Toán Giải đề thi hsg toán 9 trên cả nước

[duchieu300699]

Đề QTrị à, mình làm rồi.
Câu 1 dể, mình chém câu 2a thôi còn lại mn làm tiếp nha
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$\geq$\frac{4}{a+b}$
\Leftrightarrow $\frac{a+b}{ab}$\geq$\frac{4}{a+b}$
\Leftrightarrow $(a+b)^2$\geq$4ab$ \Rightarrow đpcm
Đẳng thức xảy ra khi $a=b$
>-

 

[vipboycodon]

Câu 2.
b) Theo cauchy - schwarz ta có:
$\dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{bc} \ge \dfrac{4}{ac+bc} = \dfrac{4}{c(a+b)} \ge \dfrac{4}{\dfrac{(a+b+c)^2}{4}}= 16.$
Dấu "=" xảy ra khi $a = b = \dfrac{1}{4}$ , $c = \dfrac{1}{2}$

 

[huynhbachkhoa23]

Rảnh hôm nay post bài, mn chém nhé (mãi mới bỏ đi câu hình ) )

Chém đê:

Đề thi HSG tỉnh Quảng Trị năm học 2012-2013​

Câu 1. (4,0 điểm)

Cho biểu thức:

P = $\left ( \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} \right )\left ( \frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}}{2} \right )^{2}$

1. Rút gọn P.

2.Tìm x để P > $2\sqrt{x}$.

Câu 1:
a) $P=\frac{(\sqrt{x}-1)^2-(\sqrt{x}+1)^2}{x-1}.\frac{(x-1)^2}{4x}$
$=\frac{-\sqrt{x}.(x-1)}{x}=\frac{1-x}{\sqrt{x}}$

b) $P>2\sqrt{x}$ [TEX]\Leftrightarrow[/TEX] $1-x>2x$ [TEX]\Leftrightarrow[/TEX] $x<\frac{1}{3}$

 

[huynhbachkhoa23]

Câu 4:
2.
$x+1=y+z$ [TEX]\Rightarrow[/TEX] $x-y=z-1$
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] $x^2-2xy+y^2=z^2-2z+1$
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] $-2xy=z^2-2z-16$
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] $xy=\frac{-1}{2}z^2+z+8$

$xy+z^2-7z+10=0$
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] $\frac{1}{2}z^2-6z+18=0$
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] $z=6$

[TEX]\Rightarrow[/TEX]$x=y+5$
$xy=-4$ [TEX]\Rightarrow[/TEX] $y^2+5y+4=0$
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] $y_{1}=-1,y_{2}=-4$ [TEX]\Rightarrow[/TEX] $x_{1}=4,x_{2}=1$

vây có các nghiệm $(x;y;z): (4;-1;6),(1;-4;6)$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 4:
1. $4x^2+10x+9=5\sqrt{2x^2+5x+3}$ với $-1$ [TEX]\leq[/TEX] $x$ [TEX]\leq[/TEX] $-1.5$
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] $[4x^2+10x+9]^2-25(2x^2+5x+3)=0$
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] $16x^4+80x^3+122x^2+55x+6=0$
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] $(x+2)(16x^3+48x^2+26x+3)=0$
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] $(x+2)(x+\frac{1}{2})(8x^2+20x+3)=0$
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] $x_1=-2, x_2=-0,5, x_3=\frac{-5+\sqrt{19}}{4}, x_4=\frac{-5-\sqrt{19}}{4}$

 

[lamnguyen.rs]

Bài 4:
1. $4x^2+10x+9=5\sqrt{2x^2+5x+3}$ với $1$ [TEX]\leq[/TEX] $x$ [TEX]\leq[/TEX] $-1.5$
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] $[4x^2+10x+9]^2-25(2x^2+5x+3)=0$
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] $16x^4+80x^3+122x^2+55x+6=0$
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] $(x+2)(16x^3+48x^2+26x+3)=0$
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] $(x+2)(x+\frac{1}{2})(8x^2+20x+3)=0$
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] $x_1=-2, x_2=-0,5, x_3=\frac{-5+\sqrt{19}}{4}, x_4=\frac{-5-\sqrt{19}}{4}$

Đặt $a = \sqrt{2x^2 + 5x + 3}$ cho nó gọn )
pt đã cho <=> $2a^2 + 3 = 5a$
Tới đây giải đơn cmn giản rồi )

 

[huynhbachkhoa23]

Đặt $a = \sqrt{2x^2 + 5x + 3}$ cho nó gọn )
pt đã cho <=> $2a^2 + 3 = 5a$
Tới đây giải đơn cmn giản rồi )

............................................................................................................
ờ, không để ý cho lắm )
cảm ơn anh nhá )

 

[lamnguyen.rs]

Câu 5. (5,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông ở A và đường cao AH. Một đường tròn đi qua B và C cắt AB,AC lần lượt ở M và N. Vẽ hình chử nhật AMDC.

a) Chứng minh rằng $\frac{AM}{CH}=\frac{AN}{ẠH}$.

b) Chứng minh rằng HN vuông góc với HD.

a) Góc BAH = góc HCA (cùng phụ góc HAC)
<=> góc BAH + độ = góc HCA + 90 độ
<=> góc HAN = góc HCD (1)
Góc BMN = góc BCN (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BN)
<=> tam giác AMN đồng dạng tam giác HCA
<=> $\dfrac{AN}{HA} = \dfrac{AM}{HC}$ (đpcm)
<=> $\dfrac{AN}{AM} = \dfrac{HA}{HC}$ (2)
b)
(1), (2) ==> tam giác HAN đồng dạng tam giác HCD ==> góc NHA = góc DHC
<=> góc NHA + góc AHD = góc DHC + góc AHD
<=> góc NHD = góc AHC = 90 độ.
Vậy NH vuông góc HD.

 

[theanvenger]

Đề thi THPT chuyên KHTN

Đề thi chính thức vòng 2 năm 2009​

Câu I:
1)Giải phương trình:

$14\sqrt{x+35}+6\sqrt{x+1}=84+\sqrt{x^2+36x+35}$​

2)Chứng minh rằng:

$\frac{1}{4+1^4}+\frac{3}{4+3^4}+...+\frac{2n-1}{4+(2n-1)^4}=\frac{n^2}{4n^2+1}$​

với mọi n nguyên dương

Câu II:
1)Tìm số nguyên dương n sao cho tất cả các số

$n+1,n+5,n+7,n+13,n+17,n+25,n+37$​

đều là số nguyên tố
2)Mỗi lần cho phép thay thế cặp số (a,b) thuộc tập hợp

$M={(16,2),(4,32),(6,62),(78,8)}$​

bằng cặp số (a+c,b+d), trong đó cặp số (c,d) cũng thuộc M

Hỏi sau một số hữu hạn lần thay thế ta có thể nhận được tập hợp các cặp số

$M_1={(2018,702),(844,2104),(1056,2176),(2240,912)}$​

hay không?
Câu III: G/s x,y,z là những số thực thỏa mãn điều kiện

0\leqx,y,z\leq2 và x+y+z=3​

Tìm max và min của biểu thức

$M=x^4+y^4+z^4+12(1-x)(1-y)(1-z)$​

Em xin mạo muội đưa đề này lên để mọi người cùng làm, em đã lược bỏ phần hình xin post lên sau.

 

[angleofdarkness]

a) Góc BAH = góc HCA (cùng phụ góc HAC)
<=> góc BAH + độ = góc HCA + 90 độ
<=> góc HAN = góc HCD (1)
Góc BMN = góc BCN (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BN)
<=> tam giác AMN đồng dạng tam giác HCA
<=> $\dfrac{AN}{HA} = \dfrac{AM}{HC}$ (đpcm)
<=> $\dfrac{AN}{AM} = \dfrac{HA}{HC}$ (2)
b)
(1), (2) ==> tam giác HAN đồng dạng tam giác HCD ==> góc NHA = góc DHC
<=> góc NHA + góc AHD = góc DHC + góc AHD
<=> góc NHD = góc AHC = 90 độ.
Vậy NH vuông góc HD.

cảm ơn vì ít ra cũng có người làm hình rồi

----------------------------------------

 

[angleofdarkness]

Câu 3. (3,0 điểm )
Cho 100 số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 100. Xếp một cách tùy ý 100 số trên nối tiếp nhau thành một dáy các chữ số ta được số A. Hỏi A có chia hết cho 2007 không ?

