Toán 8 $\fbox{[Toán 8] Chuyên đề ôn BDT 8 và cực trị 8}$

Thảo luận trong 'Đại số' bắt đầu bởi riverflowsinyou1, 28 Tháng tư 2014.

Lượt xem: 51,234

  1. Sở hữu bí kíp ĐỖ ĐẠI HỌC ít nhất 24đ - Đặt chỗ ngay!

    Đọc sách & cùng chia sẻ cảm nhận về sách số 2


    Chào bạn mới. Bạn hãy đăng nhập và hỗ trợ thành viên môn học bạn học tốt. Cộng đồng sẽ hỗ trợ bạn CHÂN THÀNH khi bạn cần trợ giúp. Đừng chỉ nghĩ cho riêng mình. Hãy cho đi để cuộc sống này ý nghĩa hơn bạn nhé. Yêu thương!

    Chào mọi người .
    Sắp đến kì thi HSG toán 8 nên mình lập topic này để các bạn thảo luận về những bài toán khó cùng nhau cố gắng học tập để có kết quả tốt trong kì thi hsg sắp tới. Mong các bạn nhiệt tình tham gia:D:D:D.
    Người tổ chức
    : Riverflowsinyou1, Ronaldover7:D.
    Chú ý : Bài làm phải gõ latex , không gửi tin nhắn rác bài viết có ích :khi (58):.
    Sau đây xin giới thiệu mọi người 1 vài bất đẳng thức :khi (35):.
    1) Bất đẳng thức Cauchy .
    Tổng quát : Cho $n$ số $a_1,a_2,....,a_n$>$0$ khi đó :
    $\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}$ \geq $\sqrt[n]{a_1.a_2.......a_n}$ ( dấu bằng xảy khi $a_1=a_2=...=a_n$)
    Bất đẳng thức Cauchy cho $2$ số .
    Cho $x,y$>0 khi đó ta có : $\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$ \geq $\frac{4}{x+y}$ ( dấu bằng xảy ra khi $x=y$
    Cauchy cho $3$ số : Với $x,y,z$ > $0$ khi đó :
    $\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$ \geq $\frac{9}{x+y+z}$ ( dấu bằng xảy ra khi $x=y=z$)
    $\frac{1}{x.y.z}$ \geq $\frac{4}{(x+y+z)^3}$ .
    2) Bất đẳng thức $AM-GM$
    Cũng giống như Cauchy nhưng có khác chút :).
    Cho $n$ số $a_1,a_2,....,a_n$>$0$ khi đó :
    $\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}$ \geq $\sqrt[n]{a_1.a_2.......a_n}$ ( dấu bằng xảy khi $a_1=a_2=...=a_n$)
    1 số hệ quả của $AM-GM$
    Cho $a;b;c$ bất kì khi đó : $a^2+b^2+c^2$ \geq $\frac{(a+b+c)^2}{3}$ \geq $a.b+b.c+a.c$.
    Cho $n$ số $a_1;a_2;...;a_n$>$0$ khi đó:
    $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...\frac{1}{a_n}$ \geq $\frac{n^2}{a_1+a_2+...+a_n}$
    3) Bất đẳng thức Swarchz
    Cho 2 bộ $m$ số lớn hơn $0$ là: ($a_1;a_2;...;a_m$) và ($b_1;b_2;...;b_m$) khi đó bất đẳng thức sau đúng : ($a_1^{2}+a_2^{2}+...+a_m^{2}$).($b_1^{2}+b_2^{2}+...+b_m^{2}$) \geq ($a_{1}.b_{1}+a_{2}.b_{2}+...+a_{m}.b_{m}$).($a_{1}.b_{1}+a_{2}.b_{2}+...+a_{m}.b_{m}$) ( dấu bằng xảy ra khi các bộ số tỉ lệ với nhau)
    4) Bất đẳng thức Cauchy Swarchz
    Cho 2 dãy số thực dương ($a_1;a_2;....;a_n$) và ($b_1;b_2;...;b_n$)
    $\frac{a_1^2}{b_1}$+$\frac{a_2^2}{b_2}$+....+ $\frac{a_n^{2}}{b_n}$ \geq $\frac{(a_1+a_2+...+a_n)^2}{b_1+b_2+...+b_n}$ ( dấu bằng xảy ra khi các bộ số tỉ lệ với nhau)
    5) Bất đẳng thức Schur:
    Cho $a;b;c$ bất kì là các số thức không âm và $r$ là số dương khi đó :
    $a^{r}.(a-b).(a-c)$+$b^{r}.(b-a).(b-c)$+$c^{r}.(c-a).(c-b)$ \geq 0 ( dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$)
    6) Bất đẳng thức Nesbit cho $3$ biến :
    Cho $a;b;c$>$0$ khi đó $\frac{a}{b+c}$+$\frac{b}{a+c}$+$\frac{c}{a+b}$ \geq $\frac{3}{2}$ .
    Now, Let's go :khi (56):
    Bài 1: Cho $x;y;z$>$0$ hãy chứng tỏ:
    $(x+y+z).(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$ \geq $9$.
    Bài 2: Cho $a;b;c$ \geq 0 . Chứng minh :
    $a^3+b^3+c^3$ \geq $a^2.b+b^2.c+c^2.a$
    Bài 3: Cho $a;b$ \geq 0 . Chứng minh :
    $\frac{a^3+b^3}{2}$ \geq $\frac{(a+b)^3}{8}$ .
     
