$\fbox{[Toán 8] Chuyên đề ôn thi hsg toán 8}$

[braga]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Sắp đến kì thi HSG toán 8 nên mình lập topic này để các bạn thảo luận về những bài toán khó , cùng nhau cố gắng học tập để có kết quả tốt trong kì thi hsg sắp tới. Mong các bạn nhiệt tình tham gia
Chú ý: - Phải gõ latex, đánh stt bài..

- Không spam, viết bài không có ích............

​

Bắt đầu từ 20h30s , topic này chính thức được bắt đầu

Bài 1: a, Tìm đa thức P(x), biết khi chia P(x) cho x-2011 được dư 2010, khi chia P(x) cho x-2012 được dư 2011 ; còn khi chia P(x) cho (x-2011)(x-2012) được thương là [TEX]x^2-1[/TEX] và còn dư
b. Tìm đa thức P(x) với hệ số nguyên , biêt P(26)=1999; P(8)=1975

 

[thong7enghiaha]

1. a)Ta có:

$P(x)=(x-2011).G_1(x)+2010$ (1)

$P(x)=(x-2012).G_2(x)+2011$ (2)

$P(x)=(x-2011)(x-2012)(x^2-1)+ax+b$ (3)

Từ (1);(3) \Rightarrow $P(2011)=2010$ hay $2011a+b=2010$ (**)

Từ (2);(3) \Rightarrow $P(2012)=2011$ hay $2012a+b=2011$ (***)

Trừ (***) và (**) ta có: $a=1$ \Rightarrow $b=-1$

Vậy đa thức $P(x)=(x-2011)(x-2012)(x^2-1)+x-1$

Chú ý: $G_1(x); G_2(x)$ là thương của đa thức chia đó.

 

[harrypham]

b. Tìm đa thức P(x) với hệ số nguyên , biêt P(26)=1999; P(8)=1975

Vì [TEX]P(x)[/TEX] là đa thức có hệ số nguyên nên [TEX]P(26)-P(8) \ \vdots 26-8[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 1999-1975 \ \vdots (26-8) \Rightarrow 24 \ \vdots 18[/TEX] (vô lí).
Vậy không tồn tại đa thức [TEX]P(x)[/TEX] có hệ số nguyên thỏa mãn bài ra.

 

[passivedefender]

Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a/ [tex]x^{8}+98x^{4}+1[/tex]
b/ [tex]a^{4}(b-c)+b^{4}(c-a)+c^{4}(a-b)[/tex]

 

[thong7enghiaha]

Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a/ [tex]x^{8}+98x^{4}+1[/tex]

$x^8+98x^4+1$

$=(x^8+2x^4+1)+96x^4$

$=(x^4+1)^2+64x^4+32x^4$

$=(x^4+1)^2+(8x^2)^2+16x^2(x^4+1)-16x^2(x^4+1)+32x^4$

$=(x^4+8x^2+1)^2-16x^2(x^2-1)^2$

$=(x^4+8x^2+1-4x^3+4x)(x^4+8x^2+1+4x^3-4x)$

 

[cuhanhtim_1997]

Bài 3: a.Tìm đa thức $f(x)=x^3+px+q$ sao cho khi chia $f(x)$ cho $(x-1)$ và $(x+1)$ thì có số dư lần lượt là 2 và 1.
b.Tìm đa thức bậc ba $g(x)$ sao cho khi chia cho $(x-1),(x+1)$ và $(x-2)$ ta đều được số dư là 7, biết rằng $g(x)$ chia hết cho $(2x-1)$.

 

[thong7enghiaha]

Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử:
b/ [tex]a^{4}(b-c)+b^{4}(c-a)+c^{4}(a-b)[/tex]

$a^4(b-c)+b^4(c-a)+c^4(a-b)$

$a^4(b-c)+b^4c-ab^4+ac^4-bc^4$

$=a^4(b-c)-(ab^4-ac^4)+(b^4c-bc^4)$

$=a^4(b-c)-a(b-c)(b+c)(b^2+c^2)+bc(b-c)(b^2+bc+c^2)$

$=(b-c)[a^4-a(b+c)(b^2+c^2)+bc(b^2+bc+c^2)]$

$=(b-c)[a^4-a(b^3+c^3+bc^2+b^2c)+b^3c+b^2c^2+bc^3)]$

$=(b-c)(a^4-ab^3-ac^3-abc^2-ab^2c+b^3c+b^2c^2+bc^2)$

 

[thong7enghiaha]

Bài 3: a.Tìm đa thức $f(x)=x^3+px+q$ sao cho khi chia $f(x)$ cho $(x-1)$ và $(x+1)$ thì có số dư lần lượt là 2 và 1.
.

Theo định lí Bê-du ta có:

$f(1)=2$ hay $1^3+p.1+q=2$ \Rightarrow $p+q=1$ (**)

$f(-1)=1$ hay $(-1)^3+p.(-1)+q=1$ \Rightarrow $=-p+q=2$ (***)

Cộng (**) và (***) ta có:

$2q=3$ \Rightarrow $q=\dfrac{3}{2}$

Suy ra $p=\dfrac{-1}{2}$

Vậy đa thức $f(x)=x^3-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}$

 

[nghgh97]

Bài 4: a.Tìm đa thức bậc ba $f(x)$ sao cho:
$$f(x)-f(x-1)=x^2$$
b.Tìm đa thức bậc bốn $g(x)$ sao cho:
$$g(x)-g(x-1)=x^3$$
Từ đó suy ra công thức lập phương của n số tự nhiên đầu tiên.

 

[braga]

1bài hình

Bài 5: Cho hình chữ nhật [TEX]ABCD[/TEX], trên [TEX]BD[/TEX] lấy [TEX]P(DP<BP)[/TEX], Gọi M là điếm đối xứng của [TEX] C [/TEX] qua [TEX]P. [/TEX]
a. Tứ giác [TEX]AMDB [/TEX] là hình gì?
b. Gọi [TEX]E,F [/TEX] lần lượt là hình chiếu của [TEX]M [/TEX] lên [TEX]AB,AD[/TEX]
Chứng minh : [TEX]EF//AC[/TEX] và ba điểm [TEX]E,F,P[/TEX] thẳng hàng

 

[harrypham]

Lưu ý. Đây là topic luyện thi học sinh giỏi, thì ngoài hướng giải ra các bạn phải trình bày lời giải của mình một cách triệt để, chặt chẽ nhất, phải có đáp án.
Để hiện thị rõ đáp án, bạn có thể khoanh vuông đáp án bằng cách gõ lệnh:

[TEX]\fbox{ đáp án }[/TEX]

Còn với người dùng $ thì lệnh

\boxed{ đáp án }

Theo như mình thấy lời giải bài 2b của bạn thong7enghiaha còn chưa được, đề nghị bạn trình bày nốt lời giải của mình.

Lời giải bài 3b, Theo đề ra ta có [TEX]g(x)-7[/TEX] sẽ chia hết cho [TEX](x-1),(x+1)[/TEX] và [TEX](x-2)[/TEX].
Lại vì [TEX]g(x)[/TEX] có bậc 3 nên [TEX]g(x)-7[/TEX] cũng có bậc 3.
Và [TEX](x-1)(x+1)(x-2)[/TEX] cũng có bậc 3, do đó

[TEX]g(x)-7=(x-1)(x+1)(x-2)m \qquad (1)[/TEX]​

với [TEX]m[/TEX] là hằng số.

Mặt khác [TEX]g(x)[/TEX] chia hết cho [TEX](2x-1)[/TEX], tức với [TEX]x= \frac 12[/TEX] thì [TEX]g(x)=0[/TEX].
Do đó thay [TEX]x= \frac 12[/TEX] vào [TEX](1)[/TEX] ta có

[TEX] -7= \left( \frac 12 -1 \right) \left( \frac 12 +1 \right) \left( \frac 12 -2 \right)m \Rightarrow m= \frac{-56}{9}[/TEX]​

Vậy [TEX]\fbox{g(x)= \frac{-56}{9} (x-1)(x+1)(x-2)+7}[/TEX]

 

[thong7enghiaha]

5.

a) Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$

Dễ dàng chứng minh được $OP$ là đường TB của tam giác $ACM$

\Rightarrow $OP//AM$ Hay $AMDB$ là hình thang.

b) Ta có: Góc $FEA=EAM$ ($AEMF$ là hình chữ nhật)

Góc $CAB=ABD$

Mà Góc $EAM=ABD$ ($AM//BD$)

\Rightarrow Góc $FEA=CAB$

\Rightarrow $EF//AC$

Gọi $I$ là giao của $EF$ là $AM$.

Dễ dàng chứng minh được $IP//AC$ và $IF//AC$

\Rightarrow$I;F;P$ thẳng hàng

Mà $I$ thuộc $EF$

\Rightarrow $E;F;P$ thẳng hàng.

 

[harrypham]

Lời giải bài 4a. Gọi đa thức cần tìm [TEX]f(x)=ax^3+bx^2+cx+d[/TEX].
Do đó [TEX]f(x-1)=a(x-1)^3+b(x-1)^2+c(x-1)+d=(ax^3+bx^2+cx+d)-3ax^2+3ax-a-2bx+b-c[/TEX].
Như vậy thì

[TEX]f(x)-f(x-1)=3ax^2+(-3a+2b)x+(-b+a+c)[/TEX]​

Lại có

[TEX]f(x)-f(x-1)=x^2 \Leftrightarrow 3ax^2+(-3a+2b)x+(-b+a+c)=x^2 \Leftrightarrow \left \{ \begin{array} 3a=1 \\ -3a+2b=0 \\ -b+a+c=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left \{ \begin{array} a= \frac{1}{3} \\ b= \frac{1}{2} \\ c= \frac{1}{6} \end{array} \right.[/TEX]​

Vậy [TEX]f(x)= \frac{1}{3}x^3+ \frac{1}{2}x^2+ \frac{1}{6}x+d[/TEX]

 

[nghgh97]

Mấy bài không khó, nhưng mình không làm được b-(b-(b-(
Phân tích đa thức thành nhân tử:
[TEX]a)x^4+x^2+1+(x^2-x+1)^2[/TEX] trên [TEX]\Re[/TEX]
[TEX]b)(x^2+8x+7)(x^2+8x+15)+15[/TEX] trên Q

nhìn mấy bài trên mình chán wá, không lẽ phải nhân vô hết rồi mới phân tích, chắc chết wá @-)@-)@-)
p/s: các bạn chú ý là không phải phân tích trên tập số thực [TEX]\Re[/TEX] mà các bạn vẫn thường làm, phân tích trên tập số cho trước nha.
@harry: làm luôn 4b đi bạn ơi

 

[thong7enghiaha]

Mấy bài không khó, nhưng mình không làm được b-(b-(b-(
[TEX]a)x^4+x^2+1+(x^2-x+1)^2[/TEX] trên [TEX]\Re[/TEX]
[TEX]b)(x^2+8x+7)(x^2+8x+15)+15[/TEX] trên Q

nhìn mấy bài trên mình chán wá, không lẽ phải nhân vô hết rồi mới phân tích, chắc chết wá @-)@-)@-)
p/s: các bạn chú ý là không phải phân tích trên tập số thực [TEX]\Re[/TEX] mà các bạn vẫn thường làm, phân tích trên tập số cho trước nha.
@harry: làm luôn 4b đi bạn ơi

"NGHGH97" ơi, ý đề bài của bạn là sao, mình không hiểu đầu đề của bạn lắm???Còn nếu là $PTDTTNT$ thì thế này.

a)

$x^4+x^2+1+(x^2-x+1)^2$

$=x^4+2x^2+1-x^2+(x^2-x+1)^2$

$=(x^2+1)^2-x^2+(x^2-x+1)^2$

$=(x^2+x+1)(x^2-x+1)+(x^2-x+1)^2$

$=(x^2-x+1)(x^2+x+1+x^2-x+1)$

$=(x^2-x+1)(2x^2+2)$

$=2(x^2-x+1)(x^2+1)$

b)

$(x^2+8x+7)(x^2+8x+15)+15$

Đặt $t=x^2+8x+11$ ta có:

$(t-4)(t+4)+15$

$=t^2-16+15$

$=t^2-1$

$=(t+1)(t-1)$

$=(x^2+8x+12)(x^2+8x+10)$

Còn nếu ý bài của bạn không phải vậy thì bạn giải thích giúp cái chỗ "trên $R$"

và "trên $Q$" ở trang của cá nhân mình rồi mình sẽ giải lại.

 

[nghgh97]

Còn nếu ý bài của bạn không phải vậy thì bạn giải thích giúp cái chỗ "trên $R$"

và "trên $Q$" ở trang của cá nhân mình rồi mình sẽ giải lại.

Ban làm đúng rồi, để mình giải thích cái p/s của mình:
VD: phân tích đa thức [tex]{x^2} - 2[/tex]
*Nếu phân tích trên tập số thực: [tex]{x^2} - 2 = (x - \sqrt 2 )(x + \sqrt 2 )[/tex]
*Nếu phân tích trên tập số hữu tỉ: đa thức [tex]{x^2} - 2[/tex] là bất khả quy vì trên Q không tồn tại số nào mà bình phương của nó bằng 2 cả. Đó chỉ là 1 chút mẹo trong đề bài, vì lâu nay học sinh chúng mình quen làm trong tập số thực rồi, nếu bỏ sót điều kiện phân tích trên tập số nào thì sẽ bị mất điểm oan. Hai bài trên thì chưa rõ về điều này lắm.

 

[nghgh97]

Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a/ [tex]x^{8}+98x^{4}+1[/tex]
b/ [tex]a^{4}(b-c)+b^{4}(c-a)+c^{4}(a-b)[/tex]

Một số bài tương tự cho các mem cày đây:
Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a. [tex]A = bc(b + c) + ca(c - a) - ab(a + b)[/tex]
b. [tex]B = (b - c){(b + c)^4} + (c - a){(c + a)^4} + (a - b){(a + b)^4}[/tex]
c. [tex]C = a{(b + c)^2} + b{(c + a)^2} + c{(a + b)^2}[/tex]
d. [tex]D = {z^3} - (a - b + c){z^2} + [ac - b(a + c)]z + abc[/tex]
p/s: mình phải off rồi =(( chút tối mình lên tiếp

 

[thong7enghiaha]

Một số bài tương tự cho các mem cày đây:
Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a. [tex]A = bc(b + c) + ca(c - a) - ab(a + b)[/tex]
p/s: mình phải off rồi =(( chút tối mình lên tiếp

a)

$bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)$

$=b^2c+bc^2+ca(c-a)-a^2b-ab^2$

$=(b^2c-ab^2)+(bc^2-a^2b)+ca(c-a)$

$=b^2(c-a)+b(c-a)(c+a)+ca(c-a)$

$=(c-a)(b^2+bc+ab+ca)$

$=(c-a)[b(b+c)+a(b+c)]$

$=(c-a)(b+c)(a+b)$

 

[nghgh97]

Bài 4: a.Tìm đa thức bậc ba $f(x)$ sao cho:
$$f(x)-f(x-1)=x^2$$
b.Tìm đa thức bậc bốn $g(x)$ sao cho:
$$g(x)-g(x-1)=x^3$$
Từ đó suy ra công thức lập phương của n số tự nhiên đầu tiên.

