Toán 10 [SGK mới] Chương VII: Bất phương trình bậc 2 một ẩn

[chi254]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Dấu của tam thức bậc 2​

1. Tam thức bậc 2

VD: [imath]f(x) = 2x^2 + 2x +1 ; g(x) = 2x^2 + 1; h(x) = x^2 + x ...[/imath]

Đa thức bậc hai [imath]f(x) = ax^2 + bx + c[/imath] với [imath]a;b;c[/imath] là các hệ số, [imath]a \ne 0[/imath] và [imath]x[/imath] là biến số gọi là tam thức bậc hai

Nhận xét: Cho tam thức bậc hai [imath]f(x) = ax^2 + bx + c (a \ne 0)[/imath]. Khi thay [imath]x[/imath] bằng giá trị [imath]x_o[/imath] vào [imath]f(x)[/imath] ta được: [imath]f(x_o) = ax_o^2 + bx_o + c[/imath], gọi là giá trị của tam thức bậc 2 tại [imath]x_o[/imath]

• Nếu [imath]f(x_o) > 0[/imath] thì ta nói [imath]f(x)[/imath] dương tại [imath]x_o[/imath]
• Nếu [imath]f(x_o) < 0[/imath] thì ta nói [imath]f(x)[/imath] âm tại [imath]x_o[/imath]
• Nếu [imath]f(x)[/imath] dương (âm) tại mọi điểm [imath]x[/imath] thuộc 1 khoảng hoặc 1 đoạn thì ta nói [imath]f(x)[/imath] dương(âm) trên khoảng đó

VD: Biểu thức nào sau đây là tam thức bậc 2
a) [imath]f(x) = 2x +1[/imath]
b) [imath]g(x) = x^2 + 3x + 2[/imath]
c) [imath]h(x) = x^2 + 1[/imath]

Đáp án: [imath]b;c[/imath] là các tam thức bậc 2. Câu a) không chứa [imath]x^2[/imath]


Cho tam thức bậc hai [imath]f(x) = ax^2 + bx + c (a \ne 0)[/imath]. Khi đó:

• Nghiệm của PT bậc hai [imath]ax^2 + bx+ c = 0[/imath] là nghiệm của [imath]f(x)[/imath]
• Biểu thức [imath]\Delta = b^2 -4ac[/imath] và [imath]\Delta' = \left (\dfrac{b}{2} \right)^2 - ac[/imath] lần lượt là biệt thức và biệt thức thu gọn của [imath]f(x)[/imath]

VD: Tìm biệt thức và nghiệm của tam thức bậc hai: [imath]f(x) = x^2 + 3x + 2[/imath]
Giải: [imath]\Delta = 3^2 - 4.2 = 1[/imath]
Do đó, nghiệm của PT là: [imath]x_1 = \dfrac{-3 + 1}{2} = -1 ; x_2 = \dfrac{-3 -1}{2} = -2[/imath]


2. Định lí về dấu của tam thức bậc 2

Cho tam thức bậc hai [imath]f(x) = ax^2 + bx + c (a \ne 0)[/imath]. Khi đó:

• Nếu [imath]\Delta <0[/imath] thì [imath]f(x)[/imath] cùng dấu với [imath]x[/imath] với mọi [imath]x[/imath]
• Nếu [imath]\Delta = 0[/imath] và [imath]x_o = \dfrac{-b}{2a}[/imath] là nghiệm kép của [imath]f(x)[/imath] thì [imath]f(x)[/imath] cùng dấy với [imath]a[/imath] với mọi [imath]x \ne x_o[/imath]
• Nếu [imath]\Delta >0[/imath] và [imath]x_1;x_2[/imath] là 2 nghiệm của [imath]f(x) (x_1 <x_2)[/imath] thì [imath]f(x)[/imath] trái dấu với [imath]a[/imath] trong mọi [imath]x[/imath] trong khoảng [imath](x_1;x_2)[/imath]; [imath]f(x)[/imath] cùng dấu với [imath]a[/imath] trong mọi [imath]x[/imath] thuộc 2 khoảng [imath](-\infty; x_1); (x_2; +\infty)[/imath]

Các bước xét dấu tam thức bậc 2:

• B1: Tính và xác định dấu của [imath]\Delta[/imath]
• B2: Xác định nghiệm nếu có
• B3: Xác định dấu của hệ số [imath]a[/imath]
• B4: Xác định dấu của [imath]f(x)[/imath]

