[Mod] Thảo luận

[huytrandinh]

Bài 16. Giải phương trình vô tỉ :

$2(x^2+x-1)^2=3-2x^2-2x+\sqrt{4x+5}$

Phương trình tương đương với
$2(x^{2}+x-\dfrac{1}{2})^{2}-\dfrac{9}{8}=\sqrt{4x+5} (1)$
$VP(1)\geq 0=>|x^{2}+x-\dfrac{1}{2}|\geq \dfrac{3}{4}$
$<=>x\geq \dfrac{-1+\sqrt{6}}{2}$
$(1)<=>2(x^{2}+x-1)^{2}+2(x^{2}+x-1)-4=\sqrt{4x+5}-3$
$<=>2(x^{2}+x-2)(x^{2}+x+1)=\dfrac{4(x-1)}{\sqrt{4x+5}+3}$
$<=>(x+2)(x-1)(x^{2}+x+1)(\sqrt{4x+5}+3)=2(x-1)$
$=>x=1$
$.x\neq 1$
$<=>(x+2)(x^{2}+x+1)(\sqrt{4x+5}+3)=2$
$x\geq \dfrac{-1+\sqrt{6}}{2}=>VT> 2=>VN$

 

[noinhobinhyen]

Đây là cách của ta,không biết có đúng không, Điều kiện của phương trình là $x\geq \dfrac{-5}{4}$
PT tương đương với
$2(x^{2}+x-1)^{2}+2(x^{2}+x-1)=1+\sqrt{4x+5} (1)$
Khảo sát hàm số $f(x)=x^{2}+x-1 (x\geq \dfrac{-5}{4})$
$=> \dfrac{-5}{4}\leq f(x)\leq \dfrac{-11}{16}$
Lại tiếp tục khảo sát hàm số $VT=2t^{2}+2t (t=f(x),\dfrac{-5}{4}\leq t\leq \dfrac{-11}{16})$
$=>VT\leq \dfrac{5}{8}< 1\leq VP$
Vậy phương trình vô nghiệm

ác. Đây là bài lớp 10 mà ta làm theo cách đạo hàm cũng còn ra nghiệm x=1 cơ mà.

 

[nguyengiahoa10]

ác. Đây là bài lớp 10 mà ta làm theo cách đạo hàm cũng còn ra nghiệm x=1 cơ mà.

Thế $x=1$ vô:
$VT=2(1+1-1)^2=2$
$VP=3-2.1^2-2.1+\sqrt{4.1+5}=-1+3=2$
Đúng là có nghiệm mà, t không biết giải nhưng thế vô thấy nó là nghiệm thôi.
Có thể làm cách lớp 10 được không? t thấy dùng đh hơi khó hiểu và nguy hiểm khi đánh giá.

 

[noinhobinhyen]

Phương trình tương đương với
$2(x^{2}+x-\dfrac{1}{2})^{2}-\dfrac{9}{8}=\sqrt{4x+5} (1)$
$VP(1)\geq 0=>|x^{2}+x-\dfrac{1}{2}|\geq \dfrac{3}{4}$
$<=>x\geq \dfrac{-1+\sqrt{6}}{2}$
$(1)<=>2(x^{2}+x-1)^{2}+2(x^{2}+x-1)-4=\sqrt{4x+5}-3$
$<=>2(x^{2}+x-2)(x^{2}+x+1)=\dfrac{4(x-1)}{\sqrt{4x+5}+3}$
$<=>(x+2)(x-1)(x^{2}+x+1)(\sqrt{4x+5}+3)=2(x-1)$
$=>x=1$
$.x\neq 1$
$<=>(x+2)(x^{2}+x+1)(\sqrt{4x+5}+3)=2$
$x\geq \dfrac{-1+\sqrt{6}}{2}=>VT> 2=>VN$

Bài này vốn của lớp 10 nhưng mà khó *****. Cách đạo hàm thì thế này :

$\Leftrightarrow 2(x^2+x-1)^2+2x^2+2x-3 = \sqrt[]{4x+5} \geq 0$

Vậy là $\Rightarrow x \geq .....$ (bao nhiêu đấy ko nhớ ngại tính lại)

Vậy rồi xét $F(x)=2(x^2+x-1)^2+2x^2+2x-3 - \sqrt[]{4x+5}$

$F'(x) > 0 \Rightarrow $ đồng biến

$F(1)=0 \Rightarrow 1$ là $N_o$

 

[minhtuyb]

Các bạn chú ý là không nên dây mấy bài nào phải khảo sát hàm số dài dòng nhé, chủ quan mình thấy nó mất vẻ đẹp của Toán lắm ( _ _!)

