Kể chuyện về các nhà toán học

[chienhopnguyen]

các câu chuyện trên còn thiếu nên minhg bổ sung thêm:
Ngô Bảo Châu:
Lịch sử toán học Việt Nam hiện đại nổi lên hai ngôi sao sáng, làm rạng rỡ cho nền toán học nước nhà. GS Ngô Việt Trung, Viện trưởng Viện toán học Việt Nam từng nhận xét: “Hoàng Tuỵ và Ngô Bảo Châu là hai ngôi sao sáng của toán học Việt Nam đương đại”.
Niềm tin và sự say mê
"Nếu có một điều tâm sự với các bạn trẻ hơn tôi ở nước ta, thì tôi chỉ xin nhắn các bạn: Khoa học không phải là con đường dễ dàng và dễ giàu. Đó là con đường chông gai, cho nên cần có đủ niềm tin và sự say mê khi lựa chọn con đường ấy. Đổi lại, phần thưởng sẽ là những cảm xúc, những chân lý mà bạn sẽ khó đến gần nếu chọn một con đường khác".
Tôi muốn dẫn lời nhắn đó của anh Ngô Bảo Châu dành cho các bạn trẻ hơn anh, khi anh nhận được tin Nhà nước ta đặc cách công nhận anh là giáo sư kiêm chức tại Viện Toán học (thuộc Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam) vào một ngày cuối năm 2005, khi anh mới 33 tuổi. Đúng là phải có đủ niềm tin và sự say mê đến vô tận nếu quyết định dấn thân vào "con đường chông gai" của toán học.
Học hết chương trình tiểu học, Châu quyết định thi vào lớp chuyên toán của Trường cấp II Trưng Vương, Hà Nội. Châu được cha mẹ khuyến khích. Cha anh là GS, TSKH Ngô Huy Cẩn; mẹ là PGS, TS Trần Lưu Vân Hiền. Một kỳ thi tuyển không dễ chút nào! Năm đầu dự thi, Châu... trượt! Không nản, năm sau lại dự thi, và đỗ.
Xong cấp II (Trung học cơ sở), Châu thi vào Khối THPT chuyên toán - tin Trường Đại học Khoa học Tự nhiên (thuộc Đại học Quốc gia Hà Nội). Kỳ thi càng ngặt nghèo hơn, bởi lẽ, ngoài học sinh giỏi ở Thủ đô, còn có học sinh giỏi các tỉnh, thành phố khác dự thi.
Môn học khó nhất là học làm người
Nếu thiếu sự bồi dưỡng với chất lượng rất cao ở các lớp chuyên toán cấp II, rồi cấp III thì, dù năng khiếu có vượt trội đến đâu, Châu cũng không thể 2 năm liền giành 2 Huy chương Vàng Olympic Toán quốc tế (IMO). Năm 1988, đang học lớp 11, anh đoạt Huy chương Vàng IMO với số điểm tuyệt đối 42/42 ở Canberra (Australia). Năm sau, 1989, lên lớp 12, anh lại giành Huy chương Vàng IMO ở Braunchweig (tiếng Anh là Brunswick, CHLB Đức). Là học sinh Việt Nam đầu tiên giành 2 Huy chương Vàng IMO, nên khi về nước, anh được Chủ tịch Hội đồng Bộ trưởng Đỗ Mười tiếp tại Phủ Chủ tịch.
Có nền tảng kiến thức toàn diện, vững chắc từ thời trung học thì, về sau, mới đủ sức tiến xa trên đường đời. Ghi nhớ điều ấy, anh luôn bày tỏ lòng biết ơn đối với những thầy giáo dạy toán ở cấp II và cấp III như Phạm Ngọc Hùng, Tôn Thân, Lê Tuấn Hoa, Vũ Đình Hoà... những người đã truyền cho anh không chỉ tri thức mà còn niềm say mê vô tận với toán học. Anh cũng cảm ơn những cô giáo dạy Văn như Trịnh Bích Ba, Đặng Thanh Hoa..., những người đã qua môn Văn dạy anh "môn học khó nhất là môn học làm người"!
Từ vườn ươm tài năng khoa học
Khối THPT chuyên toán - tin Trường Đại học Khoa học Tự nhiên quả là một "vườn ươm tài năng khoa học". Tại Đại hội Thi đua yêu nước lần thứ VII, tháng 10/2005, khối này đã được Nhà nước phong tặng Huân chương Độc lập và danh hiệu Anh hùng Lao động thời kỳ đổi mới.
Từ năm 1974 (năm đầu tiên nước ta dự thi Toán quốc tế) đến năm 2005 (22 năm), các học sinh trong khối giành 59 huy chương, trong đó có 20 Huy chương Vàng. Dự thi toán quốc tế 2 năm liền (khi học lớp 11 và lớp 12), 4 học sinh trong khối đã giành mỗi người 2 Huy chương Vàng: Ngô Bảo Châu, Đào Hải Long, Ngô Đắc Tuấn và Lê Hùng Việt Bảo.
Từ năm 1989 (năm đầu tiên nước ta dự thi Tin học quốc tế) đến năm 2005, các học sinh trong khối đoạt 26 huy chương. Riêng Nguyễn Ngọc Huy 2 năm liền giành 2 Huy chương Vàng Tin học quốc tế.
400 học sinh cũ của khối đã trở thành tiến sĩ. 30 người khác đạt học vị cao hơn: Tiến sĩ khoa học.
Ngoài Ngô Bảo Châu, một số "cựu học sinh chuyên toán Tổng hợp" khác cũng đã trở thành giáo sư như: Vũ Kim Tuấn (Đại học Kuwait, gần đây chuyển sang Mỹ), Nguyễn Hồng Thái (Đại học Szczecin, Ba Lan), Phạm Hữu Tiệp (Đại học Florida, Mỹ), Lê Tự Quốc Thắng (Viện Công nghệ Georgia, Mỹ), Đàm Thanh Sơn (Đại học Washington, Mỹ), Nguyễn Tiến Dũng (Đại họcoulouse, Pháp), Đinh Tiến Cường (Đại học Paris 6, Pháp), Nguyễn Đông Anh (Viện Cơ học, Việt Nam), Hoàng Ngọc Hà (Đại học Mỏ - Địa chất, Việt Nam), v.v.
Không ngừng vươn tới những đỉnh cao
Vào năm 18 tuổi, Ngô Bảo Châu được Chính phủ Pháp cấp học bổng để theo học Đại học Paris 6. Nói chung, đối với sinh viên Pháp, được học Đại học Paris 6 đã là một sự mãn nguyện lắm rồi. Nhưng với Ngô Bảo Châu thì... không! Hai năm sau, anh quyết định thi vào hệ đào tạo tiến sĩ của Đại học Sư phạm Paris, trường đại học danh tiếng nhất nước Pháp, nơi đã từng đào tạo biết bao nhà khoa học lừng danh, trong đó có vài ba người Việt Nam như Hoàng Xuân Hãn, Lê Văn Thiêm, Trần Đức Thảo... Ít ai ngờ Châu đậu thủ khoa, mặc dù do thiếu thời gian ôn luyện, về môn tiếng Anh, Châu chỉ được... 2/20 điểm!
Năm 25 tuổi, Châu bảo vệ luận án tiến sĩ về Bổ đề cơ bản của Jacquet; sau đó, làm việc trên một số bài toán khác, và bảo vệ luận án habilitation (tương đương Tiến sĩ khoa học) năm 31 tuổi.
Theo lời khuyên của một nhà toán học lớn, anh quay sang nghiên cứu Bổ đề cơ bản của Langlands, gần với Bổ đề cơ bản của Jacquet. Sau hai năm, trong những ngày về nghỉ hè tại Hà Nội, anh đạt được một bước tiến rõ rệt. Những tháng tiếp theo, kết hợp với một số kết quả mà Gérard Laumon đã thu được trước đó, hai người chứng minh thành công Bổ đề cơ bản của Langlands. Đây là trở ngại chính trong việc thực hiện Chương trình Langlands nhằm mục tiêu tầm xa là thống nhất lý thuyết số, hình học đại số và lý thuyết biểu diễn, do nhà toán học Robert Langlands ở Đại học Princeton (Mỹ) đề xướng từ thập niên 60 của thế kỷ 20.
Thành công đó lập tức gây tiếng vang lớn. GS Ngô Việt Trung (Viện trưởng Viện Toán học Việt Nam, Viện sĩ Viện Hàn Lâm Khoa học Thế giới thứ ba) ví công trình ấy như "một quả bom tấn" trong toán học đương đại.

Ngày 5/11/2005, tại Cambridge, bang Massachusetts (Mỹ), Viện Toán học Clay trao tặng Gérard Lau mon và Ngô Bảo Châu về "Công trình toán học đặc biệt xuất sắc" trên thế giới năm 2004. Chính Andrew Wiles - người đã giải quyết được Bài toán lớn Fermat tồn tại từ thế kỷ 17 đến cuối thế kỷ 20 - cùng nhiều nhà toán học được tặng Huy chương Fields (vinh dự về toán học tương đương Giải thưởng Nobel ở các ngành khoa học khác) đã tiến cử Ngô Bảo Châu và Gérard Laumon nhận Giải thưởng Nghiên cứu Clay.


Ngày 6/11/2004, tại Boston, thủ phủ bang Massachusetts (Mỹ), GS Ngô Bảo Châu cùng GS người Pháp Gérard Laumon nhận giải thưởng của Viện Toán học Clay
Chỉ mấy tháng sau thành công ấy, GS Gérard Laumon được bầu làm Viện sĩ Viện Hàn lâm Khoa học Pháp.
Đầu năm 2008, GS Ngô Bảo Châu một lần nữa làm giới toán học thế giới xôn xao khi anh giải quyết được trọn vẹn Bổ đề cơ bản. Kết quả mới này, theo đánh giá của nhiều chuyên gia, không kém phần đặc sắc so với công trình được tặng Giải thưởng Clay năm 2005. Do vậy, sau Giải thưởng Clay của Mỹ, anh còn được nhận thêm 2 giải thưởng toán học khác, của Đức và Pháp.
Viện Nghiên cứu cấp cao Princeton liền "rước" anh sang Mỹ. Đây là Viện tập hợp nhiều nhà bác học hàng đầu thế giới. Chính Albert Einstein, nhà vật lý vĩ đại nhất thế kỷ 20, đã từng làm việc tại đây. Hết sức bận rộn, thế mà hằng năm anh vẫn "dứt ra" vài ba tháng để về nước, giúp đỡ các tài năng trẻ.
Chính vì vậy, GS Ngô Việt Trung, đánh giá GS Hoàng Tuỵ (sinh năm 1927) và GS Ngô Báo Châu (sinh năm 1972) là "hai ngôi sao sáng của toán học Việt Nam đương đại".

 

[fullmoon.207]

nhiều quá @@...............................................

 

[chienhopnguyen]

(HNM) - Ngày 19-2, Trường ĐH KHXH&NV (ĐHQG HN) và Tập đoàn Dầu khí Việt Nam đã tổ chức hội thảo khoa học: Hoàng Xuân Hãn - con người và sự nghiệp. Các tham luận trong hội thảo đã nêu bật những đóng góp của GS Hoàng Xuân Hãn trong nghiên cứu về lịch sử, văn hóa, văn học Việt Nam, bên cạnh những câu chuyện sinh động về cuộc đời và tấm gương nghiên cứu khoa học của ông.

Hoàng Xuân Hãn (1908-1996), sinh tại Hà Tĩnh, là một nhà bác học trên nhiều lĩnh vực của khoa học tự nhiên, khoa học kỹ thuật và khoa học xã hội - nhân văn. Ông từng dạy học, ra "Tạp chí khoa học" để truyền bá kiến thức, soạn "Danh từ khoa học" để xây dựng hệ thống thuật ngữ bằng tiếng Việt... Tháng 4-1945, ông tham gia Chính phủ Trần Trọng Kim với chức Bộ trưởng Bộ Giáo dục - Mỹ thuật. Sau cách mạng Tháng Tám, ông được cử làm Chủ tịch Tiểu ban Chính trị của phái đoàn Việt Nam Dân chủ cộng hòa tại Hội nghị Đà Lạt tháng 4-1946. Sau khi định cư tại Pháp vào năm 1951, ông sáng lập Hội Văn hóa giáo dục Cam Tuyền để truyền bá và bảo lưu những giá trị văn hóa Việt Nam truyền thống. Ông được Nhà nước Việt Nam truy tặng Giải thưởng Hồ Chí Minh về khoa học xã hội và nhân văn năm 2000.

Những tác phẩm chính của ông là: Danh từ khoa học, Đại Nam quốc sử diễn ca, Lý Thường Kiệt, Hà thành thất thủ, La Sơn phu tử, Bích Câu kỳ ngộ, Một vài ký vãng về Hội nghị Đà Lạt, Lịch Pháp và lịch Việt Nam...

 

[chienhopnguyen]

Diophantus có đóng góp to lớn trong sự phát triển của đại số học và cũng có rất nhiều ảnh hưởng đến các lý thuyết số sau này của châu Âu .Người ta biết rất ít về ông, ngoài sự kiện là ông đã thành đạt ở Alexandria.
Diophantus viết ba công trình : "Arithmetica",đó là công trình quan trọng nhất của ông và hiện còn giữ 6 trong 13 quyển , "Về các số đa giác "chỉ còn giữ lại được một vài đoạn, và "Porisms" đã bị thất lạc .
"Arithmetica " là một luận văn phân tích về lý thuyết đại số về số và cho thấy tác giả là một thiên tài trong lĩnh vực này .
Diophantus đã đưa ra số âm và ký hiệu chữ. Ông đã đặt ra và giải nhiều bài toán dẫn đến các phương trình xác định và bất định. Công trình của ông về lý thuyết số đã đặt cơ sở cho những nghiên cứu sau này của Fermat và Euler. Các phương trình Diophantus là các phương trình đại số với hệ số hữu tỉ, có nghiệm dưới dạng số nguyên và số hữu tỉ. Giải tích Diophantus ( hay hình học Diophantus ) là lĩnh vực toán học nghiên cứu phương trình Diophantus dựa trên phương pháp hình học đại số. Phép tính Diophantus là một ngành lý thuyết số trong đó nghiên cứu sự gần bằng không các giá trị hàm số từ các đối số.
Nhà toán học Diophante đã được cả thế giới biết đến với nhiều công trình nghiên cứu nổi tiếng và đặc biệt là phương trình mang tên ông
Sau khi Diophante chết ,Trên mộ ông, người ta khắc một tấm bia đá ghi tóm tắt cuộc đời ông như sau:
" Hỡi người qua đường nơi đây là nhà toán học Diophante yên nghỉ . Những con số sau cho biết cuộc đời ông:
- một phần sáu cuộc đời là niên thiếu .
-một phần 12 nữa trôi qua, râu trên cằm đã mọc.
-Diophante lấy vợ , một phần bẩy cuộc đời trong cảnh hiếm hoi.
-năm năm trôi qua: ông sung sướng sinh con trai đầu lòng
-nhưng cậu con trai chỉ sống được nủa cuộc đời của cha .
- cuối cùng với nỗi buồn thương sâu sắc , ông cam chịu số phận sống thêm 4 năm nữa sau khi con ông qua đời".
Diophante thọ bao nhiêu tuổi ?

 

[chienhopnguyen]

Pierre de Fermat (20 tháng 8, 1601 tại Pháp – 1665) là một học giả nghiệp dư vĩ đại, một nhà toán học nổi tiếng và cha đẻ của lý thuyết số hiện đại. Xuất thân từ một gia đình khá giả, ông học ở Toulouse và lấy bằng cử nhân luật dân sự rồi làm chánh án. Chỉ trừ gia đình và bạn bè tâm giao, chẳng ai biết ông vô cùng say mê toán. Mãi sau khi Pierre de Fermat mất, người con trai mới in dần các công trình của cha kể từ năm 1670. Năm 1896, hầu hết các tác phẩm của Fermat được ấn hành thành 4 tập dày. Qua đó, người đời vô cùng ngạc nhiên và khâm phục trước sức đóng góp dồi dào của ông. Chính ông là người sáng lập lý thuyết số hiện đại, trong đó có 2 định lý nổi bật: định lý nhỏ Fermat và định lý lớn Fermat (định lý cuối cùng của Fermat).
Trong hình học, ông phát triển phương pháp tọa độ, lập phương trình đường thẳng và các đường cong bậc hai rồi chứng minh rằng các đường cong nọ chính là các thiết diện cônic. Trong giải tích, ông nêu các quy tắc lấy đạo hàm của hàm mũ với số mũ tỷ bất kỳ, tìm cực trị, tính tích phân những hàm mũ với số mũ phân số và số mũ âm. Nguyên lý Fermat về truyền sáng lại là một định luật quan trọng của quang học.
Dù hoạt động khoa học kiên trì và giàu nhiệt huyết, đem lại nhiều thành quả to lớn như vậy, nhưng éo le thay, Pierre de Fermat bình sinh chẳng thể lấy việc nghiên cứu toán làm nghề chính thức.