Đáp số cho bài 4b: làm tương tự cách của bạn harry, ta được: [tex]a = \frac{1}{4};b = \frac{1}{2};c = \frac{1}{4};d = 0[/tex] và [TEX]e[/TEX] tùy ý.
Vậy [tex]\fbox{g(x) = \frac{1}{4}{x^4} + \frac{1}{2}{x^3} + \frac{1}{4}{x^2} + 0x + e}[/tex]
Công thức lập phương của n số tự nhiên đầu tiên:
Thay [TEX]x[/TEX] trong hệ thức ở câu b lần lượt bởi [TEX]0,1,...,n[/TEX]. Cộng vế với vế các đẳng thức, ta được:
[tex]\fbox{{1^3} + {2^3} + ... + {n^3} = g(n) - g(0) = \frac{{{n^2}{{(n + 1)}^2}}}{4}}[/tex]

Lời giải bài 4a. Gọi đa thức cần tìm [TEX]f(x)=ax^3+bx^2+cx+d[/TEX].
Do đó [TEX]f(x-1)=a(x-1)^3+b(x-1)^2+c(x-1)+d=(ax^3+bx^2+cx+d)-3ax^2+3ax-a-2bx+b-c[/TEX].
Như vậy thì

[TEX]f(x)-f(x-1)=3ax^2+(-3a+2b)x+(-b+a+c)[/TEX]​

Lại có

[TEX]f(x)-f(x-1)=x^2 \Leftrightarrow 3ax^2+(-3a+2b)x+(-b+a+c)=x^2 \Leftrightarrow \left \{ \begin{array} 3a=1 \\ -3a+2b=0 \\ -b+a+c=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left \{ \begin{array} a= \frac{1}{3} \\ b= \frac{1}{2} \\ c= \frac{1}{6} \end{array} \right.[/TEX]​

Vậy [TEX]f(x)= \frac{1}{3}x^3+ \frac{1}{2}x^2+ \frac{1}{6}x+d[/TEX]

Bạn làm đúng rồi, nhưng nhớ chú thích là lấy d tùy ý nha để các bạn khác không biết lấy d ở đâu @-)

 

[nghgh97]

Một số bài tương tự cho các mem cày đây:
Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a. [tex]A = bc(b + c) + ca(c - a) - ab(a + b)[/tex]
b. [tex]B = (b - c){(b + c)^4} + (c - a){(c + a)^4} + (a - b){(a + b)^4}[/tex]
c. [tex]C = a{(b + c)^2} + b{(c + a)^2} + c{(a + b)^2}[/tex]
d. [tex]D = {z^3} - (a - b + c){z^2} + [ac - b(a + c)]z + abc[/tex]
p/s: mình phải off rồi =(( chút tối mình lên tiếp

Đáp án cho bài 5 phần còn lại:
b. [tex]\fbox{B = - (a - b)(b - c)(c - a)[3({a^2} + {b^2} + {c^2}) + 5(ab + ac + bc)]}[/tex]
c. [tex]\fbox{C = (a + b)(b + c)(c + a)}[/tex]
d. [tex]\fbox{D = (z - a)(z + b)(z - c)}[/tex]

Các bạn tự tìm cách giải rồi post lên nhé, mình chỉ có đáp án thôi =((

a)

$bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)$

$=b^2c+bc^2+ca(c-a)-a^2b-ab^2$

$=(b^2c-ab^2)+(bc^2-a^2b)+ca(c-a)$

$=b^2(c-a)+b(c-a)(c+a)+ca(c-a)$

$=(c-a)(b^2+bc+ab+ca)$

$=(c-a)[b(b+c)+a(b+c)]$

$=(c-a)(b+c)(a+b)$

Bạn làm đúng rồi đó