[Mod] Thảo luận

[minhtuyb]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Topic này dành cho các mod thảo luận + chém gió nhằm nâng cao trình độ chuyên môn + xả street tí ^_^. Nói chung là thấy bài nào hay, tinh tế một chút thì post lên để a e chiêm ngưỡng, cơ mà đừng quên post lời giải khi ko thấy ai giải được nhé, không gạch đó!!! ^^

Vài bài mở đầu:

Bài 1: (2 cách ) Cho $a,b,c>0$ thỏa $ab+bc+ca+2abc=1$. Chứng minh rằng:
$$2(a+b+c)+1\ge 32abc$$

Bài 2: Giải các phương trình sau:
$1.\ \ \ 2\cot ^2x-\tan x=\cot ^5x\\ 2.\ \ \ 2\tan ^2x+\cot ^4x=2\sqrt{\tan x}+\cot x\\ 3.\ \ \ \sqrt{\sin x}+\sqrt[4]{\cos ^3x}=\cos ^5x$
(2 câu cuối chế, a e đừng làm trâu nhé, topic này đòi hỏi sự tinh tế nhiều hơn ^_^)

Bài 3: (1 cách) Cmr nếu $a,b,c>0$ và $ab+bc+ca=1$ thì:
$$(a+b)(b+c)(c+a)\ge \dfrac{8}{3\sqrt{3}}$$
.
Bài 4: Cho $\Delta ABC$ và các số thực dương $x,y,z$. CMR:
$$x^2+y^2+z^2\ge 2yz\cos A+2zx\cos B+2xy\cos C$$
---
Mem nào có hứng thú + đủ trình độ có thể tham gia, nhớ đánh STT bài đó :d

 

[minhtuyb]

Mục lục topic:

- Những bài đã có lời giải thì link được bôi màu đỏ và link dẫn đến post lời giải
- Những bài chưa có lời giải thì link được bôi màu xanh và link dẫn đến post đề bài

$\color{red} {\fbox{1}}$

Cho $a,b,c>0$ thỏa $ab+bc+ca+2abc=1$. Chứng minh rằng:
$$2(a+b+c)+1\ge 32abc$$

$\color{red} {\fbox{2}}$

Giải các phương trình sau:
$1.\ \ \ 2\cot ^2x-\tan x=\cot ^5x\\ 2.\ \ \ 2\tan ^2x+\cot ^4x=2\sqrt{\tan x}+\cot x\\ 3.\ \ \ \sqrt{\sin x}+\sqrt[4]{\cos ^3x}=\cos ^5x$

$\color{red} {\fbox{3}}$

Cmr nếu $a,b,c>0$ và $ab+bc+ca=1$ thì:
$$(a+b)(b+c)(c+a)\ge \dfrac{8}{3\sqrt{3}}$$

$\color{red} {\fbox{4}}$

Cho $\Delta ABC$ và các số thực dương $x,y,z$. CMR:
$$x^2+y^2+z^2\ge 2yz\cos A+2zx\cos B+2xy\cos C$$
---

$\color{blue} {\fbox{5}}$

Giải hpt trình sau trên tập các số nguyên tố:
$$\left\{\begin{matrix}x=2t^2-1\\ y=3t^2-2\\ z=4t^2-3\end{matrix}\right.$$

$\color{red} {\fbox{6}}$

Cho $\Delta ABC$ và một điểm $P$ ở bên trong tam giác thỏa mãn $\widehat{BPC}=90^o$ và $\widehat{BAP}=\widehat{BCP}$. Gọi $M,N$ tương ứng là trung điểm của $AC, BC$.
Giả sử rằng $BP=2PM$. Chứng minh $A,P,N$ thẳng hàng

$\color{red} {\fbox{7}}$

Cho $a;b;c >0$. Chứng minh:
$$\sum \dfrac{b^2+ac}{b^2+bc} \ge 3$$

$\color{red} {\fbox{8}}$

Cho ngũ giác phẳng ABCDE có $AB=BC=a\sqrt{2} ; CD=DE=EA=a$ tìm max diện tích ngũ giác.