VD1: Xét dấu của tam thức bậc 2 sau: [imath]f(x) = x^2 + 5x + 4[/imath]

Lời giải:
[imath]\Delta = 5^2 - 4.4 = 9 > 0[/imath]
[imath]x_1 = -1; x_2 = -4 ; a = 1 >0[/imath]
Lập Bảng xét dấu:

[imath]x[/imath]	[imath]-\infty \ \ \ \ \ \ \ \ -4 \ \ \ \ \ \ \ \ \ -1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\infty[/imath]
[imath]f(x)[/imath]	[imath]\ \ \ \ \ \ + \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ - \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ +[/imath]

VD2: Xét dấu của tam thức bậc hai [imath]f(x) = x^2 + 2x + 1[/imath]

Lời giải:
[imath]\Delta = 2^2 - 4.1 = 0[/imath]
Nghiệm kép [imath]x_o = -1[/imath]

[imath]x[/imath]	[imath]-\infty \ \ \ \ \ \ \ \ -1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\infty[/imath]
[imath]f(x)[/imath]	[imath]\ \ \ \ \ \ \ \ \ + \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ +[/imath]

 

[chi254]

BT SGK Bài 1: ​

1) Đa thức nào sau đây là tam thức bậc hai?
a) [imath]4x^2 + 3x +1[/imath]
b) [imath]x^3 + 3x^2 -1[/imath]
c) [imath]2x^2 + 4x -1[/imath]

Lời giải:
Các câu a;c là tam thức bậc 2
Câu b) không là tam thức bậc 2 vì có chứa [imath]x^3[/imath]

2) Xác định các giá trị [imath]m[/imath] để các đa thức sau là tam thức bậc 2:
a) [imath](m +1)x^2 + 2x + m[/imath]
b) [imath]mx^3 + 2x^2 - x + m[/imath]
c) [imath]-5x^2 + 2x - m +1[/imath]

Lời giải:
a )[imath]m + 1 \ne 0 \iff m \ne -1[/imath]
b) [imath]m = 0[/imath]
c) [imath]\forall m \in \R[/imath]

3) Dựa vào đồ thị của hàm số bậc hai sau đây, hãy lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai tương ứng


Lời giải:

a)

[imath]x[/imath]	[imath]-\infty \ \ \ \ \ \ \ \ -2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \dfrac{1}{2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\infty[/imath]
[imath]f(x)[/imath]	[imath]\ \ \ \ \ \ + \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ - \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ +[/imath]

b)

[imath]x[/imath]	[imath]-\infty \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\infty[/imath]
[imath]f(x)[/imath]	[imath]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +[/imath]

c)

[imath]x[/imath]	[imath]-\infty \ \ \ \ \ \ \ \ -\dfrac{2}{3} \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\infty[/imath]
[imath]f(x)[/imath]	[imath]\ \ \ \ \ \ \ \ \ - \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ -[/imath]

d)

[imath]x[/imath]	[imath]-\infty \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\infty[/imath]
[imath]f(x)[/imath]	[imath]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -[/imath]

e)

[imath]x[/imath]	[imath]-\infty \ \ \ \ \ \ \ \ -2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \dfrac{3}{2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\infty[/imath]
[imath]f(x)[/imath]	[imath]\ \ \ \ \ \ - \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ + \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ -[/imath]

g)

[imath]x[/imath]	[imath]-\infty \ \ \ \ \ \ \ \ -\sqrt{2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\infty[/imath]
[imath]f(x)[/imath]	[imath]\ \ \ \ \ \ \ \ \ + \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ +[/imath]

4) Xét dấu của các tam thức bậc 2 sau đây:
a) [imath]f(x) = 2x^2 + 4x + 2[/imath]
b) [imath]f(x) = -3x^2 + 2x +21[/imath]
c) [imath]f(x) = -2x^2 + x -2[/imath]
d) [imath]f(x) = -4x(x + 3) -9[/imath]
e) [imath]f(x) = (2x + 5)(x -3)[/imath]

Lời giải:
a) [imath]\Delta' = 2^2 - 2.2 = 0[/imath]
Nghiệm kép [imath]x_o = -1; a >0[/imath]

