Toán 10 [Toán 10] Các dạng phương trình thường gặp

[metla2011]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Như các bạn đã biết, giải phương trình là một mảng kiến thức rất rộng và vô cùng quan trọng, vì vậy mình lập pic này nhằm giúp các mem hệ thống hóa kiến thức giải các phương trình thường gặp. Các bạn có thể đóng góp ý kiến tại đây, nhưng nghiêm cấm việc post bài ngoài phạm vi của pic.
*Dạng 1 : Phương trình trùng phương
+có dạng: [TEX]ax^4+bx^2+c=0(1)[/TEX]
+Cách giải:
-Đặt [TEX]t=x^2(t\geq 0)[/TEX]
-(1) trở thành: [TEX]at^2+bt+c=0(2)[/TEX]
-Giải (2), so điều kiện thế vào tìm x.
*Dạng 2 hương trình hồi quy bậc bốn
+có dạng: [TEX]ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0(1)(\left{ abde\not= 0\\\frac{e}{a}=(\frac{d}{b})^2\right.)[/TEX]
+Cách giải:
-Đặt [TEX]k=\frac{d}{b}[/TEX]
-Chia 2 vế cho [TEX]x^2\not= 0[/TEX], ta được:
[TEX](1)\Leftrightarrow a(x^2+\frac{k^2}{x^2}+b(x+\frac{k}{x})+c=0(2)[/TEX]
-Đặt [TEX]t=x+\frac{k}{x}[/TEX], khi đó (2) trở thành:
[TEX]at^2+bt+c-2ak=0[/TEX]
+Bài tập đề nghị:
1.[TEX]4x^4+12x^3+47x^2+12x+4=0[/TEX]
2.[TEX]2x^4-21x^3+74x^2-105x+50=0[/TEX]
*Dạng 3 : phương trình có dạng: [TEX](x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=e(1) (a+b=c+d)[/TEX]
+Cách giải:
-Đặt [TEX]t=x^2+(a+b)x[/TEX]
-(1) trở thành: [TEX]t^2+(ab+cd)t+abcd-e=0[/TEX]
+Bài tập đề nghị:
1.[TEX](x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=10[/TEX]
2.[TEX](6x+5)^2.(3x+2)(x+1)=35[/TEX]
*Dạng 4 : phương trình có dạng: [TEX](x+a)^4+(x+b)^4=c(1)[/TEX]
+Cách giải:
-Đặt [TEX]t=x+\frac{a+b}{2}[/TEX]
-(1) trở thành: [TEX]2t^4+12(\frac{a-b}{2})^4.t^2+2(\frac{a-b}{2})^4-c=0[/TEX]: đây là pt trùng phương quen thuộc.
+Bài tập đề nghị:
1. [TEX](x+4)^4+(x+6)^4=2[/TEX]
2.[TEX](2x+3)^4+(2x-5)^4=706[/TEX].

 

[metla2011]