$\color{red} {\fbox{9}}$

Cho $x,y,z \in \mathbb{R}$ thoả mãn: $ \begin{cases} x^2+y^2+z^2=2 \\ |x+y+z|=2\end{cases}$

Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của x

$\color{red} {\fbox{10}}$

Cho a,b,c,d là 4 số thực thoả $a^{2}+b^{2}=2,c^{2}+d^{2}=5$.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$$P=b(1-c)-d(1-a)$$

$\color{red} {\fbox{11}}$

Với $a,b,c\ge 0$ thỏa $a+b+c=3$, tìm GTNN của biểu thức:
$$S=\dfrac{a}{b^3+16}+\dfrac{b}{c^3+16}+\dfrac{c}{a^3+16}$$

Câu hỏi "nhỏ": Với $a+b+c=6$ thì GTNN của biểu thức $S$ là bao nhiêu? (Mình chưa làm được )

$\color{red} {\fbox{12}}$

Cho $a$ thoả mãn phương trình
$a^{5}-a^{3}+a-2=0$. Chứng minh rằng:
$S=\dfrac{a^{16}+a^{12}+7a^{8}+12a^{4}+12}{a^{12}+7a^{8}+7a^{4}+12}\leq \sqrt[3]{4}$

$\color{red} {\fbox{13}}$

Cho x,y,z dương, $k\geq 3$ . Chứng minh rằng
$ \dfrac{x^{k}}{(x+z)^{k}}+\dfrac{y^{k}}{(y+z)^{k}}+\dfrac{z^{k}}{(x+z)^{k}}\geq (\dfrac{3}{2})^{k}$

$\color{red} {\fbox{14}}$

Cho x,y,z dương thoả
$x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy=3(x+y+z)$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$P=x+y+z+\dfrac{20}{\sqrt{x+z}}+\dfrac{20}{\sqrt{y+2}}$

$\color{blue} {\fbox{15}}$

Cho các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=3$
Tìm $k$ để BĐT sau đúng:
$$\sum \sqrt{a^2+ka} \ge 3\sqrt{1+k}$$

$\color{red} {\fbox{16}}$

Giải phương trình vô tỉ :
$$2(x^2+x-1)^2=3-2x^2-2x+\sqrt{4x+5}$$

$\color{red} {\fbox{17}}$

Giải phương trình:
$$4x^2+\sqrt{3x+1}+5=13x$$

$\color{blue} {\fbox{18}}$

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Điểm $D,E$ lần lượt nằm trên đoạn thẳng $BC$ và $AD$ sao cho $\widehat{BAC}=\widehat{BED}=2\widehat{DEC}$.
Chứng minh rằng: $BD=2CD$

$\color{red} {\fbox{19}}$

Sử dụng BĐT Côsi hãy chứng minh:
Với n là một số tự nhiên bất kì khác 0 ta có:
a) $n! \leq (\dfrac{n+1}{2})^n$
b) $2^{\dfrac{n+1}{2}}>n$

$\color{blue} {\fbox{20}}$

Giải các phương trình sau trên tập số nguyên tố:

$a)\ \ p^2+q^2+r^2=x^2\\ b)\ \ p^2+q^2+r^2=p^3$

 

[bosjeunhan]

Topic này dành cho các mod thảo luận + chém gió nhằm nâng cao trình độ chuyên môn + xả street tí ^_^. Nói chung là thấy bài nào hay, tinh tế một chút thì post lên để a e chiêm ngưỡng, cơ mà đừng quên post lời giải khi ko thấy ai giải được nhé, không gạch đó!!! ^^

Vài bài mở đầu:

Bài 1: Cho $a,b,c>0$ thỏa $ab+bc+ca+2abc=1$. Chứng minh rằng:
$$2(a+b+c)+1\ge 32abc$$

