Toán 10 [Toán 10]Bất đẳng thức

[genius_hocmai]

cho pt:
[tex] x^2[/tex]-3X+2>0 xet dấu
ta có:
phương trình có 2 ngiệm là x1=2 và x2=1
trong trái ngoài cung có ngĩa là trong khoảng [1.2] thì trái dấu với bất phương trình tức là <0 ta loại còn ở ngoài [1,2] thì cùng dấu với BDT ta chọn
tóm lại ngiệm của bpt là
(vô cực--> 1) hợp (2-->vô cực)

 

[chuiden98]

ai ví dụ 1 bài đơn giản mà về bất phương trình. mình không hiểu đoạn từ bảng mà đưa ra kết luận ấy. hic

Cho bpt : [TEX]\frac{x - 2}{x + 3} \geq 0[/TEX]

Cho x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2
x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = -3
( Phần trên làm ra nháp thôi )

Lập bảng xét dấu:
x -3 2

x - 2 - | - 0 +

x + 3 - 0 + | +

[TEX]\frac{x - 2}{x + 3}[/TEX] + || - 0 +

Vậy với x < -3 ; x \geq 2 thì [TEX]\frac{x - 2}{x + 3} \geq 0[/TEX]

 

[l0na_l0v3]

có t đây.hjhj t có thể jup jr cho p k? ns t nghe xem nào!

 

[l0na_l0v3]

kết luận ntek a! sao t chẳng hju? kỉu jr yk!

 

[thaybom]

Chứng minh rằng: $a^2 + b^2 + c^2 \ge \frac{(a+b+c)^2}{3} \ge ab + bc + ca$

Cho các số thực a, b, c tùy ý. Chứng minh rằng:
$$a^2 + b^2 + c^2 \ge \frac{(a+b+c)^2}{3} \ge ab + bc + ca$$

 

[thaybom]

Cho $a, b, c>0$. CMR: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{a+b}$

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
a. $\displaystyle \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{a+b}$
b. $\displaystyle \frac{1}{a}+ \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge \frac{9}{a+b+c}$

 

[thaybom]

Cho $a, b>0$. CMR: $a^3 + b^3 \ge ab(a+b)$ và $4(a^3+b^3) \ge (a+b)^3$

Cho các số thực dương a, b. Chứng minh rằng:
a. $a^3+b^3 \ge ab(a+b)$
b. $4(a^3+b^3) \ge (a+b)^3$

 

[thaybom]

Cho $a,\ b,\ c>0$. CMR: $(a+b+c)(ab+bc+ca) \le \frac98 (a+b)(b+c)(c+a)$

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: $$(a+b+c)(ab+bc+ca) \le \frac98 (a+b)(b+c)(c+a)$$

 

[thaybom]

Cho $a,\ b,\ c>0$. CMR: $abc \ge (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: $$abc \ge (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$$

 

[truongduong9083]

Chào bạn

Câu 1. Ta có
$$a+b \geq 2\sqrt{a.b}$$
$$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} \geq \dfrac{2}{\sqrt{a.b}}$$
$$\Rightarrow (a+b)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}) \geq 4$$
$$\Rightarrow \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} \geq \frac{4}{a+b} $$
Dấu " = " xảy ra khi a = b
Câu 2.
$$a+b+c \geq 3\sqrt[3]{a.b.c}$$
$$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \geq \dfrac{3}{\sqrt[3]{a.b.c}}$$
$$\Rightarrow (a+b+c)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+ \dfrac{1}{c}) \geq 9$$
$$\Rightarrow \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+ \dfrac{1}{c} \geq \frac{9}{a+b+c} $$
Dấu " = " xảy ra khi a = b = c

 

[dongminh_96]

câu a.
[TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \ge\ \frac{4}{a+b}[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]\frac{a^2+b^2-2ab}{ab(a+b)} \ge\0[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]\frac{(a-b)^2}{ab(a+b)} \ge\0[/TEX] (1)

do a,b>0

\Rightarrow(1) luôn đúng
dấu = xảy ra khi a=b

 

[thaiha_98]

Giải như sau:
a. Xét hiệu:
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}=\frac{b(a+b)+a(a+b)-4ab}{ab(a+b)}=\frac{ab+b^2+a^2+ab-4ab}{ab(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{ab(a+b)} \ge 0 (a,b>0)$
b. Có lẽ cũng tương tự.

 

[thaybom]

..

Cảm ơn bạn, bạn trình bày rất đầy đủ và đẹp.
Góp ý 1 chút về cách trình bày:
Bạn tham khảo mục số 6 trong này để bài viết trông đẹp hơn nhé:
http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=243153

.....

Bài của bạn đúng.
Góp ý về trình bày:
+ Bạn nên viết hoa đầu câu
+ Bạn đang dùng hệ thống Latex cũ của diễn đàn nên trông không được đẹp mắt.
+ Bạn nên chọn Font Times New Roman, cỡ chữ 4 để bài viết trông sáng sủa hơn.
+ Bạn đọc ở đây để sử dụng Latex mới: http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=243153.
Cảm ơn bạn đã tham gia TOPIC.

Giải như sau:
a. Xét hiệu:
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}=\frac{b(a+b)+a(a+b)-4ab}{ab(a+b)}=\frac{ab+b^2+a^2+ab-4ab}{ab(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{ab(a+b)} \ge 0 (a,b>0)$

Cách giải giống bạn dongminh_96.
Góp ý về trình bày:
+ Bạn nên chọn Font Times New Roman, cỡ chữ 4 cho cả bài viết, khi đó CT sẽ tự động to lên, trông dễ nhìn hơn.
+ Bạn gõ biểu thức khá dài, rắc khó nhìn.
+ Bạn tham khảo mục số 6 trong này để bài viết trông đẹp hơn nhé:
http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=243153

b. Có lẽ cũng tương tự.

Góp ý cho câu nói này, bạn đừng tập cho mình thói quen cẩu thả, nên giải chi tiết từng cái, toán học cần sự chắc chắn, không cho phép từ "có lẽ".

 

[ta_la_bom]

Bài ni dễ nhất nên Bờm làm được nè,
a. Ta có bất đẳng thức (1) tương đương với: $$\begin{aligned} & 3(a^2+b^2 + c^2) \ge a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab+bc+ca) \\ \Leftrightarrow & a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc +ca \end{aligned}$$
Mặt khác theo bất đẳng thức AM-GM (hay còn gọi là Cô-si) ta có: $$\begin{cases} a^2 + b^2 \ge 2ab \\ b^2 + c^2 \ge 2bc \\ a^2 + c^2 \ge 2ac \end{cases}$$
Cộng 3 bất đẳng thức trên vế theo vế ta có điều phải chứng minh.
b. Khai triển ta cũng quy về chứng minh bất đẳng thức: $$a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca$$ đã được chứng minh ở câu a.

 

[sky_fly_s2]

em xem lại nha bờm

Bài ni dễ nhất nên Bờm làm được nè,
a. Ta có bất đẳng thức (1) tương đương với: $$\begin{aligned} & 3(a^2+b^2 + c^2) \ge a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab+bc+ca) \\ \Leftrightarrow & a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc +ca \end{aligned}$$
Mặt khác theo bất đẳng thức AM-GM (hay còn gọi là Cô-si) ta có: $$\begin{cases} a^2 + b^2 \ge 2ab \\ b^2 + c^2 \ge 2bc \\ a^2 + c^2 \ge 2ac \end{cases}$$
Cộng 3 bất đẳng thức trên vế theo vế ta có điều phải chứng minh.
b. Khai triển ta cũng quy về chứng minh bất đẳng thức: $$a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca$$ đã được chứng minh ở câu a.

AM-GM chỉ dùng cho những số không âm thôi e!
$2(a^2 + b^2 + c^2) \geq 2(ab +bc +ca)$
$\Leftrightarrow (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \geq 0 $luôn đúng
đpcm

 

[thaiha_98]

Cho các số thực dương a, b. Chứng minh rằng:
a. $a^3+b^3 \ge ab(a+b)$
b. $4(a^3+b^3) \ge (a+b)^3$

Giải như sau:
a. $a^3+b^3 \ge ab(a+b)$
$\leftrightarrow (a+b)(a^2-ab+b^2) \ge ab(a+b)$
$\leftrightarrow a^2-ab+b^2 \ge ab $ (vì a+b >0)
$\leftrightarrow a^2-2ab+b^2 \ge 0$
$\leftrightarrow (a-b)^2 \ge 0$(Bất đẳng thức luôn đúng với mọi a,b)
Do đó: $a^3+b^3 \ge ab(a+b)$
b. $4(a+b)(a^2-ab+b^2) \ge (a+b)^3$
$\leftrightarrow 4(a^2-ab+b^2) \ge (a+b)^2$ (vì a+b >0)
$\leftrightarrow 4a^2 - 4ab +4b^2 - a^2 - 2ab - b^2 \ge 0$
$\leftrightarrow 3a^2 + 3b^2 - 6ab \ge 0$
$\leftrightarrow 3(a-b)^2 \ge 0$ (Bất đẳng thức luôn đúng với mọi a,b)
Do đó: $4(a^3+b^3) \ge (a+b)^3$

 

[mitd]

1)

[TEX] a^3 + b^3 \geq ab(a+b)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (a+b)(a^2-ab+b^2)-ab(a+b) \geq 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (a+b)(a-b)^2 \geq 0[/TEX]

.......................................

2) Áp dụng 1) :

[TEX] a^3 + b^3 \geq ab(a+b)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 4(a^3+b^3) \geq a^3 + b^3 + 3ab(a+b) = (a+b)^3 \Rightarrow dpcm[/TEX]

 

[vy000]

Giả sử b\geq a \geq c

[TEX]\Rightarrow (b-a)(c-b)\leq 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow bc+ab-b^2-ac\leq 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow bc+ba-b^2 \leq ca[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow b(c+a-b)\leq ca[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow b^2(c+a-b)\leq abc[/TEX]

Mà

[TEX]b^2\geq b^2-(c-a)^2[/TEX]

+Nếu:[TEX]c+a-b\geq 0[/TEX]

[TEX]\Rightarrow abc \geq (c+a-b)[b^2-(c-a)^2][/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow abc \geq (c+a-b)(b+c-a)(b+a-c)[/TEX]

+Nếu [TEX]c+a-b<0 \Rightarrow (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) < 0< abc[/TEX]

Chứng tỏ [TEX]abc \geq (c+a-b)(b+c-a)(b+a-c)[/TEX]

 

[thaybom]

....

Bạn chú ý: $c+a-b$ chưa chắc dương nên cần xét riêng TH này.

@all: BDT này có nhiều ứng dụng, các bạn nên học thuộc BDT này nhé.

 

[vy000]

đấy chỉ là phép biến đổi tương đương thông thường,
Chỉ có duy nhất 1 lần nhân thêm b vào cả 2 vế,
Nhưng do b đã dương nên đương nhiên đúng.
Còn những phép biến đổi liên quan đến c+a-b hoàn toàn là biến đổi tương đương