[toán 10]- Bất đẳng thức

[hoangkimlong123]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Mong các bạn giải đáp bài toán sau

cho a, b, c > 0 và thoả mãn a+b+c = 3

Tìm GTNN của biểu thức

[laTEX]A = \frac{a}{\sqrt{b}} + \frac{b}{\sqrt{c}}+ \frac{c}{\sqrt{a}}[/laTEX]

 

[hoangkimlong123]

có ai giúp mình với không ??.....................................................................................................

 

[hoangkimlong123]

có ai đó giúp với không sắp phải nộp bài rồi ...........................................................................................................

 

[hoangkimlong123]

sao ko có ai làm được hết ah **************************** .................................................................................

 

[hoangkimlong123]

có bạn nào giúp mình cái nào anh vodichhocmai đâu ?? các super bất đẳng thức cry with me , noibinhyen , đâu cả rồi

 

[vodichhocmai]

Mong các bạn giải đáp bài toán sau

cho a, b, c > 0 và thoả mãn a+b+c = 3

Tìm GTNN của biểu thức

[laTEX]A = \frac{a}{\sqrt{b}} + \frac{b}{\sqrt{c}}+ \frac{c}{\sqrt{a}}[/laTEX]

[TEX]\huge \blue A^2(ab+bc+ca) \ge $a+b+c$^3[/TEX]

[TEX]\huge \blue \rightarrow A^2 \ge \frac{$a+b+c$^3}{ab+bc+ca} \ge 3(a+b+c)=9[/TEX]

[TEX]\huge \blue\rightarrow A \ge 3[/TEX]

 

[vodichhocmai]

Mong các bạn giải đáp bài toán sau

cho a, b, c > 0 và thoả mãn a+b+c = 3

Tìm GTNN của biểu thức

[laTEX]A = \frac{a}{\sqrt{b}} + \frac{b}{\sqrt{c}}+ \frac{c}{\sqrt{a}}[/laTEX]

Bài toán trên vẫn còn yếu , Chúng ta có thể làm mạnh hơn thông qua BDT

[TEX]\frac{a}{\sqrt{b}} + \frac{b}{\sqrt{c}}+ \frac{c}{\sqrt{a}} \ge 3\sqrt[4]{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}[/TEX]

 

[hoangkimlong123]

[TEX]\huge \blue A^2(ab+bc+ca) \ge $a+b+c$^3[/TEX]

[TEX]\huge \blue \rightarrow A^2 \ge \frac{$a+b+c$^3}{ab+bc+ca} \ge 3(a+b+c)=9[/TEX]

[TEX]\huge \blue\rightarrow A \ge 3[/TEX]

Mong anh nói rõ hơn dòng đầu tiên của phần anh chứng minh ,...........................................................................................................................................

 

[vodichhocmai]

BẤT ĐẲNG THỨC HOLDER VÀ HỆ QUẢ CỦA NÓ

Có $$m$$ dãy số dương $$( a_{1,1};a_{1,2};....a_{1,n})\ ( a_{2,1};a_{2,2};....a_{2,n})\ \ .............\ \ ( a_{m,1};a_{m,2};....a_{m,n})$$ ta luôn có :.

$$\ \ \ \ \ \ \prod_{i=1}^{m}\left(\sum_{j=1}^{n}a_{i,j} \right)\ge \left(\sum_{j=1}^{n}\sqrt[m]{\prod_{i=1}^{m}a_{i,j}}\right)^m$$

Hệ quả quen thuộc sau :

Cho chín số thực dương $$\blue a,b,c,x,y,z,m,n,p$$ ta luôn có :

$$\blue (a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3) \ge (axm+byn+czp)^3$$