Bài 17: Giải phương trình:
$$4x^2+\sqrt{3x+1}+5=13x$$

 

[minhtuyb]

Bài 7: Cho $a;b;c >0$. Chứng minh:
$$\sum \dfrac{b^2+ac}{b^2+bc} \ge 3$$

Bài này chế không biết có đụng hàng ko

Trảm bài này ^^.
---
Áp dụng $AM-GM$ cho 3 số thì:
$$VT\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{(a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab)}{abc(a+b)(b+c)(c+a)}}$$

Vậy ta cần c/m:
$$(a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab)\ge abc(a+b)(b+c)(c+a)$$
Tương đương với:
$$(a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab)(a+b)(b+c)(c+a)\ge abc(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2 \ (1)$$

Đúng vì:
$$(a^2+bc)(b+c)=b(a^2+c^2)+c(a^2+b^2)\ge 2\sqrt{bc(a^2+c^2)(b^2+c^2)}\ge \sqrt{bc}(a+c)(b+c)$$
Xây dựng các BĐT tương tự rồi nhân lại suy ra $(1)$ đúng. Vậy BĐT ban đầu được c/m.
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c\ \square$

 

[huytrandinh]

Bài 4: Cho ΔABC và các số thực dương x,y,z. CMR:
$x^2+y^2+z^2≥2yzcosA+2zxcosB+2xycosC$
Trên mặt phẳng xét các vector x,y,z sao cho vector x cùng hướng với AB, vector y cùng hướng với BC, vector z cùng hướng với CA.Ta có
$(\sum _{x,y,z}\overrightarrow{x} )^{2}\geq 0$
$<=>x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 2\sum x.y.\cos C$

 

[huytrandinh]

Bài 1: (2 cách ) Cho a,b,c>0 thỏa $ab+bc+ca+2abc=1$. Chứng minh rằng:
$2(a+b+c)+1≥32abc$
Xin trình bày một cách khác như sau,ta đổi biến
$a=\dfrac{x}{y+z},b=\dfrac{y}{x+z},c=\dfrac{z}{x+y}$
Thế vào ta được
$2\sum \dfrac{x}{y+z}+1\geq \dfrac{32xyz}{(x+y)(y+z)(x+z)}$
$<=>2(x^{2}+y^{2}+z^{2})(x+y+z)+(x+y)(y+z)(x+z) \geq 26xyz$
AM-GM giải quyết dễ dàng

 

[vy000]

Sắp không theo nổi mấy bác nữa rồi (

Bài 17:
$4x^2+\sqrt{3x+1}+5=13x \ \ \ (1)$

ĐK: $x \ge -\dfrac13$

Với $x\ge -\dfrac13$, ta có:

(1) \Leftrightarrow $(2x-3)^2+\sqrt{3x+1}=x+4$

Đặt $\begin{cases} 2x-3=a \\ \sqrt{3x+1} = b \end{cases}$

Ta có hệ: $\begin{cases} a^2+b=x+4\\b^2-a=x+4 \end{cases}$

\Rightarrow $(a+b)(a-b+1)=0$

\Leftrightarrow $\left[\begin{matrix}a=-b \\ a-b+1 = 0 \end{matrix}\right.$

Đến đây thì lại lười T^T, giải ra nhớ thử lại ^^!

 

[bosjeunhan]

Mệt ông quá đề bài thì cho 3 số thực không âm còn đòi c/m thì ... đi chứng minh chỉ có 1 mình a với 1 số k không biết k là cái gì, 2 số b, c bỏ đi đâu?
Nếu t sai bỏ qua nhé, có lẽ chưa đủ trình để hiểu nổi đề bài =((=((=((

Đó là kí hiệu tổng hoán vị bạn àk....Còn k là một số bất kì sao cho vế các căn thức có nghĩa ~

Có dạo mình hay đi nói lung tung...bỏ qua nhé ^^

Chưa biết thì h biết...không sao cả mà

 

[son9701]

Bài 15 hình như đề có vấn đề về chiều bất đẳng thức nhỉ?? Khi cho a=b=0 và c=3 và k >0 thì ta có 1 điều ngạc nhiên :v

(spam tẹo)

 

[bosjeunhan]

Bài 15 hình như đề có vấn đề về chiều bất đẳng thức nhỉ?? Khi cho a=b=0 và c=3 và k >0 thì ta có 1 điều ngạc nhiên :v

(spam tẹo)

Chít chưa )

Mềnh đã thành công bước đầu trong việc giữ kín cái đề ) Anh em ta chiến xong vào sửa sau

P/s: Spam tẹo nhé

 

[minhtuyb]

Up phát. Thêm một bài hình nhé ;
_________________

Bài 18: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Điểm $D,E$ lần lượt nằm trên đoạn thẳng $BC$ và $AD$ sao cho $\widehat{BAC}=\widehat{BED}=2\widehat{DEC}$.
Chứng minh rằng: $BD=2CD$

Gợi ý: Kẻ đường phụ là các đường song song

 

[vsmall]