[imath]x[/imath]	[imath]-\infty \ \ \ \ \ \ \ \ -1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\infty[/imath]
[imath]f(x)[/imath]	[imath]\ \ \ \ \ \ \ \ \ + \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ +[/imath]

b) [imath]\Delta' = 1 + 3.21 = 64[/imath]
[imath]x_1 = \dfrac{-7}{3} ; x_2 = 3; a = -3 < 0[/imath]

[imath]x[/imath]	[imath]-\infty \ \ \ \ \ \ \ \ -\dfrac{7}{3} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 3 \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\infty[/imath]
[imath]f(x)[/imath]	[imath]\ \ \ \ \ \ - \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ + \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ -[/imath]

Các câu còn lại tương tự nhé

5. Độ cao (tỉnh bằng mét) của một quả bóng so với vành rổ khi bóng di chuyển được x mét theo phương ngang được mô phỏng bằng hàm số [imath]h(x)=−0,1x^2+x−1[/imath]. Trong các khoảng nào của [imath]x[/imath] thì bóng nằm cao hơn vành rổ, thấp hơn vành rổ và ngang vành rổ? Làm tròn các kết quả đến hàng phần mười.

Lời giải:
Tính được 2 nghiệm : [imath]x_1 = 5 - \sqrt{15} \ ; x_2 = 5 + \sqrt{15}[/imath]

Vậy trong khoảng [imath](5 - \sqrt{15}; 5 +\sqrt{15})[/imath] thì bóng rổ cao hơn vành rổ

Các khoảng [imath](-\infty; 5 - \sqrt{15}); (5 + \sqrt{15}; +\infty)[/imath] thì bóng rổ thấp hơn vành rổ
Và [imath]x = x_1 ; x = x_2[/imath] thì bóng rổ ngang với vành rổ


6. Một khung dây thép hình chữ nhật có chiều dài [imath]20[/imath] cm và chiều rộng [imath]15[/imath] cm được uốn lại thành khung hình chữ nhật mới có kích thước [imath](20 + x)[/imath] cm và [imath](15 – x)[/imath] cm. Với x nằm trong các khoảng nào thì diện tích của khung sau khi uốn tăng lên, không thay đổi, giảm đi?

Lời giải:
Diện tích ban đầu: [imath]20.15 = 300[/imath]
Diện tích sau: [imath](20+x)(15-x)[/imath]
Xét hàm [imath]f(x) = (20 +x)(15 -x) - 300 = -x^2 -5x[/imath]
Để diện tích tăng lên thì [imath]f(x) >0[/imath]
[imath]x_1 = 0; x_2 = 5[/imath]
Vậy [imath]x \in (0;5)[/imath] thì diện tích tăng lên
[imath]x[/imath] nằm trong khoảng [imath](-\infty; 0) ; (5;+\infty)[/imath] thì diện tích giảm đi
[imath]x = 0; x = 5[/imath] thì diện tích không đổi

7. CMR với mọi số thực [imath]m[/imath] ta luôn có: [imath]9m^2 + 2m > -3[/imath]

Lời giải:
Xét [imath]f(m) = 9m^2 + 2m +3[/imath]
[imath]\Delta' = 1 - 9.3 = -26 <0[/imath]
Suy ra: [imath]f(m)[/imath] cùng dấu với hệ số [imath]a[/imath] với mọi [imath]m[/imath]
Vậy [imath]f(m) > 0[/imath] với mọi [imath]m[/imath]
Hay: [imath]9m^2 + 2m > -3[/imath] với mọi số thực [imath]m[/imath]

8. Tìm giá trị của [imath]m[/imath] để:
a) [imath]2x^2 + 3x + m + 1 > 0[/imath] với mọi [imath]x \in \R[/imath]
b) [imath]mx^2 + 5x - 3 \le 0[/imath] với mọi [imath]x \in \R[/imath]

Lời giải:
a) [imath]\Delta < 0 \iff 3^2 - 8(m +1) < 0 \iff 1 - 8m < 0 \iff m > \dfrac{1}{8}[/imath]
b) [imath]\begin{cases} m < 0 \\ \Delta \le 0 \end{cases} \iff \begin{cases} m < 0 \\ 25 + 12m \le 0 \end{cases} \iff \begin{cases} m < 0 \\ m \le \dfrac{-25}{12} \end{cases} \iff m \le \dfrac{-25}{12}[/imath]

 

[chi254]

Bài 2: Giải BPT bậc 2 một ẩn​

• BPT bậc 2 một ẩn [imath]x[/imath] là BPT có một trong các dạng [imath]ax^2 + bx + c \ge 0; ax^2 + bx + c > 0 ; ax^2 + bx + c \le 0 ; ax^2 + bx + c < 0[/imath] với [imath]a \ne 0[/imath]
• Nghiệm của BPT bậc 2 một ẩn là các giá trị của biến [imath]x[/imath] mà khi thay vào BPT ta được Bất đẳng thức đúng
• Giải BPT bậc hai là tìm tập hợp các nghiệm của BPT đó

Cách giải: Lợi dụng việc xét dấu tam thức bậc 2 đã học ở bài 1.

Cùng xem qua một số ví dụ để hiểu bài nhé
VD1: Xét xem [imath]x = 1; x = -2[/imath] có là nghiệm của BPT sau không?
a) [imath]x^2 + x > 0[/imath]
b) [imath]x^2 - 3 > 0[/imath]
c) [imath]x^2 + 3x + 2 \le 0[/imath]

Lời giải:
a) Thay [imath]x = 1[/imath] vào ta có: [imath]f(x) = 1^2 +1 = 2 >0[/imath]
Vậy [imath]x = 1[/imath] là nghiệm của BPT

Thay [imath]x = -2[/imath] vào ta có: [imath]f(x) = (-2)^2 - 2 = 2 >0[/imath]
Vậy [imath]x = -2[/imath] là nghiệm của BPT

b) Thay [imath]x = 1[/imath] ta có: [imath]f(x) = 1^2 - 3 = -2 < 0[/imath]
Vậy [imath]x = 1[/imath] không là nghiệm của BPT

Thay [imath]x = 2[/imath] ta có: [imath]f(x) = 2^2 - 3 = 1 > 0[/imath]
Vậy [imath]x = -2[/imath] là nghiệm của BPT

c) Thay [imath]x = 1[/imath] vào BPT ta có: [imath]f(x) = 1^2 + 3.2+ 2 = 6 > 0[/imath]
Vậy [imath]x =1[/imath] không là nghiệm của BPT

Thay [imath]x = -2[/imath] vào BPT ta có: [imath]f(x) = 0[/imath]
Vậy [imath]x = -2[/imath] là nghiệm của BPT

VD2: Giải BPT: [imath]x^2 + 4x + 3 > 0[/imath]

Tam thức bậc hai [imath]f(x) = x^2 + 4x + 3[/imath] có 2 nghiệm phân biệt là: [imath]x_1 = -3; x_2 = -1[/imath]
[imath]a = 1 > 0[/imath] nên [imath]f(x)[/imath] dương với mọi [imath]x[/imath] thuộc khoảng [imath](-\infty; -3); (-1; +\infty)[/imath]

Vậy tập nghiệm của BPT là: [imath](-\infty; -3) \cup (-1; +\infty)[/imath]


VD3: Giải BPT: [imath]x^2 + 2x + 1 > 0[/imath]

Tam thức bậc hai [imath]f(x) = x^2 + 2x + 1[/imath] có nghiệm kép [imath]x = -1[/imath]
Vậy nên tập nghiệm của BPT là: [imath]x \ne -1[/imath]

VD4: Giải BPT: [imath]-x^2 -2x + 3 > 0[/imath]

Tam thức bậc hai [imath]f(x) = -x^2 - 2x + 3[/imath] có 2 nghiệm p/b là: [imath]x_1 = -3; x_2 = 1[/imath]
[imath]a = -1 < 0[/imath] nên [imath]f(x)[/imath] dương với mọi [imath]x[/imath] thuộc khoảng [imath](-3;1)[/imath]

Vậy tập nghiệm của BPT là: [imath](-3;1)[/imath]

Hoặc có thể dùng đồ thị để giải BPT



Tập nghiệm của BPT là [imath](-3;1)[/imath]

Đọc thêm: Sử dụng máy tính casio để giải BPT bậc 2

B1: Sau khi mở máy, ấn phím MENU. Màn hình hiện lên bảng lựa chọn
B2: Ấn phím xuống 2 lần, và phím sang phải ( Hoặc ấn A) để đến mục giải BPT
B3: Ấn phím 2 để giải BPT bậc 2
B4: Chọn loại BPT cần giải bằng việc ấn phím 1; 2;3 hoặc 4
B5: Nhập lần lượt các hệ số và nhấn Enter

