Toán Phương trình - hệ phương trình

[hoangbadao41]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

bài 1: Cho x,y thỏa mãn: x[tex]\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}=1[/tex]
chứng minh:[tex]x^{2}+y^{2}=1[/tex]
bài 2:tìm x để:x+[tex]\sqrt{2012}[/tex] và [tex]\frac{13}{x}-\sqrt{2012}[/tex]là các số nguyên
bài 3: Cho x,y,z>0,xyz=1
chứng minh rằng:
[tex]\frac{x^{3}}{(1+y)(1+z)}+\frac{y^{3}}{(1+x)(1+z)}+\frac{z^{3}}{(1+x)(1+y)} \geq \frac{3}{4}[/tex]
bài 4: Cho pt, x^2-x-1=0
a,chứng minh phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt
b,kí hiệu [tex]s_{n}=x_{1}^{n}+x_{2}^{n}(n\geqslant 1)[/tex] với n là số tự nhiên
tính [tex]s_{1},s_{2},s_{3},s_{4}[/tex]
bài 5: cho phương trình x^2-2mx+m+2=0
a, tìm m để pt có 2 nghiệm dương phân biệt
b, tìm m để pt có 2 nghiệm âm phân biệt
6, cho a,b,c [tex]\neq[/tex]0 chứng minh rằng trong 3 pt sau:
ax^2+2bx+c=0
bx^2+2cx+a=0
cx^2+2ax+b=0
có ít nhất 1 pt có nghiệm[/tex]

 

[Kent Kazaki]

Bạn j ơi. Hình như ở bài 1 thiếu vế phải => ko tính dc.

 

[hoangbadao41]

Bạn j ơi. Hình như ở bài 1 thiếu vế phải => ko tính dc.

tks bạn VT=1

 

[Kent Kazaki]

ok. Để mk suy nghĩ

 

[quynhphamdq]

bài 1: Cho x,y thỏa mãn: x[tex]\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}[/tex]
chứng minh:[tex]x^{2}+y^{2}=1[/tex]
bài 2:tìm x để:x+[tex]\sqrt{2012}[/tex] và [tex]\sqrt{2012}[/tex] là các số nguyên
bài 3: Cho x,y,z>0,xyz=1
chứng minh rằng:
[tex]\frac{x^{3}}{(1+y)(1+z)}+\frac{y^{3}}{(1+x)(1+z)}+\frac{z^{3}}{(1+x)(1+y)}[/tex]
bài 4: Cho pt, x^2-x-1=0
a,chứng minh phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt
b,kí hiệu [tex]s_{n}=x_{1}^{n}+x_{2}^{n}(n\geqslant 1)[/tex] với n là số tự nhiên
tính [tex]s_{1},s_{2},s_{3},s_{4}[/tex]
bài 5: cho phương trình x^2-2mx+m+2=0
a, tìm m để pt có 2 nghiệm dương phân biệt
b, tìm m để pt có 2 nghiệm âm phân biệt
6, cho a,b,c [tex]\neq[/tex]0 chứng minh rằng trong 3 pt sau:
ax^2+2bx+c=0
bx^2+2cx+a=0
cx^2+2ax+b=0
có ít nhất 1 pt có nghiệm

ĐÈ bị thiếu em à
Nói đi chị sửa

 

[hoangbadao41]

bài 1 cho [tex]x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}=1[/tex]

 

[Kent Kazaki]

Bạn í cho vế phải =1

 

[quynhphamdq]

bài 1 cho [tex]x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}=1[/tex]

BÀi 3 thì sao em

 

[hoangbadao41]

BÀi 3 thì sao em

bài 3 em viết lại r đó c

 

[quynhphamdq]

đâu em ?