 

[chienhopnguyen]

Nijni Novgorod 1792 - Kazan 1856
Nhà Toán học Nga này mồ côi cha khi mới lên 5 tuổi. Mẹ ông đưa cả 3 con trai về Kazan. Kinh tế gia đình lúc ấy thật khó khăn nhưng bà quyết tần tảo nuôi con ăn học. Từ năm 1807 đến năm 1811 Nicolai học Toán ở Đại học Kazan. Thời ấy ở Đại học Kazan có một Giáo sư Toán nổi tiếng tên là Martin BARTELS. Giáo sư BARTELS nguyên là thầy học của GAUSS lúc Giáo sư còn dạy ở Gottingen. Về sau, Giáo sư rời Gottingen và sang dạy ở Kazan. Năm 23 tuổi, LOBATCHEVSKI được bổ nhiệm làm Giáo sư cũng ở Đại học Kazan và suốt đời ông cũng chỉ công tác ở đó. 4 năm sau, ông được bầu vào Viện Hàn lâm Khoa học Kazan. Tuy vậy, ông làm bất cứ việc gì trong trường khi cần thiết, không nề hà: từ Viện trưởng Đại học cho đến nhân viên thư viện, nhân viên phòng thí nghiệm, thậm chí đến cả việc của người dọn vệ sinh trong trường Đại học Kazan nữa. Ông được GAUSS mời làm Viện sĩ nước ngoài của Viện Hàn lâm Khoa học Gottingen. Năm 1837, LOBATCHEVSKI được Nga hoàng phong tước Quý tộc để tưởng lệ công lao của ông ở Đại học Kazan, nhưng thật oái ăm , ông lại bị chính quyền địa phương ghét bỏ, vì vậy ông sớm phải từ chức. Điều đó không mấy không mấy quan trọng đối với ông vì lúc này sức khỏe của ông suy giảm dần do làm việc quá sức, không những do công tác nghiên cứu Toán học mà lại còn do việc quán xuyến gia đình. Ngoài công viẹc ở trường Đại học, về nhà là ông lao vào công việc bếp núc, lo bữa ăn cho gia đình, chăm sóc con cái vì vợ ông thật đoảng không biết làm gì.
Sở dĩ tên tuổi của LOBATCHEVSKI được lưu danh hậu thế là vì ông là người dũng cảm kiên trì chân lý Toán học đến cùng mặc cho bao nhà Toán học nói ra nói vào, nhưng cuối cùng vinh quang thuộc về ông: Hình học mới của ông được công nhận hoàn toàn. Trở ngại lớn nhất trong quá trình sáng tạo phát minh của ông là ông đã đua ra một Hình học mới thời bấy giờ chưa ai hình dung nỗi vì chưa ai thấy mối liên quan giữa nó với thực tế cả (Hơn 50 năm sau ngày ông mất, các nhà bác học thế giới mới bắt đầu thấy ứng dụng của Hình học mới của ông trong nghiên cứu không gian, vũ trụ). Trong công trình của ông Les foundations de la Géométrie (Những cơ sở của Hình học) công bố năm 1829 ông đã phát triển môn Hình học mà ngày nay giới Toán học gọi là Hình học hyperbolique: Qua một điểm ngoài một đường thẳng có vô số đường thẳng song song với đường thẳng đó. Giới Toán học châu Âu cho rằng ý tưởng đó bắt nguồn từ GAUSS cùng cộng tác viên và do Giáo sư BARTELS truyền lại cho LOBATCHEVSKI khi Giáo sư dạy tại Kazan. Trong tác phẩm Những cơ sở của Hình học, LOBATCHEVSKI đã nêu lên những kết quả mới do ông tìm ra về những mối liên quan giữa diện tích tam giác và tổng các góc trong của nó, ông cũng đưa ra cách tính diện tích và chu vi của hình tròn, diện tích một đa giác. Nhưng có điều gây thắc mắc chính là ở chỗ các kết quả do ông tìm ra xuất phát từ phủ định Tiên đề 5 của EUCLIDE khác với những kết quả mà người ta đã biết từ hàng ngàn năm nay. Vậy ý kiến của một số nhà Toán học châu Âu cho rằng ý tưởng của LOBATCHEVSKI bắt nguồn từ sự truyền đạt lại ý tưởng của GAUSS qua trung gian là Giáo sư BARTELS là đúng hay sai ? Có điều là nếu đúng thì tại sao khi GAUSS tiếp cận với công trình của LOBATCHEVSKI, GAUSS không phát biểu ủng hộ và cũng không chống đối nên cuối cùng ông gọi nó là Hình học ảo. Mãi đến năm 1868 (12 năm sau ngày LOBATCHEVSKI mất) Giáo sư BELTRAMI người Ý trong công trình nghiên cứu một mô hình Hình học Phi EUCLIDE hyperbolique trong khuôn khổ EUCLIDE đã chứng minh được tính độc lập của Tiên đề 5 EUCLIDE, chấm dứt hoàn toàn mối băn khoăn và tranh cãi của các nhà Toán học của nhân loại từ 2200 năm qua và do đó trả lại công bằng cho LOBATCHEVSKI, đánh giá rất cao Hình học mới cùng Tiên đề nổi tiếng của LOBATCHEVSKI và kết thúc mối hoài nghi có tính lịch sử nói trên. Cuối cùng ông bị mù vĩnh viễn, phải đọc cho người khác chép hộ quyển Pangéométrie, kết quả công trình nghiên cứu của ông để lại cho nhân loại, nổi tiếng trong Lịch sử Hình học thế giới.
Một số nhà Toán học Pháp đã nói đại ý như sau: "Tuy LOBATCHEVSKI chưa được liệt vào danh sách những nhà Toán học vĩ đại nhất của nhân loại nhưng những bước ông đã dũng cảm trải qua rất là cơ bản để giúp cho nhân loại hiểu THẾ NÀO LÀ CƠ SỞ CỦA TOÁN HỌC"

 

[chienhopnguyen]

Cyrène 276 trước CN - Alexandrie 194 trước CN
Nhà khoa học bách khoa cổ Hy Lạp, là người gốc ở Cyrene trên vùng bờ biển phía nam Địa Trung Hải và bạn đồng nghiệp trẻ của Archimedes ( chỉ kém Archimedes vài tuổi). Lúc trẻ tuổi ông sống nhiều năm ở Athens và đến năm 40 tuổi thì ông được Ptolemy III của Ai Cập mời đến Alexandria làm gia sư cho con trai và giữ chức trưởng thư viện ở trường đại học Alexandria. Khi về già bị viêm mắt nặng hầu như không thấy gì cả và ông tự nhịn đói cho tới chết.
Eratosthenes nghiên cứu nhiều lĩnh vực như triết học, thơ ca nhưng tập trung vào thiên văn học, vật lý học, địa lý và toán học. Ông là người đầu tiên chia trái đất thành các đới khác nhau và tính toán chu vi của nó. Eratosthenes sáng lập ra môn niên đại học, tức cách xác định chính xác ngày tháng của các sự kiện lịch sử . Trong lĩnh vực toán học ông nghiên cứu lý thuyết số , bài toán cầu phương đường tròn , chia ba một góc, và chia đôi hình lập phương. Eratosthenes đã đưa ra phương pháp tìm các số nguyên tố gọi là " sàng Eratosthenes".

 

[chienhopnguyen]

Pythagoras ( Pitago) sinh vào khoảng năm 572 trước công nguyên, trên hòn đảo Aege cuả Samos. Pythagoras sinh sau Thales khoảng 50 năm và đã học hỏi nhiều điều từ Thales. Có khoảng thời gian ông sống ở Ai Cập, sau này ông định cư ở miền nam nước Ý và chính tại nơi đây ông đã lập nên trường phái Pythagoras nổi tiếng và cũng trở thành một viện nghiên cứu triết học, toán học và khoa học tự nhiên rồi phát triển thành một hội nghiên cứu với những tôn chỉ bí mật. Do ảnh hưởng và khuynh hướng quí tộc của hội quá lớn nên các lực lượng dân chủ ở miền nam nước Ý đã phá huỷ toà nhà của học viện và bắt phải giải tán. Người ta nói rằng Pythagoras đã trốn về Metapontum và chết ( có thể bị giết ) vào khoảng 75 đến 80 tuổi. Mặc dù bị tan rã song hội nghiên cứu này vẫn tiếp tục tồn tại hơn hai thế kỷ nữa .
Pythagoras và số .
Con người đã làm quen với các sô tự nhiên , phân số và số hữu tỉ rất sớm và rất lâu dài. Riêng đối với số vô tỉ, Pythagoras đã phát hiện ra sự tồn tại của nó khi nghiên cứu đường chéo của hình vuông cạnh là một đơn vị. Họ phát hiện rằng đường chéo này không thể biểu thị bằng số tự nhiên hay hữu tỉ.
Việc khám phá ra tính vô tỉ của số đã gây kinh hoàng trong hàng ngũ các môn sinh Pythagoras. Không những nó đảo lộn giả định cho rằng mọi thứ đều phụ thuộc các số nguyên mà còn làm cho một số lý thuyết tổng quát của họ trở nên vô giá trị. Vì vậy, mọi môn đồ Pythagoras phải giữ kín nó , và có lưu truyền rằng một môn sinh của Pythagoras tên là Hippasus ( hoặc một người nào đó) đã để lộ bí mật này ra ngoài đã bị giết ngoài biển, hoặc ( theo một nguồn thông tin khác ) đã bị đuổi khỏi trường phái Pythagoras .
Đã có lúc được coi là số vô tỉ duy nhất. Về sau này, theo Plate thì Theodorus ở Cyrene ( khoảng 425 trước công nguyên ) đã chỉ ra rằng cũng đều là các số vô tỉ .
Trường phái Pythagoras có những quan niệm thần bí về số và họ tôn thờ những chữ số và số. Trước khi vào nghe giảng bài, môn đồ của Pythagoras đã đọc những câu kinh như sau :" Hãy ban ơn cho chúng tôi, hỡi những con số thần linh".
Trường phái Pythagoras cho rằng :
Số 1 biểu thị lẽ phải,
Số lẻ là số nam, số chẵn là số nữ,
Số 5 biểu thị hạnh phúc gia đình vì là tổng của số nam và số nữ đầu tiên,
Số 7 biểu thị sức khoẻ,
Số 13 được coi là điềm xấu,
Trường phái đưa ra nhiều loại số khác nhau :
- Số hoàn chỉnh : là số mà bằng tổng các ước số thật sự của nó. Chẳng hạn, 6 (6=1+2+3), 28, 496, 8128 là những số hoàn chỉnh và cũng nêu lên qui tắc tổng quát để tìm các số loại này mà việc chứng minh đã có từ thời Euclid .
Nếu tổng 1+2+22 +...+2n = p là số nguyên tố thì 2np là số hoàn chỉnh. Chẳng hạn 1+2+4 = 7 là số nguyên tố thì 4.7 = 28 là số hoàn chỉnh.
- Số bạn bè : hai số được gọi là số bạn bè khi mỗi số là tổng các ước số của số kia. Thí dụ, 220 và 284 là hai số bạn bè .
Định lý Pythagoras và các bộ số Pythagoras .
Định lý về hệ thức liên hệ giữa ba cạnh của một tam giác vuông: bình phương của cạnh huyền của một tam giác vuông bằng tổng bình phương của hai cạnh là một khám phá độc lập mà xưa nay người ta vẫn nhất trí xem là của Pythagoras và cho nó mang tên của ông. Định lý này đã được người Babylon biết trước đó hơn một năm, nhưng có thể chứng minh tổng quát đầu tiên cho định lý này là do Pythagoras thực hiện. Kể từ thời Pythagoras đã có nhiều cách chứng minh khác nhau về định lý Pythagoras. Trong lần xuất bản lần thứ hai cuốn sách "Mệnh đề Pythagoras" của mình, E.S. Loomis đã thu thập và phân loại 370 cách chứng minh cho định lý nổi tiếng đó.
Có liên hệ mật thiết với định lý Pythagoras là bài toán tìm các số nguyên dương để chúng có thể là độ dài của ba cạnh của một tam giác vuông. Bộ ba các loại số này được gọi là bộ ba Pythagoras, người Babilon cổ đại đã biết cách tính các bộ ba đó .Trường phái Pythagoras đã được công nhận là đã đưa ra công thức :, với m là số lẻ thì ba số hạng trên của công thức trên cho ta một bộ số Pythagoras. Một công thức tương tự: (2m)2 + (m2-1)2=(m2+1)2 trong đó m có thể là chẵn hay lẻ cũng được đưa ra với cùng mục đích trên và được coi là của Plato ( khoảng 380 trước công nguyên). Chú ý rằng không có công thức nào trong hai công thức trên cho ra tất cả các bộ số Pythagoras .
Hình học
Pythagoras đã đưa ra cách dựng ba khối đa diện đều: lập phương, tứ diện đều, và thập nhị diện đều. Các mặt của khối thập nhị diện đều là hình ngũ giác đều. Các đường chéo của hình ngũ giác đều tạo nên hình ngũ giác sao. Hình này là biểu tượng của sức khoẻ và cũng là dấu hiệu nhận biết của trường phái Pythagoras.
Pythagoras đã có một số kết quả khác như: định lý tổng các góc trong của một tam giác, bài toán về chia mặt phẳng thành những đa giác đều ( tam giác đều, hình vuông, lục giác đều). Ông đã nêu lên phương pháp cơ bản kết hợp hình học và số học, chẳng hạn giải phương trình bậc hai, chứng minh bằng hình học rằng tổng các số lẻ liên tiếp bắt đầu từ đơn vị là một số chính phương và mỗi số lẻ là hiệu các bình phương của hai số tự nhiên liên tiếp ( 22-12=3,32-22=5,..).
Pythagoras quan tâm đến cả hình đồng dạng vì ông đã giải bài toán :" Cho trước hai hình hãy dựng hình thứ ba tương đương với một trong hai hình và đồng dạng với hình thứ ba".
Ngoài ra, trường phái Pythagoras đã khám phá ra sự phụ thuộc của chất lượng âm thanh vào chiều dài của dây dẫn. Pythagoras cũng đưa ra giả thuyết về dạng cầu của trái đất và cho rằng sao Mai và sao Hôm là cùng một ngôi sao ( sao Kim ).

