Toán 8 Một số bài toán nâng cao

[thuyle16880@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Chứng minh bât đẳng thức:
a) [imath]x^{2}+\dfrac{1}{x} \geq 2[/imath]
b) [imath]a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq a b+b c+c a[/imath]
c) [imath](a+b)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right) \geq 4[/imath] với [imath]\mathrm{a}, \mathrm{b}>0[/imath]
d) [imath](a+1)(b+1)(c+1) \geq 8[/imath] với [imath]\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}>0[/imath] và [imath]a b c=1[/imath].
Bài 2: Cho [imath]x, y>0, x+y=1[/imath]. Tìm GTNN của [imath]\mathrm{P}=\left(1-\dfrac{1}{x^{2}}\right)\left(1-\dfrac{1}{y^{2}}\right)[/imath].
Bài 3: Cho [imath]x>0, y>0[/imath] thỏa mãn [imath]x+y \leq 1[/imath]. Tìm GTNN của [imath]P=\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}+\dfrac{2}{x y}+4 x y[/imath].

Em có một số bài toán nâng cao. Mong mọi người giúp em. Em cảm ơn

 

[2712-0-3]

Em có một số bài toán nâng cao. Mong mọi người giúp em. Em cảm ơn View attachment 210441

thuyle16880@gmail.comBài 1:
a) Câu này cỏ vẻ đề sai, đề đúng phải là [imath]x^2 + \dfrac{1}{x^2} \geq 2[/imath]
Chắc bạn chưa học BĐT Cosi nên mình sẽ biến đổi chay, như sau:
[imath]\Leftrightarrow (x-\dfrac{1}{x})^2 \geq 0[/imath] (luôn đúng) (do [imath]2 . x . \dfrac{1}{x} = 2[/imath] )
Dấu = xảy ra khi [imath]x = \dfrac{1}{x} \Leftrightarrow x = \pm 1[/imath]
b) [imath]\Leftrightarrow 2a^2+2b^2+2c^2 -2ab-2bc-2ca \geq 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow (a^2-2ab+b^2) + (b^2-2bc+c^2 ) + (c^2-2ca+a^2) \geq 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \geq 0[/imath] (luôn đúng)
Dấy = xảy ra khi [imath]a=b=c[/imath]
c) [imath]\Leftrightarrow 1 +1 \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \geq 4[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \geq 2[/imath]
Vì [imath]a,b >0 \Rightarrow \dfrac{a}{b} > 0[/imath]
Đặt [imath]\dfrac{a}{b}=x^2 \Rightarrow \dfrac{b}{a} = \dfrac{1}{x^2}[/imath]
Đưa trở lại câu a) nhé ^^
Dấu = xảy ra khi [imath]a=b > 0[/imath]
d) Ta có: [imath](\sqrt{a}-1)^2 \geq 0 \Rightarrow a + 1 \geq 2 \sqrt{a}[/imath]
Tương tự với các biến khác, ta được [imath](a+1)(b+1)(c+1) \geq 8 \sqrt{abc} = 8[/imath]
Dấu = xảy ra khi [imath]a=b=c=1[/imath]

Thật ra mình nghĩ bạn nên tìm hiểu bất đẳng thức Cosi, trước hết là cho 2 số : [imath]a +b \geq 2\sqrt{ab}[/imath] với [imath]a,b> 0[/imath]
Ngoài ra mời bạn tham khảo: [Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức

 

[KhanhHuyen2006]

Chúc bạn học tốt nha.^^

 

[KhanhHuyen2006]

Hic, hơi lú. Mình nghĩ bạn nên tham khảo một số tài liệu về các BĐT quen thuộc như Cô si (Cauchy), Bunhiacopxki ạ.