Bài hôm nay ngắn vậy thôi, tiếp tục đón xem lời giải phần bài tập nhé

 

[chi254]

BT SGK Bài 2​

1. Dựa vào đồ thị của hàm số bậc 2 tương ứng, hãy xác định tập nghiệm của BPT bậc 2 sau đây:


Lời giải:
a) Tập nghiệm của BPT là: [imath][-3; \dfrac{1}{2}][/imath]
b) Tập nghiệm của BPT là: [imath]R \backslash -4[/imath]
c) Tập nghiệm của BPT là: [imath]\left(\dfrac{3}{2}; 4\right)[/imath]
d) Tập nghiệm của BPT là: [imath]\text{\O}[/imath]

2. Giải các BPT bậc 2 sau:
a) [imath]2x^2 -15x + 28 \ge 0[/imath]
b) [imath]-2x^2 +19x +255 > 0[/imath]
c) [imath]12x^2 < 12x -8[/imath]
d) [imath]x^2 + x - 1 \ge 5x^2 - 3x[/imath]

Lời giải:
a)
Tam thức bậc hai [imath]f(x) =2x^2 -15x + 28[/imath] có 2 nghiệm phân biệt là: [imath]x_1 =\dfrac{7}{2}; x_2 = 4[/imath]
[imath]a = 2 > 0[/imath] nên [imath]f(x)[/imath] dương với mọi [imath]x[/imath] thuộc khoảng [imath]\left(-\infty; \dfrac{7}{2} \right); (4; +\infty)[/imath]
Vậy tập nghiệm của BPT là: [imath]\left(-\infty; \dfrac{7}{2} \right); (4; +\infty)[/imath]

b)
Tam thức bậc hai [imath]f(x) =-2x^2 +19x + 255[/imath] có 2 nghiệm phân biệt là: [imath]x_1 =-\dfrac{15}{2}; x_2 = 17[/imath]
[imath]a = -2 > 0[/imath] nên [imath]f(x)[/imath] dương với mọi [imath]x[/imath] thuộc khoảng [imath]\left(-dfrac{15}{2} ; 17\right)[/imath]
Vậy tập nghiệm của BPT là: [imath]\left(-dfrac{15}{2} ; 17\right)[/imath]

c) [imath]12x^2 < 12x - 8 \iff -12x^2 +12x - 8 > 0[/imath]
[imath]\Delta = -240 < 0[/imath]
[imath]a = -12 < 0[/imath]
Suy ra hàm số [imath]f(x)[/imath] dương với mọi [imath]x \in \R[/imath]
Vậy tập nghiệm của BPT là: [imath]\text{\O}[/imath]

d) [imath]x^2 + x - 1 \ge 5x^2 - 3x \iff 4x^2 - 4x + 1 \le 0 \iff x = \dfrac{1}{2}[/imath]

Vậy tập nghiệm của BPT là: [imath]\dfrac{1}{2}[/imath]


3. Kim muốn trồng một vườn hoa trên mảnh đất hình chữ nhật và làm hàng rào bao quanh. Kim chỉ có đủ vật liệu để làm 30 m hàng rào nhưng muốn diện tích vườn hoa ít nhất là [imath]50 m^2[/imath]. Hỏi chiều rộng của vườn hoa nằm trong khoảng nào?

Lời giải:
Gọi chiều rộng của vườn hoa là [imath]x[/imath]
Suy ra chiều dài của vường hoa là: [imath]15-x[/imath]
ĐK: [imath]15 - x > x \iff x < \dfrac{15}{2}[/imath]
Diện tích vườn hoa là: [imath]x(15-x)[/imath]
Theo mong muốn của Kim ta có: [imath]x(15-x) \ge 50 \iff -x^2 +15x - 50 \ge 0[/imath]
Xét hàm số [imath]f(x) = -x^2 + 15x -15[/imath] có 2 nghiệm là : [imath]x_1 = 10; x_2 = 5[/imath];
[imath]a = -1 < 0[/imath]
Suy ra: [imath]f(x)[/imath] dương trên đoạn [imath][5;10][/imath]
Vậy chiều rộng của vườn hoa nằm trong khoảng: [imath][5;7,5)[/imath]

