x.\sqrt{x^2-1}|_2^{\sqrt{3}}-I-\int_2^{\sqrt{3}}\frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}[/TEX]
\Rightarrow[TEX]I=\frac{1}{2}x.\sqrt{x^2-1}|_2^{\sqrt{3}}-\frac{1}{2}ln(x+\sqrt{x^2-1})|_2^{\sqrt{3}}[/TEX]

 

[trantrongtai1234]

tính
[TEX]I=\int_{0}^{1}\frac{x^2+1}{x^4+1}dx[/TEX]

(CHÚ Ý CẬN)

 

[vivietnam]

chứng minh các công thức sau
[TEX]\int_{-a}^a f(x)dx=2.\int_0^a f(x)dx[/TEX] nếu f(x) là hàm chẵn



[TEX]\int_{-a}^a f(x)dx=0[/TEX] nếu f(x) là hàm lẻ


[TEX]\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(sinx)dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(cosx)dx[/TEX]

 

[vivietnam]

tính
[TEX]I=\int_{0}^{1}\frac{x^2+1}{x^4+1}dx[/TEX]

(CHÚ Ý CẬN)

bài này không cần phải chú ý tới cận gì cả


[TEX]=\int_0^1 \frac{x^2+\sqrt{2}.x+1+x^2-\sqrt{2}.x+1}{2.(x^2+\sqrt{2}x+1).(x^2-sqrt{2}x+1)}dx=\int_0^1\frac{dx}{2.(x^2+\sqrt{2}x+1)}+\int_0^1 \frac{dx}{2(x^2-\sqrt{2}x+1)}=\int_0^1 \frac{dx}{2.(x+\frac{1}{\sqrt{2}})^2+\frac{1}{2})}+\int_0^1\frac{dx}{2.(x-\frac{1}{\sqrt{2}})^2+\frac{1}{2})} [/TEX]

đến đây áp dụng công thức [TEX]\int \frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}.arctan(\frac{x}{a})[/TEX] là được

 

[ngomaithuy93]

Dưới đây là "1 số" BT Tích phân t sưu tầm đc, muốn chia sẻ với mọi người!
Chúng ta sẽ cũng làm và thảo luận những câu cứng đầu ko chịu chìa ra đáp án!
Chăm - chỉ - đêm - Noel - nhé!

 

[kr3]

Tính \int_{}^{}[TEX]\frac{1}{sinx}dx[/TEX] .

 

[traimuopdang_268]

Tính \int_{}^{}[TEX]\frac{1}{sinx}dx[/TEX] .

Lâu rùi chưa vô pic toán

\int_{}^{} [TEX]\frac{sinx}{sin^2x}dx[/TEX]= \int_{}^{} [TEX]\frac{sinx}{1-cos^2x}dx[/TEX]
Đặt [TEX]t=cosx [/TEX]\Rightarrow [TEX]dt=-sinx dx[/TEX]\Rightarrow

\int_{}^{}[TEX]\frac{-dt}{1-t^2}[/TEX] [TEX]=[/TEX]\int_{}^{} [TEX]\frac{dt}{t^2-1 }[/TEX]

[TEX]=[/TEX]\int_{}^{} [TEX]\frac{1}{2}[/TEX] \int_{}^{} [TEX](\frac{1}{t-1}- \frac{1}{t+1})dx[/TEX]
Cho Yu hỏi xíu. độ này anh kimxakiem có hay post bài nữa k vậy. K bit có cái chuyên đề nào mới hông


em vào tìm các bài viết của anh ấy là biết ngay

 

[vivietnam]

[TEX]M=\int_{-1}^{1} |x|.(1+arctanx)^3dx[/TEX]

làm mẫu 1 câu

để áp dụng 2 công thức
[TEX]\int_{-a}^a f(x)dx=2.\int_0^a f(x)dx[/TEX] nếu f(x) là hàm chẵn



