Vật lí 12 Phương pháp chứng minh một vật dao động điều hòa.

[trà nguyễn hữu nghĩa]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH VẬT DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA​

Dạo này mình thấy các bạn có vẻ khó khăn trong việc xác định một vật có phải là dao động điều hòa hay không.
Mình sẽ giúp các bạn có một cái nhìn tổng quan nhất về cách chứng minh dao động điều hòa nhé
Trước khi vào một phần chính thì chúng ta sẽ công nhận rằng một vật dao động điều hòa thì phương trình dao động phải được biểu diễn dưới dạng:
$\omega ^2 .X + X'' = 0$
Trong đó thì $X$ không nhất thiết phải là li độ của vật nhé. Nó là cái gì ta sẽ xem xét sau

Nghiệm của phương trình trên sẽ là $X = A\cos (\omega t + \varphi)$. Cách tìm nghiệm mình sẽ không bàn thêm vào. Nhưng cơ bản là sử dụng số phức để tính toán và sau đó đưa về dạng lượng giác. Các bạn có thể tìm hiểu thêm.

Chúng ta sẽ có 2 phương pháp để chứng minh vật dao động điều hòa và tìm ra phương trình dao động của vật:

• Phương pháp động lực học
• Phương pháp năng lượng

Ta cùng tìm hiểu nhé

1) Phương pháp động lực học.

• Bước 1: Chọn gốc tọa độ ở Vị trí cân bằng, chọn chiều dương, gốc thời gian. Biểu diễn lực tác dụng lên vật khi vật không ở VTCB.
• Bước 2: Viết phương trình cân bằng lực tại vị trí cân bằng. Sử dụng định luật II Newton để viết phương trình chuyển động của vật khi vật có li độ $x$.
• Bước 3: Gia tốc của vật sẽ là $ x''$. Ta sẽ thay vào phương trình viết được ở Bước 2.
• Bước 4: Rút gọn biểu thức và cố gắng đưa phương trình về dạng $\omega ^2. X + X'' = 0$. Trong đó $X(x)$ là một hàm số của $x$.

Chúng ta sẽ bắt đầu từ những điều đơn giản nhất.

Đầu tiên, chính là dao động của lò xo nằm ngang:

Bước 1: Chọn gốc tọa độ ở Vị trí cân bằng, chọn chiều dương, gốc thời gian. Biểu diễn lực tác dụng lên vật khi vật không ở VTCB.

Bước 2: Viết phương trình cân bằng lực tại vị trí cân bằng. Sử dụng định luật II Newton để viết phương trình chuyển động của vật khi vật có li độ $x$.
Tại VTCB: $F_{đh} = 0$

Lúc này ta có phương trình định luật II Newton:
$F_{đh} = ma \Leftrightarrow -kx - ma = 0$
Ta có $F_{đh} = -kx$ tại vì lực đàn hồi luôn hướng về VTCB nên khi $x > 0$ thì $F_{đh} < 0$ và ngược lại.

Bước 3: Gia tốc của vật sẽ là $x''$. Ta sẽ thay vào phương trình viết được ở Bước 2.
Thay vào thì ta được:
$kx + mx'' = 0$

Bước 4: Rút gọn biểu thức và cố gắng đưa phương trình về dạng $\omega ^2. X + X'' = 0$.
Từ biểu thức ở Bước 3 ta suy ra:
$(\sqrt{\frac{k}{m}})^2 .x + x'' = 0$

À há, ta đã tìm được $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ rồi này.
Vậy là con lắc lò xo nằm ngang sẽ dao động điều hòa với $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$

Xem ra con lắc lò xo nằm ngang đơn giản quá nhỉ

Vậy thì ta sẽ thử thách một chút nhé.

Con lắc lò xo đặt thẳng đứng:

Bước 1: Chọn gốc tọa độ ở Vị trí cân bằng, chọn chiều dương, gốc thời gian. Biểu diễn lực tác dụng lên vật khi vật không ở VTCB.

Bước 2: Viết phương trình cân bằng lực tại vị trí cân bằng. Sử dụng định luật II Newton để viết phương trình chuyển động của vật khi vật có li độ $x$.
Tại VTCB: $F_{đh} = P \Rightarrow k \Delta l_0 = mg$

Lúc này ta có phương trình định luật II Newton:
$P + F_{đh} = ma \Leftrightarrow mg -k(\Delta l_0 + x) - ma = 0$
Lực đàn hồi là $F_{đh} = -k(\Delta l_0 + x)$ tương tự như con lắc lò xo nằm ngang nhé.