 

[chienhopnguyen]

Pythagoras ( Pitago) sinh vào khoảng năm 572 trước công nguyên, trên hòn đảo Aege cuả Samos. Pythagoras sinh sau Thales khoảng 50 năm và đã học hỏi nhiều điều từ Thales. Có khoảng thời gian ông sống ở Ai Cập, sau này ông định cư ở miền nam nước Ý và chính tại nơi đây ông đã lập nên trường phái Pythagoras nổi tiếng và cũng trở thành một viện nghiên cứu triết học, toán học và khoa học tự nhiên rồi phát triển thành một hội nghiên cứu với những tôn chỉ bí mật. Do ảnh hưởng và khuynh hướng quí tộc của hội quá lớn nên các lực lượng dân chủ ở miền nam nước Ý đã phá huỷ toà nhà của học viện và bắt phải giải tán. Người ta nói rằng Pythagoras đã trốn về Metapontum và chết ( có thể bị giết ) vào khoảng 75 đến 80 tuổi. Mặc dù bị tan rã song hội nghiên cứu này vẫn tiếp tục tồn tại hơn hai thế kỷ nữa .
Pythagoras và số .
Con người đã làm quen với các sô tự nhiên , phân số và số hữu tỉ rất sớm và rất lâu dài. Riêng đối với số vô tỉ, Pythagoras đã phát hiện ra sự tồn tại của nó khi nghiên cứu đường chéo của hình vuông cạnh là một đơn vị. Họ phát hiện rằng đường chéo này không thể biểu thị bằng số tự nhiên hay hữu tỉ.
Việc khám phá ra tính vô tỉ của số đã gây kinh hoàng trong hàng ngũ các môn sinh Pythagoras. Không những nó đảo lộn giả định cho rằng mọi thứ đều phụ thuộc các số nguyên mà còn làm cho một số lý thuyết tổng quát của họ trở nên vô giá trị. Vì vậy, mọi môn đồ Pythagoras phải giữ kín nó , và có lưu truyền rằng một môn sinh của Pythagoras tên là Hippasus ( hoặc một người nào đó) đã để lộ bí mật này ra ngoài đã bị giết ngoài biển, hoặc ( theo một nguồn thông tin khác ) đã bị đuổi khỏi trường phái Pythagoras .
Đã có lúc được coi là số vô tỉ duy nhất. Về sau này, theo Plate thì Theodorus ở Cyrene ( khoảng 425 trước công nguyên ) đã chỉ ra rằng cũng đều là các số vô tỉ .
Trường phái Pythagoras có những quan niệm thần bí về số và họ tôn thờ những chữ số và số. Trước khi vào nghe giảng bài, môn đồ của Pythagoras đã đọc những câu kinh như sau :" Hãy ban ơn cho chúng tôi, hỡi những con số thần linh".
Trường phái Pythagoras cho rằng :
Số 1 biểu thị lẽ phải,
Số lẻ là số nam, số chẵn là số nữ,
Số 5 biểu thị hạnh phúc gia đình vì là tổng của số nam và số nữ đầu tiên,
Số 7 biểu thị sức khoẻ,
Số 13 được coi là điềm xấu,
Trường phái đưa ra nhiều loại số khác nhau :
- Số hoàn chỉnh : là số mà bằng tổng các ước số thật sự của nó. Chẳng hạn, 6 (6=1+2+3), 28, 496, 8128 là những số hoàn chỉnh và cũng nêu lên qui tắc tổng quát để tìm các số loại này mà việc chứng minh đã có từ thời Euclid .
Nếu tổng 1+2+22 +...+2n = p là số nguyên tố thì 2np là số hoàn chỉnh. Chẳng hạn 1+2+4 = 7 là số nguyên tố thì 4.7 = 28 là số hoàn chỉnh.
- Số bạn bè : hai số được gọi là số bạn bè khi mỗi số là tổng các ước số của số kia. Thí dụ, 220 và 284 là hai số bạn bè .
Định lý Pythagoras và các bộ số Pythagoras .
Định lý về hệ thức liên hệ giữa ba cạnh của một tam giác vuông: bình phương của cạnh huyền của một tam giác vuông bằng tổng bình phương của hai cạnh là một khám phá độc lập mà xưa nay người ta vẫn nhất trí xem là của Pythagoras và cho nó mang tên của ông. Định lý này đã được người Babylon biết trước đó hơn một năm, nhưng có thể chứng minh tổng quát đầu tiên cho định lý này là do Pythagoras thực hiện. Kể từ thời Pythagoras đã có nhiều cách chứng minh khác nhau về định lý Pythagoras. Trong lần xuất bản lần thứ hai cuốn sách "Mệnh đề Pythagoras" của mình, E.S. Loomis đã thu thập và phân loại 370 cách chứng minh cho định lý nổi tiếng đó.
Có liên hệ mật thiết với định lý Pythagoras là bài toán tìm các số nguyên dương để chúng có thể là độ dài của ba cạnh của một tam giác vuông. Bộ ba các loại số này được gọi là bộ ba Pythagoras, người Babilon cổ đại đã biết cách tính các bộ ba đó .Trường phái Pythagoras đã được công nhận là đã đưa ra công thức :, với m là số lẻ thì ba số hạng trên của công thức trên cho ta một bộ số Pythagoras. Một công thức tương tự: (2m)2 + (m2-1)2=(m2+1)2 trong đó m có thể là chẵn hay lẻ cũng được đưa ra với cùng mục đích trên và được coi là của Plato ( khoảng 380 trước công nguyên). Chú ý rằng không có công thức nào trong hai công thức trên cho ra tất cả các bộ số Pythagoras .
Hình học
Pythagoras đã đưa ra cách dựng ba khối đa diện đều: lập phương, tứ diện đều, và thập nhị diện đều. Các mặt của khối thập nhị diện đều là hình ngũ giác đều. Các đường chéo của hình ngũ giác đều tạo nên hình ngũ giác sao. Hình này là biểu tượng của sức khoẻ và cũng là dấu hiệu nhận biết của trường phái Pythagoras.
Pythagoras đã có một số kết quả khác như: định lý tổng các góc trong của một tam giác, bài toán về chia mặt phẳng thành những đa giác đều ( tam giác đều, hình vuông, lục giác đều). Ông đã nêu lên phương pháp cơ bản kết hợp hình học và số học, chẳng hạn giải phương trình bậc hai, chứng minh bằng hình học rằng tổng các số lẻ liên tiếp bắt đầu từ đơn vị là một số chính phương và mỗi số lẻ là hiệu các bình phương của hai số tự nhiên liên tiếp ( 22-12=3,32-22=5,..).
Pythagoras quan tâm đến cả hình đồng dạng vì ông đã giải bài toán :" Cho trước hai hình hãy dựng hình thứ ba tương đương với một trong hai hình và đồng dạng với hình thứ ba".
Ngoài ra, trường phái Pythagoras đã khám phá ra sự phụ thuộc của chất lượng âm thanh vào chiều dài của dây dẫn. Pythagoras cũng đưa ra giả thuyết về dạng cầu của trái đất và cho rằng sao Mai và sao Hôm là cùng một ngôi sao ( sao Kim ).

 

[chienhopnguyen]

THALÈS ở Milet vốn là một thương gia, nhưng sau khi buôn bán phát tài, giàu có thì ông dùng tiền kiếm được để đi chu du, giao lưu học hỏi, nghiên cứu. Chặn đường đầu tiên ông dừng chân là Ai Cập. Tương truyền ở đó ông đã dùng bóng một chiếc gậy để đo chiều cao của Kim tự tháp và do đó đời sau loan truyền rằng ông đã áp dụng một định lý bây giờ mang tên ông: định lý THALÈS bất hủ. Sau khi đi nhiều, giao du rộng, học hỏi khắp nơi, ông trở về quê hương Milet (thuộc đất Hy Lạp) và nổi tiếng là một nhà hiểu biết uyên bác, thông thái nhiều lĩnh vực: doanh nghiệp, chính trị, Khoa học, Thiên văn, Toán học... Ông đã biết và truyền bá tri thức cho người chung quanh rằng một năm có 365 ngày, người ta còn đồn rằng ông đã hiểu vì sao có nguyệt thực, nhật thực. Ông được người đương thời và hậu thế tôn vinh là nhà Toán học đầu tiên của loài người. Quan điểm của ông về nguồn gốc của muôn loài là từ nước mà ra. Theo ARISTOTE thì THALÈS cũng là nhà đầu cơ đầu tiên của loài người vì có một năm được mùa quả ôliu, THALÈS bèn bỏ hết tiền ra mua sạch tất cả ôliu vừa thu hoạch, sau đó ông bán từ từ ra thị trường kho ôliu của nhà ông. Năm đó ông thu được nhiều tiền vô kể. Thật khó kết luận là những phát minh tìm tòi thời đó có phải thật là của ông hay không, nhưng có điều gần như chắc chắn rằng ông là nhà Hình học đầu tiên của nhân loại. Tác phẩm nghiên cứu của ông về Hình học sơ cấp như những điều ông đã phát biểu về đường thẳng, góc, tam giác... đều khá rõ ràng tuy có một số kiến thức có lẽ được biết từ thời Babylon, nhưng THALÈS quan tâm đến chứng minh, đó là điều làm tôn vinh giá trị Khoa học của việc làm của ông. Những nhà khảo cổ đã sưu tập được những bài phát biểu của ông và người ta đánh giá cao cách lập luận có suy diễn của ông, đó chính là cơ sở để đánh giá tính Khoa học của việc nghiên cứu của ông để lại cho đời sau. Ngoài định lý THALÈS, người ta thấy có 6 kết quả quan trọng sau đây mà người ta quy về đó là công lao của THALÈS :
- Các góc đáy của tam giác cân thì bằng nhau.
- Nếu 2 đường thẳng cắt nhau thì các góc đối đỉnh bằng nhau.
- Một tam giác sẽ được xác định chính xác nếu biết độ dài của một cạnh và hai góc kề với cạnh ấy.
- Những cạnh tương ứng của các tam giác đều thì tỉ lệ với nhau.
- Đường kính của một đường tròn chia đường tròn thành hai phần bằng nhau.
- Một ΔABC nội tiếp trong một đường tròn và nếu BC là đường kính đường tròn thì góc A là một góc vuông.

 

[chienhopnguyen]

Menelaus sống trong thời đại đế chế Alexandria. Tương truyền rằng ông được sinh ra vào khoảng năm 70 thời đại Alexandria, ở Ai Cập và mất vào khoảng năm 130.
Mặc dù chúng ta biết rất ít về cuộc đời của Menelaus, nhưng qua Ptolemy, chúng ta cũng biết những quan sát thiên văn của Menelaus ở Roma vào ngày 14 tháng 1 năm 98. Những quan sát này bao gồm cả hiện tượng mặt trăng che khuất ngôi sao Beta Scorpii. Ông ta cũng nói về Plutarch, người mô tả cuộc nói chuyện giữa Menelaus và Luccius, trong đó Lucius đã xin lỗi Menelaus vì đã nghi ngờ sự kiện ánh sáng khi phản xạ, tuân theo luật góc tới bằng góc phản xạ. Lucius nói: "Thưa ngài Menelaus, tôi lấy làm xấu hổ khi đã nghi ngờ một mệnh đề toán học, cơ sở về phản xạ học. Chưa bao giờ có một mệnh đề như vậy."
Cuộc đàm thoại được cho là đã diễn ra ở Roma vào một thời gian sau năm 75 sau công nguyên, và như thế, nếu phỏng đoán Menelaus được sinh vào năm 70 sau công nguyên là gần đúng thì nó diễn ra vào nhiều năm sau năm 75.
Ngoài ra, những gì biết về cuộc đời của Menelaus là rất ít, ngoại trừ ông được Pappus và Proclus gọi là Menelaus của thời Alexandria. Tất cả những gì chúng tôi viết ở đây đều là những phỏng đoán dựa vào khoảng thời gian ông ta sống ở cả Roma và Alexandria, nhưng điều suy đoán hợp lý nhất là ông ta sinh ra ở Alexandria và sống ở đó thời trẻ, sau đó, chuyển đến Roma.
Một quyển toán Ả rập được viết vào khoảng thế kỷ X đã ghi lại về Menelaus như sau: Ông ta sinh ra trước Ptolemy. Ông ấy đã viết "Sách về các mệnh đề khối cầu", "Kiến thức về các lực và sự phân phối của các vật thể", 3 quyển sách về "Hình học cơ bản" được Thabit Ibn Qurra chỉnh sửa, và "Sách về tam giác". Một trong số đó đã được dịch sang tiếng Ả rập.
Các quyển sách của Menelaus chỉ còn lại quyển Sphaerica. Nó liên quan tới tam giác cầu và ứng dụng tam giác cầu trong thiên văn. Đầu tiên, ông ta định nghĩa tam giác cầu và để định nghĩa ở quyển 1: "Một tam giác cầu là phần không gian bị giới hạn bởi các cung của một đường tròn lớn trên mặt cầu, các cung này luôn nhỏ hơn một nửa đường tròn."
Trong quyển 1 của Sphaerica, ông cũng thiết lập các tương quan cơ bản cho tam giác cầu giống như Euclide đã thiết lập cho tam giác phẳng. Ông đã dùng các cung của đường tròn lớn thay vì dùng các cung của các đường tròn song song trên mặt cầu. Đây là một bước ngoặc trong sự phát triển môn lượng giác cầu. Tuy nhiên, Menelaus có vẻ không vừa ý với phương pháp chứng minh quy nạp thông thường mà Euclide hay dùng. Menelaus không dùng cách này để chứng minh định lý, thế là ông ta đã chứng minh một số định lý trong hình học của Euclide tương ứng cho trường hợp tam giác cầu một cách dễ dàng và bằng các phương pháp khác.
Trong một số trường hợp, tương quan của Menelaus hoàn thiện hơn các tương quan tương tự trong hình học Euclide.
Quyển 2 áp dụng hình học cầu vào nghiên cứu thiên văn. Những kết quả áp dụng rộng rãi nhất là các mệnh đề của Theodosius trong tác phẩm Sphaerica, nhưng Menelaus đưa ra các phương pháp chứng minh tốt hơn.
Quyển 3 liên quan tới lượng giác cầu và bao gồm các định lý của Menelaus. Các định lý này không được biết đến đối với tam giác phẳng.
"Nếu một đường thẳng cắt 3 cạnh bên của một tam giác (một trong những cạnh bên được kéo dài từ một cạnh của tam giác), thế thì tích 3 đoạn thẳng được tạo thành bằng tích 3 cạnh của tam giác"
Menelaus giải thích định lý về tam giác cầu trên (ngày nay gọi là định lý Menelaus) và đưa vào quyển 3 như một mệnh đề đầu tiên. Các đường thẳng có thể hiểu là giao của những đường tròn lớn trên mặt cầu.
Những lời chú giải, bình luận trong tác phẩm Sphaerica đã được dịch sang tiếng Ả rập. Một số tác phẩm vẫn còn nhưng việc xây dựng lại tác phẩm như bản gốc là rất khó khăn. Mặt khác, chúng ta phải biết rằng còn có những việc tìm các kiến thức trước tác phẩm để giải thích, cho nên dễ thấy rằng chúng ta không thể hiểu rõ bản gốc được. Những bản dịch tiếng Ả rập [6], [9] và [10] đã được đem ra thảo luận.
Có nhiều công trình khác của Menelaus được các tác giả Ả rập đề cập nhưng đã bị mất cả bản tiếng Hy Lạp lẫn bản tiếng Ả rập. Chúng tôi đưa ra các trích dẫn trên từ một quyển sách Ả rập vào thế kỷ X, nó đã ghi lại những quyển sách được gọi là "Hình học cơ bản", gồm 3 quyển được Thabit Ibn Qurra dịch sang tiếng Ả rập. Nó cũng ghi lại một công trình khác của Menelaus có tên là "Sách viết về các tam giác" và mặc dù công trình này bị mất nhiều mảnh nhưng một bản dịch tiếng Ả rập đã được tìm thấy.
Proclus đã nói đến hình học Menelaus, không có trong những công trình còn sót lại. Người ta nghĩ rằng loại hình học này đã được đề cập trong các nguyên bản. Sau đây là một chứng minh của một định lý trong tác phẩm "cơ bản" của Euclide do Menelaus chứng minh lại, không dùng phương pháp quy nạp thông thường, chứng minh này nằm trong những công trình còn sót lại, đối với ông ta, định lý hiển nhiên. Chứng minh mới mà Proclus cho rằng của Menelaus đã chứng minh một bản dịch trong bản dịch tác phẩm của Euclide.
"Nếu 2 tam giác có 2 cặp cạnh tương ứng bằng nhau nhưng một trong 2 tam giác có đáy lớn hơn đáy tam giác kia, thì góc xen giữa 2 cạnh của tam giác này sẽ lớn hơn góc xen giữa 2 cạnh của tam giác kia."
Bản chỉ mục tiếng Ả rập khác đã gợi ra rằng tác phẩm "Hình học cơ bản" chứa bài giải của Archytas về bài toán "phân đôi khối lập phương". Paul Tarinery trong [8] đã phát biểu kết quả tương tự cho một đường cong bất kỳ, vấn đề này đã được Pappus đưa ra và Menelaus đã xét đến đường cong Viviani. Bulmer-Thomas trong [1] đã giải thích: đó là một phỏng đoán hấp dẫn nhưng hiện nay chưa thể chứng minh được.
Một số tác giả Ả rập trong những tác phẩm về cơ học, rất tin những giả thuyết của Menelaus. Nó dùng để nghiên cứu sự cân bằng Archimedes và chính Menelaus đã nghĩ ra. Đặc biệt, Menelaus còn rất thích nghiên cứu về trọng lực và phân tích hợp kim.

 

[chienhopnguyen]

Người ta biết rất ít về đời sống và con người của Euclid. Dường như ông được đào tạo về Toán học theo trường phái Platon ở Athens. Và người ta biết chắc rằng ông là giáo sư toán học ở trường Đại học Alexandria. Có vài câu chuyện truyền khẩu rằng Ptolemy yêu cầu Euclid chỉ ra con đường tắt để đi tới những kiến thức về hình học, Euclid trả lời rằng : "Không có con đường hoàng gia trong hình học"; một môn sinh theo Euclid học hình học đã hỏi rằng liệu anh có thể kiếm được gì khi học môn này, thì ngay lúc đó Euclid ra lệnh cho một nô lệ đưa cho anh ta một đồng xu " vì anh ta phải kiếm được lời từ những điều anh ta học được ".
Bộ "Cơ bản" .
Vào khoảng 300 năm trước công nguyên, bộ "Cơ bản" của Euclid ra đời đã mang lại một ý nghĩa lớn lao trong toán học. Tập "Cơ bản" đã tổng kết các công trình toán học các các nhà toán học trước đó. Tập "Cơ bản " đã trình bày một cách có hệ thống các kiến thức toán học. Nội dung tri thức toán học trong " Cơ bản " có giá trị rất lớn, song có điều còn quan trọng hơn cả những nội dung đó là hình thức trình bày, cách sắp xếp các tri thức đó. Sự đóng góp lớn lao nhất của Euclid là đưa ra cách trình bày một lý thuyết toán học theo phương pháp tiên đề. Xuất phát từ một số mệnh đề không phải chứng minh gọi là các tiên đề và một số khái niệm không phải định nghĩa gọi là các khái niệm cơ bản từ đó suy diễn lôgic ra các mệnh đề khác. Phương pháp tiên đề ngày nay đã được sử dụng trong hầu hết các lĩnh vực toán học, nó trở thành một trong những đặc trưng của toán học hiện đại. Nhiều nhà toán học tin rằng tư duy tiên đề không phải chỉ là tư duy toán học mà tư duy tiên đề chính là tư duy toán học.
Tập " Cơ bản "của Euclid gồm 13 quyển, gồm 465 mệnh đề.
Quyển 1, quyển 2 , quyển 3, quyển 4, quyển 5 và quyển 6 là về hình học phẳng.
Quyển 7, quyển 8, và quyển 9 viết về một lý thuyết tương đương với lý thuyết số hữu tỉ .
Quyển 10 viết về một số dạng số vô tỉ .
Quyển 11, 12, 13 viết về hình học không gian .
Trong lịch sử nhân loại, ngoài Thánh kinh ra không có một công trình nào được sử dụng rộng rãi hơn, được ấn hành và được nghiên cứu nhiều bằng, và có lẽ không có công trình nào gây được những ảnh hưởng lớn hơn về tư duy khoa học. Trên một ngàn lần xuất bản tập " Cơ bản " của Euclid, công trình này đã thực sự ngự trị trong mọi sự giảng dạy về hình học .
Ngoài tập "Cơ bản " Euclid còn để lại một số tác phẩm khác như - Về những sai lầm trong toán học ; Về thiết diện conic; Quỹ tích bề mặt ; Và một số tác phẩm về toán học ứng dụng như:
Nghiên cứu về phối cảnh ; Lý thuyết về biểu diễn qua gương ; Lý thuyết về âm nhạc ; Thiên văn sơ cấp .

 

[chienhopnguyen]

Blaise Pascal sinh tại Clermont Ferrand, miền Auvergne nước Pháp, ngày 19 tháng 6 năm 1623. Cha của Pascal, ông Etienne, trước kia là một luật gia tại thành phố Paris và vào lúc Pascal chào đời, ông là chánh án tòa Hộ tại Clermont. Khi Pascal lên 3 tuổi, bà mẹ Antoinnette Bégan từ trần, để lại cho chồng 3 người con là Gilberte, Blaise và Jacqueline lúc đó đều còn quá nhỏ.
Ngay từ khi mới tập nói, Pascal đã tỏ ra là một đứa trẻ có năng khiếu khác thường. Lớn lên, Pascal thường hỏi người lớn những câu hỏi hắc búa và cậu cũng trả lời được những câu hỏi thật khó giải đáp. Những điều này làm cho ông Etienne tin tưởng rằng con của ông là một thiên tài, vì vậy ông quyết định lấy cách giáo dục con. Nguyên tắc của ông là luôn luôn khiến cho đứa trẻ làm các việc khó khăn hơn, tiến bộ hơn.
Vào năm 1631, ông Etienne nhường chức vụ của mình cho người khác rồi dọn nhà lên thành phố Paris để chăm sóc sự học vấn của con. Ông tự đảm trách việc giáo huấn và vì vậy, Pascal không có thầy giáo nào khác ngoài người cha thân yêu tài ba. Cậu được dạy cách quan sát, suy tưởng và thường học được những kiến thức qua các cuộc đàm luận với cha. Khởi đầu, ông Etienne quyết định dạy con tiếng La Tinh và Hy Lạp cho đến năm 12 tuổi, tuy nhiên trong các thời giờ nhàn rỗi, ông Etienne cũng kể cho con trai nghe các câu chuyện về Khoa Học nhưng những điều này không bao giờ làm cho Pascal thỏa mãn, cậu luôn luôn khao khát những lý lẽ cuối cùng của sự vật.
Vì muốn con chuyên tâm về tiếng La Tinh và Hy Lạp là hai ngôn ngữ rất khó học, nên ông Etienne đã cất dấu tất cả những sách về Khoa Học và Toán Học. Nhưng rồi một hôm, khi bước vào phòng, ông thấy con trai đang loay hoay dùng phấn chứng minh trên nền nhà định luật thứ nhất trong 32 định luật của Euclide. Sau khi nghe con thuật lại cách chứng minh, ông Etienne đã phải bỏ nhà, chạy sang nhà ông hàng xóm Le Pailleur để "khóc lên vì sung sướng".
Xưa nay, ông Etienne chưa từng dạy cho con học Toán bao giờ, vả lại định luật của Euclide đó là một bài toán rất khó đối với người lớn, không phải dành cho trẻ em 12 tuổi. Pascal đã chứng minh được rằng tổng số các góc trong một tam giác bằng hai góc vuông, đúng như Euclide đã từng phát biểu. Cũng vì chưa từng học Hình Học, Pascal đã gọi đường tròn là "cái tròn" (un rond), đường thẳng là "cái thước kẻ" (une barre). Từ đây, Pascal mới được cha cho phép đọc các cuốn khái luận của Euclide. Do trí thông minh sẵn có, Pascal đọc tới đâu, hiểu tới đó mà không cần một ai giảng giải. Cậu còn giải được nhiều bài toán khó. Sự tự tìm hiểu do ý thích đã khiến Pascal chẳng bao lâu trở thành một nhà toán học có hạng.
Thời bấy giờ, ông Etienne thường gặp gỡ nhiều nhân vật danh tiếng về Khoa Học nên Pascal cũng được tham dự vào các buổi hội thảo, cậu được làm quen với Cha Mersenne là một nhà bác học thời đó, cũng như với những nhà khoa học danh tiếng khác, chẳng hạn như Desargues, Fermat, Roberval. Tại các buổi họp này, Pascal đã góp ý kiến về các tư tưởng, các lý luận, các lời phê phán những tác phẩm của các nhà bác học đương thời. Cậu cũng trình bày những điều do mình khám phá.
Theo phương pháp Hình Học của Desargues, Pascal đã hoàn thành cuốn "Khảo Sát về Thiết Diện Côníc" (Traité des sections coniques, 1640) khi chưa tới 16 tuổi. Tác phẩm này bao gồm các công trình của Apollonius, nhưng đã được Pascal tự tìm ra và lại chứng minh bằng một phương pháp luận lý vừa đơn giản hơn, vừa tổng quát hơn. Tác phẩm của Pascal đã khiến rất nhiều nhà toán học tài ba đương thời phải khâm phục, kể cả Cha Mersenne và Descartes, và ai cũng đồng ý rằng cuốn sách đó xứng đáng là công trình của một bậc thầy chứ không phải là của một thiếu niên chưa đủ 16 tuổi. Nhiều người đã thúc dục Pascal đưa in tác phẩm nhưng do lòng khiêm tốn, cậu đã từ chối vì vậy ngày ngay người ta chỉ còn lưu giữ được hai cuốn sách đầu tay của nhà thiên tài toán học Pascal.
Năm 1638, khi chính phủ Pháp ra lệnh giảm bớt lợi tức của Tòa Đô Chính Paris, một nhóm người đã đứng lên phản đối trong đó có người cha của Pascal. Vì vậy ông Etienne bị Thủ Tướng Richelieu cho người theo dõi và phải trốn về miền Auvergne. Lúc bấy giờ, Pascal 15 tuổi và cô em gái Jacqueline 13. Giống như anh trai, Jacqueline cũng nổi tiếng là một thần đồng về thơ văn. Khi lên 11 tuổi, Jacqueline đã sáng tác được một kịch thơ 5 hồi và tác phẩm thơ này đã được giới văn nghệ Paris ưa chuộng. Rất nhiều người và ngay cả Thi Hào Corneille đều ưa thích đọc thơ của Jacqueline.
Nhờ tài năng về Thơ Phú, Jacqueline được phép đóng kịch trước Hồng Y Giáo Chủ Richelieu. Vị Thủ Tướng này đã không tiếc lời khen ngợi cô bé và hỏi thăm về gia cảnh. Nhân lúc này, Jacqueline liền ngâm một bài thơ xin ân xá cho cha và Thủ Tướng đã nhận lời. Ông Etienne nhờ vậy được phép trở lại Paris và lại được cử giữ chức vụ Giám Đốc Thuế Vụ miền Rouen. Nhưng trách nhiệm này làm ông Etienne mệt mỏi vì sổ sách kế toán quá nhiều. Để giúp đỡ cha, Pascal đã sáng chế ra một chiếc máy tính mà nguyên tắc của nó còn được áp dụng cho các loại máy tính tối tân ngày nay. Phát minh này đã làm dang tiếng của Pascal vang lừng.
Vào các năm trước, gia đình Pascal tuy ngoan đạo nhưng tôn giáo chưa được coi là quan trọng cho tới năm 1646, dòng tu khổ hạnh (Jansenism) của Cơ Đốc Giáo đã ảnh hưởng tới vùng Pascal cư ngụ. Đây là nhóm tôn giáo chủ trương do ông Cornelis Jansen, một giáo sư thần học gốc Hòa Lan, sống tại Louvain. Các niềm tin của giáo phái này khác hẳn với các lời rao giảng của các giáo sĩ Dòng Tên (the Jesuites). Ông Etienne Pascal, do không ưa thích tôn giáo, nên đã mang gia đình dọn lên thành phố Paris. Tới khi ông Etienne qua đời vào năm 1651, cô em gái Jacqueline của Pascal liền vào nhà tu tại Port Royal. Do ảnh hưởng này, Pascal đã để tâm tới tôn giáo cũng như tới các vấn đề thần học.
Cũng vào năm biết tới dòng tu Khổ Hạnh, Pascal đã thực hiện lại các thí nghiệm của Torricelli và phổ biến các điều khám phá của mình trong tác phẩm "Các thí nghiệm mới liên quan tới khoảng chân không" (Nouvelles expériences touchant le vide, 1647). Pascal đã dựa vào thí nghiệm rồi dùng lý luận, đánh đổ các quan niệm cổ xưa của Aristotle về chân không và ông cũng đưa ra những khám phá mới về áp suất không khí. Pascal đã tìm thấy kết luận rằng càng lên cao, áp suất của không khí càng giảm đi. Để kiểm chứng điều này, Pascal đã nhờ người anh rể là Florin Perier lên ngọn núi Puy-de-Dome thực hiện nhiều thí nghiệm cần thiết. Các kết quả của Perier đã xác nhận lời tiên đoán của Pascal. Do khám phá này của Pascal, các nhà khoa học đã chế tạo được các phong vũ biểu và các cao độ kế.
Trong khi nghiên cứu các thí nghiệm của Torricelli, Pascal còn tìm cách tổng quát hóa những ý niệm về chất lỏng. Ông đã thiết lập nhiều định luật về áp suất của chất lỏng để rồi phổ biến qua tác phẩm :"Khảo sát sự cân bằng chất lỏng" (Traité de l 'équilibre des liqueurs). Cuốn sách này được hoàn thành vào năm 1651 nhưng mãi tới năm 1663 mới được xuất bản và căn cứ vào đó, nhiều nhà khoa học đã coi Pascal là một trong những người sáng lập ra môn Thủy Động Học (Hydrodynamics).
Sau khi người cha thân yêu qua đời, Pascal không chuyên tâm nhiều vào việc khảo cứu khoa học. Ông thường giao du với nhiều người, nhất là Hầu Tước trẻ tuổi De Roannez và Hiệp Sĩ De Mere. Chính trong thời kỳ này, ông đã chuyên đọc về Epictète và Montaigne. Do sự đi lại với De Mere, Pascal đã lưu tâm tới lý thuyết toán học của cách đánh bài. Ông bắt đầu nghiên cứu phép tính Sác Xuất (Probability) rồi vào năm 1654, đã phổ biến các kết quả qua các bức thư viết cho Fermat và qua cuốn "Khảo Sát về Tam Giác Số Học" (Traité du triangle arithmétique).
Cũng vào năm 1654, Pascal tới Port Royal thăm cô em gái Jacqueline đang sống trong tu viện. Cuộc đi thăm này khiến cho Pascal cảm thấy "ghê tởm cực độ các sự giả dối của đời người". Sự bất toại nguyện càng tăng thêm cho tới khi "đêm lửa" xẩy đến, làm thay đổi hẳn cuộc sống cũ của Pascal. Chính vào đêm 23 tháng 11 năm 1654 đó, trong khi đang khảo cứu Toán Học, Pascal cảm thấy như được đối thoại cùng Thượng Đế trong hai tiếng đồng hồ. Pascal thấy mình đã nhận lãnh một chức vụ thiêng liêng, rồi vì quá xúc động, ông nguyện hiến cả đời mình cho Thượng Đế và quyết tâm làm tỏ đức tin nơi Đấng Chí Tôn.
Vào năm 1655, Antoine Arnauld, nhà thần học chính thức của Port Royal bị các nhà thần học Sorbone kết án, nhất là về lối tu khổ hạnh (Jansenism) đối với Chúa Cứu Thế. Có lẽ do chính Arnauld khuyến dụ, Pascal đã viết ra các bức thư Provinciales. Lối hành văn cũng như cách tranh luận của Pascal qua tác phẩm này đã quyến rũ được dân chúng Paris, nhất là trong khoảng thời gian từ tháng Giêng năm 1656 tới tháng 4 năm 1657. Khi sống tại Port Royal, Pascal được mời viết cho nhà trường các bài giảng về Hình Học, có lẽ vì lý do này, Pascal đã viết nên cuốn "Phương Pháp chứng minh Hình Học" (On Geometrial Demonstrations).
Thời còn thơ ấu, thể chất của Pascal rất mỏng manh, nên khi lớn lên, tình trạng sức khỏe của ông cũng không được khá. Vào năm 1658, Pascal lại bị chứng đau răng hành hạ và vì muốn tìm quên nỗi đau nhức, Pascal quay ra làm Toán. Ông nghiên cứu hình học Cycloide, là thứ hình học đang được Roberval và các nhà toán học đương thời khảo sát. Pascal đã tìm ra được nhiều tính chất quan trọng nhưng vì muốn chứng tỏ các điều khám phá của mình có thể giải đáp được nhiều bài toán hắc búa, Pascal đề nghị một cuộc thách đố vói các nhà toán học. Nhiều người đã nhận lời trong đó có Wallis và Laouère, nhưng rồi chỉ có Pascal cho ra các kết quả hoàn toàn.
Càng về cuối đời, Pascal càng sống khổ hạnh. Sau khi đứa cháu của ông được cứu khỏi tại Port Royal và được mọi người coi là một sự huyền diệu, Pascal chuyên tâm đọc sách và kiếm tài liệu để viết nên cuốn sách "Biện hộ cho Thiên Chúa Giáo" (Apology for the Christian Religion) mà sau này, tác phẩm đó được phổ biến sau khi ông qua đời dưới tên là "Tư Tưởng" (Pensées).
Tháng 6 năm 1662, Pascal đem nốt căn nhà ở tặng cho một gia đình nghèo đang mắc bệnh đậu mùa. Ông dọn tới ở nhờ người chị gái Gilberte. Tại nơi này, Pascal bị ốm nặng và cơn bệnh còn hành hạ ông trong hai tháng. Pascal qua đời vào ngày 19 tháng 8 năm đó, hưởng thọ 39 tuổi.
Năm 1962, cả nước Pháp đã làm lễ kỷ niệm 300 năm ngày húy kỵ của Blaise Pascal, nhà bác học kiêm triết gia kiêm văn sĩ. Để ghi nhớ bậc Vĩ Nhân Khoa Học này, người ta đã phát hành tem thư, tổ chức các buổi thuyết trình về Triết Học, Toán Học và Văn Chương. Nhiều phòng triển lãm đã trưng bày các tác phẩm của Pascal cùng chiếc máy tính, phát minh lừng danh của ông. Qua các bài diễn văn, các Viện Sĩ Louis de Broglie, Francois Mauriac. đã ca ngợi Blaise Pascal là một thiên tài của Nhân Loại, đã mang cả cuộc đời phụng sự cho Khoa Học và Triết Học.