*Dạng 5: phương trình có dạng: [TEX](x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=ex^2(1) ( ab=cd=k)[/TEX]
+Cách giải:
-[TEX](1)\Leftrightarrow [x^2+(a+b)x+k][x^2+(c+d)x+k]=ex^2 (2)[/TEX]
-Xét x=0 có là nghiệm của (2) không???
-Xét [TEX]x \not= 0[/TEX]:
[TEX](2)\Leftrightarrow (x+\frac{k}{x}+a+b)(x+\frac{k}{x}+c+d)=e (3)[/TEX]
-Đặt [TEX]t=x+\frac{k}{x}+a+b[/TEX]
-(3) trở thành:
[TEX]t^2-(a+b-c-d)t-e=0[/TEX]
-Giải tìm t thế vào tìm x.
*Dạng 6: phương trình có dạng: [TEX](ax+b)^n=c\sqrt[n]{px+q}+dx+e[/TEX]
+Cách giải: đặt ẩn phụ thích hợp để đưa về hệ phương trình đối xứng loại 2.
+Bài tập đề nghị:
1.[TEX]x^3-3\sqrt[3]{3x+2}=2[/TEX]
2.[TEX]x=5-(5-x^2)^2[/TEX]
*Dạng 7: tham số hóa cho phương trình
+Cách giải: chọn 1 hằng số phù hợp và tham số hóa nó, sau đó hoán đổi vai trò của ẩn số và tham số để giải.
+Ví dụ: Giải phương trình:[TEX]x^3+\frac{\sqrt{68}}{x^3}=\frac{15}{x}[/TEX]
[TEX]PT\Leftrightarrow x^3+\frac{2\sqrt{17}}{x^3}=\frac{17-2}{x}[/TEX]
Chọn 17 làm tham số, khi đó ta xét phương trình:
[TEX]x^3+\frac{2m}{x^3}=\frac{m^2-2}{x}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x^2.m^2-2m-x^6-2x^2=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left[ m=-x^2=\sqrt{17}\\m=\frac{x^4+2}{x^2}=\sqrt{17}[/TEX]
+Bài tập đề nghị:
1.[TEX]x^4+x^3-2x^2-15x+25=0[/TEX]
2.[TEX]x+\sqrt{11+\sqrt{x}}=11[/TEX]

 

[bboy114crew]

Các phương pháp thường dùng để giải phương trình chứa dấu căn.
Phương trình đại số là một vấn đề rất quan trọng trong chương trình toán phổ thông , là một trong những nội dung thường gặp trong các đề kiểm tra toán , thi tuyển sinh vào lớp 10, thi tuyển sinh vào đại học , thi chọn HSG toán THCS và THPT.