Gọi B là tổng các chữ số của A. Ta sẽ có A = 123456...9899100

Tức lúc này ta cần tính B = 1 + 2 + ... + 8 + 9 + 1 + 0 + 1 + 1 + ... + 9 + 9 + 1 + 0 + 0.

Ta sẽ tính sác xuất xuất hiện (tức tần số xuất hiện) của các chữ số 0; 1; 2 ; ... 8 ; 9 (tính cả 0 nữa các bạn nhé ) )

Ta sẽ thấy 0 xuất hiện 11 lần; 1 xuất hiện 21 lần còn các chữ số còn lại là 2; 3; ...; 9 thì xuất hiện 20 lần thôi.

Vậy B = 0.11 + 1.21 + (2 + 3 + ... + 9).20 = 901 k chia hết cho 9 nên k thể chia hết cho 2007 (hiển nhiên )

đpcm.

 

[angleofdarkness]

Câu 4:
2.
$x+1=y+z$ [TEX]\Rightarrow[/TEX] $x-y=z-1$
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] $x^2-2xy+y^2=z^2-2z+1$
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] $-2xy=z^2-2z-16$
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] $xy=\frac{-1}{2}z^2+z+8$

$xy+z^2-7z+10=0$
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] $\frac{1}{2}z^2-6z+18=0$
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] $z=6$

[TEX]\Rightarrow[/TEX]$x=y+5$
$xy=-4$ [TEX]\Rightarrow[/TEX] $y^2+5y+4=0$
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] $y_{1}=-1,y_{2}=-4$ [TEX]\Rightarrow[/TEX] $x_{1}=4,x_{2}=1$

vây có các nghiệm $(x;y;z): (4;-1;6),(1;-4;6)$

Bài 4:
1. $4x^2+10x+9=5\sqrt{2x^2+5x+3}$ với $-1$ [TEX]\leq[/TEX] $x$ [TEX]\leq[/TEX] $-1.5$
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] $[4x^2+10x+9]^2-25(2x^2+5x+3)=0$
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] $16x^4+80x^3+122x^2+55x+6=0$
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] $(x+2)(16x^3+48x^2+26x+3)=0$
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] $(x+2)(x+\frac{1}{2})(8x^2+20x+3)=0$
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] $x_1=-2, x_2=-0,5, x_3=\frac{-5+\sqrt{19}}{4}, x_4=\frac{-5-\sqrt{19}}{4}$

Mình nghĩ các bạn nên chọn nút nhấn lời giải hay hơn để được điểm học tập nếu đúng vì đó là quyền lợi của các bạn, nhưng các bạn vẫn thích nhấn trả lời thì mình cũng không ý kiến gì

 

[angleofdarkness]

Câu I:
1)Giải phương trình:

$14\sqrt{x+35}+6\sqrt{x+1}=84+\sqrt{x^2+36x+35}$​

2)Chứng minh rằng:

$\dfrac{1}{4+1^4}+\dfrac{3}{4+3^4}+...+\dfrac{2n-1}{4+(2n-1)^4}=\dfrac{n^2}{4n^2+1}$ (*)​

với mọi n nguyên dương

1/

Ta đặt $\sqrt{x+35}=a;\sqrt{x+1}=b$ (a; b \geq 0) thì ta có pt: 14a + 6b = 84 + ab.

\Leftrightarrow $(6-a)(14-b)=0$ từ đó giải pt dễ dàng rồi nhé

2/

Xét hạng tử tổng quát: $\dfrac{2k-1}{4+(2k-1)^4}=\dfrac{2k-1}{[2+(2k-1)^2]^2-2.2.(2k-1)^2} \\ =\dfrac{2k-1}{[2+(2k-1)^2]^2-[2.(2k-1)]^2} \\ =\dfrac{2k-1}{[2+(2k-1)^2-2.(2k-1)].[2+(2k-1)^2+2.(2k-1)]} \\ = \dfrac{2k-1}{[1+(2k-2)^2].[1+(2k)^2]}$

Xét hiệu $[1+(2k-2)^2]-[1+(2k)^2]=(2k-2)^2-(2k)^2=4(2k-1)$ nên hạng tử tổng quát trên có dạng $\\\dfrac{1}{4}.\dfrac{m}{a.(a+m)}=\dfrac{1}{4}. \Big( \dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{a+m} \Big)$

