[Toán 10] Các dạng phương trình thường gặp

Thảo luận trong 'Phương trình. Hệ phương trình' bắt đầu bởi metla2011, 26 Tháng chín 2011.

Lượt xem: 82,353

  1. metla2011

    metla2011 Guest

    Sở hữu bí kíp ĐỖ ĐẠI HỌC ít nhất 24đ - Đặt chỗ ngay!

    Đọc sách & cùng chia sẻ cảm nhận về sách số 2


    Chào bạn mới. Bạn hãy đăng nhập và hỗ trợ thành viên môn học bạn học tốt. Cộng đồng sẽ hỗ trợ bạn CHÂN THÀNH khi bạn cần trợ giúp. Đừng chỉ nghĩ cho riêng mình. Hãy cho đi để cuộc sống này ý nghĩa hơn bạn nhé. Yêu thương!

    Như các bạn đã biết, giải phương trình là một mảng kiến thức rất rộng và vô cùng quan trọng, vì vậy mình lập pic này nhằm giúp các mem hệ thống hóa kiến thức giải các phương trình thường gặp. Các bạn có thể đóng góp ý kiến tại đây, nhưng nghiêm cấm việc post bài ngoài phạm vi của pic.
    *Dạng 1
    : Phương trình trùng phương
    +có dạng: [TEX]ax^4+bx^2+c=0(1)[/TEX]
    +Cách giải:
    -Đặt [TEX]t=x^2(t\geq 0)[/TEX]
    -(1) trở thành: [TEX]at^2+bt+c=0(2)[/TEX]
    -Giải (2), so điều kiện thế vào tìm x.
    *Dạng 2
    :phương trình hồi quy bậc bốn
    +có dạng: [TEX]ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0(1)(\left{ abde\not= 0\\\frac{e}{a}=(\frac{d}{b})^2\right.)[/TEX]
    +Cách giải:
    -Đặt [TEX]k=\frac{d}{b}[/TEX]
    -Chia 2 vế cho [TEX]x^2\not= 0[/TEX], ta được:
    [TEX](1)\Leftrightarrow a(x^2+\frac{k^2}{x^2}+b(x+\frac{k}{x})+c=0(2)[/TEX]
    -Đặt [TEX]t=x+\frac{k}{x}[/TEX], khi đó (2) trở thành:
    [TEX]at^2+bt+c-2ak=0[/TEX]
    +Bài tập đề nghị:
    1.[TEX]4x^4+12x^3+47x^2+12x+4=0[/TEX]
    2.[TEX]2x^4-21x^3+74x^2-105x+50=0[/TEX]
    *Dạng 3
    : phương trình có dạng: [TEX](x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=e(1) (a+b=c+d)[/TEX]
    +Cách giải:
    -Đặt [TEX]t=x^2+(a+b)x[/TEX]
    -(1) trở thành: [TEX]t^2+(ab+cd)t+abcd-e=0[/TEX]
    +Bài tập đề nghị:
    1.[TEX](x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=10[/TEX]
    2.[TEX](6x+5)^2.(3x+2)(x+1)=35[/TEX]
    *Dạng 4
    : phương trình có dạng: [TEX](x+a)^4+(x+b)^4=c(1)[/TEX]
    +Cách giải:
    -Đặt [TEX]t=x+\frac{a+b}{2}[/TEX]
    -(1) trở thành: [TEX]2t^4+12(\frac{a-b}{2})^4.t^2+2(\frac{a-b}{2})^4-c=0[/TEX]: đây là pt trùng phương quen thuộc.
    +Bài tập đề nghị:
    1. [TEX](x+4)^4+(x+6)^4=2[/TEX]
    2.[TEX](2x+3)^4+(2x-5)^4=706[/TEX].
     
