[Toán 10]Bdt

D

duynhan1

Các bài còn lại

11.CHo [TEX]x^2+xy+y^2\leq3[/TEX]. Tìm min max của :
[TEX]x^2-xy-3y^2[/TEX]

12. [TEX]x,y,z\geq0[/TEX] và [TEX]x+y+z\leq3[/TEX]. CM:
[TEX]\sum \frac{x}{1+x^2} \leq \frac{3}{2} \leq\sum \frac{1}{x+1}[/TEX]

13. [TEX]\forall x,y \in R[/TEX], CM:
[TEX] \frac{-1}{4} \leq \frac{(x^2-y^2)(1-x^2y^2)}{(1+x^2)^2 (1+y^2)^2} \leq \frac{1}{4} [/TEX]

14.Cho [TEX]x,y,z >0[/TEX].Cm:

[TEX]\sum \frac{2\sqrt{x}}{x^3 +y^2} \leq \sum \frac{1}{x^2}[/TEX]

15.Cho a,b,c là 3 cạnh một tam giác p là nửa chu vi CM:
[TEX]\sum \frac{1}{p-a} \geq 2 \sum \frac{1}{a}[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
Q

quyenuy0241

duynhan1 said:
12. [TEX]x,y,z\geq0[/TEX] và [TEX]x+y+z\leq3[/TEX]. CM:
[TEX]\sum \frac{x}{1+x^2} \leq \frac{3}{2} \leq\sum \frac{1}{x+1}[/TEX]
15.Cho a,b,c là 3 cạnh một tam giác p là nửa chu vi CM:
[TEX]\sum \frac{1}{p-a} \geq 2 \sum \frac{1}{a}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
[tex]12,(*)\frac{x}{x^2+1} \le \frac{1}{2}\Rightarrow \sum{\frac{x}{x^2+1}} \le \frac{3}{2}[/tex]
[tex]}(*) \sum{\frac{1}{x+1} \ge \frac{9}{x+y+z+3} \ge \frac{3}{2}[/tex]
[tex]\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b} \ge \frac{4}{2p-a-b}=\frac{4}{c}[/tex]
[tex]\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-c} \ge \frac{4}{b}[/tex]
[tex]\frac{1}{p-c}+\frac{1}{p-b}\ge \frac{4}{a}[/tex]
Cộng về
Chắc là đúng không sai đâu nhể!!!!:D:D
(*)Xem lại câu 14 nhá:
đề thế này chứ:
[tex]\sum{\frac{2\sqrt{x}}{x^3+y^2}[/tex]
 
D

duynhan1

16. [TEX] \forall t \in [-1;1][/TEX]. CMR:[TEX] \sqrt{1+t} + \sqrt{1-t} \geq 1+ \sqrt{1-t^2} \geq2- t^2[/TEX]

17. [TEX]x,y\geq0; x^2 +y^2=1. CMR: \frac{1}{\sqrt{3}} \leq x^3 +y^3 \leq 1[/TEX]

18.[TEX]x,y,z>0; x(x+y+z) = 3yz[/TEX] ta có
[TEX](x+y)^3 + (x+z)^3 + 3(x+y)(y+z)(z+x) \leq 5(y+z)^3[/TEX]
Đề TS ĐH, CĐ khối A năm 2009

19. Với [TEX]a,b,c > 1[/TEX]
CMR: [TEX]\frac{4a^2}{a-1} + \frac{5b^2}{b-1} +\frac{3c^2}{c-1} \geq 48[/TEX]

20.Cho [TEX]a,b,c >0 [/TEX] CM: [TEX]\sum \frac{b^3}{a^2(a^3+2b^3)} \geq \frac{1}{3} \sum \frac{1}{a^2}[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
B

bigbang195

25081246797760.png

:D
 
D

duynhan1

21. Với [TEX]a,b,c > 0; abc=1[/TEX]
CMR:
[TEX]\sum \frac{1}{a+b+1} \leq 1[/TEX]

22. Với [TEX]a,b,c >0; ab+bc+ca=3[/TEX]
CM: [TEX]\sum \frac{a^4}{b+c} \geq \frac{3}{2}[/TEX]

23. Với [TEX]a\geq3; a+b\geq5; a+b+c\geq6. CMR: a^2+b^2+c^2 \geq 14[/TEX]

24.Với [TEX]a,b,c >0; abc=1 [/TEX] CMR: [TEX]\sum \frac{1}{a^3(b+c)} \geq \frac{ab+bc+ca}{2}[/TEX]
 
D

duynhan1

25. Với [TEX]a,b,c >0[/TEX]. CMR: [TEX]\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}} > 2[/TEX]

26.Với [TEX]a,b,c >0; a+2b+3c=1[/TEX]
CMR: (1-a)(1-b)^2(1-c)^3 \geq 5^6 ab^2c^3

27.[TEX]a,b,c>0; a+b+c = 3[/TEX]. Tìm min 3(a^2+b^2+c^2) + 4abc

28.[TEX]a,b,c>0; a^4+b^4+c^4=3. CMR ab^2+bc^2+c+a^2\leq4[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
R

rua_it

duynhan1 said:
18.[TEX]x,y,z>0; x(x+y+z) = 3yz[/TEX] ta có
[TEX](x+y)^3 + (x+z)^3 + 3(x+y)(y+z)(z+x) \leq 5(y+z)^3[/TEX]
Đề TS ĐH, CĐ khối A năm 2009
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[tex](gt) \rightarrow \frac{(y+z)^2}{4} \geq yz \geq x^2 \Rightarrow y+z \geq 2x[/tex]