 

[chienhopnguyen]

Blaise Pascal sinh tại Clermont Ferrand, miền Auvergne nước Pháp, ngày 19 tháng 6 năm 1623. Cha của Pascal, ông Etienne, trước kia là một luật gia tại thành phố Paris và vào lúc Pascal chào đời, ông là chánh án tòa Hộ tại Clermont. Khi Pascal lên 3 tuổi, bà mẹ Antoinnette Bégan từ trần, để lại cho chồng 3 người con là Gilberte, Blaise và Jacqueline lúc đó đều còn quá nhỏ.
Ngay từ khi mới tập nói, Pascal đã tỏ ra là một đứa trẻ có năng khiếu khác thường. Lớn lên, Pascal thường hỏi người lớn những câu hỏi hắc búa và cậu cũng trả lời được những câu hỏi thật khó giải đáp. Những điều này làm cho ông Etienne tin tưởng rằng con của ông là một thiên tài, vì vậy ông quyết định lấy cách giáo dục con. Nguyên tắc của ông là luôn luôn khiến cho đứa trẻ làm các việc khó khăn hơn, tiến bộ hơn.
Vào năm 1631, ông Etienne nhường chức vụ của mình cho người khác rồi dọn nhà lên thành phố Paris để chăm sóc sự học vấn của con. Ông tự đảm trách việc giáo huấn và vì vậy, Pascal không có thầy giáo nào khác ngoài người cha thân yêu tài ba. Cậu được dạy cách quan sát, suy tưởng và thường học được những kiến thức qua các cuộc đàm luận với cha. Khởi đầu, ông Etienne quyết định dạy con tiếng La Tinh và Hy Lạp cho đến năm 12 tuổi, tuy nhiên trong các thời giờ nhàn rỗi, ông Etienne cũng kể cho con trai nghe các câu chuyện về Khoa Học nhưng những điều này không bao giờ làm cho Pascal thỏa mãn, cậu luôn luôn khao khát những lý lẽ cuối cùng của sự vật.
Vì muốn con chuyên tâm về tiếng La Tinh và Hy Lạp là hai ngôn ngữ rất khó học, nên ông Etienne đã cất dấu tất cả những sách về Khoa Học và Toán Học. Nhưng rồi một hôm, khi bước vào phòng, ông thấy con trai đang loay hoay dùng phấn chứng minh trên nền nhà định luật thứ nhất trong 32 định luật của Euclide. Sau khi nghe con thuật lại cách chứng minh, ông Etienne đã phải bỏ nhà, chạy sang nhà ông hàng xóm Le Pailleur để "khóc lên vì sung sướng".
Xưa nay, ông Etienne chưa từng dạy cho con học Toán bao giờ, vả lại định luật của Euclide đó là một bài toán rất khó đối với người lớn, không phải dành cho trẻ em 12 tuổi. Pascal đã chứng minh được rằng tổng số các góc trong một tam giác bằng hai góc vuông, đúng như Euclide đã từng phát biểu. Cũng vì chưa từng học Hình Học, Pascal đã gọi đường tròn là "cái tròn" (un rond), đường thẳng là "cái thước kẻ" (une barre). Từ đây, Pascal mới được cha cho phép đọc các cuốn khái luận của Euclide. Do trí thông minh sẵn có, Pascal đọc tới đâu, hiểu tới đó mà không cần một ai giảng giải. Cậu còn giải được nhiều bài toán khó. Sự tự tìm hiểu do ý thích đã khiến Pascal chẳng bao lâu trở thành một nhà toán học có hạng.
Thời bấy giờ, ông Etienne thường gặp gỡ nhiều nhân vật danh tiếng về Khoa Học nên Pascal cũng được tham dự vào các buổi hội thảo, cậu được làm quen với Cha Mersenne là một nhà bác học thời đó, cũng như với những nhà khoa học danh tiếng khác, chẳng hạn như Desargues, Fermat, Roberval. Tại các buổi họp này, Pascal đã góp ý kiến về các tư tưởng, các lý luận, các lời phê phán những tác phẩm của các nhà bác học đương thời. Cậu cũng trình bày những điều do mình khám phá.
Theo phương pháp Hình Học của Desargues, Pascal đã hoàn thành cuốn "Khảo Sát về Thiết Diện Côníc" (Traité des sections coniques, 1640) khi chưa tới 16 tuổi. Tác phẩm này bao gồm các công trình của Apollonius, nhưng đã được Pascal tự tìm ra và lại chứng minh bằng một phương pháp luận lý vừa đơn giản hơn, vừa tổng quát hơn. Tác phẩm của Pascal đã khiến rất nhiều nhà toán học tài ba đương thời phải khâm phục, kể cả Cha Mersenne và Descartes, và ai cũng đồng ý rằng cuốn sách đó xứng đáng là công trình của một bậc thầy chứ không phải là của một thiếu niên chưa đủ 16 tuổi. Nhiều người đã thúc dục Pascal đưa in tác phẩm nhưng do lòng khiêm tốn, cậu đã từ chối vì vậy ngày ngay người ta chỉ còn lưu giữ được hai cuốn sách đầu tay của nhà thiên tài toán học Pascal.
Năm 1638, khi chính phủ Pháp ra lệnh giảm bớt lợi tức của Tòa Đô Chính Paris, một nhóm người đã đứng lên phản đối trong đó có người cha của Pascal. Vì vậy ông Etienne bị Thủ Tướng Richelieu cho người theo dõi và phải trốn về miền Auvergne. Lúc bấy giờ, Pascal 15 tuổi và cô em gái Jacqueline 13. Giống như anh trai, Jacqueline cũng nổi tiếng là một thần đồng về thơ văn. Khi lên 11 tuổi, Jacqueline đã sáng tác được một kịch thơ 5 hồi và tác phẩm thơ này đã được giới văn nghệ Paris ưa chuộng. Rất nhiều người và ngay cả Thi Hào Corneille đều ưa thích đọc thơ của Jacqueline.
Nhờ tài năng về Thơ Phú, Jacqueline được phép đóng kịch trước Hồng Y Giáo Chủ Richelieu. Vị Thủ Tướng này đã không tiếc lời khen ngợi cô bé và hỏi thăm về gia cảnh. Nhân lúc này, Jacqueline liền ngâm một bài thơ xin ân xá cho cha và Thủ Tướng đã nhận lời. Ông Etienne nhờ vậy được phép trở lại Paris và lại được cử giữ chức vụ Giám Đốc Thuế Vụ miền Rouen. Nhưng trách nhiệm này làm ông Etienne mệt mỏi vì sổ sách kế toán quá nhiều. Để giúp đỡ cha, Pascal đã sáng chế ra một chiếc máy tính mà nguyên tắc của nó còn được áp dụng cho các loại máy tính tối tân ngày nay. Phát minh này đã làm dang tiếng của Pascal vang lừng.
Vào các năm trước, gia đình Pascal tuy ngoan đạo nhưng tôn giáo chưa được coi là quan trọng cho tới năm 1646, dòng tu khổ hạnh (Jansenism) của Cơ Đốc Giáo đã ảnh hưởng tới vùng Pascal cư ngụ. Đây là nhóm tôn giáo chủ trương do ông Cornelis Jansen, một giáo sư thần học gốc Hòa Lan, sống tại Louvain. Các niềm tin của giáo phái này khác hẳn với các lời rao giảng của các giáo sĩ Dòng Tên (the Jesuites). Ông Etienne Pascal, do không ưa thích tôn giáo, nên đã mang gia đình dọn lên thành phố Paris. Tới khi ông Etienne qua đời vào năm 1651, cô em gái Jacqueline của Pascal liền vào nhà tu tại Port Royal. Do ảnh hưởng này, Pascal đã để tâm tới tôn giáo cũng như tới các vấn đề thần học.
Cũng vào năm biết tới dòng tu Khổ Hạnh, Pascal đã thực hiện lại các thí nghiệm của Torricelli và phổ biến các điều khám phá của mình trong tác phẩm "Các thí nghiệm mới liên quan tới khoảng chân không" (Nouvelles expériences touchant le vide, 1647). Pascal đã dựa vào thí nghiệm rồi dùng lý luận, đánh đổ các quan niệm cổ xưa của Aristotle về chân không và ông cũng đưa ra những khám phá mới về áp suất không khí. Pascal đã tìm thấy kết luận rằng càng lên cao, áp suất của không khí càng giảm đi. Để kiểm chứng điều này, Pascal đã nhờ người anh rể là Florin Perier lên ngọn núi Puy-de-Dome thực hiện nhiều thí nghiệm cần thiết. Các kết quả của Perier đã xác nhận lời tiên đoán của Pascal. Do khám phá này của Pascal, các nhà khoa học đã chế tạo được các phong vũ biểu và các cao độ kế.
Trong khi nghiên cứu các thí nghiệm của Torricelli, Pascal còn tìm cách tổng quát hóa những ý niệm về chất lỏng. Ông đã thiết lập nhiều định luật về áp suất của chất lỏng để rồi phổ biến qua tác phẩm :"Khảo sát sự cân bằng chất lỏng" (Traité de l 'équilibre des liqueurs). Cuốn sách này được hoàn thành vào năm 1651 nhưng mãi tới năm 1663 mới được xuất bản và căn cứ vào đó, nhiều nhà khoa học đã coi Pascal là một trong những người sáng lập ra môn Thủy Động Học (Hydrodynamics).
Sau khi người cha thân yêu qua đời, Pascal không chuyên tâm nhiều vào việc khảo cứu khoa học. Ông thường giao du với nhiều người, nhất là Hầu Tước trẻ tuổi De Roannez và Hiệp Sĩ De Mere. Chính trong thời kỳ này, ông đã chuyên đọc về Epictète và Montaigne. Do sự đi lại với De Mere, Pascal đã lưu tâm tới lý thuyết toán học của cách đánh bài. Ông bắt đầu nghiên cứu phép tính Sác Xuất (Probability) rồi vào năm 1654, đã phổ biến các kết quả qua các bức thư viết cho Fermat và qua cuốn "Khảo Sát về Tam Giác Số Học" (Traité du triangle arithmétique).
Cũng vào năm 1654, Pascal tới Port Royal thăm cô em gái Jacqueline đang sống trong tu viện. Cuộc đi thăm này khiến cho Pascal cảm thấy "ghê tởm cực độ các sự giả dối của đời người". Sự bất toại nguyện càng tăng thêm cho tới khi "đêm lửa" xẩy đến, làm thay đổi hẳn cuộc sống cũ của Pascal. Chính vào đêm 23 tháng 11 năm 1654 đó, trong khi đang khảo cứu Toán Học, Pascal cảm thấy như được đối thoại cùng Thượng Đế trong hai tiếng đồng hồ. Pascal thấy mình đã nhận lãnh một chức vụ thiêng liêng, rồi vì quá xúc động, ông nguyện hiến cả đời mình cho Thượng Đế và quyết tâm làm tỏ đức tin nơi Đấng Chí Tôn.
Vào năm 1655, Antoine Arnauld, nhà thần học chính thức của Port Royal bị các nhà thần học Sorbone kết án, nhất là về lối tu khổ hạnh (Jansenism) đối với Chúa Cứu Thế. Có lẽ do chính Arnauld khuyến dụ, Pascal đã viết ra các bức thư Provinciales. Lối hành văn cũng như cách tranh luận của Pascal qua tác phẩm này đã quyến rũ được dân chúng Paris, nhất là trong khoảng thời gian từ tháng Giêng năm 1656 tới tháng 4 năm 1657. Khi sống tại Port Royal, Pascal được mời viết cho nhà trường các bài giảng về Hình Học, có lẽ vì lý do này, Pascal đã viết nên cuốn "Phương Pháp chứng minh Hình Học" (On Geometrial Demonstrations).
Thời còn thơ ấu, thể chất của Pascal rất mỏng manh, nên khi lớn lên, tình trạng sức khỏe của ông cũng không được khá. Vào năm 1658, Pascal lại bị chứng đau răng hành hạ và vì muốn tìm quên nỗi đau nhức, Pascal quay ra làm Toán. Ông nghiên cứu hình học Cycloide, là thứ hình học đang được Roberval và các nhà toán học đương thời khảo sát. Pascal đã tìm ra được nhiều tính chất quan trọng nhưng vì muốn chứng tỏ các điều khám phá của mình có thể giải đáp được nhiều bài toán hắc búa, Pascal đề nghị một cuộc thách đố vói các nhà toán học. Nhiều người đã nhận lời trong đó có Wallis và Laouère, nhưng rồi chỉ có Pascal cho ra các kết quả hoàn toàn.
Càng về cuối đời, Pascal càng sống khổ hạnh. Sau khi đứa cháu của ông được cứu khỏi tại Port Royal và được mọi người coi là một sự huyền diệu, Pascal chuyên tâm đọc sách và kiếm tài liệu để viết nên cuốn sách "Biện hộ cho Thiên Chúa Giáo" (Apology for the Christian Religion) mà sau này, tác phẩm đó được phổ biến sau khi ông qua đời dưới tên là "Tư Tưởng" (Pensées).
Tháng 6 năm 1662, Pascal đem nốt căn nhà ở tặng cho một gia đình nghèo đang mắc bệnh đậu mùa. Ông dọn tới ở nhờ người chị gái Gilberte. Tại nơi này, Pascal bị ốm nặng và cơn bệnh còn hành hạ ông trong hai tháng. Pascal qua đời vào ngày 19 tháng 8 năm đó, hưởng thọ 39 tuổi.
Năm 1962, cả nước Pháp đã làm lễ kỷ niệm 300 năm ngày húy kỵ của Blaise Pascal, nhà bác học kiêm triết gia kiêm văn sĩ. Để ghi nhớ bậc Vĩ Nhân Khoa Học này, người ta đã phát hành tem thư, tổ chức các buổi thuyết trình về Triết Học, Toán Học và Văn Chương. Nhiều phòng triển lãm đã trưng bày các tác phẩm của Pascal cùng chiếc máy tính, phát minh lừng danh của ông. Qua các bài diễn văn, các Viện Sĩ Louis de Broglie, Francois Mauriac. đã ca ngợi Blaise Pascal là một thiên tài của Nhân Loại, đã mang cả cuộc đời phụng sự cho Khoa Học và Triết Học.

