Giải và bình luận phương trình, hệ phương trình, bất phương trình

[duynhan1]

Bài anh or chị làm rất tốt,thường thì ở hpt ít dùng tới đánh giá, nhưng đã dùng là rất hữu hiệu,bài này điển hình trong việc đánh giá giải hệ pt lại luyện cả việc đánh giá BĐT. Tiếp 1 bài dễ hơn:
Bài 86: Giải phương trình:
[TEX]\sqrt[3]{3x+4}=x^3+3x^2+x-2[/TEX]

Định hướng: Đặt [TEX]y+1 = \sqrt[3]{3x+4}[/TEX] ta đưa được về hệ đối xứng.
Nhưng bây giờ ta lớn rồi, dùng hàm cho nhanh
Bài giải:
[TEX]3x + 4 + \sqrt[3]{3x+4} = (x+1)^3 +x+1 (1)[/TEX]
Do hàm số [TEX]f(t) = t^3+t[/TEX] đồng biến trên R nên ta có:
[TEX](1) \Leftrightarrow f( \sqrt[3]{3x+4}) = f(x+1) \\ \Leftrightarrow (x+1)^3 = 3x + 4 \\ (x+1)^3 - 3 ( x+1) = 1 [/TEX]
Đặt [TEX]x+1 = 2y [/TEX], ta có:
[TEX]4y^3 - 3y = \frac12 (2) [/TEX].
Nhận thấy [TEX]cos( \frac{\pi}{9}),\ cos(\frac{-\pi}{9}),\ cos ( \frac{5 \pi}{9})[/TEX] là 3 nghiệm của phương trình trên, mà phương trình bậc 3 không có quá 3 nghiệm nên ta có:
[TEX](2) \Leftrightarrow \left{ y=cos( \frac{\pi}{9}) \\ y=cos(\frac{-\pi}{9}) \\ y=cos ( \frac{5 \pi}{9}) \right. \Leftrightarrow \left{ x=-1+2cos( \frac{\pi}{9}) \\ x=-1+2cos(\frac{-\pi}{9}) \\ x=-1+2cos ( \frac{5 \pi}{9}) \right. [/TEX]

 

[giaosu_fanting_thientai]

Bài 87: GPT:

[TEX]\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{3-x}}=x-\frac{1}{2}[/TEX]

 

[duynhan1]

Bài 87: GPT:
[TEX]\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{3-x}}=x-\frac{1}{2} \ (1)[/TEX]

Định hướng: Không.
Bài giải:
Điều kiện:
[TEX]\left{ x + 1 \ge 0 \\ 3 - x \ge 0 \\ \sqrt{x+1} - \sqrt{3-x} \not = 0 \right. \ \ \Leftrightarrow \left{ -1 \le x \le 3 \\ x \not= 1 \right.[/TEX]
Với điều kiện trên ta có:
[TEX](1) \Leftrightarrow \sqrt{x+1} ( \sqrt{x+1} + \sqrt{3-x}) = ( 2x - 2) ( x - \frac12) \\ \Leftrightarrow \sqrt{3+2x-x^2} = 2(x^2 - 2x) [/TEX]
Đặt [tex] t = \sqrt{3+2x-x^2} \ge 0 [/tex]
Ta có:
[TEX]t = -2t^2 + 6 \\ \Leftrightarrow \left[ t = - 2(loai) \\ t = \frac32 \right. [/TEX]
[tex] \Leftrightarrow 3 + 2x - x^2 = \frac94 \\ x= 1 \pm \frac{\sqrt{7}}{2}[/tex]

Kết luận: Nghiệm của phương trình :
[TEX]x= 1 \pm \frac{\sqrt{7}}{2}[/TEX]

 

[giaosu_fanting_thientai]

Bài 88: GPT (Cái pic nèk chậm pt >"< )

[TEX]\sqrt{\frac{19}{64}-x}=x\sqrt{\sqrt{x}+x}[/TEX]

 

[duynhan1]

Bài 88: GPT (Cái pic nèk chậm pt >"< )

[TEX]\sqrt{\frac{19}{64}-x}=x\sqrt{\sqrt{x}+x}[/TEX]

Định hướng: Dễ thấy VT đồng biến, VP nghịch biến, nhưng lấy đạo hàm VP thì mệt quá, chúng ta sẽ chia TH để chứng minh nghiệm duy nhất.
Bài giải:
Điều kiện: [TEX]0 \le x \le \frac{19}{64}[/TEX].

• [TEX]x=\frac14[/TEX] là 1 nghiệm của phương trình.
• [TEX]0 \le x < \frac14[/TEX], ta có:
  • [TEX]VT > \sqrt{\frac{19}{64} - \frac14} =\frac{\sqrt{3}}{8}[/TEX]
  • [TEX]x+\sqrt{x} < \frac34 \Rightarrow VP < \frac14. \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{8} [/TEX]
  • Từ đó suy ra phương trình đã cho vô nghiệm.
• [TEX]\frac14 < x \le \frac{19}{64} [/TEX], tương tự ta có:
  • [TEX]VT < \frac{\sqrt{3}}{8} < VP[/TEX], do đó phương trình vô nghiệm.

Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất [TEX]x = \frac14[/TEX].

 

[giaosu_fanting_thientai]

Bài 89: GPT:

[TEX](x^4-625)^2-100x^2-1=0[/TEX]

Bài 90: GHPT:

[TEX]\left{\begin{xy=x+7y+1}\\{x^2y^2=10y^2-1}[/TEX]

 

[bananamiss]

Bài 89: GPT:

[TEX](x^4-625)^2-100x^2-1=0[/TEX]

Bài 90: GHPT:

[TEX]\left{\begin{xy=x+7y+1}\\{x^2y^2=10y^2-1}[/TEX]

Bài 89:

Định hướng: 625=25^2 --> đặt

Bài giải:
[TEX] (x^4-25^2)^2-4.25x^2-1=0 [/TEX]

[TEX]\left{ x^2=a \\ 25=b[/TEX]

[TEX](pt) \Leftrightarrow (a^2-b^2)^2-4ab=1 \Leftrightarrow (a^2+b^2)^2=(2ab+1)^2 \Leftrightarrow a^2+b^2=2ab+1 \Leftrightarrow \left[a=1+b \\ a=b-1 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left[ x=\sqrt{26} \\ x=\sqrt{24}[/TEX]

Kết luận: [TEX]\left[ x=\sqrt{26} \\ x=\sqrt{24}[/TEX]

Bài 90:
Bài giải: y =0 k là nghiệm
y khác 0, ta có:
[TEX](hpt) \Leftrightarrow \left{ x-\frac{x}{y}-\frac{1}{y}=7 \\ x^2+\frac{1}{y^2}=10[/TEX]
Từ hệ ta suy ra:
[TEX] (x-\frac{1}{y})^2=24-2(x-\frac{1}{y}) \Leftrightarrow \left[x-\frac{1}{y}=-6 \Leftrightarrow x=13y \\ x-\frac{1}{y}=4 \Leftrightarrow x=3y [/TEX]
Thế vào (1) ta tìm được nghiệm.
[/COLOR][/COLOR]

 

[duynhan1]

Bài 91: Giải phương trình:

[tex]\sqrt[3]{x^2-2} = \sqrt{2-x^3} [/tex]​

Bài 92: Giải phương trình:

[tex]x^2+\sqrt{2-x} = 2x^2 \sqrt{2-x} [/tex]​

Bài 93: Giải phương trình:

[tex]\sqrt{5(x^2-x+4)} + \sqrt{7x^2 + 8x + 13 } + \sqrt{13x^2+17x+7} = 3\sqrt{3} (x+2)[/tex]​

 

[xlovemathx]

Giải bằng pp vectơ !

Giải bpt :

Bài 94 : [TEX]\sqrt{x-1}+x-3 \leq \sqrt{2(x-3)^2+2(x-1)}[/TEX]

Bài 95 : [TEX] \sqrt{x+1} +\sqrt{2x-3}+\sqrt{50-3x} \leq 12[/TEX]

 

[tuyn]

Bài 91: Giải phương trình:

[tex]\sqrt[3]{x^2-2} = \sqrt{2-x^3} [/tex]​

​

ĐK: [TEX]x \leq \sqrt[3]{2}[/TEX]
Đặt [TEX]y= \sqrt[3]{x^2-2}= \sqrt{2-x^3} \geq 0 \Rightarrow \left{\begin{y^3=x^2-2}\\{y^2=2-x^3}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left{\begin{y^3+2=x^2}\\{x^3-2=-y^2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x^3+y^3=x^2-y^2 \Leftrightarrow (x+y)(x^2-xy+y^2)=(x-y)(x+y) \Leftrightarrow \left[\begin{y=-x}\\{x^2-xy+y^2=x-y}[/TEX]
+) Với: [TEX]y=-x \Rightarrow x^3+x^2-2=0 \Leftrightarrow x=1 \Rightarrow y=-1 (loai)[/TEX]
+) Với: [TEX]x^2-xy+y^2=x-y(1)[/TEX]
Từ PT của hệ suy ra:
[TEX] \sqrt[3]{x^2-2} \geq 0 \Leftrightarrow |x| \geq \sqrt{2}[/TEX] kết hợp với [TEX]x \leq \sqrt[3]{2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x \leq - \sqrt{2} \Rightarrow x < 0[/TEX] kết hợp với [TEX]y \geq 0 \Rightarrow x-y < 0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow PT (1) VN[/TEX]
Vậy PTVN

 

[tuyn]

Bài 94 : [TEX]\sqrt{x-1}+x-3 \leq \sqrt{2(x-3)^2+2(x-1)}[/TEX]

ĐK: x \geq 1
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki
[TEX]VT^2 \leq 2[(x-1)+(x-3)^2=VP^2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow VT \leq VP \forall x \geq 1[/TEX]
Vậy: BPT có tập nghiệm x \geq 1

Bài 95 : [TEX] \sqrt{x+1} +\sqrt{2x-3}+\sqrt{50-3x} \leq 12[/TEX]

ĐK: [TEX] \frac{3}{2} \leq x \leq \frac{50}{3}[/TEX]
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki
[TEX]VT^2 \leq 3(x+1+2x-3+50-3x=144=VP^2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow VT \leq VP \forall x \in [ \frac{3}{2}; \frac{50}{3}][/TEX]
Vậy BPT có tập nghiệm [TEX][ \frac{3}{2}; \frac{50}{3}][/TEX]

 

[lovelycat_handoi95]

Bài 96:Giải phương trình:

[TEX]x+3(2-3x^2)^2=2[/TEX]

Bài 97:Giải phương trình:

[TEX]162x+27\sqrt{3}=(8x^3-\sqrt{3})^3[/TEX]

Bài 98:Giải phương trình:

[TEX]4x^3-12x^2+9x-1=\sqrt{2x-x^2}[/TEX]

 

[duynhan1]

Bài 96:Giải phương trình:

[TEX]x+3(2-3x^2)^2=2[/TEX]

Định hướng: Ta viết lại phương trình dưới dạng:
[TEX]x= 2 - 3( 2-3x^2)^2[/TEX]
Suy ra: Đặt ẩn phụ để đưa về hệ đối xứng.
Bài giải:
Đặt [TEX]y = 2- 3x^2[/TEX], ta có hệ phương trình:
[TEX]\left{ x = 2- 3y^2 \\ y = 2 - 3x^2 \right. \\ \Rightarrow x-y =3(x^2-y^2) \\ \Leftrightarrow \Leftrightarrow \left{ x = y \\ 3(x+y)= 1[/TEX]
Trường hợp 1: [TEX]x=y[/TEX] ta có:
[TEX]2- 3x^2 = x \\ \Leftrightarrow \left{ x = -1 \\ x = \frac23[/TEX]
Trường hợp 2: [TEX]3(x + y) = 1[/TEX], ta có:
[TEX]6 + 3x - 9x^2 = 1 \\ \Leftrightarrow x = \frac{-3 \pm \sqrt{189}}{12}[/TEX]