Bước 3: Gia tốc của vật sẽ là $x''$. Ta sẽ thay vào phương trình viết được ở Bước 2.
Thay vào thì ta được:
$mg - k(\Delta l_0 + x) - mx'' = 0$

Bước 4: Rút gọn biểu thức và cố gắng đưa phương trình về dạng $\omega ^2. X + X'' = 0$.
Từ biểu thức ở Bước 3 ta suy ra:
$(\sqrt{\frac{k}{m}})^2 .x + x'' = 0$ (vì $mg = k\Delta l_0$)

Thật trùng hợp là con lắc lò xo thẳng đứng cũng dao động điều hòa với phương trình giống hệt con lắc lò xo nằm ngang
Nhưng hãy lưu ý là vị trí cân bằng (O) KHÁC vị trí lò xo không biến dạng (D) nhé.

Còn những dạng dao động khác trông có vẻ khó nhưng nó vẫn là dao động điều hòa và chỉ dựa trên cách chứng minh phía trên thôi. Mình sẽ tiếp tục vào lần sau nhé
_____________________________________________________________________________
Một số bài toán dạng này các bạn có thể tìm thấy ở topic Mỗi ngày một điều thú vị.
Bạn nào hứng thú có thể tham gia Giải thích hiện tượng Vật lí nhé.
Các bạn cũng có thể ôn bài tại Ôn thi Tốt nghiệp THPTQG nè.

 

[trà nguyễn hữu nghĩa]

2) Phương pháp năng lượng

• Bước 1: Chọn gốc tọa độ ở Vị trí cân bằng, chọn chiều dương, gốc thời gian, gốc thế năng. Xác định năng lượng của vật khi không ở vị trí cân bằng.
• Bước 2: Viết phương trình cân bằng lực tại vị trí cân bằng. Đạo hàm năng lượng theo thời gian. Theo định luật bảo toàn năng lượng thì năng lượng không đổi theo thời gian. Do đó đạo hàm bằng 0.
• Bước 3: Đạo hàm của li độ là $x' = v$. Đạo hàm vận tốc là $v' = x''$. Ta sẽ thay vào phương trình viết được ở Bước 2.
• Bước 4: Rút gọn biểu thức và cố gắng đưa phương trình về dạng $\omega ^2. X + X'' = 0$. Trong đó $X(x)$ là một hàm số của $x$.

Ta sẽ dùng phương pháp này cho một bài toán khó hơn 2 ví dụ trên một xíu nhé.

Một con lắc lò xo đang nằm yên trên mặt bàn ngang, nhẵn thì chịu tác dụng của một điện trường đều E hướng từ trái sang phải như hình vẽ. Biết rằng vật dao động có điện tích $q > 0$, khối lượng $m$. Lò xo có độ cứng $k$. Chứng minh vật dao động điều hòa.

Bước 1: Chọn gốc tọa độ ở Vị trí cân bằng, chọn chiều dương, gốc thời gian. Xác định năng lượng của vật khi không ở vị trí cân bằng.
Chọn gốc tọa độ và chiều dương như hình vẽ. Chọn gốc thế năng ở vị trí cân bằng.

Khi vật không ở vị trí cân bằng (có li độ là x) thì ta có:
Thế năng của vật: $W_t = \frac{1}{2}k(x+\Delta l_0)^2 - qEx$ ($\Delta l_0$ là độ dãn lò xo tại VTCB)
Động năng của vật: $W_đ = \frac{1}{2}mv^2$
Năng lượng của vật: $W = W_t + W_đ = \frac{1}{2}k(x+\Delta l_0)^2 - qEx + \frac{1}{2}mv^2$

Bước 2: Viết phương trình cân bằng lực tại vị trí cân bằng. Đạo hàm năng lượng theo thời gian. Theo định luật bảo toàn năng lượng thì năng lượng không đổi theo thời gian. Do đó đạo hàm bằng 0.
Tại VTCB ta có: $k\Delta l_0 = qE$

Đạo hàm năng lượng theo thời gian: $dW/ dt = W' = k(x+\Delta l_0).x' - qE.x' + mv.v'$
Theo định luật bảo toàn năng lượng thì năng lượng không đổi theo thời gian. Do đó đạo hàm bằng 0.
$W' = 0 \Rightarrow k(x+\Delta l_0).x' - qE.x' + mv.v' = 0$

Bước 3: Đạo hàm của li độ là $x' = v$. Đạo hàm vận tốc là $v' = x''$. Ta sẽ thay vào phương trình viết được ở Bước 2.
Thay vào phương trình trên ta được $k(x+\Delta l_0).x' - qE.x' + m.x'.x'' = 0 \Rightarrow k(x+\Delta l_0) - qE + mx'' = 0$

Bước 4: Rút gọn biểu thức và cố gắng đưa phương trình về dạng $\omega ^2. X + X'' = 0$. Trong đó $X(x)$ là một hàm số của $x$.
Thay $k\Delta l_0 = qE$ vào phương trình trên ta được $kx + mx'' = 0$
Hóa ra là có thêm điện trường vào thì con lắc vẫn dao động điều hòa giống như khi không có điện trường nè.
Lưu ý rằng khác biệt ở đây là khác về vị trí cân bằng thôi nhé

Một bài hơi khó hơn một chút nè:

Cho cơ hệ như hình 1. Các lò xo có độ cứng $k_1= 200N/m$ và $k_2 = 150N/m$; vật nặng có khối lượng $m_1 = 150g$ và $m_2 = 300g$. Biết ròng rọc, lò xo và dây treo có khối lượng không đáng kể. Bỏ qua mọi ma sát. Lấy $g = 10m/s^2$. Hệ đang ở vị trí cân bằng, đốt dây nối giữa hai vật $m_1$ và $m_2$. Chứng minh vật $m_1$, dao động điều hòa.

Xem chi tiết tại đây nhé
Chọn gốc tọa độ, gốc thế năng ở vị trí Lò xo không biến dạng.
Khi đốt dây thì tại vị trí cân bằng các lò xo dãn một đoạn là: $\Delta l_1 = \frac{2m_1g}{k_1}$ và $\Delta l_2 = \frac{m_1g}{k_2}$
Cơ năng của hệ khi $m_1$ có li độ x là: $W = W_{t_1}+W_{t_2} + W_t + W_d = \frac{1}{2}k_1(\Delta l_1 + x/2)^2 + \frac{1}{2}k_2(\Delta l_2 + x)^2 - m_1gx + \frac{1}{2}m_1v^2$

Tại VTCB thì $m_1g = k_2\Delta l_2 = k_1.\Delta l_1 / 2$

Vì năng lượng không đổi nên đạo hàm bằng 0: $W' = 0 \Rightarrow k_1(\Delta l_1 + x/2).x'/2 + k_2.(\Delta l_2 + x).x' - m_1gx' + m_1v.v' = 0$

Thay vào trên ta được: $(k_1/4 + k_2).x + m_1g + m_1x'' = 0 \Rightarrow (k_1/4 + k_2).(x + \frac{m_1g}{k_1/4 + k_2}) + m_1.(x + \frac{m_1g}{k_1/4 + k_2})'' = 0$

=> Đây là phương trình dao động điều hòa nếu ta đặt $X = x + \frac{m_1g}{k_1/4 + k_2}$
Tần số góc lúc này sẽ là $\omega = \sqrt{\frac{k_1 / 4 + k_2}{m_1}}$

Các bạn hãy thử làm lại 2 bài ở phương pháp 1 bằng phương pháp 2 và ngược lại nhé
_____________________________________________________________________________
Một số bài toán dạng này các bạn có thể tìm thấy ở topic Mỗi ngày một điều thú vị.
Bạn nào hứng thú có thể tham gia Giải thích hiện tượng Vật lí nhé.
Các bạn cũng có thể ôn bài tại Ôn thi Tốt nghiệp THPTQG nè.

 

[Pyrit]

Ngoài 2 phương pháp này ra em nhớ là được dạy thêm 3 phương pháp nữa
Trong đó thì có
+ phương pháp thứ 3: là sử dụng phương trình động lực học vật rắn: [imath]I.\gamma =M[/imath]
+ phương pháp thứ tư: là sử dụng phương trình Lagrange II: [imath]\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial x'})-\frac{\partial L}{\partial x}=0[/imath](Cái này em không hiểu phải xài như thế nào)
Còn cái phương pháp thứ 5 em quên mất

 

[trà nguyễn hữu nghĩa]

Ngoài 2 phương pháp này ra em nhớ là được dạy thêm 3 phương pháp nữa
Trong đó thì có
+ phương pháp thứ 3: là sử dụng phương trình động lực học vật rắn: [tex]I.\gamma =M[/tex]
+ phương pháp thứ tư: là sử dụng phương trình Lagrange II: [tex]\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial x'})-\frac{\partial L}{\partial x}=0[/tex] (Cái này em không hiểu phải xài như thế nào)
Còn cái phương pháp thứ 5 em quên mất

Phương pháp số 3 thường dùng cho vật rắn khá ít dùng nên mình không nói tới, còn phương pháp dùng phương trình Lagrange cũng khá hay. Nếu có cơ hội mình sẽ thêm một phần về Phương pháp này