    Last edited by a moderator: 7 Tháng năm 2012
  2. metla2011

    metla2011 Guest

    *Dạng 5: phương trình có dạng: [TEX](x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=ex^2(1) ( ab=cd=k)[/TEX]
    +Cách giải:
    -[TEX](1)\Leftrightarrow [x^2+(a+b)x+k][x^2+(c+d)x+k]=ex^2 (2)[/TEX]
    -Xét x=0 có là nghiệm của (2) không???
    -Xét [TEX]x \not= 0[/TEX]:
    [TEX](2)\Leftrightarrow (x+\frac{k}{x}+a+b)(x+\frac{k}{x}+c+d)=e (3)[/TEX]
    -Đặt [TEX]t=x+\frac{k}{x}+a+b[/TEX]
    -(3) trở thành:
    [TEX]t^2-(a+b-c-d)t-e=0[/TEX]
    -Giải tìm t thế vào tìm x.
    *Dạng 6: phương trình có dạng: [TEX](ax+b)^n=c\sqrt[n]{px+q}+dx+e[/TEX]
    +Cách giải: đặt ẩn phụ thích hợp để đưa về hệ phương trình đối xứng loại 2.
    +Bài tập đề nghị:
    1.[TEX]x^3-3\sqrt[3]{3x+2}=2[/TEX]
    2.[TEX]x=5-(5-x^2)^2[/TEX]
    *Dạng 7: tham số hóa cho phương trình
    +Cách giải: chọn 1 hằng số phù hợp và tham số hóa nó, sau đó hoán đổi vai trò của ẩn số và tham số để giải.
    +Ví dụ: Giải phương trình:[TEX]x^3+\frac{\sqrt{68}}{x^3}=\frac{15}{x}[/TEX]
    [TEX]PT\Leftrightarrow x^3+\frac{2\sqrt{17}}{x^3}=\frac{17-2}{x}[/TEX]
    Chọn 17 làm tham số, khi đó ta xét phương trình:
    [TEX]x^3+\frac{2m}{x^3}=\frac{m^2-2}{x}[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow x^2.m^2-2m-x^6-2x^2=0[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow \left[ m=-x^2=\sqrt{17}\\m=\frac{x^4+2}{x^2}=\sqrt{17}[/TEX]
    +Bài tập đề nghị:
    1.[TEX]x^4+x^3-2x^2-15x+25=0[/TEX]
    2.[TEX]x+\sqrt{11+\sqrt{x}}=11[/TEX]
     
  3. bboy114crew

    bboy114crew Guest

    Các phương pháp thường dùng để giải phương trình chứa dấu căn.
    Phương trình đại số là một vấn đề rất quan trọng trong chương trình toán phổ thông , là một trong những nội dung thường gặp trong các đề kiểm tra toán , thi tuyển sinh vào lớp 10, thi tuyển sinh vào đại học , thi chọn HSG toán THCS và THPT.


