[LTDH]Toppic Ôn câu V bài toán tổng hợp

[duynhan1]

Continue..

Cho[TEX] x; y; z \geq 0[/TEX] thỏa mãn [TEX]x+y+z=3[/TEX]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

[TEX]P=9xy+10xz+22yz[/TEX]​

http://onluyentoan.vn/showthread.php?p=2604#post2604

[TEX]Cho a,b,c >0 .CMR[/TEX]
[TEX]\frac{(a+b+c)^3}{abc}+27\sqrt[3]{\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2} }\geq 54[/TEX]

Ta có: [TEX]\frac{(a+b+c)^3}{abc} = (\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} )(a+b+c)^2 \ge \frac{9(a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca))}{ab+bc+ca }[/TEX]
Đặt [TEX]t = \sqrt[3]{\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}} \ (t \ge 1)[/TEX]

 

[giaosu_fanting_thientai]

Continue..

Cho[TEX] x; y; z \geq 0[/TEX] thỏa mãn [TEX]x+y+z=3[/TEX]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

[TEX]P=9xy+10xz+22yz[/TEX]​

[TEX]P= 9xy +10(x+y)z +12yz= -10(x+y)^2+30(x+y-12y^2+36y-3xy)[/TEX]

Xét hàm số [TEX]f(t)=-t^2+3t[/TEX] với [TEX]t \in [0;3][/TEX] . Suy ra

[TEX]P=10 f(x+y) +12f(y)-2xy \leq 22max f(t) [/TEX]

 

[hoangvuhuy]

Cho các số thực [tex]x>0,y>0,z>0[/tex] thoả mãn [tex]xyz+x+z=y[/tex]
Tìm MAX của biểu thức:[tex]S=\frac{2}{1+x^2}-\frac{2}{1+y^2}+\frac{3}{1+z^2}[/tex]

 

[nguyenxuanhieu_ctk7]

Cho các số thực a,b,c thoả mãn ab+bc+ca=1. Tìm min:
[TEX]A=40{a}^{2}+27{b}^{2}+14{c}^{2}[/TEX]

 

[duyphong1994]

gui duynhan

Ta có :
[TEX](a+b+c)(a^2+b^2+c^2) = \sum a^3 + \sum a^2 b + \sum a^2 c (1) [/TEX]

Mà :
[TEX]\left{ a^3 + b^2 a \ge 2 a^2 b \\ b^3 + c^2b \ge 2 b^2 c \\ c^3 + a^2c \ge 2 c^2a [/TEX]

[TEX]\Rightarrow \sum a^3 + \sum a^2 c \ge \sum a^2b (2) [/TEX]

Từ [TEX](1) & (2) \Rightarrow 3(a^2+b^2 + c^2 ) \ge 3\sum a^2b [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sum a^2b \le \sum a^2[/TEX]

[TEX]\Rightarrow A = a^2+b^2+c^2+\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}\\ \ge \sum a^2 + \frac{(a+b+c)^2 - (a^2+b^2+c^2)}{2.(a^2+b^2+c^2)} \\ = \sum a^2 + \frac{9}{2.\sum a^2} - \frac12 [/TEX]

[TEX]t = \sum a^2 \Rightarrow t \ge \frac13 (a+b+c)^2 = 3 [/TEX]

[TEX]A \ge t + \frac{9}{2t} - \frac12 = \frac{t}{2} + \frac{9}{2t} + \frac{t}{2} - \frac12 \ge 2. \frac{3}{2} + \frac{3}{2} - \frac12 = 4 [/TEX]

doan cuoi ko chat che ban oi bang 3 gia tri chua chac da nho nhat

sai roi :-SS:-SS:-SS

Giải xong kiểm tra lại điều kiện dấu "=" là được

 

[myhien_1710]

Bât Đẳng Thức

, Cho ba số a, b,c >=0 và [TEX]a+b+c=1[/TEX].CMR:
[TEX]ab+bc+ca - 2abc \le \ \frac{7}{27} [/TEX]

 

[duynhan1]

, Cho ba số a, b,c >=0 và [TEX]a+b+c=1[/TEX].CMR:
[TEX]ab+bc+ca - 2abc \le \ \frac{7}{27} (1) [/TEX]

Giả sử c min ta có: [TEX]c \le \frac13[/TEX]
[TEX]ab+bc+ca - 2abc = c(a+b) + ab(1-2c) \le c(a+b) + \frac{(a+b)^2}{4} (1-2c) = c(1-c) + \frac{(1-c)^2(1-2c)}{4} = f(c)[/TEX]
Xét hàm [TEX]f(c)[/TEX]với [TEX]0< c \le \frac13[/TEX] là OK.

 

[pe_kho_12412]

đề thi thử:

cho a,b,c là các số dưong thoả mãn abc=1 cmr:

[TEX]\frac{4a^3}{(1+b)(1+c)} + \frac{4b^3}{(1+c)(1+a)} + \frac{4c^3}{(1+a)(1+b)}\geq 3[/TEX]

 

[miko_tinhnghich_dangyeu]

cho a,b,c là các số dưong thoả mãn abc=1 cmr:

[TEX]\frac{4a^3}{(1+b)(1+c)} + \frac{4b^3}{(1+c)(1+a)} + \frac{4c^3}{(1+a)(1+b)}\geq 3[/TEX]

[TEX] \frac{4a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{1+b}{2}+\frac{1+c}{2} \geq 3a[/TEX]

[TEX]\Rightarrow ]\frac{4a^3}{(1+b)(1+c)} + \frac{4b^3}{(1+c)(1+a)} + \frac{4c^3}{(1+a)(1+b)} \geq 2(a+b+c) - 3 \geq 2\sqrt[3]{abc}-3=3[/TEX]

 

[pe_kho_12412]

bài tiếp nha:

cho 3 số thức khong âm a,b,c thoả mãn : [TEX]a^{2009} + b^{2009} + c^{2009=3[/TEX]
tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : [TEX]P = a^4 + b ^4 + c^4[/TEX]

 

[tbinhpro]

bài tiếp nha:

cho 3 số thức khong âm a,b,c thoả mãn : [TEX]a^{2009} + b^{2009} + c^{2009=3[/TEX]
tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : [TEX]P = a^4 + b ^4 + c^4[/TEX]

Dạng này quen thuộc rồi!
Ta có:
[TEX]a^{2009}+a^{2009}+a^{2009}+a^{2009}+1+1+..+1\geq 2009\sqrt[2009]{(a^{2009})^{4}=2009x^4[/TEX]

[TEX]\Rightarrow 4a^{2009}+2005\geq 2009x^4[/TEX]
Tương tự ta có:với b và c.
Do đó ta có:
[TEX]P\leq \frac{1}{2009}.(4.3+3.2005)=3[/TEX](Mình k có máy tính nên không biết đúng không)

Vậy kết luận thôi.

 

[pe_kho_12412]

cho x,y là các số thực thoả mãn đk : [TEX]x^2 + xy + y^2 \leq 3. [/TEX] chứng minh rằng:

 

[miko_tinhnghich_dangyeu]

cho x,y là các số thực thoả mãn đk : [TEX]x^2 + xy + y^2 \leq 3. [/TEX] chứng minh rằng:

Đặt [TEX]A= x^2 + xy + y^2[/TEX] và[TEX] B =x^2-xy-3y^2[/TEX]

Nếu y=0 thì[TEX] B=x^2 \Rightarrow 0 \leq B\leq 3[/TEX]

nếu y khác 0 đặt [TEX]t= \frac{x}{y}[/TEX]

[TEX]B= A.\frac{x^2-xy-3y^2}{ x^2 + xy + y^2}=A.\frac{t^2-t-3}{t^2+t+1}[/TEX]

xét[TEX] m= \frac{t^2-t-3}{t^2+t+1}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow (m-1)t^2+m(t+1)+m+3=0[/TEX]

để pt có nghiệm thì khi và chỉ khi

 

[miko_tinhnghich_dangyeu]

chứng minh rằng [TEX]a^2-b^2+c^2 \geq (a-b+c)^2[/TEX] với [TEX]a \geq b \geq c \geq 0[/TEX]

 

[duynhan1]

chứng minh rằng [TEX]a^2-b^2+c^2 \geq (a-b+c)^2 (1)[/TEX] với [TEX]a \geq b\geq c \geq 0[/TEX]

[TEX](1) \Leftrightarrow b^2 + ac - ab - bc \le 0 \\ \Leftrightarrow (b-a)(b-c) \le 0 (dung)[/TEX]
Không cần điều kiện >=0

 

[pe_kho_12412]

tiếp

cho 4 số dương a,b,c,d thoả mãn : [TEX]a+ b+ c+ d =4 [/TEX] , CMR :


[TEX]\frac{a}{1 + b^2 c } + \frac{b}{1+ c^2 d } + \frac{c}{1 + d^2 a } \frac{d }{1+ a^2b} \geq 2[/TEX]

 

[miko_tinhnghich_dangyeu]

tiếp

cho 4 số dương a,b,c,d thoả mãn : [TEX]a+ b+ c+ d =4 [/TEX] , CMR :


[TEX]\frac{a}{1 + b^2 c } + \frac{b}{1+ c^2 d } + \frac{c}{1 + d^2 a }+ \frac{d }{1+ a^2b} \geq 2[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{a^2}{a + ab^2 c } + \frac{b^2}{b+ bc^2 d } + \frac{c^2}{c + cd^2 a }+ \frac{d^2 }{d+ da^2b} \geq \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c+(ad+bc)(ac+bd)}[/TEX]

Mà [TEX](ad+bc)(ac+bd) \leq \frac{(ad+bc+ac+bd)^2}{4} \leq \frac{[(a+b)(c+d)]^2}{4} \leq \frac{\frac{(a+b+c+d)^4}{4^2}}{4}=4[/TEX]

=> đpcm

p/s : bài này nhớ là còn cách nữa , có ai biết ko

 

[pe_kho_12412]

cho các số [TEX]a, b,c > 0[/TEX] thoả mãn : [TEX]a + b+ c=1[/TEX]

tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

[TEX]\frac{a}{\sqrt{1-a}} + \frac{b}{\sqrt{1-b}} + \frac{c}{\sqrt{1-c}}[/TEX]

 

[duynhan1]

cho các số [TEX]a, b,c > 0[/TEX] thoả mãn : [TEX]a + b+ c=1[/TEX]

tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

[TEX]P = \frac{a}{\sqrt{1-a}} + \frac{b}{\sqrt{1-b}} + \frac{c}{\sqrt{1-c}}[/TEX]

[TEX]P = \sum_{cyc} \frac{a}{\sqrt{b+c}}[/TEX]
Áp dụng BĐT Co-si:
[TEX]\frac{a}{\sqrt{b+c}} + \frac{a}{\sqrt{b+c}} + k a(b+c) \ge 3\sqrt[3]{k} a ....[/TEX]

Bạn tự chọn hệ số k thích hợp nhé

 

[pe_kho_12412]

cho 3 số thực dương a, b,cthoả mãn : [TEX]abc + a + c =b[/TEX]. hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

[TEX]P = \frac{2}{a^2 +1} -\frac{2}{b^2 + 1} + \frac{3}{c^2 +1}[/TEX]