Tam thức bậc hai [TEX]f(x)= x^2 - 2mx +3m+4[/TEX] có hệ số [TEX]a = 1 > 0[/TEX]
[TEX]\Delta ' = m^2-3m-4 = (m+1)(m-4)[/TEX]
TH1: [TEX]\Delta < 0[/TEX], tam thức vô nghiệm, hay nói cách khác là giữ nguyên dấu với mọi [TEX]x[/TEX], và cùng dấu với hệ số [TEX]a[/TEX].
Tức [TEX]a.f(x) > 0 \forall \Rightarrow 1.f(x) > 0 \forall x \Rightarrow f(x) > 0 \forall x [/TEX]
vậy các giá trị của m làm cho [TEX]\Delta < 0[/TEX] (hay [TEX]\Delta '[/TEX] cũng được) thỏa mãn ycbt.
[TEX]\Delta ' <0 \Leftrightarrow (m+1)(m-4) <0 \Leftrightarrow m \in (-1; 4)[/TEX]
TH2: [TEX]\Delta = 0[/TEX], tam thức có nghiệm kép [TEX]x_0[/TEX] nào đó, hay nói cách khác có thể phân tích tam thức thành dạng [TEX]f(x) = a(x-x_0)^2[/TEX].
Rõ ràng [TEX]f(x) \geq 0 \forall x[/TEX] vì [TEX]a > 0[/TEX].
Do vậy các giá trị của m làm [TEX]\Delta = 0 [/TEX] cũng thỏa mãn ycbt.
[TEX]\Delta ' = 0 \Leftrightarrow m = -1 \text{ hoac }m = 4[/TEX]
TH3: [TEX]\Delta > 0[/TEX]. Khi đó tam thức có hai nghiệm phân biệt x1, x2. (giả sử x1 < x2)
Dấu của tam thức xác định bởi tính chất "trong trái, ngoài cùng", nghĩa là bất kỳ x nào nằm trong khoảng hai nghiệm (x1 < x < x2) sẽ cho f(x) trái dấu a, tức f(x) âm. Ngược lại, nếu x nằm ngoài khoảng hai nghiệm thì f(x) dương.
Vậy để [TEX]f(x) \geq 0 \forall x > 1[/TEX] thì cần cả hai nghiệm cùng phải nhỏ hơn 1. Em nhìn hình sẽ dễ hiểu hơn.
Với [TEX]x_1 < x_2 < 1[/TEX] ta có 1 nằm ngoài khoảng hai nghiệm nên a và f(1) là cùng dấu => [TEX]1(5+m) > 0 \Rightarrow m > -5[/TEX]
Hợp ba trường hợp lại có
[tex]\left[\begin{-1 < m < 4}\\{m=-1}\\{m=4}\\{m>-5} [/tex]
[TEX]\Rightarrow m > {-5}[/TEX]