 

[chienhopnguyen]

Giáo sư Hoàng Tụy là người đặt nền móng cho chuyên ngành toán học mới: Lý thuyết Tối ưu Toàn cục. Cống hiến lặng lẽ của ông với toán học sau này trong nước mới được nhiều người biết tới trong khi đó ở thế giới trường phái toán học Hà Nội đã mặc nhiên được thừa nhận.
Hoàng Tụy sinh ngày 17-12-1927, tại Ðiện Bàn, Quảng Nam, là cháu nội em ruột cụ Hoàng Diệu - Nhà yêu nước chống thực dân xâm lược Pháp hồi đầu thế kỷ XX. Ông bộc lộ thiên hướng toán học từ những năm còn trẻ, tuy nhảy cóc hai lớp nhưng ông vẫn đỗ cao kỳ thi Tú tài phần 1, năm sau chỉ tự học bốn tháng đỗ đầu kỳ thi Tú tài toàn phần ban toán. Năm 1951 đang là giáo viên dạy toán tại Liên khu 5, khi nghe tiến sĩ Lê Văn Thiêm vừa về nước mở trường khoa học cơ bản, ông xin phép chính quyền kháng chiến mang ba lô có muối, gạo và vài cuốn sách toán đi bộ ròng rã sáu tháng trời để tới chiến khu Việt Bắc, đến nơi thì biết rằng chương trình này ông đã tự học xong cả rồi.
Ông thuộc vào dạng nhà toán học khai phá những con đường mới, mặc nhiên chấp nhận sứ mệnh của mình với niềm say mê vô bờ. Lĩnh vực nghiên cứu của ông khá phong phú:
Hàm thực, Giải tích lồi, vận trù học, Lý thuyết hệ thống và đặc biệt là lĩnh vực Tối ưu. Tối ưu Toàn cục là hướng nghiên cứu do ông đề xuất năm 1964. Ông vừa là người mở đường vừa là người đưa ra những kỹ thuật cơ bản khi giải bài toán tìm Cực tiểu hàm lõm trên một tập đa diện lồi như Siêu phẳng cắt, Phép chia nón. Ðây cũng là bài toán trung tâm, thường gặp nhất và nằm trong hầu hết các bài toán Tối ưu toàn cục khác. Các ý tưởng cơ bản và phương pháp đề xuất trong công trình đó đã phát triển thành khái niệm và phương pháp có tính kinh điển. Ðến những năm 80 Quy hoạch lõm được nhiều người nghiên cứu ứng dụng, nhu cầu đòi hỏi cần phải xây dựng một khung toán học vững chắc để bao quát những bài toán rộng hơn Quy hoạch lõm. Lý thuyết Tối ưu DC (Difference of two convex functions - Hiệu hai hàm lồi) ra đời vào khoảng năm 1985 đáp ứng nhu cầu ấy.
Với 140 công trình khoa học và ba chuyên khảo về lĩnh vực này giáo sư Hoàng Tụy được cộng đồng quốc tế coi là người dẫn đầu trong lĩnh vực Tối ưu toàn cục. Ba chuyên khảo đã được xuất bản là: "Global Optimization - Deterministic approaches" R.Horst & H.Tuy - Springer Verlag 1990 (Tối ưu toàn cục tất định), "Optimzation on Low Rank Nonconvex Structures" H.Konno, P.T.Thach & H.Tuy - Kluwer - 1997 (Tối ưu hóa trên những cấu trúc không lồi bậc thấp) và "Convex Analysis and Global Optimization" H.Tuy - Kluwer Academic Publishers 1998 - giáo trình cho nghiên cứu sinh toán Tối ưu. Lý thuyết Tối ưu DC còn có hạn chế vì chỉ mới khai thác tính chất lồi hoặc lồi đảo trong khi đó tính đơn điệu lại rất phổ biến. Cho nên ba năm gần đây giáo sư Hoàng Tụy mở hướng nghiên cứu mới về Tối ưu đơn điệu, mà theo đánh giá của những chuyên gia trong ngành thì đó là khởi đầu của một giai đoạn mới cho Tối ưu Toàn cục Tất định.
Năm 1997 một cuộc hội thảo toán học quốc tế nhằm tôn vinh giáo sư Hoàng Tụy được tổ chức tại Viện công nghệ Linkoping, Thụy Ðiển. Tập sách Kỷ yếu hội thảo ấy đã được xuất bản tháng 7 năm 2001. Vẻ đẹp tự nhiên và tao nhã (từ dùng của các nhà toán học) của những chứng minh toán học của ông chinh phục được các nhà khoa học thế giới, các bài toán của ông có ứng dụng trong nhiều ngành khoa học, công nghệ và kinh tế trong đó có những vấn đề thuộc lĩnh vực mũi nhọn của thế giới về tin học và sinh học. Năm 1988 tại Ðại hội quốc tế về quy hoạch toán học lần thứ 13 tại Tokyo các nhà toán học thành lập tạp chí Global Optimization (Tối ưu Toàn cục) mời ông làm Tổng biên tập nhưng ông từ chối với lý do Việt Nam lúc đó liên hệ với nước ngoài còn nhiều khó khăn, chưa có điều kiện thuận lợi cho việc biên tập một tạp chí khoa học quốc tế. Ông là ủy viên sáng lập của tạp chí này và là ủy viên Ban biên tập nhiều tạp chí quốc tế nổi tiếng khác như Mathematical Progamming (Quy hoạch toán học), Optimization. Nhiều trường đại học lớn trên thế giới mời ông đến giảng bài và giúp đào tạo tiến sĩ chuyên ngành. Giáo sư Hoàng Tụy cũng là tác giả của một số công trình toán học xuất bản tại Việt Nam như "Lý thuyết quy hoạch tuyến tính" - 1967, "Giải tích hiện đại" - 1965, "Phân tích hệ thống và ứng dụng" - 1987, là những tài liệu giáo khoa nổi tiếng trong nước.
Bài toán Tối ưu đầu tiên của ông đăng ở báo cáo của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô nên nhiều nhà khoa học thế giới tưởng ông là người Nga. Mãi đến năm 1971 giáo sư người Mỹ Egon Balas mới viết đúng tên ông và quê hương Việt Nam. Mới đây ông lại được mời sang Mỹ giảng chương trình tối ưu đơn điệu để áp dụng vào một số nghiên cứu công nghệ sinh học và kỹ thuật chế tạo. Những ứng dụng rộng rãi của hướng nghiên cứu của ông được đánh giá cao trên trường quốc tế.
Dưới sự lãnh đạo của ông, nhóm nghiên cứu tối ưu và điều khiển tại khoa Toán Ðại học Tổng hợp trước đây và của Viện Toán học Việt Nam dưới sự lãnh đạo của ông đã tham gia nhiều công trình ứng dụng thực tế về Vận trù học, toán Kinh tế, khoa học Hệ thống v.v...
Hoàng Tụy cùng với giáo sư Lê Văn Thiêm đã có đóng góp lớn trong việc thành lập Viện Toán học và Hội Toán học Việt Nam. Viện Toán học Việt Nam hiện nay được Viện hàn lâm khoa học thế giới thứ ba công nhận là một trong 10 trung tâm toán học xuất sắc của các nước đang phát triển. Năm 1995 ông được trường Ðại học tổng hợp Linkoping (Thụy Ðiển) phong tặng Tiến sĩ danh dự về công nghệ. Năm 1996 ông được Nhà nước tặng giải thưởng Hồ Chí Minh về khoa học kỹ thuật.
Ông được các trường đại học trên thế giới mời hội nghị. Giữa tháng sáu này, các trường đại học hai nước Áo và Pháp mời ông diễn thuyết.
Vừa qua tại Đại hội Đại biểu toàn quốc lần thứ V của Hội Toán học Việt Nam, nhiều thế hệ các nhà toán học đã tôn vinh và chúc mừng Giáo sư Hoàng Tụy, một trong những nhà toán học lão thành của đất nước.

 

[chienhopnguyen]

René Descartes (1596–1650) là triết gia, nhà khoa học, nhà toán học người Pháp, được một số người xem là cha đẻ của triết học hiện đại.
Sinh tại La Haye, Touraine (trước đây là một tỉnh, nay gọi là một vùng của Pháp), Descartes là con của một gia đình quý tộc nhỏ, có truyền thống khoa bảng. Lên tám tuổi, ông được gửi theo học tại trường học của dòng Tên tại La Flèche ở Anjou, ông học ở đây suốt 8 năm. Bên cạnh những môn học cổ điển, Descartes còn học toán ở các thầy theo trường phái Kinh viện, một học phái chủ trương dùng lý luận của loài người để hiểu lý thuyết Ky tô giáo. Thiên Chúa giáo La Mã có ảnh hưởng mạnh mẽ đến suốt cuộc đời Descartes. Sau khi ra trường, ông theo học luật tại Đại học Poitiers, tốt nghiệp năm 1616. Tuy vậy, ông chưa hề hành nghề luật; năm 1618 ông phục vụ cho Hoàng tử Maurice de Nassau, nhà lãnh đạo của Liên hiệp các tỉnh Hà Lan, với ý định theo đuổi một cuộc đời binh nghiệp. Những năm tiếp theo, Descartes phục vụ các quân đội khác, nhưng ông đã bắt đầu tập trung vào toán học và triết học. Ông hành hương sang đất Ý từ năm 1623 đến 1624, sau đó từ 1624 đến 1628, ông ở Pháp. Trong thời gian ở Pháp, Descartes chuyên tâm nghiên cứu triết học và làm các thí nghiệm về quang học. Năm 1628, sau khi bán hết tài sản ở Pháp, ông chuyển sang sống ở Hà Lan, và sống hầu hết quãng đời còn lại ở xứ hoa tuylip. Descartes sống ở nhiều thành phố khác nhau của Hà Lan, như Amsterdam, Deventer, Utrecht, và Leiden.
Dường như trong năm đầu tiên ở Hà Lan, Descartes đã viết tác phẩm lớn đầu tiên, Essais philosophiques (Các tiểu luận triết học), xuất bản năm 1637. Tác phẩm gồm bốn phần: một tiểu luận về hình học, một về quang học, phần thứ ba về sao băng, và Discours de la méthode (Bàn luận về phương pháp), trong đó ông trình bày các nghiên cứu triết học của mình. Sau đó lần lượt ra đời các tác phẩm khác, có thể kể ra Meditationes de Prima Philosophia (Suy ngẫm về Triết học Tiên khởi, năm 1641, viết lại năm 1642) và Principia Philosophiae (Các nguyên lý triết học, năm 1644). Cuốn sau này ông dành tặng cho Công chúa Elizabeth Stuart xứ Bohemia, một người bạn thân thiết của ông ở Hà Lan. Năm 1649 Nữ Hoàng Christina nước Thụy Điển mời Descartes đến giảng dạy cho bà về triết học tại triều đình ở Stockholm. Cái lạnh khắc nghiệt của xứ Bắc Âu đã làm ông mắc bệnh viêm phổi và qua đời năm 1650.
Sau khi ông mất, giáo hội Thiên Chúa giáo La Mã đã liệt các tác phẩm của ông vào danh sách những sách cấm.
Descartes muốn áp dụng phương pháp quy nạp hợp lý của khoa học, nhất là của toán học, vào triết học. Trước đó, triết học bị chi phối bởi phương pháp của phái Kinh viện, vốn hoàn toàn dựa theo sự so sánh và đối chiếu với quan điểm của nhà cầm quyền. Bác bỏ phương pháp này, Descartes cho rằng "Trong khi tìm kiếm con đường thẳng đi đến chân lý, chúng ta không cần phải quan tâm tới những gì mà chúng ta không thể thấu đáo một cách chắc chắn như việc chứng minh bằng đại số và hình học". Qua đó ông chỉ ra rằng "không điều gì được xem là đúng cho đến khi nền tảng để tin rằng nó đúng được thiết lập". Sự chắc chắn duy nhất làm điểm xuất phát cho các nghiên cứu của ông được ông bày tỏ bằng câu nói nổi tiếng "Cogito, ergo sum", (tiếng Latinh, "Tôi tư duy, vậy tôi tồn tại"). Từ tiên đề cho rằng ý thức rõ ràng về tư duy của ông chứng minh rằng ông tồn tại, Descartes kết luận là Chúa tồn tại. Chúa, theo triết học Descartes, đã tạo ra hai loại chất để tạo nên toàn bộ vạn vật. Loại thứ nhất là chất suy nghĩ, tức tinh thần, loại thứ hai là các chất mở rộng, tức thân thể.
Trong tiếng Pháp, tính từ cartésien (hoặc cartésienne - dạng giống cái) dùng để chỉ những nhân cách có xu hướng tư duy logic hơn là cả tin. Cartésien có từ nguyên là tên của Descartes. Tiếng Anh cũng có tính từ cartesian với ý nghĩa tương đương.
Triết học Descartes, có khi được gọi là Cartesianism (tiếng Anh), đã khiến cho ông có nhiều giải thích sai lầm về các hiện tượng vật lý. Tuy nhiên, các giải thích đó cũng có một giá trị nhất định, vì ông đã dùng những giải thích cơ học thay cho những quan điểm tinh thần mơ hồ của các tác giả đi trước. Ban đầu Descartes đã công nhận thuyết Copernic về hệ thống vũ trụ trong đó các hành tinh xoay quanh Mặt Trời, nhưng ông đã từ bỏ nó chỉ vì giáo hội Thiên Chúa La Mã phán rằng thuyết đó tà đạo. Thay vào đó ông đưa ra lý thuyết dòng xoáy – cho rằng vũ trụ được lấp đầy vật chất, ở các trạng thái khác nhau, xoáy quanh mặt trời.
Trong lĩnh vực sinh lý học, Descartes giữ quan điểm rằng máu là một chất lỏng tinh tế mà ông gọi là hồn của động vật. Ông tin rằng hồn động vật tiếp xúc với chất suy nghĩ ở trong não và chảy dọc theo các dây thần kinh để điều khiển cơ bắp và các phần khác của cơ thể.
Về quang học, Descartes đã khám phá ra định luật cơ bản của sự phản xạ: góc tới bằng góc phản xạ. Tiểu luận của ông là văn bản đầu tiên trình bày đề cập đến định luật này. Việc Descartes xem ánh sáng như một thứ áp lực trên môi trường chất rắn đã dẫn đường cho lý thuyết sóng của ánh sáng.
Đóng góp quan trọng nhất của Descartes với toán học là việc hệ thống hóa hình học giải tích, hệ các trục tọa độ vuông góc được mang tên ông. Ông là nhà toán học đầu tiên phân loại các đường cong dựa theo tính chất của các phương trình tạo nên chúng. Ông cũng có những đóng góp vào lý thuyết về các đẳng thức. Descartes cũng là người đầu tiên dùng các chữ cái cuối cùng của bảng chữ cái để chỉ các ẩn số và dùng các chữ cái đầu tiên của bảng chữ cái để chỉ các giá trị đã biết. Ông cũng đã sáng tạo ra hệ thống ký hiệu để mô tả lũy thừa của các số (chẳng hạn trong biểu thức x²). Mặc khác, chính ông đã thiết lập ra phương pháp, gọi là phương pháp dấu hiệu Descartes, để tìm số nghiệm âm, dương của bất cứ phương trình đại số nào.

