Toán [Toán 10] Topic - Ôn - Thi - Học - Kì

[thang271998]

Cái $y$ là cái gì ?



Giải phương trình đó thì ra cái gì ?

Ý em là ra nghiệm của phương trình :

$$ x^2+\sqrt{x}=5 $$
ấy hả ?

Anh không ý kiến chuyện có ra nghiệm thật không , nhưng mà :
$$ y^{'}=2x+\frac{1}{2\sqrt{x}} > 0 $$
nha em .



Đặt :
$$ t=\sqrt{x} \ge 0 $$
Đưa phương trình đề bài về dạng :
$$ t^4 + t =5 $$
Tương đương với :
$$ (t^2)^2=-t+5 $$
Cộng thêm $(t^2).y+\frac{y^2}{4}$ vào hai vế phương trình trên :
$$ (t^2)^2+(t^2).y+\frac{y^2}{4}=(t^2).y+\frac{y^2}{4}-t+5 $$
Tương đương :
$$ (t^2+\frac{y}{2})^2=y.t^2-t+\frac{y^2}{4}+5 \ \text{(1)} $$
Xét :
$$ g= y.t^2-t+\frac{y^2}{4}+5 $$
Cần tìm $y$ sao để cho phương trình $g =0$ theo $t$ có nghiệm kép :
$$ \Delta = 1-4.(y).(\frac{y^2}{4}+5)=0 $$
Tức là cần tìm một nghiệm nào đó của phương trình :
$$ 1-4.(y).(\frac{y^2}{4}+5)=0 $$
Tương đương với :
$$y^3+20y-1=0$$
Đặt :
$$ y=u+v $$
Phương trình bậc ba trên tương đương :
$$ (u^3+v^3)+(u+v)(3uv+20)-1=0 $$
Cần chọn các $u,v$ thỏa mãn :
$$ \begin{cases}
& u^3+v^3=1 \\
& 3uv+20=0
\end{cases}$$
Hay :
$$ \begin{cases}
& u^3+v^3=1 \\
& u^3.v^3=-\frac{8000}{27}
\end{cases}$$
Vậy $u^3 , v^3$ là nghiệm của phương trình bậc hai :
$$ k^2-k-\frac{8000}{27}=0 $$
Giải phương trình này ra nhận được giá trị của $u,v$ . Do vai trò $u,v$ như nhau nên chỉ cần xét :
$$ \begin{cases}
& u^3=\frac{9+\sqrt{96081}}{18} \\
& v^3= \frac{9-\sqrt{96081}}{18}
\end{cases}$$
Vậy ta chọn : $y=u+v > 0$ với các $u,v$ như trên là giá trị thỏa : $\Delta =0$ .

Tức là có thể phân tích $g$ thành :
$$ g=y.(t-\frac{1}{2y})^2 $$
Phương trình $\text{(1)}$ lúc này trở thành :
$$(t^2+\frac{y}{2})^2= (t.\sqrt{y}-\frac{1}{2.\sqrt{y}})^2 $$
Suy ra :
$$t^2+\frac{y}{2}= t.\sqrt{y}-\frac{1}{2.\sqrt{y}} \ \text{(2)} $$
Hoặc :
$$t^2+\frac{y}{2}=- t.\sqrt{y}+\frac{1}{2.\sqrt{y}} \ \text{(3)} $$
Phương trình $\text{(2)}$ vô nghiệm vì : $\Delta _{\text{(2)}} <0$
Nghiệm của phương trình $\text{(3)}$ là :
$$ t=\frac{-y+\sqrt{-y^2+2.\sqrt{y}}}{2.\sqrt{y}} >0 $$
Hoặc :
$$ t=\frac{-y-\sqrt{-y^2+2.\sqrt{y}}}{2.\sqrt{y}} <0 $$
Chọn nghiệm dương .

Vậy nghiệm của phương trình :
$$ x^2+\sqrt{x}=5 $$
là :
$$ x=t^2 $$
Với :
$$ t=\frac{-y+\sqrt{-y^2+2.\sqrt{y}}}{2.\sqrt{y}} $$
Trong đó :
$$ y=u+v$$
Với :
$$ \begin{cases}
& u^3=\frac{9+\sqrt{96081}}{18} \\
& v^3= \frac{9-\sqrt{96081}}{18}
\end{cases}$$

Dạ ở đây là em áp dụng tí đạo hàm
Gọi $y=x^2+x-5$
\Rightarrowy' và xét y' bằng 0..em nghĩ thế này

 

[thang271998]

Đề kiểm tra học kì của mình này! Câu cuối đó
$y=x^4-2x^3-2x^2+3x+2$ với x thuộc [2;3]
LG
\Rightarrow$y'=4x^3-6x^2-4x+3$
$y'=0$\Leftrightarrow$ 4x^3-6x^2-4x+3=0$
\Leftrightarrow $x=\frac{1+\sqrt{7}}{2}; x=\frac{1+\sqrt{7}}{2}; \frac{1}{2}$ (loại)

