tích phân

[holiluoi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

giúp mình với mọi người
[TEX]\int_{0}^{1}\frac{x^2}{(x+1)(\sqrt{x+1})}dx[/TEX]

 

[trantien.hocmai]

$$I=\int_0^1 \dfrac{x^2dx}{(x+1)\sqrt{x+1}}=\int_0^1 \dfrac{x^2-1}{(x+1)\sqrt{x+1}}dx+\int_0^1 \dfrac{dx}{\sqrt{(x+1)^3}} \\
=I_1+I_2 \\
I_1=\int_0^1 \dfrac{(x-1)(x+1)}{(x+1)\sqrt{x+1}}=\int_0^1 \dfrac{x-1}{\sqrt{x+1}}dx \\ $$
$\text{đặt }t=\sqrt{x+1} \rightarrow t^2=x+1 \rightarrow 2tdt=dx \\
\text{đổi cận } x=0 \rightarrow t=1 , x=1 \rightarrow t=\sqrt{2} \\ $
$$I_1=\int_1^{\sqrt{2}} \dfrac{2(t^2-2)tdt}{t}=\int_0^{\sqrt{2}} 2(t^2-2)dt \\
I_2=\int_0^1 \dfrac{dx}{\sqrt{(x+1)^3}} \\ $$
$\text{đặt }u=\sqrt{x+1} \rightarrow u^2=x+1 \rightarrow 2udu=dx \\
\text{đổi cận }x=0 \rightarrow t=1 , x=1 \rightarrow t=\sqrt{2} $
$$I_2=\int_1^{\sqrt{2}} \dfrac{2udu}{u^3}=\int_1^{\sqrt{2}} \dfrac{2du}{u^2} \\$$
$\text{đến đây quá dễ để mà tính}$

 

[quynhsieunhan]

Cách khác: Đặt $\sqrt{x + 1} = t$ \Rightarrow $x = t^2 - 1$ \Rightarrow $dx = 2tdt$
Có: $I = \int\limits_{1}^{\sqrt{2}}\frac{2t(t^2 - 1)^2}{t^3}dt$
= $2\int\limits_{1}^{\sqrt{2}}\frac{t^5 - 2t^3 + t}{t^3}dt$
= $2\int\limits_{1}^{\sqrt{2}}t^2dt - 4\int\limits_{1}^{\sqrt{2}}dt + 2\int\limits_{1}^{\sqrt{2}}\frac{1}{t^2}dt$
= ....................

 

[trantien.hocmai]

$\text{chị quỳnh muốn chơi cách khác thì em chơi cách khác} \\$
$$I=\int_0^1 \dfrac{x^2}{(x+1)\sqrt{x+1}}dx=\int_0^1 \dfrac{x^2}{\sqrt{(x+1)^3}}dx \\
\begin{cases} u=x^2 \\ dv=\dfrac{dx}{\sqrt{(x+1)^3}} \end{cases} \leftrightarrow \begin{cases} du=2xdx \\ v=-\dfrac{2}{\sqrt{x+1}} \end{cases} \\
I=-\dfrac{2x^2}{\sqrt{x+1}}|_0^1+\int_0^1 \dfrac{4x}{\sqrt{x+1}} \\$$