 

[chienhopnguyen]

Gauss được sinh ra tại Braunschweig, thuộc Brunswick-Lüneburg (nay là Hạ Saxony, Đức), con trai duy nhất của một cặp vợ chồng thuộc tầng lớp thấp trong xã hội. Theo giai thoại kể lại, tài năng bẩm sinh của Gauss được phát hiện khi ông mới lên ba, qua việc ông sửa lại lỗi của cha trong tính toán tài chính. Một câu chuyện khác kể rằng khi ông học tiểu học, thầy giáo yêu cầu học sinh tính cộng các số nguyên từ 1 đến 100. Gauss đã trả lời đúng chỉ trong vài giây bằng một cách giải nhanh và độc đáo. Ông nhận thấy việc cộng hai số ở đầu và cuối dãy tạo ra kết quả trung gian giống nhau: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101, và kết quả tổng cộng là 50 × 101 = 5050. Câu chuyện này có nhiều khả năng là chuyện có thật, mặc dù bài toán mà thầy giáo của Gauss đã ra có thể khó hơn như vậy. [1]
Từ năm 1792 đến 1795, Gauss được nhận học bổng của Karl Wilhelm Ferdinand (công tước trong vùng) để vào trường trung học Collegium Carolinum. Từ năm 1795 đến 1798 ông học ở Đại học Göttingen. Trong trường trung học, Gauss khám phá ra một số định lý toán học quan trọng một cách độc lập; năm 1796, Gauss đã có đột phá toán học đầu tiên khi ông chứng minh rằng mọi đa giác đều với số cạnh bằng số nguyên tố Fermat (và, do đó, mọi đa giác đều với số cạnh bằng tích của các số nguyên tố Fermat khác nhau và lũy thừa của 2) đều có thể dựng được bằng compa và thước kẻ. Đây là một khám phá quan trọng trong ngành dựng hình, một bài toán đã làm đau đầu nhiều nhà toán học từ thời Hy Lạp cổ đại. Gauss đã thích thú với kết quả này đến nỗi ông đã yêu cầu khắc lên mộ mình sau này một hình thất thập giác đều. Tuy nhiên người xây mộ đã từ chối, nói rằng khó khăn kỹ thuật sẽ làm cho hình với số cạnh nhiều như vậy trông giống một hình tròn.
Năm 1796 có lẽ là năm chứng kiến nhiều phát kiến của Gauss nhất, chủ yếu cho ngành lý thuyết số. Vào 30 tháng 3 năm đó, ông tìm thấy cách dựng hình thất thập giác. Ông đã tìm ra số học modula, một khám phá giúp cho việc giải toán trong lý thuyết số được đơn giản hóa đi nhiều. Công thức nghịch đảo toàn phương của ông được tìm thấy ngày 8 tháng 4. Định luật khá tổng quát này cho phép các nhà toán học xác định khả năng giải được cho các phương trình bậc hai trong số học modula. Định lý số nguyên tố được Gauss phát biểu ngày 31 tháng 5, cho một cách hiểu thấu đáo về cách sô nguyên tố được phân bố trong dãy số nguyên. Ngày 10 tháng 7, Gauss đã tìm thấy rằng bất cứ số nguyên nào cũng có thể được biểu diễn bằng tổng của tối đa là ba số tam giác; ông đã sung sướng viết trong sổ tay của mình "Heureka! num= Δ + Δ + Δ." Ngày 1 tháng 10, ông cho xuất bản một kết quả về các nghiệm của các đa thức với hệ số trong trường vô hạn, một kết quả đã dẫn đến phát biểu Weil 150 năm sau.
Bìa quyển sách Disquistiones ArithmeticaeTrong luận văn của ông năm 1799, Gauss đã trở thành người đầu tiên chứng minh định lý cơ bản của đại số. Định lý này nói rằng bất cứ một đa thức trên trường số phức nào cũng đều có ít nhất một nghiệm. Các nhà toán học trước Gauss mới chỉ giả thiết rằng định lý đó là đúng. Gauss đã chứng sự đúng đắn của định lý này một cách chặt chẽ. Trong cuộc đời của mình, ông đã viết ra tới bốn cách chứng minh hoàn toàn khác nhau cho định lý trên, làm sáng tỏ ý nghĩa của số phức.
Năm 1801, Gauss tiếp tục có nhiều cống hiến trong lý thuyết số, tổng kết lại trong quyển Disquisitiones Arithmeticae, một công trình chứa đựng miêu tả gọn gàng về số học modula và cách chứng minh thứ nhất của công thức nghịch đảo toàn phương. Cùng năm này, nhà thiên văn Ý Giuseppe Piazzi tìm thấy thiên thể Ceres, nhưng chỉ kịp thấy nó trong vài tháng. Gauss đã tiên đoán chính xác vị trí mà thiên thể này sẽ được tìm lại, và tiên đoán này được khẳng định bởi quan sát của Franz Xaver von Zach ở thị trấn Gotha vào ngày 31 tháng 12, 1801, và bởi Heinrich Wilhelm Matthäus Olbers ở Bremen một ngày sau đó. Zach đã ghi lại "nếu không có công trình trí tuệ và tính toán của tiến sĩ Gauss chúng ta đã có thể không tìm lại Ceres được nữa." Vào thời điểm này Gauss tuy vẫn nhận lương của Công tước, ông ngờ rằng sự dàn xếp này không được bảo đảm, mặt khác cho rằng công sức của ông đối với toán học thuần túy không xứng đáng được chu cấp như vậy. Vì thế, ông đã tìm việc trong ngành thiên văn học, và vào năm 1807 được giữ cương vị Giáo sư Thiên văn và Giám đốc đài thiên văn ở Göttingen. Ông đã làm việc với chức vị này trong suốt phần còn lại của cuộc đời.
Sự khám phá ra Ceres của Giuseppe Piazzi ngày 1 tháng 1 năm 1801 đã giúp Gauss chuyển hướng nghiên cứu sang lý thuyết về chuyển động của các tiểu hành tinh, bị nhiễu loạn bởi các hành tinh lớn hơn. Các công trình của ông trong lĩnh vực này đã được xuất bản năm 1809 dưới tên Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientum (lý thuyết về chuyển động của các thiên thể trong quỹ đạo mặt cắt hình nón quanh Mặt Trời). Piazzi chỉ quan sát được Ceres trong vài tháng, khi thiên thể này di chuyển khoảng vài độ trên bầu trời. Sau đó thiên thể này chói lòa bởi ánh sáng Mặt Trời. Vài tháng sau, khi Ceres đã ló ra khỏi vùng ảnh hưởng của ánh sáng Mặt Trời, Piazzi đã không tìm thấy nó: các công cụ toán học thời đó không đủ chính xác để giúp ông tiên đoán trước vị trí thiên thể này từ các dữ liệu ít ỏi đã quan sát được – 1% của toàn bộ quỹ đạo.
Gauss, lúc đó ở tuổi 23, đã được nghe về bài toán này và lập tức giải quyết nó. Sau ba tháng làm việc miệt mài, ông đã tiên đoán vị trí của Ceres vào tháng 12 năm 1801 – khoảng 1 năm sau khi thiên thể này được nhìn thấy lần đầu – và tính toán này đã được kiểm chứng lại cho thấy sai số nhỏ hơn nửa độ. Các công trình của ông đã trở thành công cụ tính toán quan trọng cho thiên văn học thời này. Ông đã giới thiệu hằng số hấp dẫn Gauss và hoàn chỉnh phương pháp bình phương tối thiểu, một phương pháp dùng cho hầu như một ngành khoa học ngày nay khi giảm thiểu sai số đo. Gauss đã chứng minh chặt chẽ giả định về sai số theo phân bố Gauss (xem định lý Gauss-Markov). Phương pháp này đã được Adrien-Marie Legendre dùng vào năm 1805, nhưng Gauss nói ông đã dùng nó từ năm 1795.
Cuối thập niên 1810, Gauss được mời thực hiện các nghiện cứu trắc địa cho bang Hannover để liên kết với mạng lưới Đan Mạch. Gauss vui lòng chấp nhận và tham gia, đo đạc vào ban ngày và xử lý kết quả vào ban đêm, sử dụng khả năng tính toán phi thường của ông. Ông thường viết cho Heinrich Christian Schumacher, Heinrich Wilhelm Matthäus Olbers và Friedrich Bessel, nói về tiến trình đo đạc và các vấn đề. Trong cuộc điều tra trắc địa này, Gauss đã phát minh máy heliotrope (?) sử dụng hệ thống gương để phản chiếu ánh sáng Mặt Trời vào kính viễn vọng phục vụ đo đạc chính xác.
Gauss cũng đã tuyên bố khám phá ra hình học phi Euclide nhưng ông chưa bao giờ xuất bản các công trình về vấn đề này. Khám phá này đã là một cuộc cách mạng trong tư duy toán học đương thời, giải phóng các nhà toán học khỏi giả thuyết rằng các tiên đề Euclide là cách duy nhất để xây dựng hình học không tự mâu thuẫn. Các nghiên cứu về hình học này, cùng với các ý tưởng khác, đã dẫn đến lý thuyết tương đối rộng của Albert Einstein, miêu tả vũ trụ trong hình học phi Euclide. Farkas Bolyai, một bạn của Gauss, người mà Gauss đã thề làm "anh em kết nghĩa" khi còn là sinh viên, đã thử chứng minh định đề song song từ các tiên đề Euclide mà không thành công. Con trai của Bolyai, Janos Bolyai, khám phá ra hình học phi Euclide năm 1829 và xuất bản công trình này năm 1832. Sau khi nhìn thấy xuất bản của Janos Bolyai, Gauss đã viết cho Farkas Bolyai: "Nếu khen công trình này thì tức là tự khen tôi. Toàn bộ nó ... trùng hoàn toàn với những gì tôi nghĩ trong suốt ba mươi đến ba mươi nhăm năm qua." Câu nói khó kiểm chứng này đã gây căng thẳng trong quan hệ với János Bolyai (người đã nghĩ rằng Gauss đã "ăn cắp" ý tưởng của ông).
Phân bố Gauss trong thống kê Cuộc thăm dò địa trắc ở Hannover đã dẫn Gauss đến khám phá ra phân bố Gaussian dùng trong miêu tả sai số phép đo. Nó cũng dẫn ông đến một lĩnh vực mới là hình học vi phân, một phân ngành toán học làm việc với các đường cong và bề mặt. Ông đã tìm thấy một định lý quan trọng cho ngành này, theorema egregrium xây dựng một tính chất quan trọng cho khái niệm về độ cong. Một cách nôm na, định lý nói rằng độ cong của một bề mặt có thể được đo hoàn toàn bởi góc và khoảng cách trên bề mặt đó; nghĩa là, độ cong hoàn toàn không phụ thuộc vào việc bề mặt trông như thế nào trong không gian (ba chiều) bao quanh.
Năm 1831 Gauss đã có hợp tác hiệu quả với nhà vật lý học Wilhelm Weber; hai ông đã cho ra nhiều kết quả mới trong lĩnh vực từ học (trong đó có việc biểu diễn đơn vị từ học theo khối lượng, độ dài và thời gian) và sự khám phá ra định luật Kirchhoff trong điện học. Gauss và Weber đã lắp đặt được máy điện toán điện từ đầu tiên vào năm 1833, liên lạc thông tin từ đài thiên văn về viện vật lý ở Göttingen. Gauss đã cho xây một trạm quan sát từ học trong khu vườn của đài thiên văn và cùng Weber thành lập "câu lạc bộ từ học" (magnetischer Verein), phục vụ việc đo đạc từ trường Trái Đất tại nhiều nơi trên thế giới. Ông đã sáng chế ra một phương pháp đo thành phần nằm ngang của từ trường, một phương pháp được tiếp tục ứng dụng sau đó cho đến tận nửa đầu thế kỷ 20, và tìm ra một lý thuyết toán học cho việc định vị các nguồn từ trường trong lòng Trái Đất (tách biệt nguồn do lõi và vỏ Trái Đất với nguồn do từ quyển hành tinh này.
Gauss mất ở Göttingen, Hannover (nay thuộc Hạ Saxony, Đức) năm 1855 và được chôn cất tại nghĩa trang Albanifriedhof. Bộ não của ông được bảo quản và nghiên cứu bởi Robert Heinrich Wagner; nó nặng 1.492 gam và có diện tích vỏ não rộng 219.588 xentimét vuông. Trên vỏ não cũng tìm thấy nhiều nếp cuộn, một đặc điểm được nhiều người vào đầu thế kỷ 20 cho là lời giải thích cho trí tuệ đặc biệt của ông (Dunnington, 1927). Tuy nhiên, ngày nay môn não học này được cho là giả khoa học.

 

[chienhopnguyen]

Woolsthorpe 1642 - Kensington 1727
Newton ra đời gần đúng một thế kỷ sau khi Copernicus tạ thế, và đúng vào những năm Galileo từ trần. Hai bậc vĩ nhân đó trong khoa thiên văn học đã cùng với Johannes Kepler đặt nền móng để sau này Newton tiếp tục xây dựng sự nghiệp.
Newton là nhà toán học thiên tài, sinh trong thời đại có nhiều nhà toán học nổi tiếng. Marvin nhận định rằng: “Thế kỷ 17 là thế kỷ toán học trổ hoa, cũng như thế kỷ 18 là thế kỷ của hoá học, thế kỷ 19, sinh vật học. Khoa học trong nửa sau thế kỷ 17 đã tiến được những bước dài hơn mọi thời kỳ khác”.
Newton bao quát được các ngành chính của khoa vật lý như: Toán học, Hóa học, Vật lý học và Thiên văn học, vì trong thế kỷ 17, nghĩa là trước khi khoa học chia ra nhiều ngành chuyên môn, một nhà khoa học có thể cùng một lúc bao quát nhiều ngành khoa học.
Newton sinh đúng ngày lễ Giáng sinh năm 1642. Thiếu thời ông được chứng kiến sự thăng trầm của Chính phủ liên hiệp Oliver Cromwell, trận hỏa hoạn tàn phá hầu hết thành phố London và nạn dịch hạch sát hại một phần ba dân số thành phố này. Sau 18 năm sống trong một xóm nhỏ ở Woolsthorpe, Newton được gửi theo học trường đại học Cambridge. Ở đây Newton may mắn được theo học một giáo sư toán học có tài tên là Isaac Barrow, người được gọi là “cha tinh thần” của Newton, Barrow biết là khuyến khích thiên tài Newton. Và ngay khi còn ở trường, Newton đã khám phá ra định lý Nhị thức (Binôme de Newton).
Trường đại học Cambridge phải đóng cửa năm 1665 vì nạn dịch hạch, Newton lại trở về quê. Trong hai năm liền sống cách biệt hẳn với thế giới bên ngoài, Newton dành hết thì giờ để suy tư và nghiên cứu khoa học. Kết quả thật là siêu phàm: chưa đầy 25 tuổi, Newton đã thực hiện được ba phát minh khiến ông nghiễm nhiên trở nên ngang hàng với các thiên tài khoa học của mọi thời đại. Trước hết Newton phát minh ra khoa Toán học Vi phân (Calcul différentiel) dùng để tính những số lượng chuyển biến như sự vận động của các vật thể, của làn sóng và để giải những bài toán vật lý có liên quan tới mọi sự chuyển động “Toán học vi phân có thể nói đã mở được cửa kho tàng báu vật toán học, đã đặt thế giới toán học dưới chân Newton và các học trò của ông”.
Khám phá quan trọng thứ hai của Newton là định luật về thành phần ánh sáng và từ đó ông phân tích được bản chất của màu sắc và bản chất của ánh sáng trắng. Newton chứng minh rằng: ánh sáng trắng của mặt trời gồm có những tia sáng màu mà ta thường thấy ở cầu vồng. Như vậy màu sắc là bản chất của ánh sáng, và ánh sáng trắng - những thí nghiệm bằng lăng kính của Newton đã chứng minh - là do sự trộn lẫn tất cả các màu sắc của quang phổ. Từ khám phá này, Newton tiến đến việc chế tạo kiểu viễn kính phản chiếu đầu tiên, có thể đem ra sử dụng một cách có hiệu quả.
Khám phá thứ ba có lẽ là khám phá vĩ đại nhất của Newton, là định luật vạn vật hấp dẫn. Khám phá này đã kích động trí tưởng tượng của các nhà khoa học, mãnh liệt hơn mọi khám phá về lý thuyết khác trong thời kỳ cận đại. Theo một giai thoại ai cũng biết thì Newton giác ngộ rồi tìm ra định luật hấp dẫn khi ông quan sát quả táo rơi. Sự thật thì chuyện trái đất hút những vật ở gần không có gì mới lạ. Nhưng điều mới lạ là Newton đã mở rộng nhận xét đó để áp dụng đối với vạn vật, từ trái đất các hành tinh và chứng minh được thuyết của ông bằng toán học.
Điều đáng ngạc nhiên là Newton không hề công bố gì về ba phát minh cực kỳ quan trọng của ông về toán học vi phân, màu sắc và định luật hấp dẫn. Bản tính rất dè dặt kín đáo, ông không thích tiếng tăm, không thích tranh luận, và có ý muốn xếp xó những phát minh của ông. Những gì ông công bố sau này đều do bạn bè thúc ép, những công bố song ông lại hối hận vì trót mềm yếu nghe lời họ. Ông nghĩ rằng công bố sẽ khiến cho người ta phê bình, rồi từ phê bình đi tới tranh luận, điều mà Newton với bẩm tính nhạy cảm rất lấy làm khổ tâm.
Sau những năm sống ẩn dật và nhàn hạ bất đắc dĩ vì bệnh dịch hạch tàn sát London, Newton lại trở lại Cambridge. Tốt nghiệp đại học xong, ông được cử làm giáo sư trường Trinity. Ít lâu sau, cựu giáo sư của Newton là Barrow từ chức, Newton khi đó mới 27 tuổi được bổ nhiệm làm giáo sư toán học, một chức vụ ông giữ trong hai mươi bảy năm liền. Mười hay mười hai năm tiếp theo, người ta biết rất ít về những hoạt động của Newton. Chỉ biết ông tiếp tục nghiên cứu về ánh sáng và công bố khám phá của ông về thành phần của ánh sáng trắng. Lập tức ông bị lôi cuốn vào một cuộc tranh luận vì lẽ những kết luận của ông về ánh sáng trái ngược hẳn với quan niệm đương thời, và vì trong tập tài liệu công bố, ông đã trình bày quan niệm triết lý của ông về khoa học. Ông chủ trương rằng: nhiệm vụ chính yếu của khoa học là tiến hành những cuộc thí nghiệm, ghi nhận những kết quả của thì nghiệm, và sau hết là rút ra những định luật toán học căn cứ vào kết quả những thí nghiệm đó. Ông viết: “Phương pháp thích đáng nhất để nghiên cứu đặc tính của sự vật là suy luận xuất phát từ những cuộc thí nghiệm”. Những nguyên tắc này hoàn toàn phù hợp với phương pháp nghiên cứu khoa học hiện đại, nhưng trong thời Newton lại không được chấp nhận. Thời đó, chịu ảnh hưởng triết học cổ, các học giả thường hay tin ở trí tưởng tượng, ở lý trí, ở bề ngoài của sự vật nhiều hơn là tin ở sự thí nghiệm.
Những năm 1692 đến 1694, ông bị đau óc, phải nghỉ đến 10 năm sau mới xuất bản quyển khảo luận Quang học (Traité d'Optique), cuốn Khảo luận về cách tính Vi phân.