[TEX]\int_{-a}^a f(x)dx=0[/TEX] nếu f(x) là hàm lẻ



ta viết lại như sau
[TEX]M=\int_{-1}^1 |x|.(1+3arctan^2x+3.arctanx+arctan^3x)dx=\int_{-1}^1|x|dx+3\int_{-1}^1|x|arctan^2xdx+3.\int_{-1}^1 |x|arctanxdx+\int_{-1}^1 arctan^3xdx[/TEX]
[TEX]=2.\int_0^1xdx+6.\int_0^1x.arctan^2xdx=2+6.\int arctan^2xd(x^2+1)=2+6.arctan^2x.(x^2+1)|_0^1-12.\int_0^1 arctanxdx[/TEX]
[TEX]=2+12.\frac{\pi^2}{16}-12.xarctanx|_0^1+12\int \frac{x}{x^2+1}=2+\frac{3.\pi^2}{4}-3.\pi+6.ln(x^2+1)|_0^1=.................[/TEX]

 

[vivietnam]

Dưới đây là "1 số" BT Tích phân t sưu tầm đc, muốn chia sẻ với mọi người!
Chúng ta sẽ cũng làm và thảo luận những câu cứng đầu ko chịu chìa ra đáp án!
Chăm - chỉ - đêm - Noel - nhé!

anh làm 1 bài mẫu trong 2 bài khó nhất của bộ đề này (92,93)
câu 93
[TEX]I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}ln(sinx)dx[/TEX]

đặt [TEX]x=\frac{\pi}{2}-t\Rightarrow dx=-dt[/TEX]
sau khi đổi biến[TEX] \Rightarrow I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}ln(cosx)dx[/TEX]

[TEX] \Rightarrow 2I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}ln(\frac{sin2x}{2})dx=\\\\\\\\\\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}ln(sin2x)dx-ln2dx|_0^{\frac{\pi}{2}}=\int_0^{\frac{\pi}{2}}ln(sin2x}-\frac{\pi.ln2}{2}[/TEX]
xét [TEX]J=\int_0^{\frac{\pi}{2}}ln(sin2x)dx[/TEX]
đặt 2x=u\Rightarrow2dx=du
[TEX]J=\frac{1}{2}.\int_0^{\pi}lnsinudu[/TEX]
[TEX]=(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2} ln(sinu)du+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\frac{1}{2}ln(sinu)du=\frac{1}{2}(I+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} ln(sinu)du[/TEX]
xét [TEX]K=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} ln(sinu)du[/TEX]
đặt [TEX]u=\pi-x\Rightarrow du=-dx[/TEX]
\Rightarrow[TEX]K=\int_0^{\frac{\pi}{2}}ln(sinx)dx=I[/TEX]

\RightarrowJ=I
\Rightarrow [TEX]I=\frac{-\pi.ln2}{2}[/TEX]

 

[lehungpro91]

toan phuong trinh

may bai nay qua binh thuong thoi may ban oi neu aiu yeu thich toan thi giai minh bai nay voi xem nao
neu ma giai duoc thi minh mpoi phuc
[TEX]\sqrt{x}=\sqrt{2x+1}[/TEX]
minh cung giai ra rui nhung ma dap so thi cuc ki dai hehehe
Học gõ tex đi đã cậu!

 

[kr3]

Tính \int_{}^{}[TEX]x^5.(7x^5+9)^{\frac{5}{8}}dx[/TEX] .

 

[vivietnam]

dạng đặc biệt này nữa

dạng tổng quát
[TEX] I=\int_{-a}^{a} \frac{f(x)}{1+b^x}dx[/TEX] (f(x) là hàm số chẵn)


[TEX]I=\int_{-a}^{0}\frac{f(x)}{1+b^x}dx+\int_{0}^{a} \frac{f(x)}{1+b^x}dx=I_1+I_2[/TEX]
xét [TEX]I_1[/TEX]


đặt x=-t

dx=-dt


[TEX]x|_{-a}^{0} \rightarrow \ t|_{a}^{0}[/TEX]

[TEX]I_1=-\int_{a}^{0} \frac{f(-t)}{1+b^{-t}}dt=\int_{0}{a} \frac{b^t.f(t)}{1+b^t}dt=\int _{0}^{a}\frac{b^x.f(x)}{1+b^x}dx[/TEX]

[TEX]I=\int_{0}^{a} f(x)dx[/TEX]

 

[ngomaithuy93]

[TEX] I=\int_{-a}^{a} \frac{f(x)}{1+b^x}dx=\int_{0}^{a} f(x)dx=\frac{1}{2}\int_{-a}^af(x)dx[/TEX](f(x) là hàm số chẵn)

