[toán 10]- Bất đẳng thức

H

hoangkimlong123

có ai giúp mình với không ??.....................................................................................................
 
H

hoangkimlong123

có ai đó giúp với không sắp phải nộp bài rồi ...........................................................................................................
 
H

hoangkimlong123

sao ko có ai làm được hết ah **************************** .................................................................................
 
H

hoangkimlong123

có bạn nào giúp mình cái nào anh vodichhocmai đâu ?? các super bất đẳng thức cry with me , noibinhyen , đâu cả rồi
 
V

vodichhocmai

hoangkimlong123 said:
Mong các bạn giải đáp bài toán sau

cho a, b, c > 0 và thoả mãn a+b+c = 3

Tìm GTNN của biểu thức

[laTEX]A = \frac{a}{\sqrt{b}} + \frac{b}{\sqrt{c}}+ \frac{c}{\sqrt{a}}[/laTEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[TEX]\huge \blue A^2(ab+bc+ca) \ge \(a+b+c\)^3[/TEX]

[TEX]\huge \blue \rightarrow A^2 \ge \frac{\(a+b+c\)^3}{ab+bc+ca} \ge 3(a+b+c)=9[/TEX]

[TEX]\huge \blue\rightarrow A \ge 3[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
V

vodichhocmai

hoangkimlong123 said:
Mong các bạn giải đáp bài toán sau

cho a, b, c > 0 và thoả mãn a+b+c = 3

Tìm GTNN của biểu thức

[laTEX]A = \frac{a}{\sqrt{b}} + \frac{b}{\sqrt{c}}+ \frac{c}{\sqrt{a}}[/laTEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Bài toán trên vẫn còn yếu , Chúng ta có thể làm mạnh hơn thông qua BDT

[TEX]\frac{a}{\sqrt{b}} + \frac{b}{\sqrt{c}}+ \frac{c}{\sqrt{a}} \ge 3\sqrt[4]{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}[/TEX]
 
H

hoangkimlong123

vodichhocmai said:
[TEX]\huge \blue A^2(ab+bc+ca) \ge \(a+b+c\)^3[/TEX]

[TEX]\huge \blue \rightarrow A^2 \ge \frac{\(a+b+c\)^3}{ab+bc+ca} \ge 3(a+b+c)=9[/TEX]

[TEX]\huge \blue\rightarrow A \ge 3[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...


Mong anh nói rõ hơn dòng đầu tiên của phần anh chứng minh ,...........................................................................................................................................
 
V

vodichhocmai

BẤT ĐẲNG THỨC HOLDER VÀ HỆ QUẢ CỦA NÓ

Có [tex]m[/tex] dãy số dương [tex] ( a_{1,1};a_{1,2};....a_{1,n})\ ( a_{2,1};a_{2,2};....a_{2,n})\ \ .............\ \ ( a_{m,1};a_{m,2};....a_{m,n}) [/tex] ta luôn có :.

[tex]\ \ \ \ \ \ \prod_{i=1}^{m}\left(\sum_{j=1}^{n}a_{i,j} \right)\ge \left(\sum_{j=1}^{n}\sqrt[m]{\prod_{i=1}^{m}a_{i,j}}\right)^m[/tex]

Hệ quả quen thuộc sau :

Cho chín số thực dương [tex]\blue a,b,c,x,y,z,m,n,p[/tex] ta luôn có :

[tex]\blue (a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3) \ge (axm+byn+czp)^3[/tex]

Áp dụng [tex]AM-GM[/tex] ta có :
[tex]\frac{a^3}{a^3+b^3+c^3} +\frac{x^3}{x^3+y^3+z^3}+\frac{m^3}{m^3+n^3+p^3} \ge 3\frac{axm}{\sqrt[3]{(a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3)}}[/tex]

[tex]\frac{b^3}{a^3+b^3+c^3} +\frac{y^3}{x^3+y^3+z^3}+\frac{n^3}{m^3+n^3+p^3} \ge 3\frac{byn}{\sqrt[3]{(a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3)}}[/tex]

[tex]\frac{c^3}{a^3+b^3+c^3} +\frac{z^3}{x^3+y^3+z^3}+\frac{p^3}{m^3+n^3+p^3} \ge 3\frac{czp}{\sqrt[3]{(a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3)}}[/tex]

Cộng vế theo vế ta được [tex](dpcm)[/tex]

Bao nhiêu dãy ta làm tương tự là xong \:D
 
H

hoangkimlong123

vodichhocmai said:
BẤT ĐẲNG THỨC HOLDER VÀ HỆ QUẢ CỦA NÓ

Có [tex]m[/tex] dãy số dương [tex] ( a_{1,1};a_{1,2};....a_{1,n})\ ( a_{2,1};a_{2,2};....a_{2,n})\ \ .............\ \ ( a_{m,1};a_{m,2};....a_{m,n}) [/tex] ta luôn có :.