[tex]\rightarrow (x+y)^3 + (x+z)^3 + 3(x+y)(y+z)(z+x) \leq 5(y+z)^3[/tex]

[tex]\leftrightarrow x^3+3x^2(y+z)+3x(y^2+yz+z^2) \leq 2.(y+z)^3[/tex]

[tex]LHS \leq 3yz(y+z)+\frac{(y+z)^3}{8}+\frac{3.(y+z).((y+z)^2-yz)}{2}[/tex]

[tex]\leq \frac{3.yz.(y+z)}{2}+\frac{13.(y+z)^3}{8} \leq RHS[/tex]
 
R

rua_it

duynhan1 said:
21. Với [TEX]a,b,c > 0; abc=1[/TEX]
CMR:
[TEX]\sum \frac{1}{a+b+1} \leq 1[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Ta cần chứng minh [tex]\sum_{cyc} \frac{1}{a+b+1} \leq \sum_{cyc} \frac{1}{a+2}[/tex]

[tex]Dat: \left{\begin{x=a+b+c}\\{y=ab+bc+ca}[/tex]

[tex]\Rightarrow LHS=\frac{x^2+4x+y+3}{x^2+2x+xy+y} \leq \frac{4x+y+12}{4x+2y+9}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow\frac{2x-xy+3}{x^2+2x+xy+y} \leq \frac{3-y}{4x+2y+9}[/tex]

[tex]Note: AM-GM &(gt)\Rightarrow x \geq3,y\geq 3, x\geq 3y[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{5x^2y}{3} \geq 5x^2 // \frac{x^2y}{3} \geq y^2 // xy^2 \geq 9x // 5xy \geq 15x // xy \geq 3y // x^2y \geq 27[/tex]

[tex] \Rightarrow LHS \leq \sum_{cyc} \frac{1}{a+2} \leq \frac{3^2}{a+b+c+6} \leq 1=RHS[/tex]
 
R

rua_it

[tex]\sum_{cyc} \frac{1}{a+b+1} \geq 1[/tex]

[tex]\leftrightarrow \sum_{cyc} \frac{1}{a+b+\sqrt[3]{abc}} \geq 1(gt)[/tex]

[tex]Dat: \left{\begin{a=x^3}\\{b=y^3}\\{c=z^3}[/tex]

[tex]\rightarrow \sum_{cyc} \frac{1}{x^3+y^3+xyz} \leq \frac{1}{xyz}[/tex]

[tex]\rightarrow \prod(x^3+y^3+xyz) \geq xyz.\sum_{cyc} (x^3+y^3+xyz).(y^3+z^3+xyz)[/tex]

[tex]\rightarrow \sum_{sym} x^6y^3 \geq \sum_{sym} x^5y^2z^2[/tex]

Bất đẳng thức cuối luôn đúng vì bộ (6;3;0) luôn trội hơn (5;2;2).

Vậy suy ra dpcm.:D
 
Last edited by a moderator:
J

jupiter994

duynhan1 said:
25. Với [TEX]a,b,c >0[/TEX].

28.[TEX]a,b,c>0; a^4+b^4+c^4=3. CMR ab^2+bc^2+c+a^2\leq4[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

nghiêm xảy ra khi [tex] a=b=c =\sqrt[4]{\frac{1}{3}}[/tex]

[tex]c^4 +\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3} \geq [/tex] ...( tính giùm)
[tex]a^4+b^4+b^4 + \frac{1}{3} \geq A .ab^2 [/tex] ( tính A giùm , ngại viết quá :)))
[tex]b^4+c^4+c^4 +\frac{1}{3} \geq A bc^2[/tex]
[tex]a^4 + \frac{1}{3} \geq a^2 \sqrt{\frac{1}{3}}[/tex]
Cộng vế với vế có dpcm
 
Last edited by a moderator:
J

jupiter994

duynhan1 said:
11.CHo [TEX]x^2+xy+y^2\leq3[/TEX]. Tìm min max của :
[TEX]x^2-xy-3y^2[/TEX]

[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[tex]\frac{P}{3} \leq \frac{x^2-xy-3y^2}{x^2+xy+y^2} [/tex]

Chia cả tử và mẫu cho[tex] y^2 [/tex], đặt[tex] \frac{x}{y} = a[/tex]

-> [tex]\frac{P}{3} =\frac{a^2-a-3}{a^2+a+1} [/tex]

->[tex] a^2(3-P) -a(3+P) -3-P \geq 0 [/tex]
-> [tex]\Delta[/tex] > 0 -> P max,min
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom