Toán 11 Quy tắc tính đạo hàm

[Công Nguyễn Hải]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho em hỏi mấy cái Quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp chứng minh như thế nào vậy ạ?

 

[NoahCytus2]

[math]Gọi $\Delta u$ là số gia của hàm số $u=u(x)$ ứng với số gia $\Delta x$ tại điểm $x_0$. Vì hàm số $u$ có đạo hàm tại $x_0$ nên nó liên tục tại điểm đó, nghĩa là $\Delta x \to 0$ thì $\Delta u \to 0$. Gọi $\Delta y$ là số gia của hàm $y=f(u)$ có đạo hàm tại điểm $u_0=u(x_0)$ ứng với số gia $\Delta u$. \\[Vì hàm $y=f(u)$ có đạo hàm tại điểm $u_0$ nên $$\lim_{\Delta u \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta u}=f'(u_0) \leftrightarrow \frac{\Delta y}{\Delta u}=f'(u_0)+\epsilon(\Delta u)\leftrightarrow \Delta y=f'(u_0)\times \Delta u+ \epsilon(\Delta u)\times \Delta u \quad (1)$$ Ở đó:\\ $$\Delta u \neq 0, \quad \lim_{\Delta u \to 0} \epsilon(\Delta u)=0$$ Ta nhận thấy $(1)$ cũng đúng khi $\Delta u=0$, vì khi $\Delta u=0$ thì: $$\Delta y=f(u_0+\Delta u)-f(u_0)=f(u_0+0)-f(u_0)=0$$ Do đó 2 vế của $(1)$ đều bằng 0.\\ Chia cả 2 vế cho $\Delta x \quad (\Delta x \neq 0)$ ta được $$\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(u_0)\times \frac{\Delta u}{\Delta x}+\epsilon (\Delta u)\times \frac{\Delta u}{\Delta x} \quad (2)$$ Chú ý $\Delta y$ cũng chính là số gia của hàm số $g$ tại điểm $x_0$ tương ứng với số gia $\Delta x$\\ Thực vậy, do $\Delta u=u(x_0+\Delta x)-u(x_0), u(x_0)=u_0 \implies u(x_0+\Delta x)=u_0+ \Delta u$\\ Từ đó suy ra $$g(x_0=\Delta x)-g(x_0)=f[u(x_0+\Delta x]-f[u(x_0)]=f(u_0+\Delta u)-f(u_0)=\Delta y$$ Lim 2 vế của $(2)$ khi $\Delta x \to 0$, ta có $g'(x_0)=f'(u_0)\times u'(x_0)$]\[/math]