[Toán 10]Bdt

[namtuocvva18]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c dương. Chứng minh:
[TEX]\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}\geq \frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{b+2c+a}+\frac{1}{c+2a+b}[/TEX].

Cho a,b,c dương và [TEX]abc=1[/TEX]. Chứng minh:
[TEX](a+b)(b+c)(c+a)\geq 2(1+a+b+c)[/TEX].

Cho a,b,c dương và [TEX]abc=2[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]a^3+b^3+c^3\geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}[/TEX].

Cho a,b,c dương. Chứng minh:
[TEX]\frac{a}{b+2c+3d}+\frac{b}{c+2d+3a}+ \frac{c}{d+2a+3b}+\frac{d}{a+2b+3c}\geq \frac{2}{3}[/TEX].

Cho a,b,c dương. Chứng minh:
[TEX]\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+ \frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\geq \frac {a+b+c}{3}[/TEX].

 

[khanhtm]

Cho a,b,c dương. Chứng minh:
[TEX]\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+ \frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\geq \frac {a+b+c}{3}[/TEX].

bài 1,4 dùng svac - xơ
bài 2,3 quen thuộc
bài 5 này cũng đã quen rồi, mà thôi làm cho có lệ kẻo bảo là spam
[TEX]\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+ \frac{c^3}{c^2+ca+a^2}=\frac{a^4}{a^3+a^2b+ab^2} + \frac{b^4}{b^3+b^2c+bc^2} + \frac{c^4}{c^3+c^2a+ca^2}[/TEX]
[TEX]\ge \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^3+b^3+c^3 +ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)}[/TEX]
Ta cần CM: [TEX]3(a^2+b^2+c^2)^2 \ge (a+b+c)(a^3+b^3+c^3 +ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a))[/TEX]
Thật vậy [TEX]3(a^2+b^2+c^2)^2 \ge (a+b+c)^2(a^2+b^2+c^2)= (a+b+c)(a^3+b^3+c^3 +ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a))[/TEX]

 

[vodichhocmai]

[TEX]\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+ \frac{c^3}{c^2+ca+a^2} \ge \frac{a+b+c}{3}[/TEX]

[TEX]S=\sum_{cyc}\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}=\sum_{cyc} \[a-\frac{ab\(a+b\)}{a^2+ab+b^2}\](1) [/TEX]
Theo [TEX]AM-GM[/TEX] ta có .
[TEX]a^2+ab+b^2\ge 3ab(2)[/TEX]
[TEX](1)&(2)\righ S\ge \sum_{cyc} $$a-\frac{a+b}{3}$$=\sum_{cyc}\frac{a}{3} \ \(dpcm) [/TEX]
Mấy năm rồi không gặp khanhtm

 

[namtuocvva18]

Cho a,b,c dương. Chứng minh:
[TEX]\sqrt{\frac{a^2}{4a^2+ab+4b^2}}+\sqrt{\frac{b^2}{4b^2+bc+4c^2}}+\sqrt{\frac{c^2}{4c^2+ca+4a^2}}\leq 1[/TEX].

Cho a,b,c dương. Chứng minh:
[TEX](a^3+b^3+c^3)(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3})\geq \frac{3}{2}(\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c})[/TEX].

 

[namtuocvva18]

Cho [TEX]a,b,c\in{[0;1]}[/TEX] và [TEX]a+b+c=1[/TEX]. Tìm GTLN của:
[TEX]P=\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}+\frac{1}{1+z^2}[/TEX].

Cho a,b,c dương và [TEX]a+b+c\leq 3[/TEX]. Tìm GTNN của:
[TEX]P=\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2}+27(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})[/TEX].

Cho a,b,c dương và [TEX]ab+bc+ca=1[/TEX]. Tìm GTNN của:
[TEX]P=\frac{a^8}{(a^2+b^2)^2}+\frac{b^8}{(b^2+c^2)^2}+\frac{c^8}{(c^2+a^2)^2}[/TEX].

