V
P
phucho
ta có: [TEX](1-x^2)(1-y) \geq 0 <=> x^2 + y - x^2y \leq 1[/TEX]
mà [TEX]x^3 + y^3 \leq x^2 + y[/TEX]
=> [TEX]x^3 + y^3 - x^2y \leq 1[/TEX]
tuog tự => đpcm
V
valdes
Cho x, y dương thỏa mãn [TEX]x^2y + y^2x = x + y + 3xy[/TEX] Tìm GTNN của
[TEX]P = x^2 + y^2 + \frac{(1 + 2xy)^2 - 3}{2xy}[/TEX]
[TEX]P = x^2 + y^2 + \frac{(1 + 2xy)^2 - 3}{2xy}[/TEX]
N
nmtien
đề này mình lấy từ Hocmai.vn khó quá mình ko biết, ai giải được giúp hộ mình nha
Last edited by a moderator:
G
gaconthaiphien
Cho x,y dương thoả mãn [TEX]x^2+y^2=1[/TEX]
Tìm Min của biểu thức: [TEX]T=(1+x)^2.(1+\frac{1}{y})[/TEX]
Tìm Min của biểu thức: [TEX]T=(1+x)^2.(1+\frac{1}{y})[/TEX]
L
lagrange
đây là 1 bài khó ta sẽ đi chưng minh bổ đề sau nếu [tex]abc \le 1[/tex] thì [tex]\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \ge a+b+c[/tex] thật vậy áp dụng cô-si cho 3 số sau
[tex]\frac{a}{b}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c} \ge 3 \sqrt[3]{\frac{a^2}{bc}}=3a[/tex]
chứng minh tương tự các biến còn lại và cộng lại ta được [tex]=>\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \ge a+b+c[/tex]
áp dụng cauchy-schwarz ta được
[tex]\sum_{cyc}\frac{a}{b^2+a} =\sum_{cyc}\frac{(\frac{a}{b})^2}{a+\frac{a}{b}} \ge \frac{(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^2}{a+b+c+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}} \ge \frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}}{2} \ge \frac{3}{2} [/tex] DPMC
Last edited by a moderator:
L
lagrange
đầu tiên ta xét hàm [tex]f(t)=t^3-2t+\sqrt{t-1}-3[/tex] với [tex]t \ge 1[/tex]
[tex]f'(t)=3t^2+\frac{1}{2\sqrt{t-1}}-2 >0 [/tex] với [tex] t >1[/tex]
không mất tính tổng quát giả sử [tex]x \le y \le z=>f(x) \le f(y) \le f(z)[/tex] (do tính đồng biến)
kết hợp với hệ ban đầu [tex]\left\begin\{f(x)=y\\{f(y)=z\\{f(z)=x}(1)[/tex]
[tex]=> y \le z \le x [/tex](2)
[tex]=>x=y=z[/tex](từ (1) và (2))
ta xét tiếp hàm [tex]f(x)=x^3-3x+\sqrt{x-1}-3[/tex] với [tex]x \ge 1[/tex]
[tex]f'(x)=3x^2-3+\frac{1}{2\sqrt{x-1}} >0 [/tex] do [tex]x >1[/tex]
=> f(x) đồng biến
mà [tex]f(2)=0=>x=2 [/tex] là nghiệm duy nhất của pt
kết luận nghiệm của hpt là [tex]x=y=z=2[/tex]
[tex]f'(t)=3t^2+\frac{1}{2\sqrt{t-1}}-2 >0 [/tex] với [tex] t >1[/tex]
không mất tính tổng quát giả sử [tex]x \le y \le z=>f(x) \le f(y) \le f(z)[/tex] (do tính đồng biến)
kết hợp với hệ ban đầu [tex]\left\begin\{f(x)=y\\{f(y)=z\\{f(z)=x}(1)[/tex]
[tex]=> y \le z \le x [/tex](2)
[tex]=>x=y=z[/tex](từ (1) và (2))
ta xét tiếp hàm [tex]f(x)=x^3-3x+\sqrt{x-1}-3[/tex] với [tex]x \ge 1[/tex]
[tex]f'(x)=3x^2-3+\frac{1}{2\sqrt{x-1}} >0 [/tex] do [tex]x >1[/tex]
=> f(x) đồng biến
mà [tex]f(2)=0=>x=2 [/tex] là nghiệm duy nhất của pt
kết luận nghiệm của hpt là [tex]x=y=z=2[/tex]
N
nhocngo976
L
lagrange
