[LTDH]Toppic Ôn câu V bài toán tổng hợp

L

l94

pe_kho_12412 said:
cho 3 số thực dương a, b,cthoả mãn : [TEX]abc + a + c =b[/TEX]. hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

[TEX]P = \frac{2}{a^2 +1} -\frac{2}{b^2 + 1} + \frac{3}{c^2 +1}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

giải bằng lượng giác hóa:

[tex]dk \Leftrightarrow ac+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=1[/tex]
đặt [tex]a=tan\frac{A}{2};\frac{1}{b}=tan\frac{B}{2}; c=tan \frac{C}{2} [/tex]
ta có:[tex]P=2cos^2\frac{A}{2}-2sin^2\frac{B}{2}+3cos^2\frac{C}{2}=cosA+cosB+3-3sin^2\frac{C}{2}=2sin\frac{C}{2}cos\frac{A-B}{2}+3-3sin^2\frac{C}{2} \leq 2sin\frac{C}{2}-3sin^2\frac{C}{2}+3 \leq \frac{1}{3}+3=\frac{10}{3}[/tex]
 
P

pe_kho_12412

bài trên ngoài cách đó còn cáhc gì ko nhỉ :D

bài tiếp :
cho x,y,z là các số dương . tìm min của P:

[TEX]P= \sqrt[3]{4 ( x^3 + y^3 )} + \sqrt[3]{4( x^3 + z^3)} +\sqrt[3]{4(z^3 + x^3)} + 2 (\frac{x}{y^2} + \frac{y}{z^2} + \frac{z}{x^2})[/TEX]
 
G

giaosu_fanting_thientai

bài trên ngoài cách đó còn cáhc gì ko nhỉ :D
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Có nhưng mà dài lắm, dùng lượng giác hoá là hay rồi.

bài tiếp :
cho x,y,z là các số dương . tìm min của P:

[TEX]P= \sqrt[3]{4 ( x^3 + y^3 )} + \sqrt[3]{4( x^3 + z^3)} +\sqrt[3]{4(z^3 + x^3)} + 2 (\frac{x}{y^2} + \frac{y}{z^2} + \frac{z}{x^2})[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Áp dụng bất đẳng thức [TEX]4(x^3+y^3) \geq (x+y)^3[/TEX]
Sau đó dùng bất đẳng thức Co-si nhé!
 
D

duynhan1

pe_kho_12412 said:
continuent: :D

biết ( x,y ) là nghiệm của bpt : [TEX]5x^2 + 5y^2 -5x +8 \leq 0[/TEX]. hãy tìm giá trị lớn nhất của bt: [TEX]F= x + 3y[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Thay [TEX]3y = F-x[/TEX], ta có:
[TEX]45 x^2 + 5 (F-x)^2 - 45x + 72 \le 0 \\ \Leftrightarrow 50 x^2 - 5( 2F + 9) x + 2F^2 + 72 \le 0[/TEX]
Để bất phương trình có nghiệm ta phải có:
[TEX]\Delta \ge 0 [/TEX] từ đó tìm ra Min, max.
 
M

miko_tinhnghich_dangyeu

pe_kho_12412 said:
cho 3 số thực dương a, b,cthoả mãn : [TEX]abc + a + c =b[/TEX]. hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

[TEX]P = \frac{2}{a^2 +1} -\frac{2}{b^2 + 1} + \frac{3}{c^2 +1}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Quy về 2 ẩn như trên sau đó sử dụng AM-GM và Cauchy-Schawarz để giải quyết

Rút[TEX] c = \frac{a-b}{1+ab}[/tex] thay vào ta có: [tex]f(a,b)=\frac{(b-a)(5a-b)}{(1+a^2)(1+b^2)}[/TEX]
Áp dụng AM-GM và Cauchy-Schawarz ta có:

[TEX]\ frac{(b-a)(5a-b)}{(1+a^2)(1+b^2) }= \frac{(3b-3a)(5a-b)}{3(1+a^2)(1+b^2)} \leq \frac{(3b-3a+5a-b)^2}{12(1+a^2)(1+b^2)} \leq \frac{(a+b)^2}{3(a^2+1)(b^2+1)} \leq \frac{1}{3}\frac{(a+b)^2}{3(a+b)^2}=\frac{1}{3}[/TEX]
Từ đó cũng suy ra đpcm

---------------------------
Rút [TEX]b=\frac{a+c}{1-ac} [/TEX]với điều kiện [TEX]0<a<\frac{1}{c}[/TEX] sau đó thay vào được hàm số [TEX]f(a,c)=\frac{2}{a^2+1}+\frac{3}{c^2+1}+\frac{2(a+c)^2}{(1+a^2)(1+c^2)}-2[/TEX]

Sau đó dùng đạo hàm khảo sát hàm số theo biến a thu được [TEX]f(a)max=f(-c+\sqrt{c^2+1})[/TEX]Tiếp tục khảo sát hàm số f(c)
->đpcm
 
Last edited by a moderator:
A

anhsao3200

Cm

1/
picture.php


2/

picture.php


Tất các cả số đều dương các bạn nhé
 
Last edited by a moderator:
L

linh030294

(*) Mình nghĩ là khi giải [tex]\Delta \ge 0[/tex] => Đặt hàm [tex]f(F) \ge 0[/tex] => Tìm max :D
 
D

duynhan1

pe_kho_12412 said:
cho a,b,c,d là các số dương, cmr:
[TEX]\frac{1}{a^4 + b^4 + c^4 + abcd} + \frac{1}{b^4 + c^4 + d^4 +abcd}+ \frac{1}{c^4 + d^4 + a^4 +abcd}+\frac{1}{d^4 + a^2 +b^2 +abcd}\leq \frac{1}{abcd}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Áp dụng:
[TEX]a^4 + b^4 + c^4 \ge abc(a+b+c)[/TEX]
:D .

anhsao3200 said:
Cm

1/
picture.php
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
[TEX](1) \Leftrightarrow \sum_{cyc} \frac{a^2 +2 a(b+c)}{2a^2+(b+c)^2} \le \frac52 [/TEX]
Theo BĐT Cauchy - Schwarz ta có:
[TEX]VT = \sum_{cyc} \frac{6(a^2+ 2a(b+c))}{(2a^2+(b+c)^2)(2+4)} \le \frac{ 6 \sum _{cyc} (a^2 + 2a(b+c)) }{( 2 a + 2(b+c))^2 } \le \frac{6((a+b+c)^2+ \frac23 (a+b+c)^2)}{4(a+b+c)^2} = \frac52[/TEX]
 
M

miko_tinhnghich_dangyeu

cho a,b,c thuộc khoảng [0;2] và [TEX]a+b+c=3[/TEX] chứng minh [TEX]a^2+b^2+c^2 \leq 5[/TEX]


2, cho [TEX]x,y,z >0 [/TEX]và xyz=1 tìm Min của [TEX]\sum \frac{x^9+y^9}{x^6+x^3+y^3+y^6}[/TEX]

2 bài này chắc thấy nhiều rùi , post lên cho vui vậy !^^"
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
 
H

huulong_26

BDT thi dai hoc

1.CMR: Với 3 số dương a,b,c bất kì ta luôn có:

[TEX]\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+ \frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+ \frac{c^3}{c^2+ca+a^2} \ge \frac{a+b+c}{3}[/TEX]
2.CMR nếu trong tam giác ABC ta có :
[TEX]a(cot\frac{c}{2}-tanA)=b(tanB-cot\frac{C}{2})[/TEX] thì tam giác tam giác cân.
 
S

suabo2010

Tìm a để hệ sau có nghiệm:
[tex]\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+1} + \sqrt{y+1}=a\\ x+y=2a+1 \end{matrix}\right.[/tex]
 
D

dinhhaivnn1994

suabo2010 said:
Tìm a để hệ sau có nghiệm:
[tex]\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+1} + \sqrt{y+1}=a\\ x+y=2a+1 \end{matrix}\right.[/tex]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...


bạn thử sử dụng cách này nhé
Đặt đk cho [tex]x,y\geq-1[/tex]
phương trính đầu tương đương
[tex]x+y+2+2\sqrt{x+y+xy+1}=a^2[/tex]
[tex]\Leftrightarrow2\sqrt{2a+1+xy+1}=a^2-2a-3[/tex]
tới đây bạn bình phương 2 vế , nhớ có điều kiền của [tex]a^2-2a-3 \geq0[/tex] nha
như vậy ta tính được xy theo a . Sử dụng điều kiền có nghiệm là [tex]S^2\geq4P[/tex]
nhưng ta lại kẹt cái điều kiện x,y\geq-1.
Giải quyết như sau(theo mình nghĩ vậy @@)
Đặt x+1 = u , y+1=v
=> x= u-1 , y=v-1
thế lại vào cái xy , x+y
ta tính lại 1 cái S,P mới là uv,u+v theo a
bây giờ chỉ u,v \geq 0 thì điều kiện sẽ là
[tex]S^2\geq4P[/tex]

[tex]S\geq0[/tex]

[tex]P\geq0[/tex]
Tới đây bạn thử giải tiếp nhé @@
 
M

myhien_1710

Bât Đẳng Thức

Cho a,b,c thuộc R;[TEX]a \geq b \geq c[/TEX],[TEX]a^2+b^2+c^2=5[/TEX].CMR:

[TEX](a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca) \geq -4[/TEX].
 
Last edited by a moderator:
T

truongduong9083

1. Bạn chứng minh [tex]\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\geq\frac{2a-b}{3}[/tex]
tương tự với hai bất đẳng thức còn lại
Cộng 3 bdt suy ra điều phải cm
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom