V
V
vy000
Hôm nay kiểm tra,còn bài cuối cùng không làm nổi,ra đến cổng trường thì ngộ ra ~> ức chế 
(
Nguyên văn cái bản mặt nó đây, đáng xấu hổ là lớp 9 đã làm rồi,và bây giờ .... :|
Bài 9:
Cho $x,y,z \in \mathbb{R}$ thoả mãn: $ $\begin{cases} x^2+y^2+z^2=2 \\ |x+y+z|=2\end{cases}
Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của x
(Nguyên văn cái bản mặt nó đây, đáng xấu hổ là lớp 9 đã làm rồi,và bây giờ .... :|
Bài 9:
Cho $x,y,z \in \mathbb{R}$ thoả mãn: $ $\begin{cases} x^2+y^2+z^2=2 \\ |x+y+z|=2\end{cases}
Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của x
Last edited by a moderator:
H
hthtb22
nhìn lần đầu
Từ hệ \Rightarrow $xy+yz+zx=1$ \Rightarrow $x(y+z)+yz=1$
Đánh giá $yz \ge (\dfrac{y+z}{2})^2$
Đưa về phương trình bậc 2 thì phải
KQ: $|x| \le 1$
@ to zombie95: Xưng anh với ai hả . Vẫn chứng nào tật đấy
V
vy000
nhìn lần đầu
Từ hệ \Rightarrow $xy+yz+zx=1$ \Rightarrow $x(y+z)+yz=1$
Đánh giá $yz \ge (\dfrac{y+z}{2})^2$
Đưa về phương trình bậc 2 thì phải
KQ: $|x| \le 1$
@ to zombie95: Xưng anh với ai hả . Vẫn chứng nào tật đấy
Sai rồi
) kết quả không phải như vậy,mà t vẫn chưa hiểu cách giải của lão lắm :-\"
N
noinhobinhyen
hehe về mặt này thì mình ngon rồi.
TH1 : $x+y+z=2 \Rightarrow y+z=2-x$
mà $y^2+z^2 = 2-x^2$
Theo BĐT Bu-nhi-a-cốp=xki thì : $2(y^2+z^2) \geq (y+z)^2$
$<=> 2(2-x^2) \geq (2-x)^2$
$<=> 3x^2-4x \leq 0$
$<=> 0 \leq x \leq \dfrac{4}{3}$
TH2 $x+y+z=-2$
làm tương tự xem nhá. "Anh" đi học rồi!
TH2 ta ra được là $\dfrac{-4}{3} \leq x \leq 0$
Vậy $max_x=\dfrac{4}{3}$
TH1 : $x+y+z=2 \Rightarrow y+z=2-x$
mà $y^2+z^2 = 2-x^2$
Theo BĐT Bu-nhi-a-cốp=xki thì : $2(y^2+z^2) \geq (y+z)^2$
$<=> 2(2-x^2) \geq (2-x)^2$
$<=> 3x^2-4x \leq 0$
$<=> 0 \leq x \leq \dfrac{4}{3}$
TH2 $x+y+z=-2$
làm tương tự xem nhá. "Anh" đi học rồi!
TH2 ta ra được là $\dfrac{-4}{3} \leq x \leq 0$
Vậy $max_x=\dfrac{4}{3}$
Last edited by a moderator:
N
noinhobinhyen
H
huytrandinh
Bài này cho các bác chém thử.
Bài 10: Cho a,b,c,d là 4 số thực thoả $a^{2}+b^{2}=2,c^{2}+d^{2}=5$.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=b(1-c)-d(1-a)$
Bài 10: Cho a,b,c,d là 4 số thực thoả $a^{2}+b^{2}=2,c^{2}+d^{2}=5$.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=b(1-c)-d(1-a)$
Last edited by a moderator:
M
minhtuyb
Bài này lấy dấu âm để hù dọa thôi, chứ vì điều kiện bài toán thì ta đổi dấu $a,b,c,d$ đều không làm thay đổi kết quả bài toán :d.
Vậy ta cần tìm max của biểu thức:
$$P'=b(1+c)+d(1+a)$$
Ta dự đoán được điểm rơi ở $a=b=c=1;d=2$ (có thể dùng pp tham số hoặc mò, riêng mình dùng phương pháp nhân tử $Lagrange$ ^^) nên đánh giá như sau:
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1;d=2$, còn đối với $P$ thì là $a=c=-1;b=1;d=-2\ \square$
M
minhtuyb
Thêm một bài BĐT:
Bài 11: Với $a,b,c\ge 0$ thỏa $a+b+c=3$, tìm GTNN của biểu thức:
$$S=\dfrac{a}{b^3+16}+\dfrac{b}{c^3+16}+\dfrac{c}{a^3+16}$$
Gợi ý: Dấu bằng xảy ra khi $(a;b;c)=(0;1;2)$
Câu hỏi "nhỏ": Với $a+b+c=6$ thì GTNN của biểu thức $S$ là bao nhiêu? (Mình chưa làm được)
Bài 11: Với $a,b,c\ge 0$ thỏa $a+b+c=3$, tìm GTNN của biểu thức:
$$S=\dfrac{a}{b^3+16}+\dfrac{b}{c^3+16}+\dfrac{c}{a^3+16}$$
Gợi ý: Dấu bằng xảy ra khi $(a;b;c)=(0;1;2)$
Câu hỏi "nhỏ": Với $a+b+c=6$ thì GTNN của biểu thức $S$ là bao nhiêu? (Mình chưa làm được
)
Last edited by a moderator:
V
vy000
H
huytrandinh
Thêm một bài BĐT:
Bài 11: Với $a,b,c\ge 0$ thỏa $a+b+c=3$, tìm GTNN của biểu thức:
$$S=\dfrac{a}{b^3+16}+\dfrac{b}{c^3+16}+\dfrac{c}{a^3+16}$$
Gợi ý: Dấu bằng xảy ra khi $(a;b;c)=(0;1;2)$
Câu hỏi "nhỏ": Với $a+b+c=6$ thì GTNN của biểu thức $S$ là bao nhiêu? (Mình chưa làm được
Ta chứng mnih bổ đề sau: Với a,b,c không âm và a+b+c=3 thì
$ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}+abc\leq 4$
Giả sử b nằm giữa a,c ta có bd9t tương đương với
$b(a+c)^{2}+a(b-a)(b-c)\leq 4$
$.a(b-a)(b-c)\leq 0$
$.b(a+c)^{2}\leq \dfrac{1}{2.27}(2b+a+c+a+c)^{3}=4$
=>Bổ đề được chứng minh
Ta có $\sum \dfrac{16a}{b^{3}+16}=\sum (a-\dfrac{ab^{3}}{b^{3}+16})$
$\geq \sum (a-\dfrac{ab^{2}}{12})=3-\dfrac{\sum ab^{2}}{12}$
$\geq 3-\dfrac{\sum ab^{2}+abc}{12}\geq 3-\dfrac{1}{3}=\dfrac{8}{3}$
$=>P\geq \dfrac{1}{6}$
H
huytrandinh
Bài 12: Cho a thoả mãn phương trình
$a^{5}-a^{3}+a-2=0$. Chứng minh rằng:
$S=\dfrac{a^{16}+a^{12}+7a^{8}+12a^{4}+12}{a^{12}+7a^{8}+7a^{4}+12}\leq \sqrt[3]{4}$
Bài 13: Cho x,y,z dương, $k\geq3$ . Chứng minh rằng
$ \dfrac{x^{k}}{(x+z)^{k}}+\dfrac{y^{k}}{(y+z)^{k}}+\dfrac{z^{k}}{(x+z)^{k}}\geq \dfrac{3}{2^{k}}$
Bài 14 Cho x,y,z dương thoả
$x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy=3(x+y+z)$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$P=x+y+z+\dfrac{20}{\sqrt{x+z}}+\dfrac{20}{\sqrt{y+2}}$
$a^{5}-a^{3}+a-2=0$. Chứng minh rằng:
$S=\dfrac{a^{16}+a^{12}+7a^{8}+12a^{4}+12}{a^{12}+7a^{8}+7a^{4}+12}\leq \sqrt[3]{4}$
Bài 13: Cho x,y,z dương, $k\geq3$ . Chứng minh rằng
$ \dfrac{x^{k}}{(x+z)^{k}}+\dfrac{y^{k}}{(y+z)^{k}}+\dfrac{z^{k}}{(x+z)^{k}}\geq \dfrac{3}{2^{k}}$
Bài 14 Cho x,y,z dương thoả
$x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy=3(x+y+z)$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$P=x+y+z+\dfrac{20}{\sqrt{x+z}}+\dfrac{20}{\sqrt{y+2}}$
Last edited by a moderator:
M
minhtuyb
*Tìm tòi lời giải: Ý tưởng của bài toán rõ ràng là đưa biểu thức P về một biến $t=x+y+z$ để tìm GTNN. Hơn thế từ giả thiết ta có:
$$3(x+y+z)=(x+y)^2+z^2\ge \dfrac{(x+y+z)^2}{2}\Rightarrow x+y+z\le 6$$
Theo $Cauchy-Schwarz$ thì: $\sqrt{x+z}+\sqrt{y+2}\le \sqrt{2(x+y+z+2)}$
Vậy ta dự đoán điểm rơi ở: $\left\{\begin{matrix}x+y=z\\ x+y+z=6\\ x+z=y+2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=1;y=2;z=3$
Số khá đẹp, chứng tỏ chúng ta đang đi đúng hướng ^^
*Lời giải:
Theo phân tích ở trên thì ta có $0<x+y+z\le 6$. Đặt $t=x+y+z\in (0;6]$, ta có:
$$\begin{aligned}P&\ge t+\dfrac{80}{\sqrt{x+z}+\sqrt{y+2}}\\ &\ge t+\dfrac{80}{\sqrt{2(t+2)}} \\&=t+2+\dfrac{16\sqrt{2}}{\sqrt{t+2}}+\dfrac{16\sqrt{2}}{\sqrt{t+2}}+\dfrac{8\sqrt{2}}{\sqrt{t+2}}-2\\&\ge 3\sqrt[3]{16\sqrt{2}.16\sqrt{2}}+\dfrac{8\sqrt{2}}{\sqrt{6+2}}-2\\&=26\end{aligned}$$
Dấu bằng xảy ra khi $x=1;y=2;z=3$
Vậy $minP=26$ khi $x=1;y=2;z=3\ \square$
---
P/s: Vừa làm cái mục lục, mọi người xem được chưa? ^^
Last edited by a moderator:
V
vy000
$\sin^8A<sin^2A$ chứ :|
Với $\widehat A=45^o ; \widehat B=60^o $ có:
$\sin^8A+\sin^4B+\sin^2C <2$ =))
Chết cha, nhầm :|. Sửa lại thành bài khác rồi
Last edited by a moderator:
H
huytrandinh
H
huytrandinh
Bài 13: Cho x,y,z dương, $k\geq3$ . Chứng minh rằng
$ \dfrac{x^{k}}{(x+z)^{k}}+\dfrac{y^{k}}{(y+z)^{k}}+\dfrac{z^{k}}{(x+z)^{k}}\geq \dfrac{3}{2^{k}}$
