[Toán 11] Topic giới hạn

[duynhana1]

 

[utit_9x]

[TEX]\lim_{x\rightarrow 0}[\frac{{(1+mx)}^{n}-({1+xn})^{m}}{{x}^{2}}][/TEX]

 

[nhocngo976]

[TEX]\lim_{x\rightarrow 0}[\frac{{(1+mx)}^{n}-({1+xn})^{m}}{{x}^{2}}][/TEX]

đây bạn
http://diendan.hocmai.vn/showpost.php?p=1412633&postcount=108

 

[duynhan1]

đây bạn
http://diendan.hocmai.vn/showpost.php?p=1412633&postcount=108

Ngoài cách này ta còn có thể làm như sau :

[TEX] \lim_{x \to 0} \frac{(1+mx)^n - ( 1 +nx)^m}{x^2}[/TEX]

Ta có :
[TEX](1+mx)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k . m^k.x^k [/TEX]
[TEX](1+nx)^m = \sum_{k=0}^{m} C_m^k . n^k.x^k [/TEX]

[TEX](1+mx)^n - (1+nx)^m \\ = x^3 . Q(x) + x^2( C_n^2 m^2 - C_m^2 n^2) +x(C_n^1 . m - C_m^1.n) + (1-1)\\ = x^3 . Q(x) + x^2(\frac{m^2.n(n-1) - n^2.m.(m-1)}{2} )\\ = x^3.Q(x) + \frac{-mn(m-n)}{2} . x^2 [/TEX]


[TEX]\Large \Rightarrow \lim_{x \to 0} \frac{(1+mx)^n - ( 1 +nx)^m}{x^2} \\ =\lim_{x \to 0} \frac{x^3.Q(x) + \frac{-mn(m-n)}{2} . x^2}{x^2} \\ = \lim_{x \to 0} ( x.Q(x) +\frac{-mn(m-n)}{2} ) \\ = \frac{-mn(m-n)}{2}[/TEX]

 

[utit_9x]

[TEX]\lim_{x\rightarrow 0}[\frac{{a}^{x}-1}{x}][/TEX]
Một bài nữa !

 

[duynhan1]

[TEX]\lim_{x\rightarrow 0}[\frac{{a}^{x}-1}{x}][/TEX]
Một bài nữa !

Bài này tương tự bài của trong sách mà

[TEX]a^x -1 = t \Rightarrow x = \frac{ln(1+t)}{ ln a}[/TEX]

[TEX]x \to 0 \Leftrightarrow t \to 0[/TEX]

[TEX]\Large \lim_{x\rightarrow 0}[\frac{{a}^{x}-1}{x}] = \lim_{t \to 0} \frac{t}{\frac{ln(1+t)}{ln(a)}} = ln(a)[/TEX]

 

[utit_9x]

Bài này tương tự bài của trong sách mà

[TEX]a^x -1 = t \Rightarrow x = \frac{ln(1+t)}{ ln a}[/TEX]

[TEX]x \to 0 \Leftrightarrow t \to 0[/TEX]

[TEX]\Large \lim_{x\rightarrow 0}[\frac{{a}^{x}-1}{x}] = \lim_{t \to 0} \frac{t}{\frac{ln(1+t)}{ln(a)}} = ln(a)[/TEX]

trên lớp chưa học lô-ga ,mà thi học kỳ làm thế hem đc điểm ???

 

[utit_9x]

Tính giới hạn sau:
[TEX]\lim_{ }\frac{{1}^{3}+{5}^{3}+{9}^{3}+...+{(4n-3)}^{3}}{{[1+5+9+...+(4n-3)]}^{2}}[/TEX]

 

[duynhan1]

Tính giới hạn sau:
[TEX]\lim_{ }\frac{{1}^{3}+{5}^{3}+{9}^{3}+...+{(4n-3)}^{3}}{{[1+5+9+...+(4n-3)]}^{2}}[/TEX]

Bằng quy nạp ta CM được :
[TEX]Tu\ so= 16n^4-16n^3 -2n^2+3n[/TEX]
[TEX]Mau\ so= (2n^2-n)^2[/TEX]

Từ đó dễ dàng suy ra [TEX]\lim_{ }\frac{{1}^{3}+{5}^{3}+{9}^{3}+...+{(4n-3)}^{3}}{{[1+5+9+...+(4n-3)]}^{2}} = \lim_{ } \frac{ 16n^4-16n^3 -2n^2+3n}{(2n^2-n)^2} = 4 [/TEX]

 