Cho a,b,c dương và [TEX]a+b+c=6[/TEX]. Tim GTNN của:
[TEX]P=\sqrt{a^2+\frac{1}{b+c}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{c+a}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{a+b}[/TEX].

Cho a,b,c dương và [TEX]a+b+c=1[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]\frac{a}{a+bc}+\frac{b}{b+ca}+\frac{\sqrt{abc}}{c+ab}\leq 1+\frac{3\sqrt{3}}{4}[/TEX].

Cho a,b,c dương. Chứng minh:
[TEX](\frac{3}{2}+\frac{a}{b+c})(\frac{3}{2}+\frac{b}{c+a})(\frac{3}{2}+\frac{c}{a+b})\geq 8[/TEX].

Cho a,b,c dương. Chứng minh:
[TEX]\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}+ \frac{a^2+b^2}{c^2+ab}+ \frac{b^2+c^2}{a^2+bc}+\frac{c^2+a^2}{b^2+ca}\geq \frac{9}{2}[/TEX].

Cho a,b,c dương và [TEX]abc\geq 1[/TEX]. Chứng minh:
[TEX] \frac{a^5-a^2}{a^5+b^2+c^2}+\frac{b^5-b^2}{b^5+c^2+a^2}+\frac{c^5-c^2}{c^5+a^2+b^2}\geq 0 [/TEX].

Cho a,b,c duong va [TEX]a+b+c=1[/TEX]. Chung minh:
[TEX]a\sqrt[3]{1+b-c}+b\sqrt[3]{1+c-a}+c\sqrt[3]{1+a-b}\leq 1[/TEX].

Cho [TEX]x+y>-1[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]x^3+y^3\geq 3xy-1[/TEX].
...
.....

Cho x,y,z dương và [TEX]x^2+y^2+z^2=3[/TEX]. Tìm GTNN của:
[TEX]P=\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+yz}+\frac{1}{1+zx}[/TEX].

Cho a,b,c dương. Chứng minh:
[TEX]\frac{29a^3-b^3}{ab+6a^2}+\frac{29b^3-c^3}{bc+6b^2}+\frac{29c^3-a^3}{ca+6c^2}\leq{4(a+b+c)}[/TEX].

Cho các số thực không âm x,y,z đôi một khác nhau và [TEX](z+x)(z+y)=1[/TEX]. Tìm GTNN của:
[TEX]P=\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(z+x)^2}+\frac{1}{(z+y)^2}[/TEX].

Cho a,b,c>0 và abc=1. Tim GTLN của:
[FONT=.VnTime][TEX]P=\frac{1}{1+a^{2009}+b^{2009}}+\frac{1}{1+b^{2009}+c^{2009}}+\frac{1}{1+c^{2009}+a^{2009}}[/TEX].[/FONT]

 

[sieuthamtu_sieudaochit]

Cho a,b,c dương và [TEX]abc=1[/TEX]. Chứng minh:
[TEX](a+b)(b+c)(c+a)\geq 2(1+a+b+c)[/TEX].

Đổi biến [TEX]p=a+b+c, q=abc, r=abc[/TEX] ta cóa
[TEX](a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc=pq-r=pr-1[/TEX]
Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với [TEX]p(q-2) \ge 2[/TEX]
Đúng theo AM-GM

Cho a,b,c dương và [TEX]ab+bc+ca=1[/TEX]. Tìm GTNN của:
[TEX]P=\frac{a^8}{(a^2+b^2)^2}+\frac{b^8}{(b^2+c^2)^2}+\frac{c^8}{(c^2+a^2)^2}[/TEX].

bài này dùng Sác xơ là ra ngay ( Trích THTT).....

Cho a,b,c dương. Chứng minh:
[TEX](\frac{3}{2}+\frac{a}{b+c})(\frac{3}{2}+\frac{b}{c+a})(\frac{3}{2}+\frac{c}{a+b})\geq 8[/TEX].

Ta cóa
[TEX]\frac{3}{2}+\frac{a}{b+c}=\frac{3(b+c)+2a}{2(b+c)}[/TEX]
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta cóa.
[TEX]3(b+c)+2a=[(a+b)+(c+a)+2(b+c)] \ge 2\sqrt{(a+b)(c+a)}+2(b+c) \ge 4\sqrt[4]{(a+b)(c+a)(b+c)^2}[/TEX]
Từ đó suy ra đpcm.

Cho a,b,c dương và [TEX]abc\geq 1[/TEX]. Chứng minh:
[TEX] \frac{a^5-a^2}{a^5+b^2+c^2}+\frac{b^5-b^2}{b^5+c^2+a^2}+\frac{c^5-c^2}{c^5+a^2+b^2}\geq 0[/TEX].

Khe he IMO-2005
[TEX]\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{a^5+b^2+c^2}+\frac{1}{b^5+c^2+a^2}+\frac{1}{c^5+a^2+b^2}) \le 3[/TEX]
Áp dụng bdt Binhiacopki ta cóa.
[TEX](a^2+b^2+c^2)^2 \le (\sqrt{a^5bc}+b^2+c^2)^2 \le (a^5+b^2+c^2)(bc+b^2+c^2)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{a^2+b^2+c^2}{a^5+b^2+c^2} \le \frac{bc+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow VT \le 2+\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2} \le 3[/TEX]

Cho a,b,c duong va [TEX]a+b+c=1[/TEX]. Chung minh:
[TEX]a\sqrt[3]{1+b-c}+b\sqrt[3]{1+c-a}+c\sqrt[3]{1+a-b}\leq 1[/TEX].

Diểm rơi AM-GM
[TEX]a\sqrt[3]{1+b-c}=a\sqrt[3]{1.1(1+b-c)}\leq a(\frac{1+1+b-c}{3})[/TEX]
The end

Cho x,y,z dương và [TEX]x^2+y^2+z^2=3[/TEX]. Tìm GTNN của:
[TEX]P=\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+yz}+\frac{1}{1+zx}[/TEX].

Dùng Svacxo ta cóa
[TEX]P \ge \frac{(1+1+1)^2}{3+xy+yz+zx}\ge \frac{9}{3+x^2+y^2+z^2}[/TEX]

Cho các số thực không âm x,y,z đôi một khác nhau và [TEX](z+x)(z+y)=1[/TEX]. Tìm GTNN của:
[TEX]P=\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(z+x)^2}+\frac{1}{(z+y)^2}[/TEX].

Đặt [TEX]a=(z+x), b=(z+y)\Rightarrow ab=1[/TEX]. Ta cóa
[TEX]P=\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(z+x)^2}+\frac{1}{(z+y)^2}=\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2} = \frac{1}{a^2+b^2-2}+a^2+b^2[/TEX]
Lại thấy rằng
[TEX]\frac{1}{a^2+b^2-2}+a^2+b^2-2 \ge 2[/TEX]
Từ đó suy ra [TEX]P \ge 4[/TEX]

mình đề nghị làm bât bằng cosi và bunhia

Sacxo chính là hệ quả của bất đẳng thức Bunhiacopkia đấy.
Theo Bunhiacopkia thì
[TEX](a_1+a_2+...+a_n)^2 \le (\frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}+...\frac{a_n^2}{b_n})(b_1+b_2+...+b_n)[/TEX]
Và
[TEX]=>\frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}+...\frac{a_n^2}{b_n}\ge \frac{(a_1+a_2+...+a_n)^2 }{b_1+b_2+...+b_n}[/TEX]
Chính là bất đẳng thức Svacxo
Còn bất đẳng thức Cô-si thì không gọi là Cô-si nữa mà gọi là AM-GM. Vì bdt này không phải là do Cô-si nghĩ ra mà là "cách chứng minh thông dụng nhất của bdt này" chính là dùng p.p quy nạp của Cô-si nên người ta gọi nhầm bdt này bdt Cô-si cho đến ngày nay.