4. Một quả bóng được ném thẳng lên tử độ cao [imath]1,6[/imath] m so với mặt đất với vận tốc [imath]10[/imath] m/s. Độ cao của bóng so với mặt đất (tính bằng mét) sau giây được cho bởi hàm số [imath]h(t)=−4,97t^2+10t+1,6[/imath]. Hỏi:
a) Bóng có thể cao trên 7 m không?
b) Bóng ở độ cao trên 5 m trong khoảng thời gian bao lâu? Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

Lời giải:
a) Bóng cao trên [imath]7[/imath]m [imath]\iff −4,97t^2+10t+1,6 \ge 7 \iff −4,97t^2+10t -5.4 \ge 0[/imath]
[imath]\Delta < 0 ; a <0[/imath]. Suy ra BPT vô nghiệm
Hay bóng không thể cao trên [imath]7[/imath] m

b) Bóng cao trên [imath]5[/imath] m [imath]\iff −4,97t^2+10t+1,6 > 5 \iff −4,97t^2+10t -3.4 > 0[/imath]
giải BPT ta có: Bóng cao trên [imath]5[/imath] m trong khoảng thời gian: [imath](0,43; 1,58)[/imath]

5. Mặt cắt ngang của mặt đường thường có dạng hình parabol để nước mưa dễ dàng thoát sang hai bên. Mặt cắt ngang của một con đường được mô tả bằng hàm số [imath]y =0,006x^2[/imath] với gốc toạ độ đặt tại tim đường và đơn vị đo là mét như trong (Hình 4). Với chiều rộng của đường như thế nào thì tim đường cao hơn lề đường không quá 15 cm?

Lời giải:
Gọi chiều rộng lề đường là [imath]x(x>0)[/imath]
Thì tim đường cao hơn lề đường [imath]1[/imath] khoảng: [imath]h=|-0,006x^2|=0,006 x^2[/imath]
Yêu cầu bài toán [imath]h \ge 0,15\Rightarrow 0,006x^2 \ge 0,15\Rightarrow x>5[/imath] hoặc [imath]x < -5[/imath]
Vậy khi chiều rộng lớn hơn [imath]10[/imath]m thì tim đường cao hơn lề đường không quá 15 cm

 

[chi254]

Bài 3: Phương trình quy về phương trình bậc 2​

1. Phương trình dạng: [imath]\sqrt{ax^2 + bx + c} = \sqrt{dx^2 + ex + f}[/imath]

PP giải:

• Bước 1: Bình phương 2 vế của PT ta được: [imath]ax^2 + bx + c = dx^2 + ex + f[/imath]
• Bước 2: Giải PT ở bước 1
• Bước 3: Thử lại nghiệm xem thỏa mãn không và kết luận nghiệm

Hoặc nếu có thể tìm ĐKXĐ ở các căn. Đến lúc giải nghiệm thì dựa vào ĐK để kết luận


VD1: [imath]\sqrt{x^3 - 3x + 1} = \sqrt{ x^3 -4x + 2}[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^3 - 3x +1 \geq 0 \\ x^3 - 3x + 1 = x^3 -4x + 2 \end{matrix}\right.[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^3 - 3x +1 \geq 0 \\ x = 1 \end{matrix}\right.[/imath] ( Loại)


VD2: [imath]\sqrt{31x^2 - 58x +1} = \sqrt{10x^2 - 11x - 19}[/imath]

Bình phương 2 vế của PT ta được: [imath]31x^2 - 58x + 1 = 10x^2 - 11x - 19[/imath]
[imath]\iff 21x^2 - 47x + 20 = 0 \iff x = \dfrac{4}{7}[/imath] hoặc [imath]x = \dfrac{5}{3}[/imath]

Thử lại: Loại

2. Phương trình dạng: [imath]\sqrt{ax^2 + bx + x} = dx + e[/imath]


PP giải:

• Bước 1: Bình phương 2 vế của PT ta được: [imath]ax^2 + bx + c = (dx + e)^2[/imath]
• Bước 2: Giải PT ở bước 1
• Bước 3: Thử lại nghiệm xem thỏa mãn không và kết luận nghiệm

VD1: [imath]\sqrt{2x -1} = \sqrt{ x^2 + 2x - 5}[/imath]
[imath]\Leftrightarrow[/imath] [imath]\left\{\begin{matrix}2x -1 \geq 0 \\ 2x -1 = x^2 + 2x - 5 \end{matrix}\right.[/imath]
[imath]\Leftrightarrow[/imath] [imath]x = 3[/imath]