    Phương pháp 1:
    Đưa về phương trình cơ bản.
    [TEX]\sqrt{A}=\sqrt{B};\sqrt{A}=B[/TEX]
    Lưu ý:
    * [TEX]\sqrt{A} = \sqrt{B} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}A \geq 0\\A=B\end{array}\right [/TEX]
    * [TEX]\sqrt{A}=B \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}B \geq 0\\A=B^2\end{array}\right [/TEX]
    Ví dụ 1:Giải các phương trình sau:
    a)[TEX]\sqrt{3x-1}-\sqrt{x+7}=0[/TEX]
    b)[TEX]\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x^2+8}}=\frac{1}{3}[/TEX]
    Lời giải:
    a)[TEX]\sqrt{3x-1}-\sqrt{x+7}=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x+7 \geq 0\\3x-1=x+7\end{array}\right \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \geq -7\\2x=8\end{array}\right \Leftrightarrow x=4 [/TEX]
    b)[TEX]\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x^2+8}}=\frac{1}{3} \Leftrightarrow \sqrt{x^2+8}=3\sqrt{x} \Leftrightarrow \sqrt{x^2+8}=\sqrt{9x} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x^2+8 \geq 0\\x^2+8=9x\end{array}\right \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \in R\\x^2-9x+8=0\end{array}\right \Leftrightarrow x=1 or x=8[/TEX]
    Ví dụ 2:Giải các phương trình sau:
    a)[TEX]\sqrt{2x+7}-x=6[/TEX]
    b)[TEX]\sqrt{x+7}-5=-x[/TEX]
    Lời giải:
    a)[TEX]\sqrt{2x+7}-x=6 \Leftrightarrow \sqrt{2x+7} = x+6 \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x+6 \geq 0\\2x+27=(x+6)^2\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \geq -6\\x^2+10x+9=0\end{array}\right. \Leftrightarrow x=-1[/TEX]
    b)[TEX]\sqrt{x+7}-5=-x \Leftrightarrow \sqrt{x+7}=5-x \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}5-x \geq 0\\x+7=(5-x)^2\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \geq 5\\x^2-11x+18=0\end{array}\right. \Leftrightarrow x=2[/TEX]
    Bài tập:
    1)[TEX]\sqrt{x^2-4x+3}=4x-x^2[/TEX]
    2)[TEX]\sqrt{7x^2+8x+10}-\sqrt{x^2-8x+10}=2x[/TEX]
    Phương pháp 2:
    NÂNG LÊN LUỸ THỪA .
    Ví dụ 3: Giải phương trình:
    [TEX]\sqrt{2x-1}-2\sqrt{x-1}=-1[/TEX]
    (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 phổ thông năng khiếu - Đại học Quốc gia , TP Hồ Chí Minh.2008-2009)
    Lời giải :
    ĐKXD: [TEX]x \geq 1[/TEX]
    Ta có:
    [TEX]\sqrt{2x-1}-2\sqrt{x-1}=-1\\ \Leftrightarrow (\sqrt{2x-1}+1)^2=(2\sqrt{x-1})^2 \\ \Leftrightarrow 2x-1 + 2\sqrt{x-1}+1=4(x-1) \\ \Leftrightarrow 2\sqrt{x-1} = 2x-4 \\ \Leftrightarrow \sqrt{2x-1}=x-2 \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x-2 \geq 0\\2x-1 = (x-2)^2\end{array}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \geq 2\\x^2-6x+5=0 \end{array}\right. \\ \Leftrightarrow x=5[/TEX]
    Ví dụ 4:Giải phương trình:
    [TEX]\sqrt{x+2}-\sqrt{2x-3}=\sqrt{3x-5}[/TEX]
    Lời giải:
    Ta có:
    [TEX]\sqrt{x+2}-\sqrt{2x-3}=\sqrt{3x-5}[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow \sqrt{x+2}=\sqrt{3x-5}+\sqrt{2x-3}[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow x+2=(\sqrt{3x-5}+\sqrt{2x-3})^2[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow x+2=3x-5+ 2\sqrt{(3x-5)(2x-3}+2x-3[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow -4x+10 = 2\sqrt{(3x-5)(2x-3}[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}-2x+5 \geq 0\\(3x-5)(2x-3)=(-2x+5)^2\end{array}\right [/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \leq \frac{5}{2}\\2x^2+x-10=0(*)\end{array}\right[/TEX]
    Giả phương trình (*) ta được:
    [TEX]x_1=2;x_2=\frac{-5}{2}[/TEX]
    Ví dụ 5:Giải phương trình:
    [TEX]\sqrt{x+1}+\sqrt{2x+3}=\sqrt{3x}+\sqrt{2x-2}[/TEX]
    [TEX]\Rightarrow \sqrt{2x+3}-\sqrt{2x-2}=\sqrt{3x}-\sqrt{x+1}[/TEX]
    [TEX]\Rightarrow (\sqrt{2x+3}-\sqrt{2x-2})^2=(\sqrt{3x}-\sqrt{x+1})^2[/TEX]
    [TEX]\Rightarrow \sqrt{(2x+3)(2x-2)}=\sqrt{(x+1)3x}[/TEX]
    [TEX]\Rightarrow x^2-x-6=0[/TEX]
    [TEX]\Rightarrow x=-2 or x=3[/TEX]
    thử lại thấy x=3 là nghiệm!
    Phương pháp 3:
    ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
    .
    Ví dụ 6:Giải phương trình:
    [TEX]\sqrt{x+3+4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}[/TEX]
    (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10, trương THPT chuyên Lê Hồng Phong.2002-2003)
    Lời giải :
    ĐKXD: [TEX]x \geq 1[/TEX]
    Ta có:[TEX]\sqrt{x+3+4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow \sqrt{(\sqrt{x-1}+2)^2}+ \sqrt{(\sqrt{x-1}-3}=5[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow \sqrt{x-1}+2 + |\sqrt{x-1}-3|=5[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow |\sqrt{x-1}-3|= 3 - \sqrt{x-1}[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow \sqrt{x-1}-3 \leq 0 \Leftrightarrow \sqrt{x-1} \leq 3[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow 1\ leq x \leq 10[/TEX]
    Ví dụ 4:
    [TEX]\sqrt{x+2+3\sqrt{2x-5}}+\sqrt{x-2-\sqrt{2x-5}}=2\sqrt{2}[/TEX]
    (Đề thi HSG tỉnh Tiêng Giang.2008-2009)
    Lời giải:
    [TEX]\sqrt{x+2+3\sqrt{2x-5}}+\sqrt{x-2-\sqrt{2x-5}}=2\sqrt{2}[/TEX]
    [TEX] \Leftrightarrow \sqrt{2x+4+6\sqrt{2x-5}}+\sqrt{2x-4-2\sqrt{2x-5}}=4[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow \sqrt{(\sqrt{2x-5}-3)^2}+\sqrt{(\sqrt{2x-5}-1)^2}=4[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow \sqrt{2x-5}+3+|\sqrt{2x-5}-1|=4[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow |\sqrt{2x-5}-1| = 1- \sqrt{2x-5}[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow \sqrt{2x-5}-1 \leq 1[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow \sqrt{2x-5} \leq 1[/TEX]
    [TEX]\frac{5}{2} \leq x \leq 3[/TEX]
    Phương pháp 4:
    ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH.