 

[namtuocvva18]

Cho [TEX]x,y,z\in{[0;1]}[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]\frac{x}{1+y+zx}+\frac{y}{1+z+xy}+\frac{z}{1+x+yz}\leq \frac{3}{x+y+z}[/TEX].

Cho [TEX]x,y,z\in{(0;1)}[/TEX] và [TEX]xyz=(1-x)(1-y)(1-z)[/TEX].
Tìm GTNN của: [TEX]P=x^2+y^2+z^2[/TEX].

Cho [TEX]a,b,c\in{[0;1]}[/TEX]. Tìm GTLN của:
[TEX]P=\sqrt{abc}+\sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)}[/TEX].

Cho a,b,c dương. Chứng minh:
[TEX]\frac{a}{2a+b+c}+\frac{b}{2b+c+a}+\frac{c}{2c+a+b}\leq \frac{3}{4}[/TEX].

Cho a,b,c dương và [TEX]a^2+b^2+c^2=1[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]\frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ca}+\frac{c}{1+ab}\leq \sqrt{2}[/TEX].

Cho a,b,c dương thỏa mãn: ab+bc+ca=1. Chứng minh:
$$\sqrt[3]{\frac{1}{a}+6b}+\sqrt[3]{\frac{1}{b}+6c}+\sqrt[3]{\frac{1}{c}+6a}\leq\frac{1}{abc}$$.

Cho a,b,c>0 và abc=1. Tìm GTLN của:
[TEX]P=\frac{1}{1+a^{2009}+b^{2009}}+\frac{1}{1+b^{2009}+c^{2009}}+\frac{1}{1+c^{2009}+a^{2009}}[/TEX].

Cho a,b,c dương. Tìm GTNN của:
[TEX]P=\sqrt{a^2+(1-b)^2}+\sqrt{b^2+(1-c)^2}+\sqrt{c^2+(1-a)^2}[/TEX].

Cho a,b,c dương và [TEX]abc=1[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\leq \frac{1}{2}[/TEX].

Cho a,b,c dương. Tìm GTNN của:
[TEX]P=(\frac{5}{2}+\frac{a}{b+c})(\frac{5}{2}+\frac{b}{c+a})(\frac{5}{2}+\frac{c}{a+b})[/TEX].

Cho a,b,c dương và [TEX]a+b+c=1[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]\frac{a}{\sqrt[3]{a+2b}}+\frac{b}{\sqrt[3]{b+2c}}+\frac{c}{\sqrt[3]{c+2a}}\geq 1[/TEX].

 

[ctsp_a1k40sp]

Cho [TEX]a,b,c\in{[0;1]}[/TEX]. Tìm GTLN của:
[TEX]P=\sqrt{abc}+\sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)}[/TEX].

[TEX]\sqrt{abc} \leq \sqrt[3]{abc} \leq \frac{a+b+c}{3}[/TEX]
[TEX]\sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)} \leq \sqrt[3]{(1-a)(1-b)(1-c)} \leq \frac{3-a-b-c}{3}[/TEX]
Nên [TEX]P \leq \frac{3+a+b+c-a-b-c}{3}=1[/TEX]
Đẳng thức xảy ra khi
[TEX]a=b=c[/TEX]
[TEX]abc(abc-1)=0[/TEX]
[TEX](1-a)(1-b)(1-c)[(1-a)(1-b)(1-c)-1]=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow [/TEX]
[TEX]a=b=c=0 [/TEX]
hoặc
[TEX]a=b=c=1[/TEX]

 

[sieuthamtu_sieudaochit]

Cho [TEX]x,y,z\in{[0;1]}[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]\frac{x}{1+y+zx}+\frac{y}{1+z+xy}+\frac{z}{1+x+yz}\leq \frac{3}{x+y+z}[/TEX].