[utit_9x]

[TEX]\lim_{x\rightarrow -\frac{\pi }{6}}[\frac{4sinx\sqrt{cos2x}+\sqrt{2}}{6x+\pi }][/TEX]

 

[duynhan1]

[TEX]\lim_{x\rightarrow -\frac{\pi }{6}}[\frac{4sinx\sqrt{cos2x}+\sqrt{2}}{6x+\pi }][/TEX]

[TEX]t = x+ \frac{\pi}{6}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \lim_{x\rightarrow -\frac{\pi }{6}}[\frac{4sinx\sqrt{cos2x}+\sqrt{2}}{6x+\pi }] \\ = \lim_{t \rightarrow 0}[\frac{4sin(t - \frac{\pi}{6} ) \sqrt{cos(2t-\frac{\pi}{3})}+\sqrt{2}}{6t }]\\ = \lim_{t \rightarrow 0}[\frac{4sin(t - \frac{\pi}{6} ) (\sqrt{cos(2t-\frac{\pi}{3})} - \frac{1}{\sqrt{2}}) + 2\sqrt{2} ( sin ( t - \frac{\pi}{6}) + \frac12)}{6t } \\ = ................. [/TEX]

 

[lamtrang0708]

lâu lắm pic này lại bị trùng xuống , giờ e send mấy bài coi như cùng ôn lại

1)[tex] \lim_{x\to 1}\frac{x-1}{\sqrt{x^2+3}+x^3-3x} [/tex]
2)[tex] \lim_{x\to 2}\frac{\sqrt{x-1}+x^4-3x^3+x^2+3}{\sqrt{2x}-2} [/tex]

 

[bustalakham]

Áp dụng giới hạn đặc biệt: [TEX]\lim_{x\to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}}=e[/TEX]


1) [TEX]\lim_{x\to +\infty} (1+\frac{1}{x})^x[/TEX]



2)[TEX] \lim_{x\to +\infty} (1-\frac{1}{x})^x[/TEX]



3)[TEX] \lim_{x\to +\infty} (1-\frac{1}{x})^{-x}[/TEX]



4) [TEX]\lim_{x\to +\infty} (\frac{x+3}{x-1})^{x+2}[/TEX]

 

[bustalakham]

Oạch (
Sao không ai giải bài của tớ (
Pâu thêm vài bài nữa :">

Sử dụng định lí kẹp hoặc so sánh vs các hàm số có giới hạn vô cực

a) [TEX]\lim_{x\to +\infty} x(1+sin^2x)[/TEX]



b) [TEX]\lim_{x\to -\infty} x(1+sin^2x)[/TEX]



c) [TEX]\lim_{x\to +\infty} x^3(2-cos2x)[/TEX]



d) [TEX]\lim_{x\to -\infty} x^3(2-cos2x)[/TEX]



e) [TEX]\lim_{x\to +\infty} (x-1)(1+cos^2x)[/TEX]



f) [TEX]\lim_{x\to -\infty} (x-1)(1+cos^2x)[/TEX]

 

[duynhana1]

Áp dụng giới hạn đặc biệt: [TEX]\lim_{x\to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}}=e[/TEX]


1) [TEX]\lim_{x\to +\infty} (1+\frac{1}{x})^x = e [/TEX]



2)[TEX] \lim_{x\to +\infty} (1-\frac{1}{x})^x = \frac{1}{e}[/TEX]



3)[TEX] \lim_{x\to +\infty} (1-\frac{1}{x})^{-x} = e [/TEX]



4) [TEX]\lim_{x\to +\infty} (\frac{x+3}{x-1})^{x+2} = \lim_{x \to + \infty} \bigg( \( 1 + \frac{1}{\frac{x-1}{4}} \)^{\frac{x-1}{4}} \bigg)^4 . \(\frac{x+3}{x-1} \)^3 = e^4[/TEX]

a) [TEX]\lim_{x\to +\infty} x(1+sin^2x)= + \infty[/TEX]



b) [TEX]\lim_{x\to -\infty} x(1+sin^2x) = -\infty[/TEX]



c) [TEX]\lim_{x\to +\infty} x^3(2-cos2x) = + \infty[/TEX]



d) [TEX]\lim_{x\to -\infty} x^3(2-cos2x) = - \infty[/TEX]



e) [TEX]\lim_{x\to +\infty} (x-1)(1+cos^2x) = + \infty[/TEX]



f) [TEX]\lim_{x\to -\infty} (x-1)(1+cos^2x) = -\infty[/TEX]