    Ví dụ 8:Giải phương trình:
    [TEX](2x+7)\sqrt{2x+7}=x^2+9x+7[/TEX]
    (Đề tuyển sinh vào lớp 10 chuyên ĐHKHTN -ĐHQG Hà Nội,2008-2009)
    Lời giải :
    ĐKXD:[TEX]x \geq \frac{-7}{2}[/TEX]
    Ta có:
    [TEX](2x+7)\sqrt{2x+7}=x^2+9x+7[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow 2x+7 -(2x+7)\sqrt{2x+7}+x(x+7)=0[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow (\sqrt{2x+7}-x)(\sqrt{2x+7}-x-7)=0[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow \sqrt{2x+7}-x=0[/TEX]
    hoặc [TEX]\sqrt{2x+7}-x-7=0[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow x=1+2\sqrt{2}[/TEX]
    Ví dụ 9:Giải phương trình:
    [TEX]2x\sqrt{x+2]+15=10x+3\sqrt{x+2}[/TEX]
    Lời giải :
    Ta có:
    [TEX]2x\sqrt{x+2]+15=10x+3\sqrt{x+2}[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow 2x\sqrt{x+2}-10x-3\sqrt{x+2}+15=0[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow (\sqrt{x+2}-5)(2x-3)=0[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow \sqrt{x+2}-5=0[/TEX]
    hoặc [TEX] 2x-3=0[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow x=23;x=\frac{3}{2}[/TEX]
    p\s: còn 4 phương pháp nữa!
     
    Last edited by a moderator: 27 Tháng chín 2011
    websitenguyendan thích bài này.
  4. Phương pháp đặt ẳn phụ trong giả phương trình vô tỉ
    [​IMG]
     
  5. [​IMG]
     
    Last edited by a moderator: 5 Tháng mười 2011
  6. [​IMG]
     
    Last edited by a moderator: 5 Tháng mười 2011
  7. [​IMG]
     
  8. Các bài tập áp dụng
    Bài 1:GIải các phương trình sau:

    [TEX]1.3x^2+15x+2\sqrt{(3x+4)(x+4)}=2[/TEX]

    [TEX]2.\sqrt{x^2+15}=3x-2+\sqrt{x^2+8}[/TEX]

    [TEX]3.x^5+x^3-\sqrt{1-3x}+4=0[/TEX]

    [TEX]4.\sqrt{3x^2-7x+3}-\sqrt{x^2-2}=\sqrt{3x^2-5x-1}-\sqrt{x^2-3x+4}[/TEX]
     
  9. angel_small

    angel_small Guest

    [TEX]4.\sqrt{3x^2-7x+3}-\sqrt{x^2-2}=\sqrt{3x^2-5x-1}-\sqrt{x^2-3x+4}[/TEX]
    Câu này dùng nhân liên hợp

    [TEX]3.x^5+x^3-\sqrt{1-3x}+4=0[/TEX]

    Đặt [TEX]f(x)=x^5+x^3-\sqrt{1-3x}+4[/TEX] với [TEX]x\leq \frac{1}{3}[/TEX]

    có [TEX]f`(x)=5x^4+3x^2+\frac{3}{2\sqrt{1-3x}}>0 \forall x<\frac{1}{3}[/TEX]

    Vậy f(x)là hàm đồng biến khi x<1/3
    có f(-1)=0.Vậy x=-1 là nhiệm duy nhất của pt


     
    Last edited by a moderator: 14 Tháng mười 2011
  10. bài 5 : giải phương trình:
    [TEX](x+5)\sqrt[]{x+1}+1=\sqrt[3]{3x+4}[/TEX]​
     