Em chưa học tới pt lượng Thông cảm nhé :">

Theo $AM-GM$ ta có: $ab+bc+ca \ge 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}$
$\Rightarrow 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2} \le 1-2abc$
Đặt $\sqrt[3]{abc} = t > 0$
Suy ra: $t \in (0;\dfrac{1}{2}]$

Ta cần chứng minh: $6\sqrt[3]{abc}+1 \ge 32abc$
$\Leftrightarrow 6t+1 \ge 32t^3$
$(t+\dfrac{1}{4})^2(t-\dfrac{1}{2}) \ge 0$

C2: (Em thấy bên mathlink, ko pải cách của em)
Đặt $ \sqrt{ab}=\cos C $....
$ 2(a+b+c)+1\geq 32abc $
$ \iff 2\sum_{\text{cyc}}\frac{\cos B\cos C}{\cos A}+1\geq 32\cos A\cos B\cos C $
$ \iff \cos A\cos B\cos C\leq\frac{1}{8} $

 

[minhtuyb]

Em chưa học tới pt lượng Thông cảm nhé :">

Theo $AM-GM$ ta có: $ab+bc+ca \ge 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}$
$ 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2} \le 1-2abc$
Đặt $\sqrt[3]{abc} = t > 0$
Suy ra: $t \in (0;\dfrac{1}{2}]$

Ta cần chứng minh: $6\sqrt[3]{abc}+1 \ge 32abc$
$ 6t+1 \ge 32t^3$
$(t+\dfrac{1}{4})^2(t-\dfrac{1}{2}) \ge 0$

C2: (Em thấy bên mathlink, ko pải cách của em)
Đặt $ \sqrt{ab}=\cos C $....
$ 2(a+b+c)+1 32abc $
$ \iff 2\sum_{\text{cyc}}\frac{\cos B\cos C}{\cos A}+1 32\cos A\cos B\cos C $
$ \iff \cos A\cos B\cos C\frac{1}{8} $

Hay, đây là cách của ta ^^:
$$bdt\Leftrightarrow \dfrac{2(a+b+c)+1}{2abc}\ge 16\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}+\dfrac{1}{2abc}\ge 16$$
Thấy gì rồi chứ? >

Xí bài 3 nhé

Nice solotion ^_^
----
Tối về post thêm mấy bài :d

 

[vy000]

Ơ,thế mem thì sao (


Bài 1 thêm cách nữa, vì quay đi quay lại làm được mỗi bài này (

Bài 1: (2 cách ) Cho $a,b,c>0$ thỏa $ab+bc+ca+2abc=1$. Chứng minh rằng:
$$2(a+b+c)+1\ge 32abc$$

Áp dụng BDT Cô-si (quê mình vẫn gọi vậy ~ cho nó dân dã ) với bộ 4 số dương ab,bc,ca,2abc

$1=ab+bc+ca+2abc \ge 4\sqrt[4]{2a^3b^3c^3}$

\Leftrightarrow$ \dfrac14 \ge \sqrt[4]{2a^3b^3c^3}$

\Leftrightarrow$ \dfrac1{8^3} \ge a^3b^3c^3$

\Leftrightarrow$ abc \le \dfrac18$

\Leftrightarrow$ 8abc \le 1 \ \ \ (1)$

\Leftrightarrow$ \sqrt[3]{a^2b^2c^2}\le \dfrac14$

\Leftrightarrow$ abc \le \dfrac{\sqrt[3]{abc}}4$

Mặt khác,áp dụng BDT Cô-si với bộ 3 số dương a,b,c :

$a+b+c \ge 3\sqrt[3]{abc} \ge 12abc$

\Leftrightarrow$ 2(a+b+c) \ge 24abc \ \ \ (2)$

Từ (1) và (2) có đpcm

Bài 2: Giải các phương trình sau:
$1. \ \ \ 2\cot ^2x-\tan x=\cot ^5x\\ 2.\ \ \ 2\tan ^2x+\cot ^4x=2\sqrt{\tan x}+\cot x\\ 3.\ \ \ \sqrt{\sin x}+\sqrt[4]{\cos ^3x}=\cos ^5x$
(2 câu cuối chế, a e đừng làm trâu nhé, topic này đòi hỏi sự tinh tế nhiều hơn ^_^)

$1. \ \ \ 2\cot ^2x-\tan x=\cot ^5x$
Vì $\tan x$ và $\cot x$ đều tồn tại nên $\tan x ; \cot x \not= 0$

Với $\tan x ; \cot x \not= 0$ ;(1) \Leftrightarrow $2cot^3 x-1=\cot^6 x$

Pt bậc 2 )

$2\tan ^2x+\cot ^4x=2\sqrt{\tan x}+\cot x$

\Leftrightarrow $\dfrac2{\cot^2x}+\cot^4x=\dfrac2{\sqrt{\cot x}}+\cot x$

Đặt $\cot x=a ; \cot^4x =b (1 \ge a,b > 0$

\Leftrightarrow $\dfrac2b+b^2=\dfrac2a+a^2$

\Leftrightarrow $a=b$

$3.\ \ \ \sqrt{\sin x}+\sqrt[4]{\cos ^3x}=\cos ^5x$

\Leftrightarrow $\sqrt[4]{1-\cot^3 x} + \sqrt[4]{\cot^3 x} = \cot^5 x$

$VT \ge 1 \ge VP$

)Xả street thật ^_^, gần nửa năm rồi không nghịch toán ) )

 

[kakashi_hatake]

Khiếp thật
Mấy bài này với mình khó nhăn
Kém hơn cả lớp 10 (

Bài 3: cách khác ^^

Có bổ đề là $(a+b)(b+c)(c+a) \ge \dfrac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca) $(nhân hết ra là thấy ^^)

$(a+b+c)^2 \ge 3(ab+bc+ca)=3 -> a+b+c \ge \sqrt{3}$

 

[zombie95]

Bài 5: giải hpt trình sau trên tập các số nguyên tố

$$\left\{\begin{matrix}x=2t^2-1\\ y=3t^2-2\\ z=4t^2-3\end{matrix}\right.$$
Chú ý đánh STT bài

 

[minhtuyb]

Tà tà nhé, thêm một bài hình cho thay đổi không khí ^_^

Bài 6: Cho $\Delta ABC$ và một điểm $P$ ở bên trong tam giác thỏa mãn $\widehat{BPC}=90^o$ và $\widehat{BAP}=\widehat{BCP}$. Gọi $M,N$ tương ứng là trung điểm của $AC, BC$.
Giả sử rằng $BP=2PM$. Chứng minh $A,P,N$ thẳng hàng

 

[hthtb22]

Bài 7: Cho $a;b;c >0$. Chứng minh:
$$\sum \dfrac{b^2+ac}{b^2+bc} \ge 3$$

Bài này chế không biết có đụng hàng ko

 

[vy000]

Bài 6: Cho $\Delta ABC$ và một điểm $P$ ở bên trong tam giác thỏa mãn $\widehat{BPC}=90^o$ và $\widehat{BAP}=\widehat{BCP}$. Gọi $M,N$ tương ứng là trung điểm của $AC, BC$.
Giả sử rằng $BP=2PM$. Chứng minh $A,P,N$ thẳng hàng

Ai có lòng vẽ giúp mình cái hình nhá

Gọi E,F lần lượt là trung điểm PC;PB

$\Delta APC$ có M,E lần lượt là trung điểm AC,PC

\Leftrightarrow $\begin{cases}ME//AP (1)\\ ME =\dfrac12AP (2)\end{cases}$

$\Delta BCP$ có N,E lần lượt là trung điểm BC,PC

\Leftrightarrow $\begin{cases}NE//BP (3)\\ NE =\dfrac12BP (4)\end{cases}$

$(1);(2);(3);(4)$ \Rightarrow $\Delta NME ~ \Delta BAP$

\Rightarrow $\widehat{BAP}=\widehat{NME}$

\Leftrightarrow $\widehat{NME}=\widehat{ECN}$

\Leftrightarrow $\widehat{NME}=\widehat{NPE}$

\Leftrightarrow $PMEN$ nội tiếp \Leftrightarrow $M;N;E;P;F$ cùng thuộc 1 đường tròn

\Leftrightarrow $\widehat{EMN}+\widehat{ENM}=\widehat{MPN}$

Do MP=PF ; MPFN nội tiếp \Rightarrow $\widehat{MPN}=\widehat{FPN}$

\Leftrightarrow $\widehat{EMN}+\widehat{ENM}=\widehat{FPN}$

\Leftrightarrow $\widehat{PAB}+\widehat{PBA}=\widehat{BPN}$

^^

 

[zombie95]

Bài 8. cho ngũ giác phẳng ABCDE có $AB=BC=a\sqrt{2} ; CD=DE=EA=a$ tìm max diện tích ngũ giác.


Giúp tớ nha !

 

[zombie95]

m.n đừng nghĩ bài 9 nha tớ ra rồi, giúp tớ b8+10 nha

 

[nguyengiahoa10]

Bài 8. cho hình chóp $SA_1A_2...A_n$ có $\widehat{SA_1A_2}=\widehat{SA_2A_3}=...=60^o$

Đáy $A_1A_2...A_n$ có tất cả các cạnh = 1. CMR đây là hình chóp đều.

Bài 9. Cho tứ diện đều cạnh a. Một mặt phẳng $(\alpha)$ cắt 4 cạnh của tứ diện tại M, N, P, Q. Chứng minh rằng chu vi của thiết diện không nhỏ hơn 2a.

Bài 10. cho ngũ giác phẳng ABCDE có $AB=BC=a\sqrt{2} ; CD=DE=EA=a$ tìm max diện tích ngũ giác.


Giúp tớ nha !

Này anh, cái này là của mod 10 trao đổi chuyên môn mà.
Sao có mấy cái tứ diện đều hay chóp đều gì trong đây?
Nếu anh có thắc mắc thì vào đúng box mà gửi câu hỏi
post ở đây sẽ không ai trả lời đâu.

 

[zombie95]

vậy nguyên (cựu) mod trao đổi chuyên môn ko được hả em ?

 

[nghgh97]

vậy nguyên (cựu) mod trao đổi chuyên môn ko được hả em ?

Anh gì ơi hình như pic này không chỉ dành cho mod đâu, mem nào khá muốn trao đổi thêm cũng có thể vào. Nhưng mấy bài trên của anh là của lớp 12, anh post vào box 12 nhé. Tụi em nhìn vô không hỉu sao giúp anh được @-)

 

[zombie95]

bài số 10 là đề thi của lớp 10 đó em. .
Vậy em giữ lại bài này. Bài kia em bôi font trắng nhé ^^

 

[minhtuyb]

Bài 8. cho ngũ giác phẳng ABCDE có $AB=BC=a\sqrt{2} ; CD=DE=EA=a$ tìm max diện tích ngũ giác.