Áp dụng $$AM-GM$$ ta có :
$$\frac{a^3}{a^3+b^3+c^3} +\frac{x^3}{x^3+y^3+z^3}+\frac{m^3}{m^3+n^3+p^3} \ge 3\frac{axm}{\sqrt[3]{(a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3)}}$$

$$\frac{b^3}{a^3+b^3+c^3} +\frac{y^3}{x^3+y^3+z^3}+\frac{n^3}{m^3+n^3+p^3} \ge 3\frac{byn}{\sqrt[3]{(a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3)}}$$

$$\frac{c^3}{a^3+b^3+c^3} +\frac{z^3}{x^3+y^3+z^3}+\frac{p^3}{m^3+n^3+p^3} \ge 3\frac{czp}{\sqrt[3]{(a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3)}}$$

Cộng vế theo vế ta được $$(dpcm)$$

Bao nhiêu dãy ta làm tương tự là xong \

 

[hoangkimlong123]

BẤT ĐẲNG THỨC HOLDER VÀ HỆ QUẢ CỦA NÓ

Có $$m$$ dãy số dương $$( a_{1,1};a_{1,2};....a_{1,n})\ ( a_{2,1};a_{2,2};....a_{2,n})\ \ .............\ \ ( a_{m,1};a_{m,2};....a_{m,n})$$ ta luôn có :.

$$\ \ \ \ \ \ \prod_{i=1}^{m}\left(\sum_{j=1}^{n}a_{i,j} \right)\ge \left(\sum_{j=1}^{n}\sqrt[m]{\prod_{i=1}^{m}a_{i,j}}\right)^m$$

Hệ quả quen thuộc sau :

Cho chín số thực dương $$\blue a,b,c,x,y,z,m,n,p$$ ta luôn có :

$$\blue (a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3) \ge (axm+byn+czp)^3$$

Áp dụng $$AM-GM$$ ta có :
$$\frac{a^3}{a^3+b^3+c^3} +\frac{x^3}{x^3+y^3+z^3}+\frac{m^3}{m^3+n^3+p^3} \ge 3\frac{axm}{\sqrt[3]{(a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3)}}$$

$$\frac{b^3}{a^3+b^3+c^3} +\frac{y^3}{x^3+y^3+z^3}+\frac{n^3}{m^3+n^3+p^3} \ge 3\frac{byn}{\sqrt[3]{(a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3)}}$$

$$\frac{c^3}{a^3+b^3+c^3} +\frac{z^3}{x^3+y^3+z^3}+\frac{p^3}{m^3+n^3+p^3} \ge 3\frac{czp}{\sqrt[3]{(a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3)}}$$

Cộng vế theo vế ta được $$(dpcm)$$

Bao nhiêu dãy ta làm tương tự là xong \

ok em đã hiểu bất đẳng thức trên

Tuy nhiên nếu đây là toán lớp 10 thì em nghĩ bất đẳng thức này quá phức tạp để chứng minh và áp dụng , mong anh nghĩ ra 1 cách khác giúp em

 

[vodichhocmai]

ok em đã hiểu bất đẳng thức trên

Tuy nhiên nếu đây là toán lớp 10 thì em nghĩ bất đẳng thức này quá phức tạp để chứng minh và áp dụng , mong anh nghĩ ra 1 cách khác giúp em

Em có thể dùng Cauchy Schwarz hai lần ra BDT mình . Nhưng không thể đứng tại A mà Cauchy Schwarz vì BDT sẽ ngược. Do đó tự học tập nâng kiến thức đi

 

[hoangkimlong123]

em làm thế này anh có thấy được không nhé cho em ý kiến

Em mới nghĩ ra từ các gợi ý trên của anh thôi

ta có

[laTEX]\frac{a}{\sqrt{b}}+ \frac{a}{\sqrt{b}}+ab \geq 3a \\ \\ 2A + ab+bc+ca \geq 3(a+b+c ) = 9 \\ \\ 2A \geq 9 - (ab+bc+ca) [/laTEX]


Mặt khác

[laTEX](a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ac) \Rightarrow ab+bc+ca \leq 3 \\ \\ \Rightarrow A \geq \frac{9-3}{2} = 3\\ \\ a = b = c = 1[/laTEX]

