Phương trình nghiêm nguyên

C

cool_strawberry

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Ai có bài j` về phương trình nghiêm nguyên hay hay post hộ tớ cái.Đang học về phần này tháy nhìu bài khó quá!

______________________
Các bạn có thể tham khảo thêm kiến thức:
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG: Phương trình vô tỷ
[Bài tập] Chuyên đề HSG: Phương trình vô tỷ
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG: Số học
[Bài tập] Chuyên đề HSG: Số học
 
Last edited by a moderator:
K

kachia_17

Đề : Giải phương trình nghiệm nguyên :

[tex]\huge 1+x + x^2 + x^3 = y ^3 [/tex]
 
B

bigbang195

[TEX]1+x+x^2=(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4} > 0[/TEX]
nên [TEX]y^3 \ge x^3[/TEX]

mặt khác [TEX](x+2)^3-y^3=x^3+6x^2+12x^2+8-x^3-x^2-x-1=5x^2+11x+7 >0[/TEX] (dễ chứng minh)

suy ra [TEX]x^3 < y^3 < (x+2)^3[/TEX]
[TEX]\Rightarrow y^3=(x+1)^3[/TEX] hay

[TEX]x^3+x^2+x+1=x^3+3x^2+3x+1[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 2x^2+2x=0 \Rightarrow 2x(x+1)=0[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \left{ x=-1, y=0 \\ x=0,y=1[/TEX]
 
K

kachia_17

Bài trên trích từ đề thi học sinh giỏi toàn quốc năm 1992 . Cách giải của bigbang195 chính xác và dễ hiểu :) .

Tiếp .

Đề : Giải phương trình nghiệm nguyên sau:

[tex]\huge 1, x^4+x^2-y^2+y+10 = 0 \\ 2, x^6+3x^3+1=y^4[/tex]

Một số tài liệu dưới dạng file pdf , các bạn có thể tham khảo ( đính kèm ) .
 

Attachments

  • diophantine equation.pdf
    116.6 KB · Đọc: 0
P

phuong95_online

với x>0 , ( x^3 +1)^2 < x^6 +3x^3+1< ( x^3 + 2 )^2
----> x^3 +1 < x^6 + 3x^3 +1 < x^3 +2 --> vô lý
với x\leq-2 ( x^3 +2)^2 < x^6 + 3x^6 +1 < ( x^3 +2 )^2 ------->vô lý
với x= -1 y^4 = -1 ------> vô lý
với x=0 , y= 1 hoặc -1 là ngiệm
 
H

hoquangphap2

giai pt nghiem nguyen sau:
A=xy/z +xz/y+yz/x=3
Giup to voi, to sap thi roi.
 
Last edited by a moderator:
M

ms.sun

balep said:
Tìm pt nghiệm nguyên :
3x+5y=26
( Đại Học Kiến Trúc - 2001)
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
[TEX]3x+5y=26 \Leftrightarrow x=\frac{26-5y}{3}=9-2y-\frac{1-y}{3}[/TEX]
Đặt [TEX] \frac{1-y}{3}=a\in Z \Rightarrow y=1-3a[/TEX]
[TEX] \Rightarrow x=\frac{26-5(1-3a)}{3}=7+5a[/TEX]
Vậy công thức nghiệm tổng quát của phương trình là [TEX](x;y)=(7+5a;1-3a)[/TEX]
 
C

cool_strawberry

hoquangphap2 said:
giai pt nghiem nguyen sau:
A=xy/z +xz/y+yz/x=3
Giup to voi, to sap thi roi.
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số:
[TEX]\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}+\frac{yz}{x}\geq3\sqrt[3]{xyz} [/TEX]
Do đó:[TEX]3=3\sqrt[3]{xyz}[/TEX]
\Leftrightarrowxyz =1 và /x/=/y/=/z/
Từ đây tìm ra nghiệm [TEX](x,y,z)=(1,1,1),(1,-1,-1),(-1,-1,1),(-1,1,-1)[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
C

cool_strawberry

Lưu ý là bài này chỉ tìm nghiệm nguyên dương được thôi nhá!
Giải nè:
[TEX]3^x+2^x=5^x[/TEX]
[TEX]\Rightarrow(\frac{3}{5})^x+(\frac{2}{5})^x=1[/TEX]
Với [TEX]x=1[/TEX] thỏa mãn.
Với [TEX]x \geq2[/TEX]thì:
[TEX](\frac{3}{5})^x< \frac{3}{5} [/TEX] ; [TEX](\frac{2}{5})^x<\frac{2}{5}[/TEX]
\Rightarrow[TEX](\frac{3}{5})^x+(\frac{2}{5})^x<1[/TEX](KTM)
Vậy [TEX]x=1[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
C

cool_strawberry

kachia_17 said:
Bài trên trích từ đề thi học sinh giỏi toàn quốc năm 1992 . Cách giải của bigbang195 chính xác và dễ hiểu :) .

Tiếp .

Đề : Giải phương trình nghiệm nguyên sau:

[tex]\huge 1, x^4+x^2-y^2+y+10 = 0 [/tex]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Tui giải cái này trước đã:
[TEX] \Leftrightarrow (y-1)y=x^4+x^2+10[/TEX]
\Rightarrow[TEX]y(y-1)>x^4+x^2=x^2(x^2+1)[/TEX]
[TEX]6y^2+2>0\Rightarrow y(y-1)<x^4+x^2+10+6x^2+2=(x^2+3)(x^2+4)[/TEX]
\Rightarrow[TEX]x^2(x^2+1)<y(y-1)<(x^2+3)(x^2+4)[/TEX]
Đến đây dễ dàng tìm đc nghiệm nguyên là:
[TEX](x,y)=(-2,-5),(-1,-3),(-2,6),(-1,4),(2,6),(1,4),(1,-3),(2,-5)[/TEX]
 
M

ms.sun

cool_strawberry said:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số:
[TEX]\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}+\frac{yz}{x}\geq3\sqrt[3]{xyz} [/TEX]
Do đó:[TEX]3=3\sqrt[3]{3}[/TEX]
\Leftrightarrowxyz =1 và /x/=/y/=/z/
Từ đây tìm ra nghiệm [TEX](x,y,z)=(1,1,1),(1,-1,-1),(-1,-1,1),(-1,1,-1)[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
hì,bạn lại nhầm nữa ùi,sao :[TEX]3=3\sqrt[3]{3}[/TEX],thay số 3 trong cái căn bằng [TEX]xyz[/TEX]chứ nhể :D
 
B

bigbang195

cool_strawberry said:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số:
[TEX]\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}+\frac{yz}{x}\geq3\sqrt[3]{xyz} [/TEX]
Do đó:[TEX]3=3\sqrt[3]{3}[/TEX]
\Leftrightarrowxyz =1 và /x/=/y/=/z/
Từ đây tìm ra nghiệm [TEX](x,y,z)=(1,1,1),(1,-1,-1),(-1,-1,1),(-1,1,-1)[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Phương trình không cho điều kiện dương nên không thể áp dụng bdt cauchy

Bất đẳng thức Cauchy :
[TEX]a^3+b^3+c^3-3abc=\frac{a+b+c}{2}((a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2) [/TEX]
để bdt đúng thì [TEX]a+b+c \ge 0[/TEX] hay

[TEX]\sum \sqrt[3]{\frac{xy}{z}} \ge 0[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
 
Last edited by a moderator:
C

cool_strawberry

Thì các số đó đều dương để có thể áp dụng Cô-si chứ sao
 
Last edited by a moderator:
You must log in or register to reply here.
Top Bottom