    Last edited by a moderator: 9 Tháng sáu 2014
  2. hohoo

    hohoo Guest

    1)
    AD bđt Cô-si cho 2 bộ mỗi bộ 3 số dương x,y,z và [TEX]\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z}[/TEX] ta được
    x+y+z\geq 3[TEX]\sqrt[3]{xyz}[/TEX](dấu = xảy ra \Leftrightarrow x=y=z)
    [TEX]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}[/TEX](dấu = xảy ra \Leftrightarrow x=y=z)
    \Rightarrow (x+y+z)([TEX]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}[/TEX])\geq9 (dấu= xảy ra \Leftrightarrow x=y=z)
     
    Bùi Minh Anh thích bài này.
  3. Áp dụng Cauchy 3 số:

    $a^3+a^3+b^3$ \geq $3\sqrt[3]{a^6b^3}=3a^2b$

    $b^3+b^3+c^3$ \geq $3b^2c$

    $c^3+c^3+a^3$ \geq $3c^2a$

    Cộng lại được $3(a^3+b^3+c^3)$ \geq $3(a^2b+b^2c+c^2a)$

    \Leftrightarrow $a^3+b^3+c^3$ \geq $a^2b+b^2c+c^2a$
     
    khanh18112004 thích bài này.
  4. 3, Có $a^3+b^3$ \geq $ab(a+b)$

    \Leftrightarrow $3(a^3+b^3)$ \geq $3ab(a+b)$

    \Leftrightarrow $4(a^3+b^3)$ \geq $a^3+3ab(a+b)+b^3=(a+b)^3$

    \Leftrightarrow $\dfrac{a^3+b^3}{2}$ \geq $\dfrac{(a+b)^3}{8}$
     
  5. Làm rất tốt bây giờ đến bài khác . =))
    1) Cho $a;b;c$>$0$
    Chứng minh : $\frac{a^3+b^3}{2.a.b}$+ $\frac{b^3+c^3}{2.b.c}$+$\frac{a^3+c^3}{2.a.c}$ \geq $a+b+c$
    2) Cho $x+y+z$=$4$
    Chứng minh $\frac{1}{4.y.z+1}$+$\frac{1}{4.x.z+2}$+$\frac{1}{4.x.y+5}$<$\frac{1}{x.y.z}$ ($x;y;z$>$0$)
    3) Cho $x;y$ thoả mãn $x+y$=$1$ ($x;y$>$0$)
    Chứng tỏ : $\frac{1}{x^2+x.y.2}$+$\frac{1}{y^2}$ \geq 4
     
    Last edited by a moderator: 28 Tháng tư 2014
  6. Trên tử mũ 3 cả chứ

    Áp dụng $x^3+y^3$ \geq $xy(x+y)$

    $VT$ \geq $\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{b+c}{2}+\dfrac{c+a}{2}=a+b+c$
     
  7. ronaldover7

    ronaldover7 Guest

    Tiếp đi congchuaanhsang,coi như bh t luyện tập cho ngày mai!!!!!!!!!!!!!!!!!
     