 

[vodichhocmai]

em làm thế này anh có thấy được không nhé cho em ý kiến

Em mới nghĩ ra từ các gợi ý trên của anh thôi

ta có

[laTEX]\frac{a}{\sqrt{b}}+ \frac{a}{\sqrt{b}}+ab \geq 3a \\ \\ 2A + ab+bc+ca \geq 3(a+b+c ) = 9 \\ \\ 2A \geq 9 - (ab+bc+ca) [/laTEX]


Mặt khác

[laTEX](a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ac) \Rightarrow ab+bc+ca \leq 3 \\ \\ \Rightarrow A \geq \frac{9-3}{2} = 3\\ \\ a = b = c = 1[/laTEX]

Thì đó cũng ra đó mà . Vấn đề là giống nhau mà emmmmmmmmmmmmmmm

 

[vodichhocmai]

Bài toán trên vẫn còn yếu , Chúng ta có thể làm mạnh hơn thông qua BDT

[TEX]\frac{a}{\sqrt{b}} + \frac{b}{\sqrt{c}}+ \frac{c}{\sqrt{a}} \ge 3\sqrt[4]{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}[/TEX]

Em có thể ngâm kếu bài này .....................................................................

 

[conga2222]

Em có thể ngâm kếu bài này .....................................................................

bài này chứng minh sao đây bạn ???............................................................................

 

[conga222222]

Bài toán trên vẫn còn yếu , Chúng ta có thể làm mạnh hơn thông qua BDT

[TEX]\frac{a}{\sqrt{b}} + \frac{b}{\sqrt{c}}+ \frac{c}{\sqrt{a}} \ge 3\sqrt[4]{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}[/TEX]

up up up chứng minh hộ bất đẳng thức này cái bạn ơi

 

[vodichhocmai]

up up up chứng minh hộ bất đẳng thức này cái bạn ơi

OK bạn , mình mới lên cái thì ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

 

[vodichhocmai]

Bài toán trên vẫn còn yếu , Chúng ta có thể làm mạnh hơn thông qua BDT

[TEX]\frac{a}{\sqrt{b}} + \frac{b}{\sqrt{c}}+ \frac{c}{\sqrt{a}} \ge 3\sqrt[4]{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}[/TEX]

[TEX]\huge \blue A^2(ab+bc+ca) \ge $a+b+c$^3[/TEX]

[TEX]\huge \blue \rightarrow A^2 \ge \frac{$a+b+c$^3}{ab+bc+ca} [/TEX]

Vậy ta cần chứng minh

[TEX]\huge \blue (a+b+c)^3 \ge 9(ab+bc+ca)\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}[/TEX]

Ta lại có :

[TEX]\huge \blue (a+b+c)^3=$$a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$$^{\frac{3}{2}} \ge $$3\sqrt[3]{(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2}$$^{\frac{3}{2} [/TEX]

[TEX]\righ \huge \blue (a+b+c)^3 \ge 9(ab+bc+ca)\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}[/TEX]

Vậy bài toán thành công bạn nhỉ

 

[conga222222]

[TEX]\huge \blue A^2(ab+bc+ca) \ge $a+b+c$^3[/TEX]

[TEX]\huge \blue \rightarrow A^2 \ge \frac{$a+b+c$^3}{ab+bc+ca} [/TEX]

Vậy ta cần chứng minh

[TEX]\huge \blue (a+b+c)^3 \ge 9(ab+bc+ca)\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}[/TEX]

Ta lại có :

[TEX]\huge \blue (a+b+c)^3=$$a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$$^{\frac{3}{2}} \ge $$3\sqrt[3]{(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2}$$^{\frac{3}{2} [/TEX]

[TEX]\righ \huge \blue (a+b+c)^3 \ge 9(ab+bc+ca)\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}[/TEX]

Vậy bài toán thành công bạn nhỉ

hay ta con này xài để chứng minh bdt đc đây