Một vài bài tích phân trong đề tuyển sinh đại học

[phamminhkhoi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

các bạn làm thử nghen:

1, [TEX]\int\frac{1}{cos^3x } [/TEX] .

2, [TEX]\int\frac{7x - 13}{(x^2- 4x - 5)^3}[/TEX]

3. [TEX]\int\frac{x^3}{(x-1)^{100}}[/TEX]

 

[linhdangvan]

[TEX]\int_{}^{}\frac{1}{cos^3x}dx[/TEX]

[TEX]\frac{1}{cos^3x}dx=\frac{d(sinx)}{cos^4x}[/TEX]
đặt [TEX]t=sinx=>\frac{d(sinx)}{cos^4x}=\frac{dt}{(1-t^2)^2}=\frac{[(1-t)+(1+t)]^2}{[(1+t)(1-t)]^2}[/TEX]ok!!!!!!!!!!!!!!!!!!

 

[linhdangvan]

[

[TEX]\int_{}^{}\frac{x^3}{(x-1)^{100}}[/TEX]

đặt [TEX]t=x-1[/TEX]
=>[TEX]\int_{}^{}\frac{x^3dx}{(x-1)^{100}}[/TEX] [TEX]=\int_{}^{}\frac{(t+1)^3dt}{t^100}[/TEX]ok!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

 

[xalem92]

các bạn làm thử nghen:
2, [TEX]\int\frac{7x - 13}{(x^2- 4x - 5)^3}[/TEX]

I =\int_{}^{}[TEX]\frac{7x-13}{(x+1)^3(x-5)^3}dx[/TEX]

rồi ptích bthức dưới dấu tphân thành 6 phân thức. có vẻ tương đối dài đấy.
ai có cách ngắn hơn thì giúp nha

 

[fanarsenal_vietnam_1992]

cách này đỡ quá trinh phân tích hơn
[tex] I= \int {\frac{7(x-2)+1}{(x^2-4x-5)^3}}dx = \int{\frac{7d(x^2-4x-5)}{2(x^2-4x-5)^3}}+\int\{\frac{1}{(x+1)^3(x-5)^3}}dx [/tex]
cái thứ 2 thì phải phân tích thôi

 

[phamminhkhoi]

Làm thế này không đwọc.

Con thứ 2 tớ làm theo kiẻu này:

ta có [TEX]\frac{7x-13}{(x^2-4x-5)^3}[/TEX]

= [TEX]\frac{7t +1}{(t^2 -1)^3} ( t = x-2)[/TEX]

= [TEX]\frac{7t}{(t^2-1)^3}+ \frac{1}{(t^2-1)^3} [/TEX]

Với tích phan thứ nhất đặt [TEX]z = t^2[/TEX] và giải.

Với tích phan thứ 2 ta xét: J = [TEX]\int\frac{1}{(t^2-1)^n}[/TEX]

= [TEX]\int\frac{(t)'}{(t^2-1)^n}[/TEX] (từng phần với v' = 1)

= [TEX]\frac{t}{(t^2-1)^n}-\int\frac{(t)}{((t^2-1)^n)'}[/TEX]

= [TEX]\frac{t}{(t^2-1)^n}- \int\frac{(2nt^2)}{((t^2-1)^(n+1))}[/TEX]

=[TEX]\frac{t}{(t^2-1)^n}- 2n\int\frac{(t^2-1)}{((t^2-1)^(n+1))}+\frac{1}{(t^2-1)^(n+1)}[/TEX]

= [TEX]\frac{t}{(t^2-1)^n}- 2n\int\frac{(1)}{((t^2-1)^n)}+\frac{1}{((t^2-1)^(n+1)}[/TEX]

====> [TEX]Jn = \frac{t}{(t^2-1)^n}- 2n Jn + Jn+1[/TEX]

====> [TEX]J n-1 = \frac{t}{(t^2-1)^(n-1)}- 2n J n-1 + Jn[/TEX]

=====>[TEX] (1 + 2n)J n-1 - \frac{t}{(t^2-1)^(n-1)} = Jn[/TEX]

sau đó tính J1 ( đã có dạng ), từ J1 suy ra J2 và từ J2 suy ra J3

 

[liena3]

giup minh bai nay nhe :
minh k0 biet go cong thuc
tich phan tu 0-->pi cua (x* sin x/(1+sin^2 x))dx

 

[linhdangvan]

[TEX]\int_{0}^{\pi}\frac{xsinx}{1+sin^2x}[/TEX]
bài này dùng pp tích phân đặc biệt!
đặt[TEX] t=\pi-x[/TEX]
[TEX]=>I=\int_{0}^{\pi}\frac{\pi.sintdt}{1+sin^2t}-\int_{0}^{\pi}\frac{tsintdt}{1+sin^2t}[/TEX]
=>[TEX]2I=\int_{0}^{\pi}\frac{\pi.sintdt}{1+sin^2t}[/TEX]
OK!!!!!!!!!!!!!!!!!

 

[phamminhkhoi]

@linhdangvan: Bài trên kia (của liena) mình dùng tích phan từng phần nhưng lại ra khác bạn là sao nhỉ ?

Tiếp tục thử sức nhá:

[TEX]\int\frac{x^4-1}{x^6+1}dx[/TEX]

[TEX]\int\frac{sin^3 x}{3sin4x - sin6x- 3sin2x}dx[/TEX]

Đã sửa rồi nghen

 

[linhdangvan]

[TEX]1 \int_{}^{}\frac{x^4-1}{x^6+1}dx[/TEX]

[TEX]I=\int_{}^{}\frac{(x^2+1)(x^2-1)}{(x^2+1)(x^4-x^2+1)}dx=\int_{}^{}\frac{x^2-1}{x^4-x^2+1)}dx=\int_{}^{}\frac{1-\frac{1}{x^2}}{x^2+\frac{1}{x^2}-1}dx=\int_{}^{}\frac{d(x+\frac{1}{x})}{(x+\frac{1}{x})^2-3}=\frac{1}{2\sqrt[]{3}}ln|\frac{x+\frac{1}{x}-\sqrt[]{3}}{x+\frac{1}{x}+\sqrt[]{3}}|+C[/TEX]
ok!!!!!!!!!!!!(mà bài này cậu lấy trong đề năm nào thế!!!!!!!!)

 

[chichi_huahua]

[TEX]\int\frac{sin^3 x}{3sinx - sin6x- 3sin2x}dx[/TEX]

khôi ơi! nếu tớ nhớ ko nhầm ý! thì cái câu này cậu post sai đề oy'
câu này của ĐHSP II Hà nội _ 1999 nhỉ )

 

[linhdangvan]

đề như thế này!!!!!!!!!!

[TEX]\int\frac{sin^3 x}{3sin4x - sin6x- 3sin2x}dx[/TEX]
!!!!!!!!!!!!!!!!!!1

 

[vodichhocmai]

.................................

Với tích phan thứ 2 ta xét: J = [TEX]\int\frac{1}{(t^2-1)^n}[/TEX]

=sau đó tính J1 ( đã có dạng ), từ J1 suy ra J2 và từ J2 suy ra J3

Anh cho rằng tới đây thì chưa đủ tính tổng quát để kết luận tuy rằng bài này hay

 

[linhdangvan]

cách này đỡ quá trinh phân tích hơn
[tex] I= \int {\frac{7(x-2)+1}{(x^2-4x-5)^3}}dx = \int{\frac{7d(x^2-4x-5)}{2(x^2-4x-5)^3}}+\int\{\frac{1}{(x+1)^3(x-5)^3}}dx [/tex]
cái thứ 2 thì phải phân tích thôi

em nghĩ làm thế này là ok rồi!!!!!!!!!
anh vodichhocmai có cách nào hay hơn thì cho em biết với!thanks!!!!!!!!!!!!!!!!!!

 

[phamminhkhoi]

@ anh vodichhocmai: Sao lại chưa dủ hả anh. Em thấy có gì đâu:|

Tớ làm luôn máy bài trên nghen

[TEX]\int\frac{sin^3x}{3sin4x-sin6x-3sin2x}[/TEX]

[TEX]\int\frac{3sinx -sin3x} {3(sin4x-sin2x)- 2sin3xcos3x}[/TEX]
[TEX]\int\frac{3sinx -sin3x} {3.2cos3xsinx- 2sin3xcos3x}[/TEX]


[TEX]\int\frac{3sinx -sin3x} {2cos3x(3sinx- sin3x)}[/TEX]

[TEX]\int\frac{1} {2cos3x}[/TEX] ---->

Một vài bài nữa:

[TEX]\int\frac{x^4 + 1} {x^6 + 1}[/TEX] (khác cái trên nhé. Bài này tớ chịu thua:|)

& một bài khá đơn giản


[TEX]\int\frac{sinx} {1+ sin2x}[/TEX]

 

[hot_spring]

[TEX]\int\frac{x^4 + 1} {x^6 + 1}dx[/TEX]

[TEX]I=\int\frac{x^4 -x^2 + 1} {x^6 + 1}dx - \int\frac{x^2dx} {x^6 + 1}[/TEX]
[TEX]=\int\frac{dx}{x^2+1}-\int\frac{d(x^3)}{x^6+1}=...[/TEX]
Đến đây chắc bạn hiểu rồi chứ.

 

[linhdangvan]

[TEX]\int_{}^{}\frac{sinx}{1+sin2x} [/TEX]

[TEX]I_1=\int_{}^{}\frac{sinx}{1+sin2x}=\int_{}^{}\frac{sinx}{(cosx+sinx)^2}[/TEX]
liên kết với nguyen hàm sau
[TEX]I_2=\int_{}^{}\frac{cosx}{(cosx+sinx)^2}[/TEX]
giải hệ pt sau!
[TEX]\left{\begin{I_1+I_2=??}\\{I_2-I_1=??} [/TEX]
giải hệ này cũgn đơn giản thôi!
ok!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

 

[pttd]

[TEX]I=\int\frac{x^4 -x^2 + 1} {x^6 + 1}dx - \int\frac{x^2dx} {x^6 + 1}[/TEX] ****************************?????
[TEX]=\int\frac{dx}{x^2+1}-\int\frac{d(x^3)}{x^6+1}=...[/TEX]
Đến đây chắc bạn hiểu rồi chứ.

theo tớ hiểu thì bạn thêm bớt [TEX]x^2[/TEX] phải ko???

nếu thế thì cái chỗ màu xanh nó phải là dấu + chứ nhỉ????--->

 

[pttd]

[TEX]\int_{0}^{\pi}\frac{xsinx}{1+sin^2x}[/TEX]
bài này dùng pp tích phân đặc biệt!
đặt[TEX] t=\pi-x[/TEX]
[TEX]=>I=\int_{0}^{\pi}\frac{\pi.sintdt}{1+sin^2t}-\int_{0}^{\pi}\frac{tsintdt}{1+sin^2t}[/TEX]
=>[TEX]2I=\int_{0}^{\pi}\frac{\pi.sintdt}{1+sin^2t}[/TEX]
OK!!!!!!!!!!!!!!!!!

tớ thắc mắc bài này của cậu
bên trái thì là tích phân theo x
bên phải là (-) tích phân theo t
ko lẽ có thể coi 2 cái đó là 1 để thành 2I ???? @-)

 

[xalem92]

tớ thắc mắc bài này của cậu
bên trái thì là tích phân theo x
bên phải là (-) tích phân theo t
ko lẽ có thể coi 2 cái đó là 1 để thành 2I ???? @-)

mình nhớ có tính chất:
[TEX]\int_{}^{}f(x)dx=\int_{}^{}f(t)dt[/TEX]
x, t đơn giản chỉ là kí hiệu thui