Từ gải thiết suy ra [TEX](1-x)(1-y) \ge 0 \Rightarrow xy+1 \ge x+y \Rightarrow 1+xy+z \ge x+y+z [/TEX]
[TEX]\Rightarrow VT \le \frac{x+y+z}{x+y+z}\leq \frac{3}{x+y+z}[/TEX]

Cho [TEX]x,y,z\in{(0;1)}[/TEX] và [TEX]xyz=(1-x)(1-y)(1-z)[/TEX].
Tìm GTNN của: [TEX]P=x^2+y^2+z^2[/TEX].

Bài này trên THTT coá nhiều roài. Coá hai cách giải mà sau mình không nhớ cách nào hết nhỉ

Cho a,b,c>0 và abc=1. Tìm GTLN của:
[TEX]P=\frac{1}{1+a^{2009}+b^{2009}}+\frac{1}{1+b^{2009}+c^{2009}}+\frac{1}{1+c^{2009}+a^{2009}}[/TEX].

Bài này chế lại từ [TEX]USA-1997[/TEX] thoai.
Đặt [TEX]x^3=a^{2009}, y^3=b^{2009}, z^3=c^{2009} [/TEX]
[TEX]\Rightarrow x^3y^3z^3=(abc)^{2009}=1 \Rightarrow xyz=1[/TEX]
Ta cần chứng minh:
[TEX]\sum \frac{1}{x^3+y^3+xyz} \leq 1[/TEX]
Thật vậy ta cóa: [TEX]x^3+y^3 \ge xy(x+y)\Rightarrow x^3+y^3+xyz \ge xy(x+y+z)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \sum \frac{1}{x^3+y^3+xyz} \leq (\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})((\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx})=\frac{1}{xyz}=1[/TEX]

 

[ctsp_a1k40sp]

Bài này trên THTT coá nhiều roài. Coá hai cách giải mà sau mình không nhớ cách nào hết nhỉ

Đề bài đúng là [TEX]xyz+(1-x)(1-y)(1-z)=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sum x=\sum xy+1[/TEX]
Ta có [TEX]x^2+y^2+z^2 =(\sum x)^2-2\sum xy=(\sum x)^2-2\sum x+2=(\sum x-1)^2+1 \geq 1[/TEX]

Cho a,b,c dương và [TEX]abc=1[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\leq \frac{1}{2}[/TEX].

[TEX]a^2+2b^2+3=(a^2+b^2)+(b^2+1) +2\geq 2(ab+b+1)[/TEX]
Chú ý đẳng thức
[TEX]abc=1 \Rightarrow \sum \frac{1}{ab+b+1}=1[/TEX]
Done!!!

Cho a,b,c dương thỏa mãn: ab+bc+ca=1. Chứng minh:
$$\sqrt[3]{\frac{1}{a}+6b}+\sqrt[3]{\frac{1}{b}+6c}+\sqrt[3]{\frac{1}{c}+6a}\leq\frac{1}{abc}$$.

Bài này chỉ cần chú ý
[TEX]*)\sqrt[3]{bc+6b^2ac}=\sqrt[3]{bc(1+6ac)}=\frac{1}{3} . \sqrt[3]{3.9bc.(1+6ac)}\leq \frac{1}{3}.\frac{3+9bc+1+6ac}{3}[/TEX]
[TEX]*)abc \leq \sqrt{3}[/TEX]

Cho a,b,c dương. Tìm GTNN của:
[TEX]P=\sqrt{a^2+(1-b)^2}+\sqrt{b^2+(1-c)^2}+\sqrt{c^2+(1-a)^2}[/TEX].

