Các phương pháp thường dùng để giải phương trình chứa dấu căn.
Phương trình đại số là một vấn đề rất quan trọng trong chương trình toán phổ thông , là một trong những nội dung thường gặp trong các đề kiểm tra toán , thi tuyển sinh vào lớp 10, thi tuyển sinh vào đại học , thi chọn HSG toán THCS và THPT.
Phương pháp 1:
Đưa về phương trình cơ bản.
[TEX]\sqrt{A}=\sqrt{B};\sqrt{A}=B[/TEX]
Lưu ý:
* [TEX]\sqrt{A} = \sqrt{B} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}A \geq 0\\A=B\end{array}\right [/TEX]
* [TEX]\sqrt{A}=B \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}B \geq 0\\A=B^2\end{array}\right [/TEX]
Ví dụ 1:Giải các phương trình sau:
a)[TEX]\sqrt{3x-1}-\sqrt{x+7}=0[/TEX]
b)[TEX]\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x^2+8}}=\frac{1}{3}[/TEX]
Lời giải:
a)[TEX]\sqrt{3x-1}-\sqrt{x+7}=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x+7 \geq 0\\3x-1=x+7\end{array}\right \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \geq -7\\2x=8\end{array}\right \Leftrightarrow x=4 [/TEX]
b)[TEX]\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x^2+8}}=\frac{1}{3} \Leftrightarrow \sqrt{x^2+8}=3\sqrt{x} \Leftrightarrow \sqrt{x^2+8}=\sqrt{9x} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x^2+8 \geq 0\\x^2+8=9x\end{array}\right \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \in R\\x^2-9x+8=0\end{array}\right \Leftrightarrow x=1 or x=8[/TEX]
Ví dụ 2:Giải các phương trình sau:
a)[TEX]\sqrt{2x+7}-x=6[/TEX]
b)[TEX]\sqrt{x+7}-5=-x[/TEX]
Lời giải:
a)[TEX]\sqrt{2x+7}-x=6 \Leftrightarrow \sqrt{2x+7} = x+6 \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x+6 \geq 0\\2x+27=(x+6)^2\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \geq -6\\x^2+10x+9=0\end{array}\right. \Leftrightarrow x=-1[/TEX]
b)[TEX]\sqrt{x+7}-5=-x \Leftrightarrow \sqrt{x+7}=5-x \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}5-x \geq 0\\x+7=(5-x)^2\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \geq 5\\x^2-11x+18=0\end{array}\right. \Leftrightarrow x=2[/TEX]
Bài tập:
1)[TEX]\sqrt{x^2-4x+3}=4x-x^2[/TEX]
2)[TEX]\sqrt{7x^2+8x+10}-\sqrt{x^2-8x+10}=2x[/TEX]
Phương pháp 2:
NÂNG LÊN LUỸ THỪA .
Ví dụ 3: Giải phương trình:
[TEX]\sqrt{2x-1}-2\sqrt{x-1}=-1[/TEX]
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 phổ thông năng khiếu - Đại học Quốc gia , TP Hồ Chí Minh.2008-2009)
Lời giải :
ĐKXD: [TEX]x \geq 1[/TEX]
Ta có:
[TEX]\sqrt{2x-1}-2\sqrt{x-1}=-1\\ \Leftrightarrow (\sqrt{2x-1}+1)^2=(2\sqrt{x-1})^2 \\ \Leftrightarrow 2x-1 + 2\sqrt{x-1}+1=4(x-1) \\ \Leftrightarrow 2\sqrt{x-1} = 2x-4 \\ \Leftrightarrow \sqrt{2x-1}=x-2 \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x-2 \geq 0\\2x-1 = (x-2)^2\end{array}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \geq 2\\x^2-6x+5=0 \end{array}\right. \\ \Leftrightarrow x=5[/TEX]
Ví dụ 4:Giải phương trình:
[TEX]\sqrt{x+2}-\sqrt{2x-3}=\sqrt{3x-5}[/TEX]
Lời giải:
Ta có:
[TEX]\sqrt{x+2}-\sqrt{2x-3}=\sqrt{3x-5}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{x+2}=\sqrt{3x-5}+\sqrt{2x-3}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x+2=(\sqrt{3x-5}+\sqrt{2x-3})^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x+2=3x-5+ 2\sqrt{(3x-5)(2x-3}+2x-3[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow -4x+10 = 2\sqrt{(3x-5)(2x-3}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}-2x+5 \geq 0\\(3x-5)(2x-3)=(-2x+5)^2\end{array}\right [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \leq \frac{5}{2}\\2x^2+x-10=0(*)\end{array}\right[/TEX]
Giả phương trình (*) ta được:
[TEX]x_1=2;x_2=\frac{-5}{2}[/TEX]
Ví dụ 5:Giải phương trình:
[TEX]\sqrt{x+1}+\sqrt{2x+3}=\sqrt{3x}+\sqrt{2x-2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \sqrt{2x+3}-\sqrt{2x-2}=\sqrt{3x}-\sqrt{x+1}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow (\sqrt{2x+3}-\sqrt{2x-2})^2=(\sqrt{3x}-\sqrt{x+1})^2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \sqrt{(2x+3)(2x-2)}=\sqrt{(x+1)3x}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x^2-x-6=0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x=-2 or x=3[/TEX]
thử lại thấy x=3 là nghiệm!