Bài 97:Giải phương trình:
[TEX]162x+27\sqrt{3}=(8x^3-\sqrt{3})^3 (1) [/TEX]

Định hướng:
Đối với mấy bài như thế này có 2 cách thường giải là đặt ẩn đưa về hệ đối xứng và xét hàm, mình thích xét hàm hơn.

• Phân tích:
  • Bên VP có thừa số [TEX](8x^3 - \sqrt{3})^3[/TEX] nên ta thêm [TEX](ax)^3[/TEX] vào VT.
  • [TEX](ax)^3 + 162 x = ( 8x^3 - \sqrt{3})^3 + (ax)^3 - 27 \sqrt{3}[/TEX]
  • Để xét hàm đầu tiên ta phải có: [TEX]a^3 \ :\ (-27\sqrt{3}) = 8 \ : \ (-\sqrt{3}) \Rightarrow a= 6[/TEX]
  • Thử vào: [TEX](6x)^3 + 27. 6x = ( 8x^3 - \sqrt{3})^3 + 27( 8x^3 -\sqrt{3})[/TEX].
  • Hên quá trùng khít
    

Bài giải:
[TEX](1) \Leftrightarrow (6x)^3 + 27 . 6x = ( 8x^3 - \sqrt{3})^3 + 27( 8x^3 -\sqrt{3}) \\ \Leftrightarrow 6x = 8x^3 - \sqrt{3} \ \text{( do ham so } \ f(t) = t^3 + 27t\ \text{dong bien tren R )} \\ \Leftrightarrow 4x^3 - 3x = \frac{\sqrt{3}}{2} \ \ (2) [/TEX]
Nhận thấy [TEX]cos{ \frac{\pi}{18}},\ cos{ \frac{11 \pi}{18}}, cos{ \frac{13 \pi}{18}}[/TEX] là 3 nghiệm của phương trình, mà phương trình bậc 3 không có quá 3 nghiệm nên suy ra :
[TEX](2) \Leftrightarrow \left{ x =cos{ \frac{\pi}{18}} \\ x= cos{ \frac{11 \pi}{18}} \\ x= cos{ \frac{13 \pi}{18}}[/TEX]
Kết luận: Nghiệm của phương trình đã cho là:
[TEX] \left{ x =cos{ \frac{\pi}{18}} \\ x= cos{ \frac{11 \pi}{18}} \\ x= cos{ \frac{13 \pi}{18}}[/TEX]

Bài 98:Giải phương trình:
[TEX]4x^3-12x^2+9x-1=\sqrt{2x-x^2}[/TEX]

Định hướng: Ấn tượng với cái trong căn [TEX]2x-x^2[/TEX], nó làm ta nhớ đến hằng đẳng thức [TEX](x-1)^2 [/TEX]

. Do đó ta có [TEX]2x-x^2 = 1-(x-1)^2 \le 1[/TEX]. Như vậy ta nghĩ đến việc chứng minh [TEX]VT \ge 1[/TEX] nữa là coi như bài toán xong

.
Xét hiệu : [TEX](4x^3 - 12x^2 + 9x - 1 ) - 1 = ( x- 2)( 2x-1)^2 \le 0[/TEX] do điều kiện

thất bại rồi

bí rồi bổ sung sau vậy

 

[duynhan1]

Bài 98:Giải phương trình:
[TEX]4x^3-12x^2+9x-1=\sqrt{2x-x^2} (1) [/TEX]

Định hướng: Vẫn như trên [TEX]2x-x^2 = 1-(x-1)^2[/TEX], hình như là lượng giác hóa, ta phân tích bên vế trái xem, do bên vế phải là ẩn (x-1) nên ta chuyển biểu thức bên vế trái thành ẩn x-1.
[TEX]4x^3 - 12x^2 + 9 x - 1 = 4(x-1)^3 - 3(x-1)[/TEX], giống CT [TEX]cos \ 3 \alpha = 4 cos^3 \alpha - 3 cos\ \alpha[/TEX] quá.

Vậy là đã rõ, đặt [TEX](x-1) = cos t [/TEX] thì ta sẽ có:
[TEX]cos 3t = sin t[/TEX]

Bài giải:
Điều kiện: [TEX](x-1)^2 \le 1 \Leftrightarrow -1 \le |x-1| \le 1[/TEX]
[TEX](1) \Leftrightarrow 4(x-1)^3 - 3(x-1) = \sqrt{1-(x-1)^2}[/TEX]
Đặt [TEX]x-1 = cos t \ \ ( t \in [0; \pi]) \Rightarrow sin t \ge 0 [/TEX], ta có:
[TEX]4 cos^3 t - 3 cos t = sin t \\ \Leftrightarrow cos 3t = cos ( \frac{\pi}{2} -t ) \\ \Leftrightarrow \left{ 3t = \frac{\pi}{2} -t + k 2\pi \\ 3t = t- \frac{\pi}{2} + k 2\pi \right. (k \in Z) \\ \Leftrightarrow \left{ t = \frac{\pi}{8} + \frac{k \pi}{2} \\ t = \frac{-\pi}{4} + k \pi \right. (k \in Z) [/TEX]
Do [TEX]t \in [0; \pi][/TEX] nên ta có:
[TEX]\left[ t = \frac{\pi}{8} \\ t = \frac{5 \pi}{8} \\ t = \frac{3 \pi}{4} \right. \ \Leftrightarrow \left[ x =1+ cos{ \frac{\pi}{8}} \\ x=1+cos{ \frac{\pi}{8}} \\ x= 1 + cos{ \frac{\pi}{4}}[/TEX]

 

[xlovemathx]

Bài 99 : [TEX]\left\{ \sqrt{1+x_1}+\sqrt{1+x_2}+ ... +\sqrt{1+x_{2007}}=2007\sqrt{\frac{2008}{2007}} \\ \sqrt{1-x_1}+\sqrt{1-x_2}+ ... +\sqrt{1-x_{2007}}=2007\sqrt{\frac{2006}{2007}}[/TEX]

Bài 100 : [TEX]\left\{ x+y+z=3 \\ x^2+y^2+z^2=3 \\ x^3+y^3+z^3=3[/TEX]

Bài 101 : Biện luận số nghiệm của hệ pt theo tham số a :
[TEX]\left\{ x^2+y^2=9 \\ (ay+x)(x-a\sqrt{3})=0[/TEX]

[TEX]\left\{ x^2+y^2+y(x+z)=0 \\ x(x+1)+y(2z+1) =0 \\ 4(x+y)^2+4(y+z)^2=(x+1)^2+(2z+1)^2[/TEX]

[TEX]\left\{ x^2+y^2=-y(x+z) \\ x^2+x+y=-2yz \\ 3x^2+8y^2+8xy+8yz=2x+4z+2[/TEX]

http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?p=1679028#post1679028 Trùng nhé

 

[duynhan1]

Bài 100 : [TEX]\left\{ x+y+z=3 \\ x^2+y^2+z^2=3 \\ x^3+y^3+z^3=3[/TEX]

Định hướng: Ta đã biết BĐT [TEX](x+y+z)^2 \le 3(x^2 + y^2 + z^2) [/TEX]. Do đó từ (1) và (2) ta suy ra được x=y=z=1, thử lại thỏa 3.
Bài giải: Ta có:
[TEX]9 = (x+y+z)^2 \le 3(x^2+y^2+z^2) = 9[/TEX]
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi : [TEX]x=y=z[/TEX].
Thay vào (1) ta suy ra: [TEX]x=y=z=1[/TEX].
Thử lại [TEX](1;1;1)[/TEX] là nghiệm của hệ phương trình.
Kết luận: Nghiệm của hệ phương trình là [TEX](1;1;1)[/TEX].