VD2: [imath]\sqrt{3x^2 + 27x - 41} = 2x +3[/imath]

Bình phương 2 vế của PT: [imath]3x^2 + 27x - 41 = 4x^2 + 12x + 9 \iff x^2 - 15x + 50 = 0 \iff x = 5[/imath] hoặc [imath]x = 10[/imath]

Thử lại: Cả 2 nghiệm thỏa mãn

VD3: [imath]2x^2 -6x - 1 = \sqrt{4x+5}[/imath]
ĐKXĐ : [imath]x \geq \dfrac{-4}{5}[/imath]

Bình phương 2 vế:

pt [imath]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x^2 - 6x - 1 \geq 0 \\ 4x^4 + 36x^2 +1 - 24x^3 + 12x -4x^2 = 4x + 5 \end{matrix}\right.[/imath]

[imath]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x^2 - 6x - 1 \geq 0 \\ 4x^4 -24x^3 + 32x^2 + 8x - 4 = 0 \end{matrix}\right.[/imath]

[imath]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x^2 - 6x - 1 \geq 0 \\ x^4 - 6x^3 + 8x^2 + 2x - 1 = 0\end{matrix}\right.[/imath]

[imath]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x^2 - 6x - 1 \geq 0 \\ (x^2 - 2x -1)(x^2 - 4x + 1) = 0 \end{matrix}\right.[/imath]

[imath]\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x = 1 - \sqrt{2} \\ x = 2 + \sqrt{3} \end{matrix}\right.[/imath]


Ngoài ra, các bạn tham khảo thêm phần PT ở topic:

[Lý thuyết] Chuyên đề HSG: Phương trình vô tỷ
[Bài tập] Chuyên đề HSG: Phương trình vô tỷ

 

[chi254]

BT SGK Bài 3: ​

1) Giải các phương trình sau:

a) [imath]\sqrt{11x^2 - 14x - 12} = \sqrt{3x^2 + 4x - 7}[/imath]

[imath]\Rightarrow 11x^2 - 14x - 12 = 3x^2 + 4x - 7[/imath]

[imath]\Rightarrow 8x^2 -18x - 5 = 0[/imath]

[imath]\Rightarrow \left[\begin{array}{l} x = -\dfrac{1}{4} \\ x = \dfrac{5}{2} \end{array}\right.[/imath]

Thử lại và nhận nghiệm [imath]x = \dfrac{5}{2}[/imath]

b) [imath]\sqrt{x^2 + x - 42} = \sqrt{2x - 30}[/imath]

[imath]\Rightarrow x^2 + x - 42 = 2x - 30[/imath]

[imath]\Rightarrow x^2 - x -12 = 0[/imath]

[imath]\Rightarrow \left[\begin{array}{l} x = -4 \\ x = 3 \end{array}\right.[/imath]

Thử lại: Cả 2 nghiệm đều bị loại

c) [imath]2\sqrt{x^2 -x - 1} = \sqrt{x^2 + 2x + 5}[/imath]

[imath]\iff \sqrt{4x^2 - 4x - 4} = \sqrt{x^2 + 2x + 5}[/imath]

[imath]\Rightarrow 3x^2 - 6x - 9 = 0[/imath]

[imath]\Rightarrow \left[\begin{array}{l} x = -1 \\ x = 3 \end{array}\right.[/imath]

Thử lại: Nhận cả 2 nghiệm

d) [imath]3\sqrt{x^2 + x - 1} - \sqrt{7x^2 + 2x - 5} = 0[/imath]

[imath]\iff \sqrt{9x^2 + 9x - 9} = \sqrt{7x^2 + 2x - 5}[/imath]

[imath]\Rightarrow 9x^2 + 9x - 9 = 7x^2 + 2x - 5[/imath]

[imath]\Rightarrow 2x^2 + 7x -4 = 0[/imath]

[imath]\Rightarrow \left[\begin{array}{l} x = -4 \\ x = \dfrac{1}{2} \end{array}\right.[/imath]

Thử lại và nhận nghiệm [imath]x = -4[/imath]

2) Giải các phương trình sau:

a) [imath]\sqrt{x^2 + 3x + 1} = 3[/imath]
[imath]\iff x^2 + 3x + 1 = 9 \iff x^2 + 3x - 8 = 0 \iff x = \dfrac{-3 \pm \sqrt{41}}{2}[/imath]

b) [imath]\sqrt{x^2 - x - 4} = x+2[/imath]