Ta có: f(2)=0; f(3)=20
Vậy
maxy=20
miny=0
P/S: Sao tôt ghét tôi thế lại sai bài ở lớp rồi còn thiếu nũa...thực sự tôi ghét tôi lắm...Phải cần thận hơn thôi..Cố gắng..MOng mọi người chứng thực hộ tôi việc này

 

[mua_sao_bang_98]

Đề kiểm tra học kì của mình này! Câu cuối đó
$y=x^4-2x^3-2x^2+3x+2$ với x thuộc [2;3]
LG
\Rightarrow$y'=4x^3-6x^2-4x+3$
$y'=0$\Leftrightarrow$ 4x^3-6x^2-4x+3=0$
\Leftrightarrow $x=\frac{1+\sqrt{7}}{2}; x=\frac{1+\sqrt{7}}{2}; \frac{1}{2}$ (loại)

Ta có: f(2)=0; f(3)=20
Vậy
maxy=20
miny=0
P/S: Sao tôt ghét tôi thế lại sai bài ở lớp rồi còn thiếu nũa...thực sự tôi ghét tôi lắm...Phải cần thận hơn thôi..Cố gắng..MOng mọi người chứng thực hộ tôi việc này

CHả hiểu đề đóm ra sao nữa! cậu tự dưng cứ trùng trục trùng trục ra thế này à

 

[thang271998]

CHả hiểu đề đóm ra sao nữa! cậu tự dưng cứ trùng trục trùng trục ra thế này à

à cậu đề ở trên đó nhưng cho mình xin lỗi mình giải bằng đạo hàm giải bằng cách đặt ẩn phụ cũng xong nhưng dài..Các bạn thử suy nghĩ cách hai nhé!

 

[forum_]

Đề kiểm tra học kì của mình này! Câu cuối đó
$y=x^4-2x^3-2x^2+3x+2$ với x thuộc [2;3]
LG
\Rightarrow$y'=4x^3-6x^2-4x+3$
$y'=0$\Leftrightarrow$ 4x^3-6x^2-4x+3=0$
\Leftrightarrow $x=\frac{1+\sqrt{7}}{2}; x=\frac{1+\sqrt{7}}{2}; \frac{1}{2}$ (loại)

Ta có: f(2)=0; f(3)=20
Vậy
maxy=20
miny=0
P/S: Sao tôt ghét tôi thế lại sai bài ở lớp rồi còn thiếu nũa...thực sự tôi ghét tôi lắm...Phải cần thận hơn thôi..Cố gắng..MOng mọi người chứng thực hộ tôi việc này

Anh ơi nhưng đề cho x thuộc [2;3] mà .......

với lại cái đó anh viết nhầm dấu "+" nữa, $x=\dfrac{1-\sqrt{7}}{2}$ chứ ạ!

 

[thang271998]

Anh ơi nhưng đề cho x thuộc [2;3] mà .......

với lại cái đó anh viết nhầm dấu "+" nữa, $x=\dfrac{1-\sqrt{7}}{2}$ chứ ạ!

à ừ em thông cảm anh viết nhầm dấu..nhưng hai cái này đều không thuộc và bài này anh dùng đạo hàm em nhé!

 

[thuong0504]

Đề kiểm tra học kì của mình này! Câu cuối đó
$y=x^4-2x^3-2x^2+3x+2$ với x thuộc [2;3]
LG
\Rightarrow$y'=4x^3-6x^2-4x+3$
$y'=0$\Leftrightarrow$ 4x^3-6x^2-4x+3=0$
\Leftrightarrow $x=\frac{1+\sqrt{7}}{2}; x=\frac{1+\sqrt{7}}{2}; \frac{1}{2}$ (loại)

Ta có: f(2)=0; f(3)=20
Vậy
maxy=20
miny=0
P/S: Sao tôt ghét tôi thế lại sai bài ở lớp rồi còn thiếu nũa...thực sự tôi ghét tôi lắm...Phải cần thận hơn thôi..Cố gắng..MOng mọi người chứng thực hộ tôi việc này

Không biết sao chứ mình nghĩ nếu ( chỉ nếu thôi ); toán lớp 10 bạn giải đạo hàm 11 ? ? ?

Nếu trường mình thì bài đó dù hay, đúng thì cũng 0 điểm thôi!

học trước thì hay nhưng mà áp dụng cái chưa học thì thành DỞ rồi!

)

 

[thang271998]

Dạ em hiểu cách làm đó của anh nhưng ý em là vì giá trị x tìm ra không thuộc khoảng điều kiện vậy có nghĩa là bài này ko có min - max phải ko ạ?