Như vậy thì có hạng tử tổng quát: $\dfrac{2k-1}{4+(2k-1)^4}=\dfrac{1}{4}. \Big( \dfrac{1}{1+(2k-2)^2}-\dfrac{1}{1+(2k)^2} \Big)$

Áp dụng vào bài toán ta có được:

$VT$ (*) $=\dfrac{1}{4}. \Big( \dfrac{1}{1+(2.1-2)^2}-\dfrac{1}{1+(2.1)^2}+\dfrac{1}{1+(2.2-2)^2}-\dfrac{1}{1+(2.2)^2}+...+\dfrac{1}{1+(2.n-2)^2}-\dfrac{1}{1+(2.n)^2} \Big) \\ = \dfrac{1}{4}. \Big( \dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{17}+...+\dfrac{1}{1+(2.n-2)^2}-\dfrac{1}{1+(2.n)^2}\Big) \\ = \dfrac{1}{4}. \Big( 1-\dfrac{1}{1+(2.n)^2}\Big) \\ =\dfrac{n^2}{4n^2+1}$

P/S: bài này vất vả quá

 

[angleofdarkness]

Câu II:
1)Tìm số nguyên dương n sao cho tất cả các số

$n+1,n+5,n+7,n+13,n+17,n+25,n+37$
đều là số nguyên tố

2.1/

Dễ thấy n là số chẵn nên ta xét n = 2; 4; 6 thì chọn n= 6.

Xét n \geq 8 thì các số ở dãy trên lần lượt chia 7 dư là 7 số tự nhiên liên tiếp.

Lúc này bắt buộc phải có 1 số chia hết cho vậy nên trong dãy sẽ có hợp số \forall n \geq 8.

Vậy n = 6.

đpcm.

 

[theanvenger]

Đề thi THPT chuyên KHTN(cont)

Câu IV(câu hình của đề thi em post lúc trước)
Hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm A và B.Trên đường thẳng AB ta lấy một điểm M bất kỳ sao cho điểm A nằm trong đoạn BM($M \neq A$). Từ điểm M kẻ tới đường tròn (O') các tiếp tuyến MC, MD (C và D là tiếp điểm, C nằm ngoài (O)).Đường thẳng AC cắt lần thứ hai đường tròn (O) tại điểm P và đường thẳng AD cắt lần thứ hai đường tròn (O) tại Q. Đường thẳng CD vắt PQ tại K.
1) Chứng minh hai tam giác BCD và BPQ đồng dạng.
2) Chứng minh rằng khi M thay đổi thì đường tròn ngoại tiếp tam giác KCP luôn đi qua một điểm cố định.

 

[braga]

Câu III: G/s x,y,z là những số thực thỏa mãn điều kiện

0\leqx,y,z\leq2 và x+y+z=3​

Tìm max và min của biểu thức

$M=x^4+y^4+z^4+12(1-x)(1-y)(1-z)$​

Em xin mạo muội đưa đề này lên để mọi người cùng làm, em đã lược bỏ phần hình xin post lên sau.​

Câu III:
http://lingduongvatoanhoc.blogspot.com/2014/03/cau-bt-e-thi-thpt-chuyen-khtn-lan-2-nam.html​

 

[theanvenger]

Đề thi THPT chuyên KHTN(cont)

Giải bài II.2)
Nhận xét rằng với mọi cặp số [TEX](a,b)[/TEX] thuộc tập [TEX]M[/TEX] ta có [TEX]a-b[/TEX] chia hết cho 7 \Rightarrow [TEX](a+c)-(b+d)[/TEX] chia hết cho 7 (vì [TEX](c,d)[/TEX] thuộc [TEX]M[/TEX]). Do đó sau mỗi phép thay thế mọi cặp số của tập hợp mới, ta luôn có tính chất: hiệu hai phần tử của cặp số đó chia hết cho 7.. Suy ra mọi cặp số của [TEX]M_1[/TEX] đều có tính chất trên. Mặt khác [TEX](2240,912)[/TEX] thuộc [TEX]M_1[/TEX] nhưng [TEX]2240-912=1328[/TEX] không chia hết cho 7. Vậy không thể nhận được [TEX]M_1[/TEX] sau một số hữu hạn lần thay thế.
Đây là dạng bài suy luận bất biến, em có một số bài khác dạng này nếu mọi người đồng ý thì em sẽ post lên.