Phương pháp 1:
Đưa về phương trình cơ bản.
[TEX]\sqrt{A}=\sqrt{B};\sqrt{A}=B[/TEX]
Lưu ý:
* [TEX]\sqrt{A} = \sqrt{B} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}A \geq 0\\A=B\end{array}\right [/TEX]
* [TEX]\sqrt{A}=B \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}B \geq 0\\A=B^2\end{array}\right [/TEX]
Ví dụ 1:Giải các phương trình sau:
a)[TEX]\sqrt{3x-1}-\sqrt{x+7}=0[/TEX]
b)[TEX]\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x^2+8}}=\frac{1}{3}[/TEX]
Lời giải:
a)[TEX]\sqrt{3x-1}-\sqrt{x+7}=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x+7 \geq 0\\3x-1=x+7\end{array}\right \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \geq -7\\2x=8\end{array}\right \Leftrightarrow x=4 [/TEX]
b)[TEX]\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x^2+8}}=\frac{1}{3} \Leftrightarrow \sqrt{x^2+8}=3\sqrt{x} \Leftrightarrow \sqrt{x^2+8}=\sqrt{9x} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x^2+8 \geq 0\\x^2+8=9x\end{array}\right \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \in R\\x^2-9x+8=0\end{array}\right \Leftrightarrow x=1 or x=8[/TEX]
Ví dụ 2:Giải các phương trình sau:
a)[TEX]\sqrt{2x+7}-x=6[/TEX]
b)[TEX]\sqrt{x+7}-5=-x[/TEX]
Lời giải:
a)[TEX]\sqrt{2x+7}-x=6 \Leftrightarrow \sqrt{2x+7} = x+6 \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x+6 \geq 0\\2x+27=(x+6)^2\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \geq -6\\x^2+10x+9=0\end{array}\right. \Leftrightarrow x=-1[/TEX]
b)[TEX]\sqrt{x+7}-5=-x \Leftrightarrow \sqrt{x+7}=5-x \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}5-x \geq 0\\x+7=(5-x)^2\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \geq 5\\x^2-11x+18=0\end{array}\right. \Leftrightarrow x=2[/TEX]
Bài tập:
1)[TEX]\sqrt{x^2-4x+3}=4x-x^2[/TEX]
2)[TEX]\sqrt{7x^2+8x+10}-\sqrt{x^2-8x+10}=2x[/TEX]
Phương pháp 2:
NÂNG LÊN LUỸ THỪA .
Ví dụ 3: Giải phương trình:
[TEX]\sqrt{2x-1}-2\sqrt{x-1}=-1[/TEX]
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 phổ thông năng khiếu - Đại học Quốc gia , TP Hồ Chí Minh.2008-2009)
Lời giải :
ĐKXD: [TEX]x \geq 1[/TEX]
Ta có:
[TEX]\sqrt{2x-1}-2\sqrt{x-1}=-1\\ \Leftrightarrow (\sqrt{2x-1}+1)^2=(2\sqrt{x-1})^2 \\ \Leftrightarrow 2x-1 + 2\sqrt{x-1}+1=4(x-1) \\ \Leftrightarrow 2\sqrt{x-1} = 2x-4 \\ \Leftrightarrow \sqrt{2x-1}=x-2 \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x-2 \geq 0\\2x-1 = (x-2)^2\end{array}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \geq 2\\x^2-6x+5=0 \end{array}\right. \\ \Leftrightarrow x=5[/TEX]
Ví dụ 4:Giải phương trình:
[TEX]\sqrt{x+2}-\sqrt{2x-3}=\sqrt{3x-5}[/TEX]
Lời giải:
Ta có:
[TEX]\sqrt{x+2}-\sqrt{2x-3}=\sqrt{3x-5}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{x+2}=\sqrt{3x-5}+\sqrt{2x-3}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x+2=(\sqrt{3x-5}+\sqrt{2x-3})^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x+2=3x-5+ 2\sqrt{(3x-5)(2x-3}+2x-3[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow -4x+10 = 2\sqrt{(3x-5)(2x-3}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}-2x+5 \geq 0\\(3x-5)(2x-3)=(-2x+5)^2\end{array}\right [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \leq \frac{5}{2}\\2x^2+x-10=0(*)\end{array}\right[/TEX]
Giả phương trình (*) ta được:
[TEX]x_1=2;x_2=\frac{-5}{2}[/TEX]
Ví dụ 5:Giải phương trình:
[TEX]\sqrt{x+1}+\sqrt{2x+3}=\sqrt{3x}+\sqrt{2x-2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \sqrt{2x+3}-\sqrt{2x-2}=\sqrt{3x}-\sqrt{x+1}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow (\sqrt{2x+3}-\sqrt{2x-2})^2=(\sqrt{3x}-\sqrt{x+1})^2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \sqrt{(2x+3)(2x-2)}=\sqrt{(x+1)3x}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x^2-x-6=0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x=-2 or x=3[/TEX]
thử lại thấy x=3 là nghiệm!
Phương pháp 3:
ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI .
Ví dụ 6:Giải phương trình:
[TEX]\sqrt{x+3+4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}[/TEX]
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10, trương THPT chuyên Lê Hồng Phong.2002-2003)
Lời giải :
ĐKXD: [TEX]x \geq 1[/TEX]
Ta có:[TEX]\sqrt{x+3+4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{(\sqrt{x-1}+2)^2}+ \sqrt{(\sqrt{x-1}-3}=5[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{x-1}+2 + |\sqrt{x-1}-3|=5[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow |\sqrt{x-1}-3|= 3 - \sqrt{x-1}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{x-1}-3 \leq 0 \Leftrightarrow \sqrt{x-1} \leq 3[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 1\ leq x \leq 10[/TEX]
Ví dụ 4:
[TEX]\sqrt{x+2+3\sqrt{2x-5}}+\sqrt{x-2-\sqrt{2x-5}}=2\sqrt{2}[/TEX]
(Đề thi HSG tỉnh Tiêng Giang.2008-2009)
Lời giải:
[TEX]\sqrt{x+2+3\sqrt{2x-5}}+\sqrt{x-2-\sqrt{2x-5}}=2\sqrt{2}[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \sqrt{2x+4+6\sqrt{2x-5}}+\sqrt{2x-4-2\sqrt{2x-5}}=4[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{(\sqrt{2x-5}-3)^2}+\sqrt{(\sqrt{2x-5}-1)^2}=4[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{2x-5}+3+|\sqrt{2x-5}-1|=4[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow |\sqrt{2x-5}-1| = 1- \sqrt{2x-5}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{2x-5}-1 \leq 1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{2x-5} \leq 1[/TEX]
[TEX]\frac{5}{2} \leq x \leq 3[/TEX]
Phương pháp 4:
ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH.
Ví dụ 8:Giải phương trình:
[TEX](2x+7)\sqrt{2x+7}=x^2+9x+7[/TEX]
(Đề tuyển sinh vào lớp 10 chuyên ĐHKHTN -ĐHQG Hà Nội,2008-2009)
Lời giải :
ĐKXD:[TEX]x \geq \frac{-7}{2}[/TEX]
Ta có:
[TEX](2x+7)\sqrt{2x+7}=x^2+9x+7[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2x+7 -(2x+7)\sqrt{2x+7}+x(x+7)=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (\sqrt{2x+7}-x)(\sqrt{2x+7}-x-7)=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{2x+7}-x=0[/TEX]
hoặc [TEX]\sqrt{2x+7}-x-7=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x=1+2\sqrt{2}[/TEX]
Ví dụ 9:Giải phương trình:
[TEX]2x\sqrt{x+2]+15=10x+3\sqrt{x+2}[/TEX]
Lời giải :
Ta có:
[TEX]2x\sqrt{x+2]+15=10x+3\sqrt{x+2}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2x\sqrt{x+2}-10x-3\sqrt{x+2}+15=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (\sqrt{x+2}-5)(2x-3)=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{x+2}-5=0[/TEX]
hoặc [TEX] 2x-3=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x=23;x=\frac{3}{2}[/TEX]
p\s: còn 4 phương pháp nữa!

