Toán Phương trình - hệ phương trình

[hoangbadao41]

ta 3 ≥ 0

Đặt $x + \sqrt{2012} = k \in \mathbb{Z} \iff x = k - \sqrt{2012}$
Đặt $\dfrac{13}{x} - \sqrt{2012} = \dfrac{13}{k - \sqrt{2012}} - \sqrt{2012}$
$= \dfrac{13(k+\sqrt{2012})}{k^2-2012} - \sqrt{2012}$
$=\dfrac{13k}{k^2-2012} + \sqrt{2012}(\dfrac{13}{k^2-2012} - 1)$
$= \dfrac{13k}{k^2-2012} + \sqrt{2012}.\dfrac{2025-k^2}{k^2-2012} = t \in \mathbb{Z}$
Đặt $\dfrac{13k}{k^2-2012} = a; \dfrac{2025-k^2}{k^2-2012} = b$
Dễ CM $\sqrt{2012}$ là số vô tỉ
Ta có $a + b.\sqrt{2012} = t$
$\iff b.\sqrt{2012} = t-a$
+) Với $b = 0$ thì $a = t$
+) Với $b \ne 0$ thì $\sqrt{2012} = \dfrac{t-a}{b} \in \mathbb{Q}$ (vô lý vì $\sqrt{2012}$ là số vô tỉ)
Vậy $b = 0$ và $a = t$
$\iff k = 45$ và $t = 15$
Khi đó $x = 15 - \sqrt{2012}$

nhờ bạn làm giúp mình 4,b với thêm câu c này nữa, chứng minh:
$$S_{n+1}=S_{n}+S_{n-1}$$
30p nựa mình đi học r nhờ bạn cái

 

[quynhphamdq]

4.b.
Áp dụng hệ thức viet ta có:
$x_1+x_2=1$
$x_1.x_2=-1$
Ta có :
$S_1 = x_1+x_2 =1$
$S_2= x_1^2+x_2^2= (x_1+x_2)^2 -2x_1x_2= 1+2=3$
$S_3= x_1^3+x_2 ^3 = ( x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2 + x_2^2)=1. (3+1)=4$
$S_4 = x_1^4+x_2^4 = (x_1^2+x_2^2)^2 - 2x_1^2.x_2^2 = 9- 2.1=7$

 

[iceghost]

c) Có $(x_1 + x_2)(x_1^n + x_2^n) = x_1^{n+1} + x_2^{n+1} + x_1x_2(x_1^{n-1}+x_2^{n-1})$
$\iff x_1^n + x_2^n = x_1^{n+1} + x_2^{n+1} - (x_1^{n-1}+x_2^{n-1})$
$\iff x_1^n + x_2^n + x_1^{n-1} + x_2^{n-1} = x_1^{n+1} + x_2^{n+1}$
$\iff$ đpcm