 

[forum_]

Giải bài II.2)
Nhận xét rằng với mọi cặp số [TEX](a,b)[/TEX] thuộc tập [TEX]M[/TEX] ta có [TEX]a-b[/TEX] chia hết cho 7 \Rightarrow [TEX](a+c)-(b+d)[/TEX] chia hết cho 7 (vì [TEX](c,d)[/TEX] thuộc [TEX]M[/TEX]). Do đó sau mỗi phép thay thế mọi cặp số của tập hợp mới, ta luôn có tính chất: hiệu hai phần tử của cặp số đó chia hết cho 7.. Suy ra mọi cặp số của [TEX]M_1[/TEX] đều có tính chất trên. Mặt khác [TEX](2240,912)[/TEX] thuộc [TEX]M_1[/TEX] nhưng [TEX]2240-912=1328[/TEX] không chia hết cho 7. Vậy không thể nhận được [TEX]M_1[/TEX] sau một số hữu hạn lần thay thế.
Đây là dạng bài suy luận bất biến, em có một số bài khác dạng này nếu mọi người đồng ý thì em sẽ post lên.

TOPIC là nơi trao đổi nên bạn cứ post lên, ko cần hỏi

Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2012-2013​

Câu 1.

a, Tính Tổng: $S= \sqrt{1+\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}} +\sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}}+...+ \sqrt{1+\frac{1}{2012^{2}}+\frac{1}{2013^{2}}}$

b, Cho các số nguyên x,y thỏa mãn: 4x+5y =7

Tìm GTNN của $P=5\left | x \right |-3\left | y \right |$
Câu 2.
Tìm các số hữu tỉ x,y thỏa mãn

$\sqrt{2\sqrt{3}-3}=\sqrt{3x\sqrt{3}}-\sqrt{y\sqrt{3}}$

Câu 3.
Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn $abc=\frac{1}{6}$

CMR: $3+\frac{a}{2b}+\frac{2b}{3c}+\frac{3c}{a}$ \geq $a+2b+3c+\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{3c}$

Câu 4.

Cho bảng vuông 3*3 (3 hàng và 3 cột ). Người ta điền tất cả các số từ 1 đến 9 vào các ô trong bảng (mỗi số điền 1 ô) sao cho tổng bốn số trên bảng con có kích thước 2*2 đều bằng nhau và bằng số T nào đó. Tìm GTLN có thể của T.

 

[nhokdangyeu01]

Bài 1a

Xét $\sqrt[]{1+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{(a+1)^2}}=\sqrt[]{\frac{a^2(a+1)^2+(a+1)^2+^2}{a^2(a+1)}^2}=\sqrt[]{\frac{a^4+2a^3+3a^2+a^2+1}{a^2(a+1)^2}}=\sqrt[]{\frac{(a^2+a+1)^2}{a^2(a+1)^2}}=\frac{a^2+a+1}{a(a+1)}=1+\frac{1}{a(a+1)}=1+\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}$
\Rightarrow $S=1+1-\frac{1}{2}+2+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+1+\frac{1}{2012}-\frac{1}{2013}=1+2+...+2012+1-\frac{1}{2013}=2025078+\frac{2012}{2013}$

 

[eye_smile]

1b,
+/x;y cùng dương
Có $4x+5y=7$
\Rightarrow y=1
Nhưng không có giá trị x nguyên tm
+/ x >0; y <0
\Rightarrow $P=5|x|-3|y|=5x+3y=5.\dfrac{7-5y}{4}+3y=\dfrac{35-13y}{4}$
P min \Leftrightarrow y lớn nhất( do y<0)
Mà y nguyên nên y=-1. Khi đó P=12
Thay vào tìm được x=3(tm)
+/ x<0; y > 0
\Rightarrow $P=-5x-3y=-5x-3.\dfrac{7-4x}{5}=\dfrac{-13x-21}{5}$
P min \Leftrightarrow x max
Mà x nguyên ; x < 0 ;y>0 nên x=-2(x=-1 thì y không nguyên)
\Rightarrow P min=1 tại x=-2;y=3
+/x;y cùng âm --->không thỏa mãn 4x+5y=7
+/ 1 trong 2 số x;y có 1 số =0
---> không có cặp số nguyên nào tm 4x+5y=7

Kết hợp lại được Min P=1 tại x=-2;y=3