Bài này đầu tiên ta cm bổ đề sau
$ \dfrac{a^{3}}{(a+b)^{3}}+\dfrac{b^{3}}{(b+c)^{3}}+\dfrac{c^{3}}{(c+a)^{3}}\geq \dfrac{3}{8}$
Đặt $x=\dfrac{b}{a},y=\dfrac{c}{b},z=\dfrac{a}{c}=>xyz=1$
$=>\sum \dfrac{1}{(1+x)^{3}}\geq \dfrac{3}{8}$
Theo AM-GM ta có
$\dfrac{1}{(1+x)^{3}}+\dfrac{1}{(1+x)^{3}}+\dfrac{1}{8}\geq \dfrac{3}{2(1+x)^{2}}$
$.\sum \dfrac{1}{(1+x)^{3}}\geq \dfrac{3}{(1+x)(1+y)(1+z)}$
Do đó ta sẽ thu được đpcm nếu chỉ ra được rằng
$\sum \dfrac{1}{(1+x)^{2}}+\dfrac{2}{(1+x)(1+y)(1+z)}\geq 1 (xyz=1)$
Lại tiếp tục đặt
$x=\dfrac{mn}{p^{2}},y=\dfrac{np}{m^{2}},z=\dfrac{mp}{n^{2}}$
$=>\sum \dfrac{m^{4}}{(np+m^{2})^{2}}+\dfrac{2(mnp)^{2}}{(np+m^{2})(mp+n^{2})(mn+p^{2})}\geq 1 (1)$
$.(np+m^{2})^{2}\leq (m^{2}+n^{2})(m^{2}+p^{2})$
$=>VT(1)\geq \sum \dfrac{m^{4}}{(m^{2}+n^{2})(m^{2}+p^{2})}+\dfrac{2(mnp)^{2}}{(np+m^{2})(mp+n^{2})(mn+p^{2})}$
Mặc khác để ý rằng
$\sum \dfrac{m^{4}}{(m^{2}+n^{2})(m^{2}+p^{2})}=1-\dfrac{2(mnp)^{2}}{(m^{2}+n^{2})(n^{2}+p^{2})(p^{2}+m^{2})}$
Do đó ta chỉ cần cm
$(m^{2}+n^{2})(n^{2}+p^{2})(m^{2}+p^{2})\geq (m^{2}+np)(n^{2}+mp)(p^{2}+mn)$
cái này thì dễ dàng cm bằng Cauchy Schwarz.Từ đó ta có bổ đề được cm
Ta trở lại với bài toán ban đầu xét hàm số $f(t)=t^{\dfrac{k}{3}}$
$f''(t)=\dfrac{k}{3}(\dfrac{k}{3}-1)t^{\dfrac{k}{3}-2}> 0$
=> f(t) là hàm lồi sử dụng bất đẳng thức Jensen ta có
$VT\geq 3 (\dfrac{1}{3}\sum \dfrac{a^{3}}{(a+b)^{3}})^{\dfrac{k}{3}}
\geq 3\dfrac{1}{2^{k}} =VP$
Ta có đpcm
$ \dfrac{x^{k}}{(x+z)^{k}}+\dfrac{y^{k}}{(y+z)^{k}}+\dfrac{z^{k}}{(x+z)^{k}}\geq \dfrac{3}{2^{k}}$
Bài này đầu tiên ta cm bổ đề sau
$ \dfrac{a^{3}}{(a+b)^{3}}+\dfrac{b^{3}}{(b+c)^{3}}+\dfrac{c^{3}}{(c+a)^{3}}\geq \dfrac{3}{8}$
Đặt $x=\dfrac{b}{a},y=\dfrac{c}{b},z=\dfrac{a}{c}=>xyz=1$
$=>\sum \dfrac{1}{(1+x)^{3}}\geq \dfrac{3}{8}$
Theo AM-GM ta có
$\dfrac{1}{(1+x)^{3}}+\dfrac{1}{(1+x)^{3}}+\dfrac{1}{8}\geq \dfrac{3}{2(1+x)^{2}}$
$.\sum \dfrac{1}{(1+x)^{3}}\geq \dfrac{3}{(1+x)(1+y)(1+z)}$
Do đó ta sẽ thu được đpcm nếu chỉ ra được rằng
$\sum \dfrac{1}{(1+x)^{2}}+\dfrac{2}{(1+x)(1+y)(1+z)}\geq 1 (xyz=1)$