 

[hoangbadao41]

đâu em ?

quên chị viết lại giùm em cm pt đó lớn hơn hoặc bằng 3/4

 

[iceghost]

1/ Ta có bđt Bunhiacopsky : $(a^2+b^2)(c^2+d^2) \geqslant (ac+bd)^2$
$\iff (ad-bc)^2 \geqslant 0$ (luôn đúng)
Dấu '=' xảy ra khi $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$
Áp dụng bđt Bunhiacopsky ta được
$(x.\sqrt{1-y^2}+\sqrt{1-x^2}.y)^2 \leqslant (x^2+1-x^2)(1-y^2+y^2) = 1$
$\iff x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2} \leqslant 1$
Dấu '=' phải xảy ra $\iff \dfrac{x}{\sqrt{1-y^2}} = \dfrac{\sqrt{1-x^2}}{y}$
$\iff x^2+y^2=1$

 

[quynhphamdq]

BÀi 4 :
a. Xét [tex]\Delta[/tex] của phương trình $x^2-x-1=0$ ta chứng minh đc [tex]\Delta[/tex] > 0 là đc .
b. Theo viet ta được tổng x1 +x2 và tích x1 +x2
Thay n=1 ; 2 ;3 ;4 lần lượt vào để tính thui em nha .
nẾu thắc mắc đoạn nào chị chỉ chi tiết nha

 

[hoangbadao41]

ĐÈ bị thiếu em à
Nói đi chị sửa

chị chựa cả bài 2 giùm em cái thêm 13/x- vào sau chự 'và' cái chị

 

[quynhphamdq]

Đâu e ?

 

[hoangbadao41]

Đâu e ?

[tex]\sqrt{2012}[/tex] thành [tex]\frac{13}{x}-\sqrt{2012}[/tex]

[tex]\sqrt{2012}[/tex] thành [tex]\frac{13}{x}-\sqrt{2012}[/tex]

vế sau chữ và nha chị

 

[forum_]

bài 3: Cho x,y,z>0,xyz=1
chứng minh rằng:
[tex]\frac{x^{3}}{(1+y)(1+z)}+\frac{y^{3}}{(1+x)(1+z)}+\frac{z^{3}}{(1+x)(1+y)}[/tex]

Gọi A = [tex]\frac{x^{3}}{(1+y)(1+z)}+\frac{y^{3}}{(1+x)(1+z)}+\frac{z^{3}}{(1+x)(1+y)}[/tex]

Cauchy:

$\frac{x^{3}}{(1+y)(1+z)}+\frac{1+y}{8}+\frac{1+z}{8}$ $\geq$ $\frac{3x}{4}$

$\frac{y^{3}}{(1+x)(1+z)}+\frac{1+x}{8}+\frac{1+z}{8}$ $\geq$ $\frac{3y}{4}$

$\frac{z^{3}}{(1+x)(1+y)}+\frac{1+x}{8}+\frac{1+y}{8}$ $\geq$ $\frac{3z}{4}$

Suy ra A $\geq$ $\frac{3(x+y+z)}{4}$ - $\frac{3+x+y+z}{4}$ = $\frac{2(x+y+z)-3}{4}$ $\geq$ $\frac{2. 3.\sqrt[3]{xyz}-3}{4}$ = 3/4

Dấu = tại x=y=z=1

bài 5: cho phương trình x^2-2mx+m+2=0
a, tìm m để pt có 2 nghiệm dương phân biệt
b, tìm m để pt có 2 nghiệm âm phân biệt
6, cho a,b,c [tex]\neq[/tex]0 chứng minh rằng trong 3 pt sau:
ax^2+2bx+c=0 (1)
bx^2+2cx+a=0 (2)
cx^2+2ax+b=0 (3)
có ít nhất 1 pt có nghiệm[/tex]

Định gộp vào bài trên nhưng ko sửa đc bài chính mình post @@ . Đề nào sửa đúng rồi thì T-Mod xóa bớt mấy cái tin spam nhé

5/ xem lại đề

6/ denta 1 + denta 2+ denta 3 = $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$

Mặt khác ta có, khi áp dụng Cauchy:

$a^2+b^2$ $ ≥ $2ab$

$b^2+c^2$ $ ≥ $2bc$

$a^2+c^2$ $ ≥ 2ac$

cộng lại vế theo vế suy ra $a^2+b^2+c^2$ ≥ $ab-bc-ca$

Suy ra denta 1 + denta 2+ denta 3 ≥ 0

Vậy nên ít nhất 1 pt có nghiệm (đpcm)

 

[hoangbadao41]

Gọi A = [tex]\frac{x^{3}}{(1+y)(1+z)}+\frac{y^{3}}{(1+x)(1+z)}+\frac{z^{3}}{(1+x)(1+y)}[/tex]

Cauchy:

$\frac{x^{3}}{(1+y)(1+z)}+\frac{1+y}{8}+\frac{1+z}{8}$ $\geq$ $\frac{3x}{4}$

$\frac{y^{3}}{(1+x)(1+z)}+\frac{1+x}{8}+\frac{1+z}{8}$ $\geq$ $\frac{3y}{4}$

$\frac{z^{3}}{(1+x)(1+y)}+\frac{1+x}{8}+\frac{1+y}{8}$ $\geq$ $\frac{3z}{4}$

Suy ra A $\geq$ $\frac{3(x+y+z)}{4}$ - $\frac{3+x+y+z}{4}$ = $\frac{2(x+y+z)-3}{4}$ $\geq$ $\frac{2. 3.\sqrt[3]{xyz}-3}{4}$ = 3/4

Dấu = tại x=y=z=1



Định gộp vào bài trên nhưng ko sửa đc bài chính mình post @@ . Đề nào sửa đúng rồi thì T-Mod xóa bớt mấy cái tin spam nhé

5/ xem lại đề

6/ denta 1 + denta 2+ denta 3 = $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$

Mặt khác ta có, khi áp dụng Cauchy:

$a^2+b^2$ $ ≥ $2ab$

$b^2+c^2$ $ ≥ $2bc$

$a^2+c^2$ $ ≥ 2ac$

cộng lại vế theo vế suy ra $a^2+b^2+c^2$ ≥ $ab-bc-ca$

Suy ra denta 1 + denta 2+ denta 3 ≥ 0

Vậy nên ít nhất 1 pt có nghiệm (đpcm)

bài 5 đúng đề r chị ak,chị bày em bài 2 với

 

[iceghost]

bài 5: cho phương trình x^2-2mx+m+2=0
a, tìm m để pt có 2 nghiệm dương phân biệt
b, tìm m để pt có 2 nghiệm âm phân biệt

$\Delta = 4m^2 - 4m - 8 > 0 \iff \left[ \begin{array}{l} m > 2 \\ m < -1 \end{array} \right.$
Theo định lý Viète :
$\left\{ \begin{array}{l}
x_1 + x_2 = 2m \\
x_1.x_2 = m+2
\end{array} \right.$
a) Để pt có $2$ nghiệm dương phân biệt thì
$\left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l} m > 2 \\ m < -1 \end{array} \right. \\
x_1 + x_2 = 2m > 0\\
x_1.x_2 = m+2 > 0
\end{array} \right.$
...
b) Tương tự

 

[iceghost]

bài 2:tìm x để:x+[tex]\sqrt{2012}[/tex] và [tex]\frac{13}{x}-\sqrt{2012}[/tex]là các số nguyên

Đặt $x + \sqrt{2012} = k \in \mathbb{Z} \iff x = k - \sqrt{2012}$
Đặt $\dfrac{13}{x} - \sqrt{2012} = \dfrac{13}{k - \sqrt{2012}} - \sqrt{2012}$
$ = \dfrac{13(k+\sqrt{2012})}{k^2-2012} - \sqrt{2012}$
$=\dfrac{13k}{k^2-2012} + \sqrt{2012}(\dfrac{13}{k^2-2012} - 1) $
$= \dfrac{13k}{k^2-2012} + \sqrt{2012}.\dfrac{2025-k^2}{k^2-2012} = t \in \mathbb{Z}$
Đặt $\dfrac{13k}{k^2-2012} = a; \dfrac{2025-k^2}{k^2-2012} = b$
Dễ CM $\sqrt{2012}$ là số vô tỉ
Ta có $a + b.\sqrt{2012} = t$
$\iff b.\sqrt{2012} = t-a$
+) Với $b = 0$ thì $a = t$
+) Với $b \ne 0$ thì $\sqrt{2012} = \dfrac{t-a}{b} \in \mathbb{Q}$ (vô lý vì $\sqrt{2012}$ là số vô tỉ)
Vậy $b = 0$ và $a = t$
$\iff k = 45$ và $t = 15$
Khi đó $x = 15 - \sqrt{2012}$