[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Xin chào tất cả mọi người
Như các bạn đã biết bất đẳng thức có thể sử dụng ở rất nhiều phần của toán học như : Số học , Hình học , Tổ hợp , ... . Và đây cũng là phần tủ của rất nhiều bạn . Vì vậy hôm nay mình sẽ cùng các bạn khám phá chuyên đề này .
Chúng ta cùng bắt đầu nhé
Trước hết mình ghi lại một số kí hiệu có trong chuyên đề nhé
$1,$ $x \in [a;b]$ - $a \le x \le b$
$2,$ $x \in (a;b)$ - $a < x < b$
$3,$ [tex]\underset{sym}{\sum }[/tex] - Tổng đối xứng (sym viết tắt của symmetric)
Ví dụ :[tex]\underset{sym}{\sum }a^2b=a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2[/tex]
Chú ý:
+,Trong cac bài toán 3 biến của $a,b,c$ ta có thể viết [tex]\underset{a,b,c}{\sum }[/tex] thay cho $\underset{sym}{\sum }$
+, Trong một số bài toán đối xứng , nếu không có gì nhầm lẫn ta có thể kí hiệu $\sum$ thay cho $\underset{sym}{\sum }$
$4,$ [tex]\underset{cyc}{\sum }[/tex] - Tổng hoán vị (cyc viết tắt của cyclic)
Ví dụ :[tex]\underset{cyc}{\sum }a^2b=a^2b+b^2c+c^2a[/tex]
Chú ý:Trong một số bài toán hoán vị , nếu không có gì nhầm lẫn ta có thể kí hiệu $\sum$ thay cho $\underset{cyc}{\sum }$
$5,$
$a_1=min \left \{ a_1,a_2,...,a_n \right \}$ - $a_1$ là số nhỏ nhất
$a_1=max \left \{ a_1,a_2,...,a_n \right \}$ - $a_1$ là số lớn nhất
1.Bất đẳng thức AM-GM
1.1. Bất đẳng thức AM-GM và ứng dụng
Bất đẳng thức AM-GM là BĐT quen thuộc và có nhiều ứng dụng , các bạn cần ghi nhớ rất kĩ BĐT này và cố gẳng sử dụng nó một cách thành thạo
Bất đẳng thức đươc phát biểu như sau : Với mọi số thực dương $a_1;a_2;...;a_n$ ta có bất đẳng thức
Có rất nhiều cách chứng minh BĐT AM-GM , có lẽ cách chứng minh hay nhất là sử dụng phương pháp quy nạp Cauchy . Vì vậy mà nhiều người nhầm tưởng rằng Cauchy phát hiện ra BĐT này nhưng ông chỉ là người đưa ra cách chứng minh rất hay chứ không phải là người phát hiện ra . Theo cách gọi chung của thế giới bất đẳng thức Côsi (ay Cauchy) có tên là AM-GM (Arithmetic Means- Geometricc Means)
Sau đây là một số bài toán đặc trưng sử dụng BĐT AM-GM
Lời Giải:
Sử dụng BĐT AM-GM cho 2 số ta có
[tex](a+b)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})\geq 2\sqrt{ab}.\dfrac{2}{\sqrt{ab}}=4[/tex]
Tương tự với ví dụ 1 thì ta cũng được bài toán [tex]\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\geq \dfrac{9}{a+b+c}[/tex]
Và BĐT tổng quát hơn đucợ chưng minh hoàn toàn tương tự:
Và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a_1=a_2=...=a_n$
VD 2: (BĐT Nesbit) Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a,b,c$ ta có
Lời giải :
Đặt :
[tex]A+B+A+C=\dfrac{a+b}{b+c}+\dfrac{b+c}{c+a}+\dfrac{c+a}{a+b}+\dfrac{a+c}{b+c}+\dfrac{a+b}{c+a}+\dfrac{b+c}{a+b}\geq 6\Rightarrow A\geq \frac{3}{2}[/tex]
Ta được điều phải chứng minh
VD 3: Chứng minh với mọi $a,b,c$ dương ta có
Áp dụng BĐT AM-GM cho 3 số dương ta có
Một vào bài tập tự luyện/ ví dụ cho các bạn đọc chứng minh
Bài tập 1 : Chứng minh với mọi số thực dương $a,b,c$ ta luôn có
Như các bạn đã biết bất đẳng thức có thể sử dụng ở rất nhiều phần của toán học như : Số học , Hình học , Tổ hợp , ... . Và đây cũng là phần tủ của rất nhiều bạn . Vì vậy hôm nay mình sẽ cùng các bạn khám phá chuyên đề này .
Chúng ta cùng bắt đầu nhé
Trước hết mình ghi lại một số kí hiệu có trong chuyên đề nhé
$1,$ $x \in [a;b]$ - $a \le x \le b$
$2,$ $x \in (a;b)$ - $a < x < b$
$3,$ [tex]\underset{sym}{\sum }[/tex] - Tổng đối xứng (sym viết tắt của symmetric)
Ví dụ :[tex]\underset{sym}{\sum }a^2b=a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2[/tex]
Chú ý:
+,Trong cac bài toán 3 biến của $a,b,c$ ta có thể viết [tex]\underset{a,b,c}{\sum }[/tex] thay cho $\underset{sym}{\sum }$
+, Trong một số bài toán đối xứng , nếu không có gì nhầm lẫn ta có thể kí hiệu $\sum$ thay cho $\underset{sym}{\sum }$
$4,$ [tex]\underset{cyc}{\sum }[/tex] - Tổng hoán vị (cyc viết tắt của cyclic)
Ví dụ :[tex]\underset{cyc}{\sum }a^2b=a^2b+b^2c+c^2a[/tex]
Chú ý:Trong một số bài toán hoán vị , nếu không có gì nhầm lẫn ta có thể kí hiệu $\sum$ thay cho $\underset{cyc}{\sum }$
$5,$
$a_1=min \left \{ a_1,a_2,...,a_n \right \}$ - $a_1$ là số nhỏ nhất
$a_1=max \left \{ a_1,a_2,...,a_n \right \}$ - $a_1$ là số lớn nhất
1.Bất đẳng thức AM-GM
1.1. Bất đẳng thức AM-GM và ứng dụng
Bất đẳng thức AM-GM là BĐT quen thuộc và có nhiều ứng dụng , các bạn cần ghi nhớ rất kĩ BĐT này và cố gẳng sử dụng nó một cách thành thạo
Bất đẳng thức đươc phát biểu như sau : Với mọi số thực dương $a_1;a_2;...;a_n$ ta có bất đẳng thức
$\dfrac{a_1+a_2+...+a_n}n \ge \sqrt[n]{a_1a_2....a_n}$
Đẳng thức xảy ra khi $a_1=a_2=...=a_n$Có rất nhiều cách chứng minh BĐT AM-GM , có lẽ cách chứng minh hay nhất là sử dụng phương pháp quy nạp Cauchy . Vì vậy mà nhiều người nhầm tưởng rằng Cauchy phát hiện ra BĐT này nhưng ông chỉ là người đưa ra cách chứng minh rất hay chứ không phải là người phát hiện ra . Theo cách gọi chung của thế giới bất đẳng thức Côsi (ay Cauchy) có tên là AM-GM (Arithmetic Means- Geometricc Means)
Sau đây là một số bài toán đặc trưng sử dụng BĐT AM-GM
VD 1 : Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a,b$ ta có[tex]\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\geq \dfrac{4}{a+b}[/tex]
Lời Giải:
Sử dụng BĐT AM-GM cho 2 số ta có
[tex](a+b)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})\geq 2\sqrt{ab}.\dfrac{2}{\sqrt{ab}}=4[/tex]
Tương tự với ví dụ 1 thì ta cũng được bài toán [tex]\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\geq \dfrac{9}{a+b+c}[/tex]
Và BĐT tổng quát hơn đucợ chưng minh hoàn toàn tương tự:
[tex]\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+...+\dfrac{1}{a_n}\geq \dfrac{n^2}{a_1+a_2+...+a_n}[/tex]
Và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a_1=a_2=...=a_n$
VD 2: (BĐT Nesbit) Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a,b,c$ ta có
[tex]\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\geq \dfrac{3}{2}[/tex]
Lời giải :
Đặt :
[tex]A=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}[/tex]
[tex]B=\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}+\dfrac{a}{a+b}[/tex]
[tex]C=\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{a}{c+a}+\dfrac{b}{a+b}[/tex]
Thì ta được $B+C=3$ . Mặt khác áp dụng BĐT AM-GM cho 6 số thực dương ta có[tex]B=\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}+\dfrac{a}{a+b}[/tex]
[tex]C=\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{a}{c+a}+\dfrac{b}{a+b}[/tex]
[tex]A+B+A+C=\dfrac{a+b}{b+c}+\dfrac{b+c}{c+a}+\dfrac{c+a}{a+b}+\dfrac{a+c}{b+c}+\dfrac{a+b}{c+a}+\dfrac{b+c}{a+b}\geq 6\Rightarrow A\geq \frac{3}{2}[/tex]
Ta được điều phải chứng minh
VD 3: Chứng minh với mọi $a,b,c$ dương ta có
[tex]\dfrac{1}{a(a+b)}+\dfrac{1}{b(b+c)}+\dfrac{1}{c(c+a)}\geq \dfrac{27}{2(a+b+c)^2}[/tex]
Lời giải :
Áp dụng BĐT AM-GM cho 3 số dương ta có
[tex]\dfrac{1}{a(a+b)}+\dfrac{1}{b(b+c)}+\dfrac{1}{c(c+a)}\geq \dfrac{3}{\sqrt[3]{abc(a+b)(b+c)(c+a)}}[/tex]
Do đó ta chỉ cần chứng minh
$3^6\sqrt[3]{abc(a+b)(b+c)(c+a)} \le 8(a+b+c)^6$
Thật vậy theo BĐT AM-GM ta có[tex]3^3abc\leq (a+b+c)^3[/tex]
[tex]3^3(a+b)(b+c)(c+a)\leq (a+b+b+c+c+a)^3=8(a+b+c)^3[/tex]
Nhân vế với vế ta đuọc điều phải chứng minh[tex]3^3(a+b)(b+c)(c+a)\leq (a+b+b+c+c+a)^3=8(a+b+c)^3[/tex]
Một vào bài tập tự luyện/ ví dụ cho các bạn đọc chứng minh
Bài tập 1 : Chứng minh với mọi số thực dương $a,b,c$ ta luôn có
[tex]\sum \dfrac{1}{a^3+b^3+abc}\leq \dfrac{1}{abc}[/tex]
Bài tập 2 : Chứng minh với mọi $x,y,z$ dương ta có:[tex](1+\dfrac{x}{y})(1+\dfrac{y}{z})(1+\dfrac{z}{x})\geq 2+\dfrac{2(x+y+z)}{\sqrt[3]{xyz}}[/tex]
Bài tập 3 : Chứng minh rằng với $a,b,c$ thực dương thoả mãn $a+b+c=3$ thì[tex]\dfrac{a(a+c-2b)}{ab+1}+\dfrac{b(b+c-2c)}{bc+1}+\dfrac{c(c+b-2a)}{ca+1}\geq 0[/tex]