[tex]\ \ \ \ \ \ \prod_{i=1}^{m}\left(\sum_{j=1}^{n}a_{i,j} \right)\ge \left(\sum_{j=1}^{n}\sqrt[m]{\prod_{i=1}^{m}a_{i,j}}\right)^m[/tex]

Hệ quả quen thuộc sau :

Cho chín số thực dương [tex]\blue a,b,c,x,y,z,m,n,p[/tex] ta luôn có :

[tex]\blue (a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3) \ge (axm+byn+czp)^3[/tex]

Áp dụng [tex]AM-GM[/tex] ta có :
[tex]\frac{a^3}{a^3+b^3+c^3} +\frac{x^3}{x^3+y^3+z^3}+\frac{m^3}{m^3+n^3+p^3} \ge 3\frac{axm}{\sqrt[3]{(a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3)}}[/tex]

[tex]\frac{b^3}{a^3+b^3+c^3} +\frac{y^3}{x^3+y^3+z^3}+\frac{n^3}{m^3+n^3+p^3} \ge 3\frac{byn}{\sqrt[3]{(a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3)}}[/tex]

[tex]\frac{c^3}{a^3+b^3+c^3} +\frac{z^3}{x^3+y^3+z^3}+\frac{p^3}{m^3+n^3+p^3} \ge 3\frac{czp}{\sqrt[3]{(a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3)}}[/tex]

Cộng vế theo vế ta được [tex](dpcm)[/tex]

Bao nhiêu dãy ta làm tương tự là xong \:D
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

ok em đã hiểu bất đẳng thức trên

Tuy nhiên nếu đây là toán lớp 10 thì em nghĩ bất đẳng thức này quá phức tạp để chứng minh và áp dụng , mong anh nghĩ ra 1 cách khác giúp em
 
V

vodichhocmai

hoangkimlong123 said:
ok em đã hiểu bất đẳng thức trên

Tuy nhiên nếu đây là toán lớp 10 thì em nghĩ bất đẳng thức này quá phức tạp để chứng minh và áp dụng , mong anh nghĩ ra 1 cách khác giúp em
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Em có thể dùng Cauchy Schwarz hai lần ra BDT mình . Nhưng không thể đứng tại A mà Cauchy Schwarz vì BDT sẽ ngược. Do đó tự học tập nâng kiến thức đi
 
H

hoangkimlong123

em làm thế này anh có thấy được không nhé cho em ý kiến

Em mới nghĩ ra từ các gợi ý trên của anh thôi

ta có

[laTEX]\frac{a}{\sqrt{b}}+ \frac{a}{\sqrt{b}}+ab \geq 3a \\ \\ 2A + ab+bc+ca \geq 3(a+b+c ) = 9 \\ \\ 2A \geq 9 - (ab+bc+ca) [/laTEX]


Mặt khác

[laTEX](a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ac) \Rightarrow ab+bc+ca \leq 3 \\ \\ \Rightarrow A \geq \frac{9-3}{2} = 3\\ \\ a = b = c = 1[/laTEX]
 
V

vodichhocmai

hoangkimlong123 said:
em làm thế này anh có thấy được không nhé cho em ý kiến

Em mới nghĩ ra từ các gợi ý trên của anh thôi

ta có

[laTEX]\frac{a}{\sqrt{b}}+ \frac{a}{\sqrt{b}}+ab \geq 3a \\ \\ 2A + ab+bc+ca \geq 3(a+b+c ) = 9 \\ \\ 2A \geq 9 - (ab+bc+ca) [/laTEX]


Mặt khác

[laTEX](a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ac) \Rightarrow ab+bc+ca \leq 3 \\ \\ \Rightarrow A \geq \frac{9-3}{2} = 3\\ \\ a = b = c = 1[/laTEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Thì đó cũng ra đó mà . Vấn đề là giống nhau mà emmmmmmmmmmmmmmm
 
V

vodichhocmai

vodichhocmai said:
Bài toán trên vẫn còn yếu , Chúng ta có thể làm mạnh hơn thông qua BDT

[TEX]\frac{a}{\sqrt{b}} + \frac{b}{\sqrt{c}}+ \frac{c}{\sqrt{a}} \ge 3\sqrt[4]{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[TEX]\huge \blue A^2(ab+bc+ca) \ge \(a+b+c\)^3[/TEX]

[TEX]\huge \blue \rightarrow A^2 \ge \frac{\(a+b+c\)^3}{ab+bc+ca} [/TEX]

Vậy ta cần chứng minh

[TEX]\huge \blue (a+b+c)^3 \ge 9(ab+bc+ca)\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}[/TEX]

Ta lại có :

[TEX]\huge \blue (a+b+c)^3=\[a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\]^{\frac{3}{2}} \ge \[3\sqrt[3]{(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2}\]^{\frac{3}{2} [/TEX]

[TEX]\righ \huge \blue (a+b+c)^3 \ge 9(ab+bc+ca)\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}[/TEX]

Vậy bài toán thành công bạn nhỉ :D
 
C

conga222222

vodichhocmai said:
[TEX]\huge \blue A^2(ab+bc+ca) \ge \(a+b+c\)^3[/TEX]

[TEX]\huge \blue \rightarrow A^2 \ge \frac{\(a+b+c\)^3}{ab+bc+ca} [/TEX]

Vậy ta cần chứng minh

[TEX]\huge \blue (a+b+c)^3 \ge 9(ab+bc+ca)\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}[/TEX]

Ta lại có :

[TEX]\huge \blue (a+b+c)^3=\[a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\]^{\frac{3}{2}} \ge \[3\sqrt[3]{(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2}\]^{\frac{3}{2} [/TEX]

[TEX]\righ \huge \blue (a+b+c)^3 \ge 9(ab+bc+ca)\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}[/TEX]

Vậy bài toán thành công bạn nhỉ :D
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

hay ta con này xài để chứng minh bdt đc đây :D
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom