Q
quyenuy0241
mọi người thử sức; cho a,b,c không âm; t/m ; [tex]a+b+c=1 [/tex]
tìm GTLN,GTNN of [tex]S= a^3+b^3+c^3+6abc [/tex]
tìm GTLN,GTNN of [tex]S= a^3+b^3+c^3+6abc [/tex]
H
hoanghondo94
Giả sử [TEX]{\color{Blue} c\geq b\geq a[/TEX]
[TEX]{\color{Blue} \Rightarrow c\geq \frac{1}{3}S={a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3}+6abc\geq ab+{c}^{3}+6abc-\frac{1}{27}=ab(1+6c)+{c}^{3}-\frac{1}{27}[/TEX]
Xét hàm bậc nhất ẩn ab với [TEX]{\color{Blue} ab\epsilon (0;\frac{1}{9})\Rightarrow S\geq \frac{1}{3}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}[/TEX]
Tương tự : [TEX]{\color{Blue} S=c({c}^{2}+6ab)+{a}^{3}+{b}^{3}\leq c(c+\frac{6{(1-c)}^{2}}{4})+{a}^{3}+{b}^{3}[/TEX].
Xét hàm bậc nhất ẩn [TEX]{\color{Blue} {a}^{3}+{b}^{3}[/TEX]
Last edited by a moderator:
Q
quyenuy0241
Giả sử a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác [TEX]{\color{Blue} c\geq b\geq a[/TEX]
[TEX]{\color{Blue} \Rightarrow c\geq \frac{1}{3}S={a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3}+6abc\geq ab+{c}^{3}+6abc-\frac{1}{27}=ab(1+6c)+{c}^{3}-\frac{1}{27}[/TEX]
Xét hàm bậc nhất ẩn ab với [TEX]{\color{Blue} ab\epsilon (0;\frac{1}{9})\Rightarrow S\geq \frac{1}{3}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}[/TEX]
Tương tự : [TEX]{\color{Blue} S=c({c}^{2}+6ab)+{a}^{3}+{b}^{3}\leq c(c+\frac{6{(1-c)}^{2}}{4})+{a}^{3}+{b}^{3}[/TEX].
Xét hàm bậc nhất ẩn [TEX]{\color{Blue} {a}^{3}+{b}^{3}[/TEX]
nhầm rồi nh0k ơi ! [tex]a,b,c[/tex] không âm cơ mà có phải là 3 cạnh tam giác đâu chứ ! hi
Cứ dương là được chứ gì nữa .
Dương khác với không âm chứ nh0k. không âm thì số 0 vẫn được tính. mà sao lại lôi 3 cạnh tam giác ra làm gì . ai cho là 3 cạnh trong 1 tam giác chứ. nhok giải sai lung tung beng hết rồi kìa [tex]@@[/tex] làm lại nhé đề thi thử đại học ý mà .hi
Last edited by a moderator:
H
hoanghondo94
Làm lại :
[TEX] S=1-3(ab+bc+ac)+9abc \\ S=1-3ab(1-3c)-3c(a+b) \\ S=1-3ab(1-3c)-3c(1-c)[/TEX]
Giả sử [TEX]a \ge b \ge c [/TEX] nên [TEX]3c-1 \le 0 [/TEX]
Theo BDT Cauchy ta có:
[TEX]ab \le \frac{(a+b)^2}{4}[/TEX]
[TEX]S \ge 1-3\frac{(1-c)^2}{4}(1-3c)-3c(1-c)[/TEX]
Rồi khảo sát hàm trên với [TEX]0 \le c \le \frac{1}{3} [/TEX]
P/S : Không biết ổn không nữa = ngu BĐT
Last edited by a moderator:
Q
quyenuy0241
H
hoanghondo94
9
94barack94
ê mấy pro giúp tui bài này đi. mai nộp rồi><
giai bpt.....................................
[TEX]9.x^2 + 2.\sqrt{x}>\sqrt{x+1} + 1[/TEX]
giai bpt.....................................
[TEX]9.x^2 + 2.\sqrt{x}>\sqrt{x+1} + 1[/TEX]
Last edited by a moderator:
9
94barack94
ê mấy pro giúp tui bài này đi. mai nộp rồi><
[TEX][/TEX]
hình như bài này áp dụng tính đồng biến nghich biến của hs thì phải!
9.x^2 + 2\sqrt[2]{x} > 1 + \sqrt[2]{x+1}\Leftrightarrow (3x)^2 + \sqrt[2]{x + 3x} > 1 + \sqrt[2]{x+1}
.............
[TEX][/TEX]
hình như bài này áp dụng tính đồng biến nghich biến của hs thì phải!
9.x^2 + 2\sqrt[2]{x} > 1 + \sqrt[2]{x+1}\Leftrightarrow (3x)^2 + \sqrt[2]{x + 3x} > 1 + \sqrt[2]{x+1}
.............
H
huulong_26
Bdt
1.CMR: Với 3 số dương a,b,c bất kì ta luôn có:
[TEX] \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+ \frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+ \frac{c^3}{c^2+ca+a^2} \ge \frac{a+b+c}{3}[/TEX]
2.CMR nếu trong tam giác ABC ta có :
[TEX]a(cot\frac{c}{2}-tanA)=b(tanB-cot\frac{C}{2})[/TEX] thì tam giác tam giác cân.
1.CMR: Với 3 số dương a,b,c bất kì ta luôn có:
[TEX] \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+ \frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+ \frac{c^3}{c^2+ca+a^2} \ge \frac{a+b+c}{3}[/TEX]
2.CMR nếu trong tam giác ABC ta có :
[TEX]a(cot\frac{c}{2}-tanA)=b(tanB-cot\frac{C}{2})[/TEX] thì tam giác tam giác cân.
S
spring_bud1935
Trước tiên, bạn cm bđt sau ( cm bằng cách chuyển sang 1 vế rồi nhóm các số hạng cùng mẫu thức).
[TEX]\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}} + \frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}} + \frac{c^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}= \frac{b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}} + \frac{c^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}} +\frac{a^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}[/TEX]
Do đó BĐT cần cm có thể viết dưới dạng
[TEX]\frac{a^{3}+b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}} + \frac{b^{3}+c^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}+a^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}} \geq \frac{2(a+b+c)}{3}[/TEX] (1)
Có 2 công cụ đắc lực giúp bạn cm BĐT này, bạn có 2 bài toán sau
1. CMR với mọi x, ta có:
[TEX]\frac{1}{3}\leq \frac{x^{2}-x+1}{x^{2}+x+1}\leq 3[/TEX] (*)
Bài này giải bằng pp sử dụng tính chất của hàm số!
Xét hàm số [TEX]y=f(x)=\frac{x^{2}-x+1}{x^{2}+x+1}[/TEX]
Ta có: [TEX]x^{2}+x+1= (x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}\neq 0 \forall x[/TEX]
\Rightarrow hàm số xác định với mọi x.
GỌi D là tập giá trị của hs. Để cm (*), t sẽ cm [TEX]\frac{1}{3}\leq D\leq 3[/TEX]
Thật vậy, nếu y [TEX]\in [/TEX] D thì có số [TEX]x_{0}[/TEX] sao cho [TEX] y=\frac{x_{0}^{2}-x_{0}+1}{x_{0}^{2}+x_{0}+1}[/TEX]
mặt khác:
[TEX] y=\frac{x_{0}^{2}-x_{0}+1}{x_{0}^{2}+x_{0}+1}[/TEX]\Leftrightarrow[TEX]y(x_{0}^{2}+x_{0}+1)=(x_{0}^{2}-x_{0}+1)[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](y-1)x_{0}^{2} + (y-1)x_{0}+ y-1=0[/TEX]
Đẳng thức cuối cho t x0 là 1 nghiệm của pt
[TEX](y-1)x^{2}+(y+1)x+y-1=0[/TEX] (2)
Có 2 khả năng:
(2) là pt bậc nhất \Rightarrowy=1. Lúc này (2) có nghiệm x=0
(2) là pt bậc hai có [TEX]\Delta [/TEX] không âm, hay y khác 1 và
[TEX]\Delta [/TEX]=[TEX](y+1)^{2}-4(y-1)^{2}=(3y-1)(3-y)\geq 0[/TEX] hay [TEX]\frac{1}{3}\leq y\leq 3[/TEX]
...............
2. CMR nếu x và y là 2 số thực sao cho [TEX]x^{2}+y^{2}\neq 1[/TEX] thì
[TEX]\frac{x^{2}-xy+y^{2}}{x^{2}+xy+y^{2}}\geq \frac{1}{3}[/TEX]
Sử dụng kết quả ấy, bạn sẽ dễ dàng cm được (1) từ đó suy ra BĐT cần cm!
Last edited by a moderator:
D
duynhan1
Do vai trò đối xứng nên không mất tính tổng quát, giả sử [tex] a \le b \le c \Rightarrow c \ge \frac13[/tex]
[TEX]S= (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) + 9abc \\ = 1 - 3 (ab + bc + ca) + 9abc \\ = 1- 3c(a+b) + ( 9c - 3) ab \\ \le 1- 3c(1-c) + \frac14( 9c-3)(1-c)^2 \ (\ \text{ Do 9c - 3 } \ge 0 \ )[/TEX]
Khảo sát hàm số với [tex] \frac13 \le c \le 1 [/tex]
Làm max trước
, min em bí
M
myhien_1710
Câu 2: Cho 3 số dương a,b,c thoã mãn [TEX]a^2+b^2+c^2=1[/TEX].CMR:
[TEX]\frac{a^5-2a^3+a}{b^2+c^2}+\frac{b^5-2b^3+b}{c^2+a^2}+\frac{c^5-2c^3+c}{a^2+b^2} \leq \frac{2\sqrt{3}}{3}[/TEX]
[TEX]\frac{a^5-2a^3+a}{b^2+c^2}+\frac{b^5-2b^3+b}{c^2+a^2}+\frac{c^5-2c^3+c}{a^2+b^2} \leq \frac{2\sqrt{3}}{3}[/TEX]
D
duynhan1
BĐT tương đương với:
[tex] a( b^2+c^2 ) + b(c^2+a^2) + c(a^2+b^2) \le \frac{2\sqrt{3}}{3} [/tex]
Mà theo BĐT Bunhiacopxky ta có:
[tex] a.ab + b. bc + c. ca \le \sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)} \le \sqrt{\frac13(a^2+b^2+c^2)^3} = \frac{\sqrt{3}}{3} [/tex]
Tương tự ta có đpcm.
N
nhokpq_ine
Do vai trò đối xứng nên không mất tính tổng quát, giả sử [tex] a \le b \le c \Rightarrow c \ge \frac13[/tex]
[TEX]S= (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) + 9abc \\ = 1 - 3 (ab + bc + ca) + 9abc \\ = 1- 3c(a+b) + ( 9c - 3) ab \\ \le 1- 3c(1-c) + \frac14( 9c-3)(1-c)^2 \ (\ \text{ Do 9c - 3 } \ge 0 \ )[/TEX]
Khảo sát hàm số với [tex] \frac13 \le c \le 1 [/tex]
Làm max trước
Min em có 1 kết quả, nhưng chưa biết hướng làm
([TEX]a^3+b^3+c^3+6abc \geq \frac{(a+b+c)^3}{4}[/TEX]
-Anh khảo sát Max luôn cho em xem với
Last edited by a moderator:
N
nhokpq_ine
Q
quyenuy0241
A làm típ nhé
[tex]P= 1-3(ab+ac)-3bc(1-3a) \le 1 [/tex] do [tex]a \le \frac{1}{3} [/tex]
[tex]P=1-3c(a+b)+3ab(3c-1)=3c^2-3c+1 +3ab(3c-1) \ge \frac{1}{4} [/tex] do [TEX]c \ge \frac13[/TEX]
Q
quyenuy0241
H
htpdhnt
H
htpdhnt
ai có ý tưởng khác họ thì liên lạc cùng mjh njcname:htpdhnt hoac sdt 01662344824 rat vui dc gap các bạn
H
hoanghondo94
[tex]\sqrt{6-x}-\sqrt{3x+1}+3x^2+14x+8=0[/tex] Giải cái này nhé các bạn
Lướt qua lại tưởng đề khối B năm 2010 , đại k biến đổi nó một chút ...nhưng mà đã biến đổi thì phải để nghiệm của nó đẹp tí chứ ạ , bài này nhóm mãi mà không được....
Tạm thời
Điều kiện : [TEX] -\frac{1}{3} \leq {x } \leq 6 [/TEX]
Đặt [TEX]\sqrt{6-x}=a ;\ \sqrt{3x+1}=b [/TEX]
[TEX]\{a-b=a^2b^2+31a-172 \\ 3a^2+b^2=19[/TEX]
Điều kiện : [TEX] -\frac{1}{3} \leq {x } \leq 6 [/TEX]
Đặt [TEX]\sqrt{6-x}=a ;\ \sqrt{3x+1}=b [/TEX]
[TEX]\{a-b=a^2b^2+31a-172 \\ 3a^2+b^2=19[/TEX]
Còn ..cái hệ này giải kiểu gì thì....................................