à em nhé ta thay x=2; x=3 vào hàm bậc 4 kia nhé!....................................

 

[hoangan2030]

Tiếp nhé!
$$\begin{cases}
& \text x^2+xy+y^2=1\\
& \text x-y-xy=3
\end{cases}$$

cách khác :
đặt t= -y
=> hệ
x^2-xt+t^2=1
x+t+xy=3
đặt x+t =S
xt=P
giải hệ đối xứng

 

[forum_]

Không biết sao chứ mình nghĩ nếu ( chỉ nếu thôi ); toán lớp 10 bạn giải đạo hàm 11 ? ? ?

Nếu trường mình thì bài đó dù hay, đúng thì cũng 0 điểm thôi!

học trước thì hay nhưng mà áp dụng cái chưa học thì thành DỞ rồi!

)

Dạ thế thì cái đạo hàm cấp 1 đó lớp mấy mới được sử dụng ạ?:-?

Cách khác:

Giả sử $x_1, x_2$ thuộc [2;3] và $x_1$ < $x_2$

Xét: $f(x_1) - f(x_2)$ = $(x_{1}^4 - 2x_{1}^3 - 2x_{1}^2 + 3x_1 + 2) - (x_{2}^4 - 2x_{2}^3 - 2x_{2}^2 + 3x_2 + 2)$

= $(x_1 - x_2)( x_{1}^3 + x_{1}^2.x_2 + x_1.x_{2}^2 + x_{2}^3 - 2x_{1}^2 + 2x_1.x_2 - 2x_{2}^2 - 2x_1 - 2x_2 - 3)$

Đặt $A = x_{1}^3 + x_{1}^2.x_2 + x_1.x_{2}^2 + x_{2}^3 - 2x_{1}^2 + 2x_1.x_2 - 2x_{2}^2 - 2x_1 - 2x_2 - 3$

Biểu diễn: $A = x_1(x_1 - 1)^2 + x_2(x_2 - 1)^2 + x_1.x_2(x_1 + x_2 + 2) - 3(x_1 + x_2 +1)$

Ta thấy: $x_1(x_1 - 1)^2 + x_2(x_2 - 1)^2$ > 0 vì $x_1, x_2$ thuộc [2;3]

Còn $x_1.x_2(x_1 + x_2 + 2) - 3(x_1 + x_2 +1)$ ta đặt $x_1+x_2+1 = t$ >0. Khi đó được:

$x_1.x_2(t + 1) - 3t = x_1.x_2.t + x_1.x_2 - 3t = x_1.x_2 + t(x_1.x_2 - 3)$

Do $x_1, x_2$ thuộc [2;3] \Rightarrow $x_1.x_2 + t(x_1.x_2 - 3)$ > 0

Nên A > 0. Mặt khác $x_1$ < $x_2$ \Rightarrow $x_1 - x_2$ < 0. Suy ra $f(x_1) - f(x_2)$ < 0

Vậy trên đoạn [2;3] hàm sô y = f(x) đồng biến

Do đó: 0 \leq y \leq 20

y = 20 \Leftrightarrow x = 3

Giá trị lớn nhất của y là 20 \Leftrightarrow x = 3

y = 0 \Leftrightarrow x = 2

Giá trị nhỏ nhất của y là 0 \Leftrightarrow x = 2

 

[thang271998]

Dạ thế thì cái đạo hàm bậc 1 đó lớp mấy mới được sử dụng ạ?:-?

Cách khác:

Giả sử $x_1, x_2$ thuộc [2;3] và $x_1$ < $x_2$

Xét: $f(x_1) - f(x_2)$ = $(x_{1}^4 - 2x_{1}^3 - 2x_{1}^2 + 3x_1 + 2) - (x_{2}^4 - 2x_{2}^3 - 2x_{2}^2 + 3x_2 + 2)$

= $(x_1 - x_2)( x_{1}^3 + x_{1}^2.x_2 + x_1.x_{2}^2 + x_{2}^3 - 2x_{1}^2 + 2x_1.x_2 - 2x_{2}^2 - 2x_1 - 2x_2 - 3)$

Đặt $A = x_{1}^3 + x_{1}^2.x_2 + x_1.x_{2}^2 + x_{2}^3 - 2x_{1}^2 + 2x_1.x_2 - 2x_{2}^2 - 2x_1 - 2x_2 - 3$

Biểu diễn: $A = x_1(x_1 - 1)^2 + x_2(x_2 - 1)^2 + x_1.x_2(x_1 + x_2 + 2) - 3(x_1 + x_2 +1)$

Ta thấy: $x_1(x_1 - 1)^2 + x_2(x_2 - 1)^2$ > 0 vì $x_1, x_2$ thuộc [2;3]

Còn $x_1.x_2(x_1 + x_2 + 2) - 3(x_1 + x_2 +1)$ ta đặt $x_1+x_2+1 = t$ >0. Khi đó được:

$x_1.x_2(t + 1) - 3t = x_1.x_2.t + x_1.x_2 - 3t = x_1.x_2 + t(x_1.x_2 - 3)$

Do $x_1, x_2$ thuộc [2;3] \Rightarrow $x_1.x_2 + t(x_1.x_2 - 3)$ > 0

Nên A > 0. Mặt khác $x_1$ < $x_2$ \Rightarrow $x_1 - x_2$ < 0. Suy ra $f(x_1) - f(x_2)$ < 0

Vậy trên đoạn [2;3] hàm sô y = f(x) đồng biến

Do đó: 0 \leq y \leq 20

y = 20 \Leftrightarrow x = 3

Giá trị lớn nhất của y là 20 \Leftrightarrow x = 3

y = 0 \Leftrightarrow x = 2

Giá trị nhỏ nhất của y là 0 \Leftrightarrow x = 2

Cách giải của em khá hay đấy xem còn cách nào nữa không nha..theo anh thì còn cách nữa..lớp 11,12 mới dùng đạo hàm em nhé!

 

[vuive_yeudoi]

Đề kiểm tra học kì của mình này! Câu cuối đó
$y=x^4-2x^3-2x^2+3x+2$ với x thuộc [2;3]
LG
\Rightarrow$y'=4x^3-6x^2-4x+3$
$y'=0$\Leftrightarrow$ 4x^3-6x^2-4x+3=0$
\Leftrightarrow $x=\frac{1+\sqrt{7}}{2}; x=\frac{1+\sqrt{7}}{2}; \frac{1}{2}$ (loại)

Ta có: f(2)=0; f(3)=20
Vậy
maxy=20
miny=0
P/S: Sao tôt ghét tôi thế lại sai bài ở lớp rồi còn thiếu nũa...thực sự tôi ghét tôi lắm...Phải cần thận hơn thôi..Cố gắng..MOng mọi người chứng thực hộ tôi việc này

Dùng đạo hàm để đoán được cực trị , và đẳng thức xảy ra ở đâu thôi , chứ nếu chưa học trên lớp và không hiểu rõ về cái em đương dùng thì đừng viết vô bài làm nha em

Thí dụ như giờ anh gọi :
$$ f=x^4-2x^3-2x^2+3x+2 \ ; \ x \in [2;3] $$
Dùng đạo hàm em đoán biết được GTLN của $f$ là bằng $20$ đạt tại $x=3$ .

Vậy em cần chứng minh :
$$ 20 \ge f \ ; \ x \in [2;3] $$
là hết chuyện .

Để chứng minh cái đó thì đơn giản là chứng minh :
$$ 20 -f \ge 0 \ ; \ x \in [2;3] $$
thôi

Có :
$$ 20-f=-x^4+2x^3+2x^2-3x+18$$
GTLN của $f$ là bằng $20$ đạt tại $x=3$ mà , vậy $x=3$ phải là một nghiệm của cái :
$$ -x^4+2x^3+2x^2-3x+18=0 $$

Tức là em sẽ phân tích được thành :
$$ 20-f=-x^4+2x^3+2x^2-3x+18=(x-3)(-x^3-x^2-x-6)=-(x-3)(x+2)(x^2-x+3) $$
Tóm gọn lại thì :
$$ 20-f=-(x-3)(x+2)(x^2-x+3)=(3-x)(x+2)(x^2-x+3) \ge 0 \ ; \ x \in [2;3] $$
Thế là chứng minh được :
$$ 20 \ge f \ ; \ x \in [2;3] $$
Tương tự vậy :
$$ f=(x-2)(x+1) \left( x^2-x-1 \right)=(x-2)(x+1) \left( 1+(x+1)(x-2) \right) \ge 0 \ ; \ x \in [2;3] $$

 

[m3o.ng0x]

THôi vậy để mình giải nha!
$x^2+\sqrt{x+5}=5$\Leftrightarrow$\sqrt{x+5}=5-x$
\Rightarrow$x+5=(5-x^2)$ với $5-x^2>0$
\Rightarrow $x+5=5^2-2x^2.5+x^4$. Đặt 5=t ta có $t^2-(2x^2+1)t+x^4-x=0$
tương đương với $5=t=x^2-x$ hoặc $5=t=x^2+x+1$
Thế này chắc là ra rùi! Bài này còn cách nữa là phần đặt $\sqrt{x+5}=t$ rồi suy ra hệ phương tnnhf nhưng cách này đặt t= 5 hay nhỉ???

thế tại sao mình không áp dụng công thức căn A=B vậy bạn! mình nghĩ như thế sẽ nhanh hơn đó!