[TEX]a+b+c=t[/TEX]
[TEX]P \geq \sqrt{t^2+(3-t)^2}\geq \sqrt{\frac{1}{2}(3-t+t)^2}=\frac{3}{\sqrt{2}}[/TEX]

Cho a,b,c dương. Chứng minh:
[TEX]\frac{a}{2a+b+c}+\frac{b}{2b+c+a}+\frac{c}{2c+a+b}\leq \frac{3}{4}[/TEX].

sử dụng
[TEX]\frac{1}{4}(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}) \geq \frac{a}{(a+b)+(a+c)}=\frac{a}{2a+b+c}[/TEX]
Cộng lại ta có dpcm

 

[sieuthamtu_sieudaochit]

Đề bài đúng là [TEX]xyz+(1-x)(1-y)(1-z)=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sum x=\sum xy+1[/TEX]
Ta có [TEX]x^2+y^2+z^2 =(\sum x)^2-2\sum xy=(\sum x)^2-2\sum x+2=(\sum x-1)^2+1 \geq 1[/TEX]

Mình nhớ kết quả là một phân số, không phải là một số nguyên

 

[namtuocvva18]

Cho a,b,c dương. Tìm GTNN của:
[TEX]P=\frac{a^3+2}{3b+4c}+\frac{b^3+2}{3c+4a}+\frac{c^3+2}{3a+4b}[/TEX].

Cho a,b,c dương và [TEX]abc\geq 1[/TEX]. Chứng minh:
[TEX](a+\frac{1}{a+1})(b+\frac{1}{b+1})(c+\frac{1}{c+1})\geq \frac{27}{8}[/TEX].

Cho a,b,c dương và [TEX]a^3+b^3+c^3=3[/TEX]. Chứng minh: [TEX]\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\geq 3[/TEX].

Cho a,b,c dương. Chứng minh:
[TEX]\frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{b}{b+\sqrt{(b+c)(b+a)}}+\frac{c}{c+\sqrt{(c+a)(c+b)}}\leq 1[/TEX].

Cho x,y,z dương. Chứng minh:
[TEX]\frac{\sqrt{x}}{x^3+y^2}+\frac{\sqrt{y}}{y^3+z^2}+\frac{\sqrt{z}}{z^3+x^2}\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2})[/TEX].

Cho [TEX] a,b,c\in{R}[/TEX]. Chứng minh:
[TEX](a^2+3)(b^2+3)(c^2+3)\geq \frac{4}{27}(3ab+3bc+3ca+abc)^2[/TEX].

Cho a,b,c dương và [TEX]abc=1[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]\frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+c+a}\le \frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c}[/TEX].

Cho a,b,c,x,y,z dương. Chứng minh:
[TEX]\frac{a^3}{x}+\frac{b^3}{y}+\frac{c^3}{z}\geq \frac{(a+b+c)^3}{3(x+y+z)}[/TEX].

 

[namtuocvva18]

Đề bài đúng là [TEX]xyz+(1-x)(1-y)(1-z)=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sum x=\sum xy+1[/TEX]
Ta có [TEX]x^2+y^2+z^2 =(\sum x)^2-2\sum xy=(\sum x)^2-2\sum x+2=(\sum x-1)^2+1 \geq 1[/TEX]

Dăng thức xảy ra khi nào ?...

....
..
..........

 

[ctsp_a1k40sp]

Cho a,b,c dương. Tìm GTNN của:
[TEX]P=\frac{a^3+2}{3b+4c}+\frac{b^3+2}{3c+4a}+\frac{c^3+2}{3a+4b}[/TEX].

[TEX]P \geq \sum \frac{3a}{3b+4c}=\sum \frac{3a^2}{3ab+4ac} \geq 3\frac{(a+b+c)^2}{7\sum ab} \geq \frac{9}{7}[/TEX]

Cho a,b,c dương. Chứng minh:
[TEX]P=\frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{b}{b+\sqrt{(b+c)(b+a)}}+\frac{c}{c+\sqrt{(c+a)(c+b)}}\leq 1[/TEX].

áp dụng
[TEX]\sqrt{(a+b)(a+c)} \geq \sqrt{ab}+\sqrt{ac}=\sqrt{a}(\sqrt{b}+\sqrt{c})[/TEX]
[TEX]P =\sum \frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}} \leq \sum \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=1[/TEX]

Cho x,y,z dương. Chứng minh:
[TEX]\frac{\sqrt{x}}{x^3+y^2}+\frac{\sqrt{y}}{y^3+z^2}+\frac{\sqrt{z}}{z^3+x^2}\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2})[/TEX].