[TEX]P = \frac{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^3}}}{{1 + y + {z^2}}} + \frac{{{{\left( {1 + {y^2}} \right)}^3}}}{{1 + z + {x^2}}} + \frac{{{{\left( {1 + {z^2}} \right)}^3}}}{{1 + x + {y^2}}}[/TEX]
[TEX]\frac{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^3}}}{{1 + y + {z^2}}} + \frac{{1000\left( {1 + y + {z^2}} \right)}}{{1521}} + \frac{{1000}}{{1053}} \ge \frac{{300}}{{117}}\left( {1 + {x^2}} \right)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow P + \frac{{1000}}{{1521}}\left( {3 + {x^2} + {y^2} + {z^2} + x + y + z} \right) + \frac{{3000}}{{1053}} \ge \frac{{300}}{{117}}\left( {3 + {x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow P \ge \left( {\frac{{300}}{{117}} - \frac{{1000}}{{1521}}} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) - \frac{{1000}}{{1521}}\left( {x + y + z} \right) + \frac{{900}}{{117}} - \frac{{3000}}{{1053}} - \frac{{3000}}{{1521}}[/TEX]
[TEX]\frac{3}{2}\left( {{x^2} + \frac{1}{9}} \right) \ge x \Rightarrow \frac{{1000}}{{1521}}\left( {x + y + z} \right) \le \frac{{500}}{{507}}\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} + \frac{1}{3}} \right)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow P \ge \left( {\frac{{300}}{{117}} - \frac{{1000}}{{1521}}} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) - \frac{{500}}{{507}}\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} + \frac{1}{3}} \right) + \frac{{900}}{{117}} - \frac{{3000}}{{1053}} - \frac{{3000}}{{1521}}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow P \ge \frac{{1400}}{{1521}}\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) + \frac{{11600}}{{4563}}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow P \ge \frac{{1000}}{{351}}[/TEX]
[TEX]' = ' \Leftrightarrow x = y = z = \frac{1}{3}[/TEX]
[TEX]\frac{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^3}}}{{1 + y + {z^2}}} + \frac{{1000\left( {1 + y + {z^2}} \right)}}{{1521}} + \frac{{1000}}{{1053}} \ge \frac{{300}}{{117}}\left( {1 + {x^2}} \right)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow P + \frac{{1000}}{{1521}}\left( {3 + {x^2} + {y^2} + {z^2} + x + y + z} \right) + \frac{{3000}}{{1053}} \ge \frac{{300}}{{117}}\left( {3 + {x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow P \ge \left( {\frac{{300}}{{117}} - \frac{{1000}}{{1521}}} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) - \frac{{1000}}{{1521}}\left( {x + y + z} \right) + \frac{{900}}{{117}} - \frac{{3000}}{{1053}} - \frac{{3000}}{{1521}}[/TEX]
[TEX]\frac{3}{2}\left( {{x^2} + \frac{1}{9}} \right) \ge x \Rightarrow \frac{{1000}}{{1521}}\left( {x + y + z} \right) \le \frac{{500}}{{507}}\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} + \frac{1}{3}} \right)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow P \ge \left( {\frac{{300}}{{117}} - \frac{{1000}}{{1521}}} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) - \frac{{500}}{{507}}\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} + \frac{1}{3}} \right) + \frac{{900}}{{117}} - \frac{{3000}}{{1053}} - \frac{{3000}}{{1521}}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow P \ge \frac{{1400}}{{1521}}\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) + \frac{{11600}}{{4563}}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow P \ge \frac{{1000}}{{351}}[/TEX]
[TEX]' = ' \Leftrightarrow x = y = z = \frac{1}{3}[/TEX]
O
oongcoi
Các bạn cứ nhiệt tình đóng góp nhé nội dung thì trong chương trình đại học thôi
1/Cho [tex]x;y;z[/tex] dương và [tex](x+y)(x+z)=4yz[/tex]
Chứng minh rằng: [tex](x+z)^3+(x+y)^3 \le 2(y+z)^3[/tex]
[TEX]x + y = a;y + z = b;x + z = c;[/TEX]
[TEX] DK \Rightarrow {b^2} = {a^2} + {c^2} - ac \ge \frac{{{{\left( {a + c} \right)}^2}}}{4}[/TEX]
[TEX] {a^3} + {c^3} = \left( {a + c} \right){b^2} \Rightarrow a + c \le 2b \Rightarrow \frac{{{{\left( {a + c} \right)}^2}}}{4} \le {b^2} \Rightarrow dpcm[/TEX]
J
jumongs
Cho 2 số phức [TEX]z_1=3a-2bi,z_2=a+1+bi[/TEX] CMR: [TEX]\left|z_1-1 \right|^2\geq \left|z_2+2i \right|^2-\frac{22}{3}[/TEX]
N
nhochung62
bạn tính[TEX] |z_1-1|^2=(3a-1)^2+4b^2[/TEX]
[TEX]|z_2+2i|^2=(a+1)^2+(b+2)^2[/TEX]
rồi bđt cần cm <=> ..... bạn xem nó như 1 pt ẩn a tham số b. rồi tính đen ta ra nó âm
=> đpcm
[TEX]|z_2+2i|^2=(a+1)^2+(b+2)^2[/TEX]
rồi bđt cần cm <=> ..... bạn xem nó như 1 pt ẩn a tham số b. rồi tính đen ta ra nó âm
=> đpcm
Last edited by a moderator:
N
nhochung62
[TEX]xy(x+y)=x+y+3xy\Leftrightarrow uv=u+3v[/TEX] với [TEX](u=x+y, v=xy)[/TEX]
[TEX]v=\frac{u}{u-3}[/TEX]
[TEX]P={u}^{2}-2v+\frac{4v^2+uv-2}{2v}[/TEX]
[TEX]=u^2-\frac{1}{v}+2[/TEX]
[TEX]=u^2+\frac{3}{u}+1[/TEX]
[TEX]=u^2+\frac{3}{2u}+\frac{3}{2u}+1[/TEX]
[TEX]\geq 3\sqrt[3]{\frac{9}{4}}+1[/TEX]
N
nhochung62
đề này mình lấy từ Hocmai.vn khó quá mình ko biết, ai giải được giúp hộ mình nha
điều kiện: [TEX]x,y,z\geq 1[/TEX]
Xét hàm số : [TEX]f(t)=t^3-2t+\sqrt{t-1}-3[/TEX]
[TEX]f'(t)=3t^2-2+\frac{1}{2\sqrt{t-1}}>0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow f(t) [/TEX]đ/b với mọi t[TEX]\in [1;\propto )[/TEX]
Giả sử[TEX] x=Min{x,y,z}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x\leq y\Leftrightarrow f(x)\leq f(y)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow y\leq z\Leftrightarrow f(y)\leq f(z)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow z\leq x[/TEX]
Vậy [TEX]x=y=z[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x^3-3x+\sqrt{x-1}-3=0[/TEX]
tương tự hàm số trên đ/b
[TEX]\Rightarrow[/TEX] pt có nghiệm duy nhất[TEX] x=2[/TEX]
Vậy hệ có nghiệm duy nhất :[TEX] x=y=z=2[/TEX]
C
chiro006
Cho các số thực x,y,z thỏa:
[TEX]\left{\begin{ x,y,z >0 \\ x+y+z \leq \frac{3}{2}[/TEX]
Tìm min [TEX]P= \frac{x}{y^2z} + \frac{y}{z^2x} + \frac{z}{x^2y} + \frac{x^5}{y} + \frac{y^5}{z} +\frac{z^5}{x}[/TEX]
[TEX]\left{\begin{ x,y,z >0 \\ x+y+z \leq \frac{3}{2}[/TEX]
Tìm min [TEX]P= \frac{x}{y^2z} + \frac{y}{z^2x} + \frac{z}{x^2y} + \frac{x^5}{y} + \frac{y^5}{z} +\frac{z^5}{x}[/TEX]
T
tuyn
[TEX] \frac{3}{2} \geq x+y+z \geq 3 \sqrt[3]{xyz} \Rightarrow xyz \leq \frac{1}{8}[/TEX]
Áp dụng BDT Cauchy:
[TEX] \frac{x}{y^2z} + \frac{y}{z^2x} + \frac{z}{x^2y} \geq \frac{3}{ \sqrt[3]{x^2y^2z^2}} \geq 12[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{15}{16}( \frac{x}{y^2z} + \frac{y}{z^2x} + \frac{z}{x^2y}) \geq \frac{45}{4}(1)[/TEX]
Áp dụng BDT Cauchy cho 5 số:
[TEX] \frac{x^5}{y}+ \frac{y}{64z^2x}+ \frac{y}{64z^2x}+ \frac{z}{64x^2y}+ \frac{z}{64x^2y} \geq \frac{5}{ \sqrt[5]{2^{24}xyz^2}}[/TEX]
[TEX] \Rightarrow \frac{x^5}{y}+ \frac{y}{32z^2x}+ \frac{z}{32x^2y} \geq \frac{5}{ \sqrt[5]{2^{24}xyz^2}}[/TEX]
Tương tự:
[TEX] \frac{y^5}{z}+ \frac{x}{32y^2z}+ \frac{z}{32x^2y} \geq \frac{5}{ \sqrt[5]{2^{24}x^2yz}}[/TEX]
[TEX] \frac{z^5}{x}+ \frac{x}{32y^2z}+ \frac{y}{32z^2x} \geq \frac{5}{ \sqrt[5]{2^{24}xy^2z}}[/TEX]
Cộng vế với vế lại:
[TEX] \frac{x^5}{y}+ \frac{y^5}{z}+ \frac{z^5}{x}+ \frac{x}{16y^2z}+ \frac{y}{16z^2x}+ \frac{z}{16x^2y} \geq \frac{5}{ \sqrt[5]{2^{24}}}( \frac{1}{ \sqrt[5]{xyz^2}}+ \frac{1}{ \sqrt[5]{xy^2z}}+ \frac{1}{ \sqrt[5]{x^2yz}}) \geq \frac{15}{ \sqrt[5]{2^{24}} \sqrt[15]{x^4y^4z^4}} \geq \frac{15}{16}(2)[/TEX]
Cộng vế với vế (1) và (2) ta được:
[TEX]P \geq \frac{195}{16}[/TEX]
[TEX]MinP= \frac{195}{16},khi:x=y=z= \frac{1}{2}[/TEX]
Last edited by a moderator:
D
duynhan1
[TEX]P \ge \frac{3}{\sqrt[3]{x^2y^2z^2}} + 3\sqrt[3]{x^4y^4z^4} [/TEX]
[TEX]t = \sqrt[3]{xyz} \le \frac13(x+y+z) =\frac12[/TEX]
[TEX]P \ge \frac{3}{t^2} + 3 t^4 \\ =3(t^4 + 2. \frac{1}{64.t^2}) + \frac{93}{32t^2} \\ \ge \frac{3.3}{4^2} + \frac{93}{32. \frac14} = \frac{195}{16} [/TEX]
G
giaosu_fanting_thientai
Continue..
Cho[TEX] x; y; z \geq 0[/TEX] thỏa mãn [TEX]x+y+z=3[/TEX]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Cho[TEX] x; y; z \geq 0[/TEX] thỏa mãn [TEX]x+y+z=3[/TEX]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
[TEX]P=9xy+10xz+22yz[/TEX]
M
myhien_1710
[TEX]Cho a,b,c >0 .CMR[/TEX]
[TEX]\frac{(a+b+c)^3}{abc}+27\sqrt[3]{\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2} }\geq 54[/TEX]
Bài này rất hay!!!!!
[TEX]\frac{(a+b+c)^3}{abc}+27\sqrt[3]{\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2} }\geq 54[/TEX]
Bài này rất hay!!!!!
N
nguyenxuanhieu_ctk7
Cho 3 số thực dương a,b,c thoả mãn abc+a+c=b
Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
[TEX]P=\frac{2}{{a}^{2}+1}-\frac{2}{{b}^{2}+1}+\frac{3}{{c}^{2}+1}[/TEX]
Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
[TEX]P=\frac{2}{{a}^{2}+1}-\frac{2}{{b}^{2}+1}+\frac{3}{{c}^{2}+1}[/TEX]