 

[chienhopnguyen]

Syracuse, khoảng 287 trước CN - 212 trước CN
Archimedes là nhà bác học vĩ đại thời cổ Hy Lạp và là một trong những nhà toán học vĩ đại nhất của mọi thời đại. Ông sinh ra tại Syracuse (Hy Lạp), đảo Sicilia (nay thuộc nước Ý) , con trai của một nhà thiên văn học. Thời bấy giờ các gia đình giàu sang thường tạo điều kiện cho con cái có nền học vấn toàn diện mà trọng tâm là triết học và văn chương, còn toán học thì được xem là môn phụ. Thường họ chỉ học toán vì toán cần cho triết học. Gia đình của ông lại khác, bố ông cho ông sang Alexandria để học sâu về toán học và thiên văn học là những lĩnh vực mà sau này Archimedes có những sáng tạo vĩ đại nhất.
Các công trình của Archimedes là những tác phẩm lớn về toán học giống như những bài báo khoa học ngày nay với tầm khái quát đặc sắc và hiện đại . Chúng được viết một cách cẩn thận, trau chuốt, gãy gọn, đầy tính sáng tạo và rất khéo léo trong tính toán và chặt chẽ trong chứng minh. Khoảng mười luận văn còn lưu giữ cho đến nay như: Đo lường hình tròn, Cầu phương parabol, Về các đường xoắn ốc, Về hình cầu và hình trụ, Về conoid và phỏng cầu, Bàn tính cát, Về các cân bằng phẳng, Về các vật thể nổi ..và có nhiều tác phẩm khác đã bị thất lạc như một tiểu luận về số học, một số luận văn về vật lý toán, tác phẩm " Phương pháp " nói về các thông tin liên quan đến cách mà Archimedes dùng để khám phá ra nhiều định lý của ông .
Từ các công trình của Archimedes, ta thấy rằng ông đã có những đóng góp rất lớn vào sự phát triển của toán học. Ông đã phát hiện ra cách biểu diễn một số bất kỳ, đưa ra cách tính số . Ông tính được diện tích nhiều hình kể cả những hình giới hạn bởi đường cong, tính được thể tích của nhiều vật thể bằng một phương pháp rất đặc biệt, ngày nay gọi là phép tính tích phân, một bộ phận quan trọng của toán học hiện đại. Về mặt này ông đã đi trước thời đại hàng 20 thế kỷ, vì mãi đến thế kỷ XVII phép tính vi tích phân mới thật sự hình thành và phát triển với Newton và Leipniz.
Ông có những cống hiến lớn lao trong cơ học và thuỷ tĩnh học như sáng chế ra đòn bẩy, bánh xe răng cưa, đinh vít, bộ ròng rọc. Ông tìm ra lý thuyết về đòn bẩy và lý thuyết về trọng tâm. Ông tìm ra định luật về lực đẩy của chất lỏng (định luật Archimedes) .
Ông không chỉ nghiên cứu điều kiện nổi của các vật mà còn nghiên cứu tính bền vững của sự cân bằng các vật nổi có hình dạng khác nhau. Đó là vấn đề rất cần cho kỹ thuật đóng tàu biển mà mãi đến thế kỷ 20 mới được phát triển và chứng minh chính xác.
Archimedes còn là nhà kỹ thuật đại tài. Với những kiến thức của mình, Archimedes còn tham gia xây dựng và bảo vệ tổ quốc. Ông đã sáng chế ra nhiều vũ khí độc đáo như máy phóng đá, cần cẩu móc nhận chìm tàu chiến, kính hội tụ để đốt cháy tàu chiến.
Có nhiều giai thoại về Archimedes. Khi phát hiện ra qui tắc biểu diễn một số bất kỳ, Archimedes hô lên rằng " Tôi có thể đếm được tất cả các hạt cát trong vũ trụ .", hay khi phát hiện ra quy luật về đòn bẩy ông tuyên bố " Cho tôi một điểm tựa, tôi có thể làm cho trái đất dịch chuyển ." Và cũng có câu chuyện rằng Archimedes được vua Hieron của Syracuse giao cho kiểm tra chiếc vương miện bằng vàng có bị pha bạc hay không. Suy nghĩ mãi mà không tìm ra giải pháp thì một hôm ông đi tắm, khi thả người vào bồn nước ông thấy như có một lực nào đó đấy lên và đồng thời có một lượt nước tràn ra khỏi bồn tắm. Ông sung sướng và quên tất cả vài điều cần thiết, chạy ra phố la to " Eureka ! " (Tìm ra rồi). Đó là lúc ông tìm ra nguyên lý vật nổi.

 

[chienhopnguyen]

Giáo sư, Tiến sĩ khoa học, nhà giáo Nhân dân, danh nhân khoa học thế giới, Phó Tổng giám đốc trung tâm Tiểu sử quốc tế, đó là một loạt các chức danh khoa học của nhà toán học Nguyễn Cảnh Toàn, người được thế giới biết đến qua phát minh "Hình học siêu phi Euclid" mang tên ông. Ông còn là người thầy về cách học và dạy cho người khác phương pháp học.

Sinh ngày 28-9-1926 tại làng Nghiêm Thắng, xã Ðông Sơn, huyện Ðô Lương, tỉnh Nghệ An, ngay từ nhỏ, do tò mò khoa học, ham hiểu biết mà học sinh Nguyễn Cảnh Toàn đã hình thành sớm cho mình sự chủ động tìm học, tự học, học ở mọi nơi, mọi lúc, học cách tư duy, học cách làm việc và học cách phát hiện vấn đề. Những kỷ niệm như, nhìn đồng hồ là Nguyễn Cảnh Toàn biết được vận tốc gần như tức thời (tốc độ trung bình trong vài giây, trong một phút) của tàu hỏa, hay khám phá ra bí mật của số ghi trên cột km đã trở thành những tiền đề thành công sau này của ông. Thầy Ðinh Thành Chương (từng dạy ông ở trung học cơ sở) đã nhận xét về ông: "Toàn không phải là thần đồng nhưng rất biết cách học".


Nhờ vốn liếng về cách học "chủ động và thông minh" đó mà ông gặt hái được nhiều thành công khi làm thầy. Ông là thầy về "cách học", dạy cho người khác "cách học". Ngày nay, một giáo viên dạy toán trung học phổ thông phải là cử nhân sư phạm, vậy mà khi Nguyễn Cảnh Toàn bắt đầu dạy năm 1947, ông mới có 1/4 bằng cử nhân (toán học đại cương) mà lại chưa qua đào tạo sư phạm. Ấy vậy mà Nguyễn Cảnh Toàn vẫn nhận một chương trình toán nặng hơn chương trình tú tài chuyên toán .Chỉ trong một thời gian ngắn, ông đã nổi tiếng là thầy giỏi. Ông có lối tư duy độc lập, không phụ thuộc vào sách giáo khoa dù cho tác giả là người có uy tín (Brachet). Những chỗ ông không theo Brachet thì ông nghiên cứu cách làm hay hơn. Ông giúp học trò cách tư duy và khuyến khích sự sáng tạo. Ông là người có bản lĩnh, dám nhận những việc khó như dạy những môn mình chưa học, nhận nói chuyện những chủ đề không thuộc chuyên môn của mình, tự đẩy mình vào tình thế không thể thoái thác. Năm 1949, ông thi đỗ cử nhân và được Bộ điều lên dạy đại học. Ngay lập tức, như cá gặp nước, một chuỗi những thành tựu của ông về toán học, về dạy học và quản lý giáo dục cứ liên tiếp nối nhau. Những quan điểm ông đưa ra tưởng như không tưởng, không thể chấp nhận nhưng thực tế đã chứng minh, ông luôn đúng. Ông đã đi trước thời gian .

Ông còn tự mình học triết học duy vật biện chứng , coi đó là cốt lõi của tư duy sáng tạo. Ðiều này góp phần không nhỏ vào thành công trong nghiên cứu, giảng dạy và quản lý giáo dục của chính bản thân ông. Về toán học, nhờ vận dụng "mâu thuẫn và thống nhất giữa hình học Euclid và hình học phi Euclid", ông đã tiến hành thuận lợi luận án tiến sĩ, luận án đầu tiên của người Việt Nam được làm trong nước và bảo vệ xuất sắc ở Liên Xô (trước đây) vào năm 1958. Ðến luận án tiến sĩ khoa học, cũng nhờ vốn tư duy biện chứng, ông đã vượt qua được thách thức trong lịch sử toán học khi đưa ra kết luận "Xa vô tận chỉ là tương đối", khác hẳn "Xa vô tận là tuyệt đối" trong không gian Euclid hay phi Euclid. Và từ một trường hợp cá biệt đó, ông đã khái quát lên thành một lý thuyết bao trùm hết những không gian như vậy, mang tên "hình học siêu phi Euclid" vì hình học phi Euclid chỉ là một trường hợp rất đặc biệt của nó. Ðó chính là "Hình học Nguyễn Cảnh Toàn".


Ngày đó, Trường Ðại học Sư phạm chỉ học trong hai năm trong khi các tài liệu về khoa học tự nhiên của Liên Xô (trước đây) lại tương đối dài. Nhu cầu "tinh giản" được đặt ra cấp bách. Ðiển hình cho việc "tinh giản" đó là việc ông đổi mới cách thành lập các công thức lượng giác của hình học Lobachevski. Và sau khi nghiên cứu, nhận thấy các sách của Liên Xô (trước đây) đều đi từ đơn giản đến phức tạp, ông đã vận dụng mối quan hệ biện chứng giữa chủ quan và khách quan để đi ngược lại từ phức tạp đến đơn giản và kết quả là gọn đi rất nhiều. Giáo sư Efimov ở Trường Ðại học Tổng hợp Moscow, sau khi được ông thông báo đã sửa lại sách của mình khi tái bản và chú thích rằng đây là cách làm của nhà toán học Việt Nam Nguyễn Cảnh Toàn. Ông còn là tác giả sách Phương pháp luận duy vật biện chứng với việc học, dạy và nghiên cứu toán học, cho đến nay là quyển sách duy nhất đề cập sát sườn đến việc vận dụng tư duy biện chứng vào việc học, việc dạy, việc nghiên cứu toán từ phổ thông đến trên đại học.

Vào những năm 1960, việc hướng dẫn đào tạo trên đại học còn rất khó khăn do lực lượng hướng dẫn còn quá mỏng. Phần lớn nghiên cứu sinh đều được gửi ra nước ngoài. Ông thì quan niệm khác: Nếu chỉ chờ đợi "đi nghiên cứu sinh" thì không đáp ứng nổi nhu cầu trong nước không lâu dài. Hơn nữa, không tạo ra được môi trường khoa học trong nước. Từ đó, ông quyết định tổ chức bồi dưỡng cán bộ giảng dạy ở khoa toán Trường Ðại học Sư phạm Hà Nội theo hai cấp: Cấp 1(tiền thân của cao học), cấp 2 (tiền thân của đào tạo nghiên cứu sinh). Sau mười năm ở cương vị Chủ nhiệm khoa, rồi Hiệu trưởng ông đã xây dựng "cấp 1" thành nề nếp, còn "cấp 2" thì ngày 23-04-1970 trở thành một cái mốc lịch sử: Ba luận án cấp 2 (nay gọi là tiến sĩ) được thực hiện và bảo vệ tại trường của ông. Ðây là một thắng lợi không những của riêng ông mà còn là bước tiến mới của nền giáo dục ở nước ta và cũng là động lực chính để Nhà nước cho phép chính thức mở đào tạo nghiên cứu sinh trong nước năm 1976.


Ông cũng là người mở đường cho đào tạo từ xa thắng lợi, có nhiều sáng tạo độc đáo Việt Nam. Ðó là việc đào tạo giáo viên trung học phổ thông bằng con đường tự học có hướng dẫn kết hợp với thực tập sư phạm dài ngày ở trường phổ thông (gọi tắt là vừa học vừa làm giáo viên). Thế giới cũng hiếm thấyviệc dùng "từ xa" để đào tạo giáo viên vì rằng "chính quy" mới tạo ra "mô phạm". Ông đã đi trước thời gian với quan niệm "mô phạm" là mẫu mực trong việc phát huy nội lực tự học, tự nghiên cứu của người học; theo cách nhìn này thì "từ xa" có những thuận lợi. Ông coi trọng "HỌC ĐI VỚI HÀNH". Ở ông, "hành" không chỉ là ứng dụng kiến thức mà còn là ứng dụng các kiểu tư duy, thể nghiệm các trạng thái tâm lý. Bởi vậy, theo ông, nghiên cứu khoa học phải được đưa vào ngay từ các trường phổ thông và ông viết cuốn sách Tập cho học sinh giỏi toán làm quen dần với nghiên cứu toán học (NXB Giáo dục 1992, 1997, 1998). Tại Hội nghị quốc tế ở San Francisco (Mỹ) năm 1996, ông cũng đề cập đến vấn đề này qua báo cáo "Ðưa nghiên cứu khoa học vào trường phố thông".


Nhiều người nói vui, gọi ông là một ông "Vua tự học", là "hòa thượng Thích tự học". Ông đã giữ nhiều chức vụ như: Chủ tịch Hội đồng tư vấn của Hội khuyến học, đứng đầu Trung tâm nghiên cứu và phát triển tự học cùng đặc san Dạy - Tự học, Tổng biên tập tạp chí Toán học và tuổi trẻ đã 37 năm, tham gia hoặc làm chủ biên hoặc là thẩm định các từ điển toán học NGA - VIỆT, ANH - VIỆT, TỪ ĐIỂN THUẬT NGỮ TOÁN HỌC, ủy viên Hội đồng chỉ đạo, Hội đồng biên tập Từ điển Bách khoa. Với những đóng góp quan trọng của ông, Trung tâm tiểu sử quốc tế đã tặng ông Bằng danh dự để ghi nhận những thành tựu nổi bật về toán học và giáo dục trong hơn nửa đầu thế kỷ 20 của ông.