  11. locxoaymgk

    locxoaymgk Guest

    Áp dụng AM - GM
    Ta có [TEX]\sqrt[3]{3x+4}\le \frac{3x+6}{3} =x+2[/TEX]
    Vậy khi đó ta có :
    [TEX](x+5)\sqrt{x+1}+1\le x+2[/TEX]

    Đặt [TEX]t=\sqrt{x+1} , t\ge 0[/TEX]

    [TEX]\Leftrightarrow (t^2+4)t -t^2\le 0[/TEX]

    [TEX]\Leftrightarrow t(t^2-t+4)\le 0 \Leftrightarrow t\le 0[/TEX]
    (vì [TEX] t^2-t+4 \ge 0 \forall t [/TEX])

    Kết hợp với điều kện của t suy ra [TEX]t= 0 \Rightarrow x=-1[/TEX] thỏa mãn
    Vậy nghiệm của PT là [TEX] x=-1.[/TEX]
     
  12. Bài 6:Giải phương trình

    [TEX]\sqrt[3]{x+34}-\sqrt[3]{x-3}=1[/TEX]

    Bài7:Giải phương trình

    [TEX]3x^2+15x+2\sqrt{x^2+5x+1}=0[/TEX]
     
    Last edited by a moderator: 19 Tháng mười 2011
  13. asroma11235

    asroma11235 Guest

    Bài 1

    [TEX]\left\{a^3-b^3=37\\{a-b=1[/TEX]
    Bài 2:Đặt [TEX]\sqrt{x^2+5x+1}=t[/TEX]
    PT<=> [TEX]3t^2+2t=3[/TEX]
     
    Last edited by a moderator: 19 Tháng mười 2011
  14. asroma11235

    asroma11235 Guest

  15. thanks ca nha!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
     
  16. Giải dùm em pt này với
    [tex]\frac{6x^2}{\sqrt{x^2 + 1} [/tex] + x^2 +1 = x( 3 + 2 [tex]\sqrt{x^2 + 1})[/tex]
     
    Last edited by a moderator: 25 Tháng tư 2012
  17. *Dạng 7: tham số hóa cho phương trình
    +Cách giải: chọn 1 hằng số phù hợp và tham số hóa nó, sau đó hoán đổi vai trò của ẩn số và tham số để giải.
    +Ví dụ: Giải phương trình:[TEX]x^3+\frac{\sqrt{68}}{x^3}=\frac{15}{x}[/TEX]
    [TEX]PT\Leftrightarrow x^3+\frac{2\sqrt{17}}{x^3}=\frac{17-2}{x}[/TEX]
    Chọn 17 làm tham số, khi đó ta xét phương trình:
    [TEX]x^3+\frac{2m}{x^3}=\frac{m^2-2}{x}[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow x^2.m^2-2m-x^6-2x^2=0[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow \left[ m=-x^2=\sqrt{17}\\m=\frac{x^4+2}{x^2}=\sqrt{17}[/TEX]
    +Bài tập đề nghị:
    1.[TEX]x^4+x^3-2x^2-15x+25=0[/TEX]
    2.[TEX]x+\sqrt{11+\sqrt{x}}=11[/TEX][/SIZE][/QUOTE]
    có thể hướng dẫn 1 vài ví dụ nữa đk k? mình chưa biết áp dũng cách giải này
     
  18. 123phandau

    123phandau Guest

    Không biết trang nào trên mạng mà lovelycat_handoi95 đã đưa lên ở phía trên về phần phương trình vô tỉ đấy ạ.Em thấy hay phết đó
     
  19. pipikhohieu

    pipikhohieu Guest

    bài 1, [tex] x^3 - 15x^2 + 78x - 141 = 5\sqrt[3]{2x-9} [/tex]
    bài 2 ,[tex] 2^(x-1) - 2x^(x^2-x) = (x-1)^2 [/tex]
    bài 3 ,chứng minh phương trình [tex] \sqrt{x - \sqrt[3]{18}} + \sqrt{x-\sqrt{5}} = \sqrt{x-\sqrt{2}} [/tex] có nghiệm duy nhất
     
  20. pipikhohieu

    pipikhohieu Guest

    bài 4, [tex] 8x^2-13x+7 = (x+\frac{1}{x})\sqrt{3x^2-2}[/tex]
    bài 5, [tex]7x^2 - 13x +8 = 2x^2\sqrt[3]{x(1+3x-3x^2)}[/tex]
    bài 6, [tex]\sqrt[4]{18-x}-\sqrt[4]{x-1}=3[/tex]
    :confused::confused::confused::confused::confused::confused:
     
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->