Lại tiếp tục đặt
$x=\dfrac{mn}{p^{2}},y=\dfrac{np}{m^{2}},z=\dfrac{mp}{n^{2}}$
$=>\sum \dfrac{m^{4}}{(np+m^{2})^{2}}+\dfrac{2(mnp)^{2}}{(np+m^{2})(mp+n^{2})(mn+p^{2})}\geq 1 (1)$
$.(np+m^{2})^{2}\leq (m^{2}+n^{2})(m^{2}+p^{2})$
$=>VT(1)\geq \sum \dfrac{m^{4}}{(m^{2}+n^{2})(m^{2}+p^{2})}+\dfrac{2(mnp)^{2}}{(np+m^{2})(mp+n^{2})(mn+p^{2})}$
Mặc khác để ý rằng
$\sum \dfrac{m^{4}}{(m^{2}+n^{2})(m^{2}+p^{2})}=1-\dfrac{2(mnp)^{2}}{(m^{2}+n^{2})(n^{2}+p^{2})(p^{2}+m^{2})}$
Do đó ta chỉ cần cm
$(m^{2}+n^{2})(n^{2}+p^{2})(m^{2}+p^{2})\geq (m^{2}+np)(n^{2}+mp)(p^{2}+mn)$
cái này thì dễ dàng cm bằng Cauchy Schwarz.Từ đó ta có bổ đề được cm
Ta trở lại với bài toán ban đầu xét hàm số $f(t)=t^{\dfrac{k}{3}}$
$f''(t)=\dfrac{k}{3}(\dfrac{k}{3}-1)t^{\dfrac{k}{3}-2}> 0$
=> f(t) là hàm lồi sử dụng bất đẳng thức Jensen ta có
$VT\geq 3 (\dfrac{1}{3}\sum \dfrac{a^{3}}{(a+b)^{3}})^{\dfrac{k}{3}}
\geq 3\dfrac{1}{2^{k}} =VP$
Ta có đpcm
B
bosjeunhan
Mí bác ghê gúm quá...
Bài 15: Cho các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=3$
Tìm $k$ để bất đẳng thức sau đúng
$$\sum \sqrt{a^2+ka} \ge 3\sqrt{1+k}$$
Bài 15: Cho các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=3$
Tìm $k$ để bất đẳng thức sau đúng
$$\sum \sqrt{a^2+ka} \ge 3\sqrt{1+k}$$
Last edited by a moderator:
N
nghgh97
Mệt ông quá đề bài thì cho 3 số thực không âm còn đòi c/m thì ... đi chứng minh chỉ có 1 mình a với 1 số k không biết k là cái gì, 2 số b, c bỏ đi đâu?
Nếu t sai bỏ qua nhé, có lẽ chưa đủ trình để hiểu nổi đề bài =((=((=((
V
vansang02121998
Đề dễ hiểu thôi
Cho 3 số thực không âm $a;b;c$ thỏa mãn $a+b+c=3$ và một số $k$ bất kì ( $k \ge -1$ ). Chứng minh
$\sqrt{a^2+ka}+\sqrt{b^2+kb}+\sqrt{c^2+kc} \ge 3\sqrt{1+k}$
Cho 3 số thực không âm $a;b;c$ thỏa mãn $a+b+c=3$ và một số $k$ bất kì ( $k \ge -1$ ). Chứng minh
$\sqrt{a^2+ka}+\sqrt{b^2+kb}+\sqrt{c^2+kc} \ge 3\sqrt{1+k}$
N
noinhobinhyen
Cho cả gpt vô tỉ vào đc ko.
Bài 16. Giải phương trình vô tỉ :
$2(x^2+x-1)^2=3-2x^2-2x+\sqrt{4x+5}$
Bài 16. Giải phương trình vô tỉ :
$2(x^2+x-1)^2=3-2x^2-2x+\sqrt{4x+5}$