Số học

[conami]

4. Nếu n nguyên tố thì (n-1)! ko chia hết cho n

Đây là định lí Wilson, nhưng khi dùng vào những bài như thế này thì bạn cần phải chứng minh
Bài tiếp nè:
1. C/m 444...44 (gồm 2003 chữ số 4) không là số chính phương
2. Tìm số tự nhiên n để trong dãy n+1 , n+2 , n+3 , ..., n+10 có nhiều số nguyên tố nhất

Các bạn đưa thêm đề về số học vào topic này cho mình với, mình đang cần gấp, mấy hôm nay thấy post riêng nhiều bài lẻ tẻ về SỐ học ở ngoài quá

 

[conami]

Bài tiếp nè:
1. C/m 444...44 (gồm 2003 chữ số 4) không là số chính phương
2. Tìm số tự nhiên n để trong dãy n+1 , n+2 , n+3 , ..., n+10 có nhiều số nguyên tố nhất

Các bạn đưa thêm đề về số học vào topic này cho mình với, mình đang cần gấp, mấy hôm nay thấy post riêng nhiều bài lẻ tẻ về SỐ học ở ngoài quá (

 

[sparda9999]

Bài tiếp nè:
1. C/m 444...44 (gồm 2003 chữ số 4) không là số chính phương
2. Tìm số tự nhiên n để trong dãy n+1 , n+2 , n+3 , ..., n+10 có nhiều số nguyên tố nhất

Các bạn đưa thêm đề về số học vào topic này cho mình với, mình đang cần gấp, mấy hôm nay thấy post riêng nhiều bài lẻ tẻ về SỐ học ở ngoài quá (

bài 2 mình chỉ biết kết quả [tex]n=1[/tex] nhưng ko biết cách cm
ai biết làm thì post lên nha )

 

[daodung28]

Bài tiếp nè:
1. C/m 444...44 (gồm 2003 chữ số 4) không là số chính phương
2. Tìm số tự nhiên n để trong dãy n+1 , n+2 , n+3 , ..., n+10 có nhiều số nguyên tố nhất

Các bạn đưa thêm đề về số học vào topic này cho mình với, mình đang cần gấp, mấy hôm nay thấy post riêng nhiều bài lẻ tẻ về SỐ học ở ngoài quá (

B1.
số chính phương >4, chia hết cho 4 thì phải chia hết cho 16
[TEX]A=\begin{matrix}\underbrace{444\cdots 4}\\2003\end{matrix}:16=\begin{matrix}\underbrace{111\cdots 1}\\2003\end{matrix}:4[/TEX]
[TEX]\begin{matrix}\underbrace{111\cdots 1}\\2003\end{matrix}[/TEX]lẻ [TEX]\Rightarrow [/TEX]ko chia hết cho 4[TEX]\Rightarrow[/TEX] A ko chia hết cho 16[TEX]\Rightarrow[/TEX] đpcm
B2.
xét n=0, dãy có 4 số nguyên tố
xét n=1, dãy có 5 số nguyên tố
xét n=2, dãy có 4 sỗ nguyên tố
xét n>2, dãy có 5 số lẻ và có 5 số chẵn đều >3
[TEX]\Rightarrow[/TEX] trong 5 số lẻ cách nhau 2 đơn vị, phải có 1 số chia hết cho 3 [TEX]\Rightarrow[/TEX]dãy có nhiều nhất 4 số nguyên tố
vậy n=1

 

[conami]

Lâu lắm mới quay lại diễn đàn mà cái topic này của mình bay đi đâu mất tiêu, hôm nay "sưởi" cho topic này của tớ tí. 2 bài dưới đây post từ lâu lắm rùi mà chưa ai làm, có ai help mình hok nhỉ...
1. Bảy chú lùn ngồi quanh 1 bàn tròn. Trước mặt mỗi người có 1 cái ca. Trong một số ca đã được đổ sữa. Một trong số những người đó chia đều toàn bộ số sữa của mình vào các ca còn lại. Tiếp theo đến người bên phải cũng làm như vậy, cứ thế tiếp tục. Cuối cùng khi người thứ 7 chia cho moi người còn lại số sữa của mình thì trong mỗi ca sữa có đúng bằng số sữa đã có ban đầu. Tổng số sữa trong các ca là 3 lít. Hỏi số sữa ban đầu trong mỗi ca là bao nhiêu???
2.Tìm số tự nhiên có 3 chữ số [TEX]\overline {abc}[/TEX] sao cho a! + b! + c! = [TEX]\overline {abc}[/TEX]

Mình đang cần nhiều bài toán về số học, các bạn post vô topic này cho mình nha, thanks @};-

 

[bboy114crew]

Cho [tex] a_n = 2^{2n+1} + 2^{n +1} +1, b_n= 2^{2n+1} - 2^{n +1} +1[/tex]. CMR với mỗi số tự nhiên n có một và chỉ một trong 2 số [tex]a_n, b_n [/tex] chia hết cho 5?

