B
G
girl194
C
cool_strawberry
Tìm nghiêm nguyên của phương trình:
1.[TEX]x(x+1)(x+2)(x+3)=y^2[/TEX]
2.[TEX]x^3-2y^3-4z^3=0[/TEX]
3.[TEX]x^3+x^2+x+1=2^y[/TEX]
1.[TEX]x(x+1)(x+2)(x+3)=y^2[/TEX]
2.[TEX]x^3-2y^3-4z^3=0[/TEX]
3.[TEX]x^3+x^2+x+1=2^y[/TEX]
C
cool_strawberry
Không hiểu à?Vậy để tui diễn giải nhe!
Tui áp dụng Cô-si cho 3 số dương (dấu = xảy ra \Leftrightarrow[TEX]x^2=y^2=z^2[/TEX] hay /x/=/y/=/z/
Do đó :[TEX]3=3.\sqrt[3]{xyz}[/TEX] vs /x/=/y/=/z/
\Rightarrowxyz=1 và /x/=/y/=/z/=1
Trường hợp x,y,z>o thì x=y=z=1
Trường hợp 2 trong 3 số âm thì tìm được các bộ nghiệm còn lại.
B
bigbang195
B
bingod
\Leftrightarrow ([TEX]x^2[/TEX] + 3x )( [TEX]x^2[/TEX] + 3x +2 ) = [TEX]y^2[/TEX] (1)
Đặt t = [TEX]x^2[/TEX] + 3x + 1
(1) \Leftrightarrow [TEX]t^2[/TEX] -1 = [TEX]y^2[/TEX]
\Rightarrow [TEX]t^4[/TEX] và [TEX]y^2[/TEX] là 2 số chính phương liên tiếp ( [TEX]t^2[/TEX] > [TEX]y^2[/TEX])
\Rightarrow [TEX]\left{\begin{t^4 = 1}\\{y^2 =0} [/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]\left{\begin{t=\pm \1}\\{y=0} [/TEX]
. Với t = 1 ta có pt : [TEX]x^2[/TEX] + 3x + 1 = 1
\Leftrightarrow [TEX]x^2[/TEX] + 3x = 0
\Leftrightarrow [TEX]\left[\begin{x =0}\\{x = -3} [/TEX]
. Với t = -1 ta có pt : [TEX]x^2[/TEX] + 3x + 1 = -1
\Leftrightarrow [TEX]x^2[/TEX] + 3x + 2 = 0
\Leftrightarrow [TEX]\left[\begin{x = -1}\\{x = -2} [/TEX]
TÓm lại: pt có 4 nghiệm nguyên
B
bigbang195
[TEX]x \vdots 2^n,y\vdots 2^n ,z \vdots 2^n[/TEX] (với [TEX]n \in N[/TEX])
[TEX]\Rightarrow \left{x=0 \\ y=0 \\ z=0[/TEX]
B
bingod
2/
Ta có : [TEX]x^3[/TEX] chia hết cho 2
\Rightarrow x chia hết cho 2
Đặt x = 2a
Ta có pt : [TEX]8a^3[/TEX] - 2[TEX]y^3[/TEX] - 4[TEX]z^3[/TEX] = 0
\Leftrightarrow [TEX]4a^3[/TEX] - [TEX]y^3[/TEX] - 2[TEX]z^3[/TEX] = 0
\Rightarrow [TEX]y^2[/TEX] chia hết cho 2
\Rightarrow y chia hết cho 2
Đặt y = 2b
Ta có: 8[TEX]a^3[/TEX] - 16[TEX]b^3[/TEX] - 4[TEX]z^3[/TEX] = 0
\Leftrightarrow 2[TEX]a^3[/TEX] - 4[TEX]b^3[/TEX] - [TEX]z^3[/TEX] = 0
\Leftrightarrow [TEX]z^3[/TEX] = 2[TEX]a^3[/TEX] - 2[TEX]b^3[/TEX]
\Leftrightarrow z = [TEX]\sqrt[3]{2a^3 - 4b^3}[/TEX]
Không biết làm thế này đúng hay sai nữa, cậu thử tính tiếp xem.. pt có nghiệm (0;0;0)
)
Ta có : [TEX]x^3[/TEX] chia hết cho 2
\Rightarrow x chia hết cho 2
Đặt x = 2a
Ta có pt : [TEX]8a^3[/TEX] - 2[TEX]y^3[/TEX] - 4[TEX]z^3[/TEX] = 0
\Leftrightarrow [TEX]4a^3[/TEX] - [TEX]y^3[/TEX] - 2[TEX]z^3[/TEX] = 0
\Rightarrow [TEX]y^2[/TEX] chia hết cho 2
\Rightarrow y chia hết cho 2
Đặt y = 2b
Ta có: 8[TEX]a^3[/TEX] - 16[TEX]b^3[/TEX] - 4[TEX]z^3[/TEX] = 0
\Leftrightarrow 2[TEX]a^3[/TEX] - 4[TEX]b^3[/TEX] - [TEX]z^3[/TEX] = 0
\Leftrightarrow [TEX]z^3[/TEX] = 2[TEX]a^3[/TEX] - 2[TEX]b^3[/TEX]
\Leftrightarrow z = [TEX]\sqrt[3]{2a^3 - 4b^3}[/TEX]
Không biết làm thế này đúng hay sai nữa, cậu thử tính tiếp xem.. pt có nghiệm (0;0;0)
)
C
cool_strawberry
Phần cuối làm hơi dài.Tớ làm cách ngắn hơn nè:
[TEX]y=0\Rightarrow x(x+1)(x+2)(x+3)=0\Rightarrow x=0;-1;-2;-3[/TEX]
B
bingod
C
cool_strawberry
1.Tìm nghiệm nguyên dương:
[TEX]\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{t^2}=1[/TEX]
2.Tìm nghiệm nguyên:
[TEX]x^4-y^4-20x^2+28y^2=107[/TEX]
[TEX]\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{t^2}=1[/TEX]
2.Tìm nghiệm nguyên:
[TEX]x^4-y^4-20x^2+28y^2=107[/TEX]
P
phuongbac98
\Leftrightarrow[TEX](x^2-10)^2 -(y^2-14)^2 = 11[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](x^2-y^2+4)(x^2+y^2-24) = 11[/TEX]
\Rightarrowthuộc Ư (11) \Rightarrow...................
B
bingod
đặt biểu thức đó là A ; [TEX]x^2 = a , y^2 = b , z^2 = c , t^2 = d[/TEX]
không mất tính tổng quát ta giả sử : a [TEX]\ge \[/TEX] b [TEX]\ge \[/TEX] c [TEX]\ge \[/TEX] d
KHi đó: [TEX]\frac{1}{a} \le \ \frac{1}{b} \le \ \frac{1}{c} \le \ \frac{1}{d} [/TEX]
\Rightarrow A [TEX]\le \[/TEX] [TEX]\frac{4}{d}[/TEX]
\Leftrightarrow 1 [TEX]\le \[/TEX] [TEX]\frac{4}{d}[/TEX]
\Leftrightarrow d [TEX]\le \[/TEX] 4
\Rightarrow [TEX]\left[\begin{d=1}\\{d = 4} [/TEX]
\Rightarrow d = 4 ( vì d # 1 )
d = 4 \Rightarrow t =2
tương tự \Rightarrow x = y = z =2
không mất tính tổng quát ta giả sử : a [TEX]\ge \[/TEX] b [TEX]\ge \[/TEX] c [TEX]\ge \[/TEX] d
KHi đó: [TEX]\frac{1}{a} \le \ \frac{1}{b} \le \ \frac{1}{c} \le \ \frac{1}{d} [/TEX]
\Rightarrow A [TEX]\le \[/TEX] [TEX]\frac{4}{d}[/TEX]
\Leftrightarrow 1 [TEX]\le \[/TEX] [TEX]\frac{4}{d}[/TEX]
\Leftrightarrow d [TEX]\le \[/TEX] 4
\Rightarrow [TEX]\left[\begin{d=1}\\{d = 4} [/TEX]
\Rightarrow d = 4 ( vì d # 1 )
d = 4 \Rightarrow t =2
tương tự \Rightarrow x = y = z =2
C
cool_strawberry
Tiếp:
[TEX]1.2\sqrt{x}-3\sqrt{y}=48[/TEX]
[TEX]2.(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2[/TEX]
Bài 2 biết kết quả nhưng chẳng bít giải thế nào.Nhờ các bác chỉ giáo!
[TEX]1.2\sqrt{x}-3\sqrt{y}=48[/TEX]
[TEX]2.(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2[/TEX]
Bài 2 biết kết quả nhưng chẳng bít giải thế nào.Nhờ các bác chỉ giáo!
Last edited by a moderator:
B
bingod
C
cool_strawberry
B
bingod
Bài 1 tớ đang nghĩ...
còn bài 2 này:
Ta sẽ tính được : xy + xz + xz = 0
áp dụng baì toán phụ : " nếu a + b + c = 0 thì [TEX]a^3 +b^3 +c^3[/TEX] = 3abc"
bài toàn này cm dễ..
\Rightarrow [TEX](xy)^3 + (yz)^3 + (xz)^3 = 3(xyz)^2[/TEX]
mặt khác theo BDT cô-si .. \Rightarrow [TEX](xy)^3 + (yz)^3 + (xz)^3 \geq 3(xyz)^2[/TEX]
dấu " = " xảy ra \Leftrightarrow x=y=z
thay vào ta sẽ tính được nghiệm x=y=z=0
done!!!
còn bài 2 này:
Ta sẽ tính được : xy + xz + xz = 0
áp dụng baì toán phụ : " nếu a + b + c = 0 thì [TEX]a^3 +b^3 +c^3[/TEX] = 3abc"
bài toàn này cm dễ..
\Rightarrow [TEX](xy)^3 + (yz)^3 + (xz)^3 = 3(xyz)^2[/TEX]
mặt khác theo BDT cô-si .. \Rightarrow [TEX](xy)^3 + (yz)^3 + (xz)^3 \geq 3(xyz)^2[/TEX]
dấu " = " xảy ra \Leftrightarrow x=y=z
thay vào ta sẽ tính được nghiệm x=y=z=0
done!!!
B
bigbang195
[TEX]x,y,z[/TEX] không có điều kiện duơng nên không thể áp dụng BDT được
[TEX]xy+xz+yz=0[/TEX] có vô số nghiệm
[TEX]xy+z(x+y)=0[/TEX]
chẳng hạn
[TEX]z=1[/TEX] thì [TEX](x,y,z)=(1,-2,-2)[/TEX]
[TEX]z=2.....[/TEX]
[TEX]z=3.....[/TEX]
............
C
cool_strawberry
Đáp án chắc chắn sẽ là trong 3 số x,y,z có 2 số =0, số còn lại tùy ý nhưng giải thế nào mới là vấn đề nan giải!!!
S