 

[duynhan1]

Bài 101 : Biện luận số nghiệm của hệ pt theo tham số a :
[TEX]\left\{ x^2+y^2=9 (1) \\ (ay+x)(x-a\sqrt{3})=0 (2)[/TEX]

[TEX](2) \Leftrightarrow \left[ x= a\sqrt{3} \\ x = -ay \right. [/TEX]
Trường hợp 1: [TEX]x= a \sqrt{3} [/TEX], thay vào (1) ta có:
[TEX]y^2 = 9 - 3a^2 [/TEX] (3a)

• [TEX]9 - 3a^2 > 0 \Leftrightarrow -\sqrt{3}< a < \sqrt{3}[/TEX]: Phương trình (3a) có 2 nghiệm phân biệt [TEX]y = \pm \sqrt{9-3a^2}[/TEX]
• [TEX]9-3a^2 = 0 \Leftrightarrow a = \pm \sqrt{3}[/TEX]: Phương trình (3a) có nghiệm duy nhất [TEX]y=0[/TEX].
• [TEX]9-3a^2 <0 \Leftrightarrow \left[ a> \sqrt{3} \\ a<- \sqrt{3}[/TEX]: Phương trình (3a) vô nghiệm.

Trường hợp 2: [TEX]x=-ay[/TEX], thay vào phương trình (1) ta có:
[TEX]y^2 = \frac{9}{a^2+1} \Leftrightarrow y = \frac{\pm 3}{\sqrt{a^2+1}}[/TEX]

• [TEX]y = \frac{3}{\sqrt{a^2+1}} \Rightarrow x = \frac{-3a}{\sqrt{a^2+1}} [/TEX]
• [TEX]y = \frac{-3}{\sqrt{a^2+1}} \Rightarrow x = \frac{3a}{\sqrt{a^2+1}} [/TEX]

Kết hợp cả 2 trường hợp ta có:
Khi [TEX]{-\sqrt{3}< a < \sqrt{3}}[/TEX], ta có:

• Với [TEX] \left{ a \sqrt{3} \not= \frac{-3a}{\sqrt{a^2+1}} \\ a \sqrt{3} \not= \frac{3a}{\sqrt{a^2+1}} \right. \Leftrightarrow \left{ a \not= 0 \\ a \not= \pm \sqrt{2} \right. [/TEX], thì hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.
• Với [TEX] \left[ a \sqrt{3} = \frac{-3a}{\sqrt{a^2+1}} \\ a \sqrt{3} = \frac{3a}{\sqrt{a^2+1}} \right. \Leftrightarrow \left[ a = 0 \\ a = \pm \sqrt{2} \right. [/TEX]
  • [TEX]a=0 [/TEX], hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm : [TEX]\left{ x= 0 \\ y =3 \right. \ \ \ \text{hoac} \ \ \left{ x = 0 \\ y = -3 \right.[/TEX]
  • [TEX]a=\sqrt{2}[/TEX], hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm : [TEX]\left{ x= \sqrt{6} \\ y =-\sqrt{3} \right. \ \ \ \text{hoac} \ \ \left{ x = \sqrt{6} \\ y = -\sqrt{3} \right. \ \ \ \text{hoac} \ \ \left{ x = -\sqrt{6} \\ y = \sqrt{3} \right.[/TEX]
  • [TEX]a=-\sqrt{2}[/TEX], hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm : [TEX]\left{ x= -\sqrt{6} \\ y = \sqrt{3} \right. \ \ \ \text{hoac} \ \ \left{ x = -\sqrt{6} \\ y = - \sqrt{3} \right. \ \ \ \text{hoac} \ \ \left{ x = \sqrt{6} \\ y = -\sqrt{3} \right.[/TEX]

Khi [TEX]a=\pm \sqrt{3}[/TEX], hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm.
Khi [TEX]\left[ a> \sqrt{3} \\ a < \sqrt{3}[/TEX], hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm.