 

[lovelycat_handoi95]

Phương pháp đặt ẳn phụ trong giả phương trình vô tỉ

 

[lovelycat_handoi95]

 

[lovelycat_handoi95]

 

[lovelycat_handoi95]

 

[lovelycat_handoi95]

Các bài tập áp dụng
Bài 1:GIải các phương trình sau:

[TEX]1.3x^2+15x+2\sqrt{(3x+4)(x+4)}=2[/TEX]

[TEX]2.\sqrt{x^2+15}=3x-2+\sqrt{x^2+8}[/TEX]

[TEX]3.x^5+x^3-\sqrt{1-3x}+4=0[/TEX]

[TEX]4.\sqrt{3x^2-7x+3}-\sqrt{x^2-2}=\sqrt{3x^2-5x-1}-\sqrt{x^2-3x+4}[/TEX]

 

[angel_small]

[TEX]4.\sqrt{3x^2-7x+3}-\sqrt{x^2-2}=\sqrt{3x^2-5x-1}-\sqrt{x^2-3x+4}[/TEX]
Câu này dùng nhân liên hợp

[TEX]3.x^5+x^3-\sqrt{1-3x}+4=0[/TEX]

Đặt [TEX]f(x)=x^5+x^3-\sqrt{1-3x}+4[/TEX] với [TEX]x\leq \frac{1}{3}[/TEX]

có [TEX]f`(x)=5x^4+3x^2+\frac{3}{2\sqrt{1-3x}}>0 \forall x<\frac{1}{3}[/TEX]

Vậy f(x)là hàm đồng biến khi x<1/3
có f(-1)=0.Vậy x=-1 là nhiệm duy nhất của pt

 

[ngoa_long_tien_sinh]

bài 5 : giải phương trình:

[TEX](x+5)\sqrt[]{x+1}+1=\sqrt[3]{3x+4}[/TEX]​

 

[locxoaymgk]

bài 5 : giải phương trình:

[TEX](x+5)\sqrt[]{x+1}+1=\sqrt[3]{3x+4}[/TEX]​

Áp dụng AM - GM
Ta có [TEX]\sqrt[3]{3x+4}\le \frac{3x+6}{3} =x+2[/TEX]
Vậy khi đó ta có :
[TEX](x+5)\sqrt{x+1}+1\le x+2[/TEX]