Up phát. Thêm một bài hình nhé ;
_________________

Bài 18: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Điểm $D,E$ lần lượt nằm trên đoạn thẳng $BC$ và $AD$ sao cho $\widehat{ABC}=\widehat{BED}=2\widehat{DEC}$.
Chứng minh rằng: $BD=2CD$

Gợi ý: Kẻ đường phụ là các đường song song

Bài này kì kì
Gọi F là giao điểm của AD với đường tròn ngoại tiếp tam giác BEC
Ta có:$\widehat{BCF}=\widehat{BEF}=\widehat{ABC}$
\Leftrightarrow $ AB//CF$
Để chứng minh BD=2CD ta chứng minh AB=2CF
Kẻ CK//BF với $K \in AB$ , ta có CFBK là hình bình hành
Do đó CF=BK
Ta cần chứng minh AB=2BK
\Leftrightarrow K là trung điểm AB
Lại có: $\widehat{KCB}=\widehat{CBF}=\widehat{DEC}=\dfrac12\widehat{ABC}=\dfrac12\widehat{ACB}$

Giả sử đề bài đúng, có CK là phân giác AB, đồng thời là trung tuyến

Do đó ABC cân tại B??
___
Nhầm, đã fix, là $\widehat{BAC}$ chứ không phải $\widehat{ABC}$

 

[nguyengiahoa10]

Bài 19: Sử dụng BĐT Côsi hãy chứng minh:
Với n là một số tự nhiên bất kì khác 0 ta có:
a) $n! \leq (\dfrac{n+1}{2})^n$
b) $2^{\dfrac{n+1}{2}}>n$

vô tình lục được ở 1 web trên mạng, mn giải thử

p/s: n hữu hạn, n vô hạn không làm được.

 

[huytrandinh]

Câu a dùng Cauchy câu b dùng quy nạp
a/ Bổ đề
$1+2+3+...+n=\sum _{i=1}^{n}i=\dfrac{n(n+1)}{2}$
Sử dụng Cauchy cho n số ta có
$VT\leq \dfrac{(1+2+3+...+n)^{n}}{n^{n}}=\dfrac{n^{n}(n+1)^{n}}{n^{n}2^{n}}=VP$
b/ Ta dùng quy nạp mạnh, xét hai th n=1 và n=2 thấy bất đẳng thức đúng xét n lớn hơn 2 giả sử mệnh đề đúng tới n,ta chứng minh nó cũng đúng với n+1
theo giả thiết quy nạp ta có
$2^{\dfrac{n+1}{2}}\geq n (1) $
ta chỉ cần chứng minh
$2^{\dfrac{n+2}{2}}\geq n+1$
Ta sẽ chứng minh rằng
$2^{\dfrac{n+2}{2}}\geq 2^{\dfrac{n+1}{2}}+1$
$<=>2^{\dfrac{n+1}{2}}(\sqrt{2}-1)\geq 1 (2)$
ta thấy (2) đúng với mọi n lớn hơn 2 kết hợp với (1) ta suy ra điều cần chứng minh
vậy mệnh đề đúng với n+1 theo quy nạp ta có đpcm

 

[nguyengiahoa10]

Câu b bài 19 vẫn có thể sử dụng Côsi mà không cần dùng tới quy nạp.
Gợi ý:
Xét tổng S và tích P:
$S=2+2^2+2^3+...+2^n$
(tính tổng S bằng công thức tổng n số hạng đầu của cấp số nhân hữu hạn công bội là 2)
$P=2.2^2.2^3...2^n=2^{1+2+3+...+n}=2^{\dfrac{n(n+1)}{2}}$
Áp dụng Côsi.

 

[bosjeunhan]

Bài 15: Cho các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=3$
Tìm $k$ để bất đẳng thức sau đúng
$$\sum \sqrt{a^2+ka} \ge 3\sqrt{1+k}$$

Chữa lại ùi nhé ^^

 

[minhtuyb]

b) $2^{\dfrac{n+1}{2}}>n$

Ngoài ra BĐT này đúng với $n$ thực dương. Cách chứng minh thì ta có thể lấy log cơ số 2 2 vế của BĐT rồi xét hàm số $f(x)=n+1-2\log_2n$ trên $(0;+\infty)$

---
Bài 20: Giải các phương trình sau trên tập số nguyên tố:

$a)\ \ p^2+q^2+r^2=x^2\\ b)\ \ p^2+q^2+r^2=p^3$

 

[noinhobinhyen]

cả đời online một lần

Bài 21.. Hình không gian lớp 9.

Cho một hình chóp $S.A_1A_2...A_n$ có $\widehat{SA_1A_2}=\widehat{SA_2A_3}=..=\widehat{SA_nA_1}=60^o$

Đáy $A_1A_2...A_n$ có $A_1A_2=A_2A_3=...=A_nA_1=1$

CMR đây là hình chóp đều.

:-w:-w