[imath]\Rightarrow x^2 - x - 4 = x^2 + 4x + 4[/imath]

[imath]\Rightarrow 5x = -8[/imath]

[imath]\Rightarrow x = \dfrac{-8}{5}[/imath]

Thử lại: thỏa mãn

c) [imath]2 + \sqrt{12 -x} = x[/imath]

[imath]\Rightarrow \sqrt{12 - x} = x -2[/imath]

[imath]\Rightarrow 12 - x = x^2 - 4x + 4[/imath]

[imath]\Rightarrow x^2 - 3x - 8 = 0[/imath]

[imath]\Rightarrow x = \dfrac{3 \pm \sqrt{41}}{2}[/imath]

Thử lại và nhận nghiệm: [imath]x = \dfrac{3 + \sqrt{41}}{2}[/imath]

d) [imath]\sqrt{2x^2 - 3x -10} = -5[/imath]
PT vô nghiệm do [imath]\sqrt{A} \ge 0[/imath]

3) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB ngắn hơn AC là 2cm.
a) Biểu diễn độ dài cạnh huyền BC theo AB.
b) Biết chu vi của tam giác ABC là 24 cm. Tìm độ dài ba cạnh của tam giác đó.

Lời giải:
a) Đặt [imath]AB = a \to AC = a+2[/imath]
Ta có: [imath]BC = \sqrt{AB^2 +AC^2} = \sqrt{a^2 + (a + 2)^2} = \sqrt{2a^2 + 4a + 4}[/imath]

b) Ta có: [imath]AB + AC + BC = 24[/imath]
[imath]\iff 2a + 2 + \sqrt{2a^2 + 4a + 4} = 24[/imath]

giải PT tìm được [imath]a = 6[/imath]

4) Một con tàu biển M rời cảng O và chuyển động thẳng theo phương tạo với bờ biển một góc [imath]60^o[/imath]. Trên bờ biển có hai đài quan sát A và B nằm về hai phía so với cảng O và lần lượt cách cảng O khoảng cách 1km và 2km (Hình 2).
a) Đặt độ dài của MO là x km. Biểu diễn khoảng cách từ tàu đến A và từ tàu đến B theo [imath]x[/imath].
b) Tìm [imath]x[/imath] để khoảng cách từ tàu đến B bằng [imath]\dfrac{4}{5}[/imath] khoảng cách từ tàu đến A.
c) Tìm [imath]x[/imath] để khoảng cách từ tàu đến B nhỏ hơn khoảng cách từ tàu đến O đúng [imath]500m.[/imath]

Lời giải:
a) Xét[imath]\Delta MOB[/imath] có:
[imath]MB^2 = OM^2 + OB^2 - 2.OM.OB. \cos \widehat{BOM}[/imath]
[imath]\iff MB^2 = x^2 + 2^2 - 2.x.2.\cos 60^o[/imath]
[imath]\iff MB^2 = x^2 + 4 - 2x[/imath]
[imath]\iff MB = \sqrt{x2-2x+4}[/imath](km).

Ta lại có: [imath]\widehat{AOM} + \widehat{BOM} = 180^o \to \widehat{AOM} = 120^o[/imath]

Xét [imath]\Delta MOA[/imath] có:
[imath]MA^2 = OM^2 + OA2 - 2.OM.OA.\cos \widehat{AOM}[/imath]
[imath]MA^2 = x^2 + 1 + x[/imath]
[imath]MA = \sqrt{x^2+x+1}[/imath] (km)

b) Để khoảng cách từ tàu đến B bằng [imath]\dfrac{4}{5}[/imath] khoảng cách từ tàu đến A thì: [imath]MA = \dfrac{4}{5}.MB[/imath]
[imath]\iff \sqrt{x2-2x+4}=\dfrac{4}{5}. \sqrt{x^2+x+1}[/imath]
Giải BPT tìm được: [imath]x = \dfrac{11 \pm \sqrt{37}}{3}[/imath]

c) Để khoảng cách từ tàu đến B nhỏ hơn khoảng cách từ tàu đến O 500 m thì
[imath]\sqrt{x^2 -2x + 4} = x - \dfrac{1}{2}[/imath]
[imath]\iff x = \dfrac{15}{4}[/imath]