Đặt [TEX]t=\sqrt{x+1} , t\ge 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (t^2+4)t -t^2\le 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow t(t^2-t+4)\le 0 \Leftrightarrow t\le 0[/TEX]
(vì [TEX] t^2-t+4 \ge 0 \forall t [/TEX])

Kết hợp với điều kện của t suy ra [TEX]t= 0 \Rightarrow x=-1[/TEX] thỏa mãn
Vậy nghiệm của PT là [TEX] x=-1.[/TEX]

 

[lovelycat_handoi95]

Bài 6:Giải phương trình

[TEX]\sqrt[3]{x+34}-\sqrt[3]{x-3}=1[/TEX]

Bài7:Giải phương trình

[TEX]3x^2+15x+2\sqrt{x^2+5x+1}=0[/TEX]

 

[asroma11235]

Bài 1

[TEX]\left\{a^3-b^3=37\\{a-b=1[/TEX]
Bài 2:Đặt [TEX]\sqrt{x^2+5x+1}=t[/TEX]
PT<=> [TEX]3t^2+2t=3[/TEX]

 

[asroma11235]

Giải pt:

http://diendan.hocmai.vn/picture.php?albumid=7484&pictureid=73412
Nếu ko thấy thì ở đây

 

[hoangthinhanhuyen]

thanks ca nha!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

 

[ducnguyen1996]

Giải dùm em pt này với
[tex]\frac{6x^2}{\sqrt{x^2 + 1} [/tex] + x^2 +1 = x( 3 + 2 [tex]\sqrt{x^2 + 1})[/tex]

 

[linhduongdaubo97]

*Dạng 7: tham số hóa cho phương trình
+Cách giải: chọn 1 hằng số phù hợp và tham số hóa nó, sau đó hoán đổi vai trò của ẩn số và tham số để giải.
+Ví dụ: Giải phương trình:[TEX]x^3+\frac{\sqrt{68}}{x^3}=\frac{15}{x}[/TEX]
[TEX]PT\Leftrightarrow x^3+\frac{2\sqrt{17}}{x^3}=\frac{17-2}{x}[/TEX]
Chọn 17 làm tham số, khi đó ta xét phương trình:
[TEX]x^3+\frac{2m}{x^3}=\frac{m^2-2}{x}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x^2.m^2-2m-x^6-2x^2=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left[ m=-x^2=\sqrt{17}\\m=\frac{x^4+2}{x^2}=\sqrt{17}[/TEX]
+Bài tập đề nghị:
1.[TEX]x^4+x^3-2x^2-15x+25=0[/TEX]
2.[TEX]x+\sqrt{11+\sqrt{x}}=11[/TEX][/SIZE][/QUOTE]
có thể hướng dẫn 1 vài ví dụ nữa đk k? mình chưa biết áp dũng cách giải này

 

[123phandau]

Không biết trang nào trên mạng mà lovelycat_handoi95 đã đưa lên ở phía trên về phần phương trình vô tỉ đấy ạ.Em thấy hay phết đó

 

[pipikhohieu]

bài 1, [tex] x^3 - 15x^2 + 78x - 141 = 5\sqrt[3]{2x-9} [/tex]
bài 2 ,[tex] 2^(x-1) - 2x^(x^2-x) = (x-1)^2 [/tex]
bài 3 ,chứng minh phương trình [tex] \sqrt{x - \sqrt[3]{18}} + \sqrt{x-\sqrt{5}} = \sqrt{x-\sqrt{2}} [/tex] có nghiệm duy nhất

 

[pipikhohieu]

bài 4, [tex] 8x^2-13x+7 = (x+\frac{1}{x})\sqrt{3x^2-2}[/tex]
bài 5, [tex]7x^2 - 13x +8 = 2x^2\sqrt[3]{x(1+3x-3x^2)}[/tex]
bài 6, [tex]\sqrt[4]{18-x}-\sqrt[4]{x-1}=3[/tex]