Phương pháp 3:
ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI .
Ví dụ 6:Giải phương trình:
[TEX]\sqrt{x+3+4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}[/TEX]
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10, trương THPT chuyên Lê Hồng Phong.2002-2003)
Lời giải :
ĐKXD: [TEX]x \geq 1[/TEX]
Ta có:[TEX]\sqrt{x+3+4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{(\sqrt{x-1}+2)^2}+ \sqrt{(\sqrt{x-1}-3}=5[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{x-1}+2 + |\sqrt{x-1}-3|=5[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow |\sqrt{x-1}-3|= 3 - \sqrt{x-1}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{x-1}-3 \leq 0 \Leftrightarrow \sqrt{x-1} \leq 3[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 1\ leq x \leq 10[/TEX]
Ví dụ 4:
[TEX]\sqrt{x+2+3\sqrt{2x-5}}+\sqrt{x-2-\sqrt{2x-5}}=2\sqrt{2}[/TEX]
(Đề thi HSG tỉnh Tiêng Giang.2008-2009)
Lời giải:
[TEX]\sqrt{x+2+3\sqrt{2x-5}}+\sqrt{x-2-\sqrt{2x-5}}=2\sqrt{2}[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \sqrt{2x+4+6\sqrt{2x-5}}+\sqrt{2x-4-2\sqrt{2x-5}}=4[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{(\sqrt{2x-5}-3)^2}+\sqrt{(\sqrt{2x-5}-1)^2}=4[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{2x-5}+3+|\sqrt{2x-5}-1|=4[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow |\sqrt{2x-5}-1| = 1- \sqrt{2x-5}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{2x-5}-1 \leq 1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{2x-5} \leq 1[/TEX]
[TEX]\frac{5}{2} \leq x \leq 3[/TEX]
Phương pháp 4:
ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH.
Ví dụ 8:Giải phương trình:
[TEX](2x+7)\sqrt{2x+7}=x^2+9x+7[/TEX]
(Đề tuyển sinh vào lớp 10 chuyên ĐHKHTN -ĐHQG Hà Nội,2008-2009)
Lời giải :
ĐKXD:[TEX]x \geq \frac{-7}{2}[/TEX]
Ta có:
[TEX](2x+7)\sqrt{2x+7}=x^2+9x+7[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2x+7 -(2x+7)\sqrt{2x+7}+x(x+7)=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (\sqrt{2x+7}-x)(\sqrt{2x+7}-x-7)=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{2x+7}-x=0[/TEX]
hoặc [TEX]\sqrt{2x+7}-x-7=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x=1+2\sqrt{2}[/TEX]
Ví dụ 9:Giải phương trình:
[TEX]2x\sqrt{x+2]+15=10x+3\sqrt{x+2}[/TEX]
Lời giải :
Ta có:
[TEX]2x\sqrt{x+2]+15=10x+3\sqrt{x+2}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2x\sqrt{x+2}-10x-3\sqrt{x+2}+15=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (\sqrt{x+2}-5)(2x-3)=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{x+2}-5=0[/TEX]
hoặc [TEX] 2x-3=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x=23;x=\frac{3}{2}[/TEX]
p\s: còn 4 phương pháp nữa!