Gợi ý: xét [tex] a_n - b_n [/tex] và [tex]a_n . b_n [/tex]

 

[bboy114crew]

2.Tìm số tự nhiên có 3 chữ số [TEX]\overline {abc} [/TEX] sao cho a! + b! + c! = [TEX]\overline {abc}[/TEX]

Mình đang cần nhiều bài toán về số học, các bạn post vô topic này cho mình nha, thanks @};-

ta có: [TEX] \overline {abc}=a! + b! + c! < 1000 < 7! = 5040[/TEX]
\Rightarrow[TEX]a,b,c \geq 6[/TEX]
[TEX]a! + b! + c! =\overline {abc} \geq 666 < 6! = 720 [/TEX]
\Rightarrow[TEX]a,b,c \geq 5[/TEX]
[TEX]\overline {abc} = a! + b! + c! \geq 3.5! = 360 \Rightarrow a \geq 3[/TEX]
[TEX]\overline {abc} = a! + b! + c!\geq 3! + 5! + 5! = 246[/TEX]
xét a = 2 với chú ý 255 khác 2! + 5! + 5! = 242ta thấy trong hai số b và c có ít nhất 1 số < 5
.Bởi vậy [TEX]2! + b! + c! \geq 2! + 4! + 5! = 146 < \overline {2bc} [/TEX]
do đó a=1 và
[TEX]\overline {1bc} = 1 + b! + c! [/TEX]
vì [tex]1! + 5! + 5! = 241 > \overline {1bc} > 1 +4! + 4! = 49 [/tex] nên trong hai số b,c có đúng 1 số = 5
+) nếu b=5 thì [TEX] \overline {15c} = 1 + 5! + c! \Rightarrow c! - c =150 - 121 = 29[/TEX]
mà 4(3! - 1) = 20 < 29 < 5(4! - 1) = 115
do đó ko có chữ số c như trên!
+)nếu c=5 thì [TEX] \overline {1b5} = 1 + 5! + b! \Rightarrow b=4[/TEX]
thử lại:[TEX]1!+4!+5!=145[/TEX]
vậy số phải tìm là 145!

 

[bboy114crew]

tặng ác bạn mấy bài số học nhân dịp năm mới!
1)CMR:
với mọi số nguyên tố lẻ p đều ko tồn tại các số nguyên dương m,n thỏa mãn:;
[tex]\frac{1}{p} = \frac{1}{m^2} + \frac{1}{n^2}[/tex]
2) cho 3 số nguyên dương x,y,z nguyên tố cùng nhau thỏa mãn : [tex]\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{z}[/tex] CMR x+y là số chính phương.

 

[tulinh196]

[TEX]\Leftrightarrow\left{x^5-x^4=2-2x^2y\\{y^2-y^4=2-2y^2z\\{z^5-z^4=2-2z^2x}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow\left{x^4[x-1]=2[1-x^2y]_1\\{y^4[y-1]=2[1-y^2z]_2\\{z^4[z-1]=z[1-z^x]_3[/TEX]
ta có [TEX]x>1 \Rightarrow\ x^4[x-1]=2[1-x^y]>0[/TEX]
\Rightarrow[TEX]1-x^2y>0\Rightarrow1>x^2y\Rightarrow\frac{1}{x^2}>y[/TEX]
mà [TEX]x>1 =>1> \frac{1}{x^2}>y[/TEX]
từ 2 \Rightarrow[TEX]y^4[y-1]=2[1-y^2z]<0[/TEX]
\Rightarrow[TEX]1-y^2z<0 => y^2z>1 => z>\frac{1}{y^2}[/TEX]
mà [TEX]y<1 => y^2<1=> \frac{1}{y^2}>1[/TEX]
\Rightarrow z>1
từ 3 \Rightarrow [TEX]z^4[z-1]=z[1-z^2x]>0[/TEX]
\Rightarrow[TEX]1-z^2x>0[/TEX]
\Rightarrow x< 1 [trái vs giả thiết ]
tương tự x<1 => vô lí
Vậy x=1 => y=1> z=1 là bộ nghiệm duy nhất của hpt

Nhầm òi nè . Với y < 1 nhưng y âm thì làm sao mà [TEX]y^2 <1[/TEX]được . Ví dụ :

-5 < 1 => 25 <1 . vô lí