Áp dụng 2 bất đẳng thức sau
[TEX]*)[/TEX]
[TEX]x^3+y^2 \geq 2x.\sqrt{x.}y[/TEX]
[TEX]*)[/TEX]
[TEX]\sum \frac{1}{x^2} \geq \sum \frac{1}{xy}[/TEX]

 

[ctsp_a1k40sp]

Dăng thức xảy ra khi nào ?...

....
..
..........

tại [TEX]\sum x=1 & \sum xy=0 & x,y,z \neq 1[/TEX]
Có thể chứng minh tồn tại vô số nghiệm thỏa mãn

 

[namtuocvva18]

tại [TEX]\sum x=1 & \sum xy=0 & x,y,z \neq 1[/TEX]
Có thể chứng minh tồn tại vô số nghiệm thỏa mãn

Min:=[TEX]\frac{3}{4}[/TEX].
Đẳng thức xảy ra khi [TEX]x=y=z=\frac{1}{2}[/TEX].

 

[ctsp_a1k40sp]

Min:=[TEX]\frac{3}{4}[/TEX].
Đẳng thức xảy ra khi [TEX]x=y=z=\frac{1}{2}[/TEX].

Đấy là đề bài gốc
còn đề bài anh đã sửa lại là
[TEX]xyz+(1-x)(1-y)(1-z)=0[/TEX]
Đây chính là bài 2 IMO năm 2008

 

[namtuocvva18]

Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn:
[TEX]6(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})\leq 1+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}[/TEX].
Chứng minh:
[TEX]\frac{1}{10a+b+c}+\frac{1}{10b+c+a}+\frac{1}{10c+a+b}\le \frac{1}{12}[/TEX].

Cho a,b,c dương. Chứng minh:
[TEX]\frac{1}{a(b+1)}+\frac{1}{b(c+1)}+\frac{1}{c(a+1)}\ge \frac{3}{abc+1}[/TEX].

Cho x,y,z dương và [TEX]\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}=1[/TEX]. Tìm GTLN của:
[TEX]P=\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1-y}+\frac{1}{1-z}[/TEX].

 

[ctsp_a1k40sp]

Cho [TEX]x,y,z\in{(0;1)}[/TEX] và [TEX]xyz=(1-x)(1-y)(1-z)[/TEX].
Tìm GTNN của: [TEX]P=x^2+y^2+z^2[/TEX].

Ta có
[TEX]xyz=(1-x)(1-y)(1-z)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 1-(x+y+z)+xy+yz+zx-2xyz=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow2-2(x+y+z)+2(xy+yz+zx)-4xyz=0[/TEX]
[TEX]x^2+y^2+z^2=2-2(x+y+z)+(x+y+z)^2-4xyz[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\geq 2-2(x+y+z)+(x+y+z)^2-4(\frac{x+y+z}{3})^3[/TEX]
Đặt [TEX]a=x+y+z \rightarrow 0<a<3[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\geq -\frac{4}{27}a^3+a^2-2a+2[/TEX]
[TEX]=\frac{1}{27}(2a-3)^2(\frac{15}{4}-a)+\frac{3}{4}\geq \frac{3}{4}[/TEX]​

[TEX]Done!!![/TEX]
Đẳng thức xảy ra khi [TEX] \Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{2}[/TEX]

Em post ít bài thôi , post nhiều thế này ko ai làm đâu , ok

 

[vodichhocmai]

Cho a,b,c dương và [TEX]a^3+b^3+c^3=3[/TEX]. Chứng minh: [TEX]\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\geq 3[/TEX].

[TEX](a+b+c)^3=\sum_{cyclic}$$a^3+3ab(a+b)$$+6abc[/TEX]
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!