BT áp dụng cho dạng này:
[TEX]1. \int_{-1}^1\frac{x^4}{1+2^x}dx[/TEX]
[TEX]2. \int_{-1}^1\frac{dx}{(e^x+1)(x^2+1)}[/TEX]
[TEX]3. \int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{|sinx|}{1+2^x}dx[/TEX]
[TEX]4. \int_{\frac{-\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{sin^6x+cos^6x}{1+6^x}dx[/TEX]
[TEX]5. \int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}}\frac{dx}{(e^x+1)(1-x^2)}[/TEX]
[TEX] 6. \int_{-\pi}^{\pi}\frac{sin^2x}{3^x+1}dx[/TEX]
[TEX] 7. \int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{cosx}{1+5^x}dx[/TEX]

 

[ngomaithuy93]

[TEX]5. I=\int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}}\frac{dx}{(e^x+1)(1-x^2)}[/TEX]

Nháp:
[TEX]I=\int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}}\frac{\frac{dx}{1-x^2}}{e^x+1}[/TEX]
Nhận thấy [TEX]f(x)=\frac{1}{1-x^2}[/TEX] là hàm chẵn trên [TEX][\frac{-1}{2};\frac{1}{2}][/TEX] nên áp dụng cách giải đã nêu như sau:
BL:
[TEX]x=-t \Rightarrow dx=-dt[/TEX]
[TEX]I=-\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{-1}{2}}\frac{d}{(1-t^2)(1+e^{-t})} = \int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{e^tdt}{(1-t^2)(e^t+1)}=\int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}}\frac{e^xdx}{(1-x^2)(e^x+1)}=J[/TEX]
[TEX] I+J= \int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}}\frac{dx}{1-x^2}=\int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}}\frac{dx}{(1-x)(1+x)}=\frac{1}{2}\left (\int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}}\frac{d(1-x)}{1-x}+\int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}}\frac{d(1+x)}{1+x}\right)[/TEX]
[TEX] = \frac{1}{2}\left(ln|1-x||_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}}+ln|1+x||_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}}\right) =0 \Rightarrow I=J=0[/TEX]

 

[ngomaithuy93]

Tìm nguyên hàm

[TEX] \int \frac{dx}{\sqrt{x}.\sqrt[3]{x+2}}[/TEX] .

 

[ngomaithuy93]

Đề dự bị khối B năm 2006:
[TEX] I=\int_5^{10}\frac{dx}{x-2\sqrt{x-1}}[/TEX]
Ko khó nhưng ngoài học cách tư duy chúng t còn cần học cách giành điểm tối đa những bài đã có sẵn cách làm trong đầu chứ nhỉ?

 

[vivietnam]

Đề dự bị khối B năm 2006:
[TEX] I=\int_5^{10}\frac{dx}{x-2\sqrt{x-1}}[/TEX]
Ko khó nhưng ngoài học cách tư duy chúng t còn cần học cách giành điểm tối đa những bài đã có sẵn cách làm trong đầu chứ nhỉ?

biết thế thì phải trình bày bài cụ thể chứ em,đừng làm tắt
đặt [TEX]x-1=t^2(t>0)\Rightarrow dx=2tdt[/TEX]
[TEX]x|_5^{10} \rightarrow \ t|_2^3[/TEX]
[TEX]I=\int_2^3\frac{2tdt}{(t-1)^2}=\int_2^3(\frac{2}{t-1}+\frac{2}{(t-1)^2})dt[/TEX][TEX]=(2ln|t-1|-\frac{2}{t-1})|_2^3=.................[/TEX]

 

[vivietnam]

[TEX] \int \frac{dx}{\sqrt{x}.\sqrt[3]{x+2}}[/TEX] .

bài này em lấy đâu ra thế
liệu có tính được nguyên hàm bài này ko?
hiện tại theo anh nghĩ là ko!

 

[ngomaithuy93]

[TEX] \int \frac{dx}{\sqrt{x}.\sqrt[3]{x+2}}[/TEX] .

[TEX]t=\sqrt{x} \Rightarrow t^2=x \Rightarrow 2tdt=dx[/TEX]
[TEX]\int \frac{dx}{\sqrt{x}.\sqrt[3]{x+2}} = \int \frac{2tdt}{t\sqrt[3]{t^2+2}}[/TEX]
[TEX]= 2\int \frac{dt}{\sqrt[3]{t^2+2}}[/TEX]
:| bế tắc ở đây ạ!

 

[quyenuy0241]

Anh giải thích cái này dùm em.! Cái này chắc lên đại học mới học!