- Diện tích tứ giác $BCDE$ max khi là hình thang cân đáy nhỏ $CD$ và có góc $\widehat{BCD}=120^o$ (đây là một bài toán lớp 9, hồi xưa có làm nhưng không nhớ rõ cách c/m )
-Diện tích tam giác $ABE$ max khi tam giác $AEB$ cân tại $A$ (do $S_{ABE}=\dfrac{1}{2}AB.AE.\sin A\le \dfrac{1}{2}AB.AE=a^2$)

 

[vy000]

- Diện tích tứ giác $BCDE$ max khi là hình thang cân đáy nhỏ $CD$ và có góc $\widehat{BCD}=120^o$ (đây là một bài toán lớp 9, hồi xưa có làm nhưng không nhớ rõ cách c/m )
-Diện tích tam giác $ABE$ max khi tam giác $AEB$ cân tại $A$ (do $S_{ABE}=\dfrac{1}{2}AB.AE.\sin A\le \dfrac{1}{2}AB.AE=a^2$)

Nhầm đỉnh nha lão ^^

Chứng minh bài toán lớp 9:

Giả sử có tứ giác ABCD với AB=BC=AD=a.

Goi $\widehat{ABD}=\alpha \\ \widehat{DBC}=\beta$

$BD=2AB.cos\alpha$

Có:
$S_{ABD}=\dfrac12 AB.BD.\sin\alpha=a^2\sin\alpha\cos\alpha$

$S_{BCD}=\dfrac12BD.BC.\sin\beta=a^2\cos\alpha\sin \beta$

$S_{ABCD}=a^2\cos\alpha(\sin\alpha+\sin\beta) \\ \le a^2\cos\alpha(1+\sin\alpha) $

Xét: $\cos\alpha(\sin\alpha+\sin\beta) \\ = \cos\alpha+\cos\sin\alpha= \dfrac12\cos\alpha+ \dfrac12\cos\alpha+\cos\alpha\sin\alpha\\ \le\sqrt{(\dfrac14+\dfrac14+\sin^2\alpha)3\cos^2 \alpha}\\ =\sqrt{3(\dfrac12+\sin^2\alpha)\cos^2\alpha} \\ \le \sqrt{3\dfrac{(\dfrac12+\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)^2}4}\\ =\dfrac{3\sqrt3}4$

Vậy $S_{ABCD} \le \dfrac{3\sqrt3}4a^2$ , dấu đăng thức \Leftrightarrow $\begin{cases}\alpha=30^o\\ \beta=90^o\end{cases}$


Hơ,làm xong cũng rũ măt ra rồi,được cái thoải mái

 

[zombie95]

các em rất khá. Tks các em nhiều!!! .

 

[zombie95]

Nhầm đỉnh nha lão ^^

Chứng minh bài toán lớp 9:

Giả sử có tứ giác ABCD với AB=BC=AD=a.

Goi $\widehat{ABD}=\alpha \\ \widehat{DBC}=\beta$

$BD=2AB.cos\alpha$

Có:
$S_{ABD}=\dfrac12 AB.BD.\sin\alpha=a^2\sin\alpha\cos\alpha$

$S_{BCD}=\dfrac12BD.BC.\sin\beta=a^2\cos\alpha\sin \beta$

$S_{ABCD}=a^2\cos\alpha(\sin\alpha+\sin\beta) \\ \le a^2\cos\alpha(1+\sin\alpha) $

Xét: $\cos\alpha(\sin\alpha+\sin\beta) \\ = \cos\alpha+\cos\sin\alpha= \dfrac12\cos\alpha+ \dfrac12\cos\alpha+\cos\alpha\sin\alpha\\ \le\sqrt{(\dfrac14+\dfrac14+\sin^2\alpha)3\cos^2 \alpha}\\ =\sqrt{3(\dfrac12+\sin^2\alpha)\cos^2\alpha} \\ \le \sqrt{3\dfrac{(\dfrac12+\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)^2}4}\\ =\dfrac{3\sqrt3}4$

Vậy $S_{ABCD} \le \dfrac{3\sqrt3}4a^2$ , dấu đăng thức \Leftrightarrow $\begin{cases}\alpha=30^o\\ \beta=90^o\end{cases}$


Hơ,làm xong cũng rũ măt ra rồi,được cái thoải mái

heh , liệu là lớp 9 có làm được bài này ko em, vì đã học lượng giác đâu.