 

[xlovemathx]

Bài 102 : [TEX]\left\{ \sqrt{x+a}+\sqrt{y+a}+\sqrt{z+a}=3\sqrt{\frac{a^2+1}{a}} \\ \sqrt{a-x}+\sqrt{a-y}+\sqrt{a-z}=3\sqrt{\frac{a^2-1}{a}}[/TEX]

Bài 103 : Giả và biện luận theo a để hệ pt [TEX]\left\{ x+y=2a-1 \\ x^2+y^2=a^2+2a-3[/TEX] có nghiệm .

Bài 104 : Giải hệ : [TEX]\left\{ x^2+y^2+2z^2=\sqrt{7} \\ x^4+y^4+z^4=1[/TEX]

 

[tuyn]

Bài 99 : [TEX]\left\{ \sqrt{1+x_1}+\sqrt{1+x_2}+ ... +\sqrt{1+x_{2007}}=2007\sqrt{\frac{2008}{2007}} \\ \sqrt{1-x_1}+\sqrt{1-x_2}+ ... +\sqrt{1-x_{2007}}=2007\sqrt{\frac{2006}{2007}}[/TEX]

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
[TEX]2007^2. \frac{2008}{2007} \leq 2007(2007+x_1+...+x_{2007})[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x_1+...+x_{2007} \geq 1(1)[/TEX]
Dấu "=" xảy ra khi: [TEX]x_1=...=x_{2007}[/TEX]
[TEX]2007^2. \frac{2006}{2007} \leq 2007[2007-(x_1+...+x_{2007})][/TEX]
[TEX]\Rightarrow x_1+...+x_{2007} \leq 1(2)[/TEX]
Dấu "=" xảy ra khi: [TEX]x_1=...=x_{2007}[/TEX]
Từ (1) và (2) suy ra: [TEX]x_1+...+x_n=1,va: x_1=...=x_{2007}[/TEX]
Vậy HPT có nghiệm: [TEX]x_i= \frac{1}{2007}[/TEX]

 

[tuyn]

Bài 102 : [TEX]\left\{ \sqrt{x+a}+\sqrt{y+a}+\sqrt{z+a}=3\sqrt{\frac{a^2+1}{a}} \\ \sqrt{a-x}+\sqrt{a-y}+\sqrt{a-z}=3\sqrt{\frac{a^2-1}{a}}[/TEX]

ĐK: a \geq 1
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:
[TEX]9. \frac{a^2+1}{a} \leq 3(3a+x+y+z) \Leftrightarrow x+y+z \geq \frac{3}{a}(1)[/TEX]
Dấu "=" xảy ra khi: [TEX]x=y=z= \frac{1}{a}[/TEX]
[TEX]9. \frac{a^2-1}{a} \leq 3[3a-(x+y+z)] \Leftrightarrow x+y+z \leq \frac{3}{a}(2)[/TEX]
Dấu "=" xảy ra khi: [TEX]x=y=z= \frac{1}{a}[/TEX]
Từ (1) và (2) suy ra: HPT có nghiệm [TEX]x=y=z= \frac{1}{a}, a \geq 1[/TEX]

Bài 104 : Giải hệ : [TEX]\left\{ x^2+y^2+2z^2=\sqrt{7} \\ x^4+y^4+z^4=1[/TEX]

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:
[TEX]7=(x^2+y^2+2z^2)^2 \leq (1+1+4)(x^4+y^4+z^4)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x^4+y^4+z^4 \geq \frac{7}{6} > 1[/TEX]
Vậy HPT Vô nghiệm