Bài này mà để $x^2+\sqrt{x}=5$ sẽ là 1 bài khó!!!
Ta có $y'=2x+\frac{1}{2\sqrt{x}}$
Cái $y$ là cái gì ?
Xét: y'=0
\Leftrightarrow $0=2x+\frac{1}{2\sqrt{x}}$
Giải pt này là ra !
Giải phương trình đó thì ra cái gì ?
Ý em là ra nghiệm của phương trình :
$$ x^2+\sqrt{x}=5 $$
ấy hả ?
Anh không ý kiến chuyện có ra nghiệm thật không , nhưng mà :
$$ y^{'}=2x+\frac{1}{2\sqrt{x}} > 0 $$
nha em .
Bài này mà để $x^2+\sqrt{x}=5$ sẽ là 1 bài khó!!!
Đặt :
$$ t=\sqrt{x} \ge 0 $$
Đưa phương trình đề bài về dạng :
$$ t^4 + t =5 $$
Tương đương với :
$$ (t^2)^2=-t+5 $$
Cộng thêm $(t^2).y+\frac{y^2}{4}$ vào hai vế phương trình trên :
$$ (t^2)^2+(t^2).y+\frac{y^2}{4}=(t^2).y+\frac{y^2}{4}-t+5 $$
Tương đương :
$$ (t^2+\frac{y}{2})^2=y.t^2-t+\frac{y^2}{4}+5 \ \text{(1)} $$
Xét :
$$ g= y.t^2-t+\frac{y^2}{4}+5 $$
Cần tìm $y$ sao để cho phương trình $g =0$ theo $t$ có nghiệm kép :
$$ \Delta = 1-4.(y).(\frac{y^2}{4}+5)=0 $$
Tức là cần tìm một nghiệm nào đó của phương trình :
$$ 1-4.(y).(\frac{y^2}{4}+5)=0 $$
Tương đương với :
$$y^3+20y-1=0$$
Đặt :
$$ y=u+v $$
Phương trình bậc ba trên tương đương :
$$ (u^3+v^3)+(u+v)(3uv+20)-1=0 $$
Cần chọn các $u,v$ thỏa mãn :
$$ \begin{cases}
& u^3+v^3=1 \\
& 3uv+20=0
\end{cases}$$
Hay :
$$ \begin{cases}
& u^3+v^3=1 \\
& u^3.v^3=-\frac{8000}{27}
\end{cases}$$
Vậy $u^3 , v^3$ là nghiệm của phương trình bậc hai :
$$ k^2-k-\frac{8000}{27}=0 $$
Giải phương trình này ra nhận được giá trị của $u,v$ . Do vai trò $u,v$ như nhau nên chỉ cần xét :
$$ \begin{cases}
& u^3=\frac{9+\sqrt{96081}}{18} \\
& v^3= \frac{9-\sqrt{96081}}{18}
\end{cases}$$
Vậy ta chọn : $y=u+v > 0$ với các $u,v$ như trên là giá trị thỏa : $\Delta =0$ .
Tức là có thể phân tích $g$ thành :
$$ g=y.(t-\frac{1}{2y})^2 $$
Phương trình $\text{(1)}$ lúc này trở thành :
$$(t^2+\frac{y}{2})^2= (t.\sqrt{y}-\frac{1}{2.\sqrt{y}})^2 $$
Suy ra :
$$t^2+\frac{y}{2}= t.\sqrt{y}-\frac{1}{2.\sqrt{y}} \ \text{(2)} $$
Hoặc :
$$t^2+\frac{y}{2}=- t.\sqrt{y}+\frac{1}{2.\sqrt{y}} \ \text{(3)} $$
Phương trình $\text{(2)}$ vô nghiệm vì : $\Delta _{\text{(2)}} <0$
Nghiệm của phương trình $\text{(3)}$ là :
$$ t=\frac{-y+\sqrt{-y^2+2.\sqrt{y}}}{2.\sqrt{y}} >0 $$
Hoặc :
$$ t=\frac{-y-\sqrt{-y^2+2.\sqrt{y}}}{2.\sqrt{y}} <0 $$
Chọn nghiệm dương .
Vậy nghiệm của phương trình :
$$ x^2+\sqrt{x}=5 $$
là :
$$ x=t^2 $$
Với :
$$ t=\frac{-y+\sqrt{-y^2+2.\sqrt{y}}}{2.\sqrt{y}} $$
Trong đó :
$$ y=u+v$$
Với :
$$ \begin{cases}
& u^3=\frac{9+\sqrt{96081}}{18} \\
& v^3= \frac{9-\sqrt{96081}}{18}
\end{cases}$$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