  8. canonteresa

    canonteresa Guest

    Ủng hộ nhiêt tình nhé :D. Lâu rồi mới vào hocmai :D.
    Bài 2:
    Ta có $\frac{1}{x.y.z}$=$\frac{4}{x.y.z.4}$=$\frac{x+y+z}{4.y.x.z}$=$\frac{1}{4.y.z}$+$\frac{1}{4.x.z}$+$\frac{1}{4.x.y}$
    Có $\frac{1}{4.y.z}$ > $\frac{1}{4.y.z+1}$
    $\frac{1}{4.x.z}$ > $\frac{1}{x.z.4+2}$
    $\frac{1}{4.x.y}$>$\frac{1}{4.x.y+5}$
    Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
     
    Last edited by a moderator: 28 Tháng tư 2014
  9. canonteresa

    canonteresa Guest

    Ta cần chứng minh rằng :
    $\frac{a^2+2.a.b+b^2}{a^2-b.a+b^2}$ \leq $4$
    Thật vậy : Xét hiệu $4.a^2-4.a.b+4.b^2-a^2-2.a.b-b^2=3.a^2-6.a.b+3.b^2=3.(a-b)^2$ \geq 0
    \Rightarrow $\frac{(a^2+2.a.b+b^2).(a+b)}{(a^2-b.a+b^2).(a+b)}$ \leq $\frac{8}{2}$ (đpcm)
     
  10. Đóng góp 1 câu nhé

    Cho a>b>0. Cm

    $A=a+\dfrac{1}{b(a-b)^2}$ \geq $2\sqrt{2}$
     
  11. Câu này mình chưa có lời giải, mọi người làm giùm luôn:
    Giả sử a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: $a$\leq$b$\leq$3$\leq$c;$ $c$\geq$b+1;$ $a+b$\geq$c.$ Tìm Min của:
    $Q=\frac{2ab+a+b+c(ab-1)}{(a+1)(b+1)(c+1)}$
     
  12. san1201

    san1201 Guest

    Làm Cho Mình Câu Cực Trị Này Nhá

    - Cho $a,b,c,d$ sao cho các số trên thuộc đoạn [0;1]. Tìm GTLN của biểu thức
    $$A=\sqrt[3]{abcd}+\sqrt[3]{(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)}$$
    -Giúp mình nha
     
    Last edited by a moderator: 28 Tháng tư 2014
  13. eye_smile

    eye_smile Guest

    AD Cauchy 4 số:

    $\dfrac{a-b}{2}+\dfrac{a-b}{2}+b+\dfrac{1}{b{(a-b)^2}}$ \geq $4\sqrt[4]{\dfrac{1}{4}}=2\sqrt{2}$

    Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $a=\dfrac{3\sqrt{2}}{2};b=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
     
    Dương Hà Bảo Ngọc thích bài này.
  14. thinhrost1

    thinhrost1 Guest

    Sử dụng liên tiếp BDT cauchy
    $A=a+\dfrac{1}{b(a-b)^2}=a-b+b+\dfrac{1}{b(a-b)^2} \geq a-b+\dfrac{2}{(a-b)} \geq 2\sqrt{2}$

    Bất đẳng thức được chứng minh.

    Các mod cho thêm bài đi :D
     
  15. eye_smile

    eye_smile Guest

    Đặt $a+b+c+d=B$
    Ta có: $\sqrt{abcd}$ \leq ${(\dfrac{a+b+c+d}{4})^2}=\dfrac{{B^2}}{16}$

    $\sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)}$ \leq ${(\dfrac{4-(a+b+c+d)}{4})^2}=\dfrac{{(4-B)^2}}{16}$

    \Rightarrow $A$ \leq $\dfrac{{B^2}+{(4-B)^2}}{16}=\dfrac{{B^2}-4B+8}{8}=\dfrac{{(B-2)^2}+4}{8}$
    Có: $0$ \leq B \leq 4
    \Leftrightarrow -2 \leq B-2 \leq 2
    \Leftrightarrow $|B-2|$ \leq 2
    \Leftrightarrow ${(B-2)^2}$ \leq 4
    \Rightarrow A \leq $\dfrac{4+4}{8}=1$

    Dấu"=" xảy ra \Leftrightarrow a=b=c=d=1 hoặc a=b=c=d=0
     
    Last edited by a moderator: 28 Tháng tư 2014
  16. Bài của bạn baochauhanoi1999 rất khó .
    Ta có $Q-\frac{5}{12}=\frac{a.b.2+a+b+a.b.c-c}{(1+a)(b+1)(c+1)}-\frac{5}{12}=\frac{a.b(c+1)+(a+1)(b+1)-c-1}{(a+1)(b+1)(c+1)}-\frac{5}{12}$
    $Q-\frac{5}{12}=\frac{a.b}{(a+1)(b+1)}+\frac{1}{c+1}-\frac{1}{(a+1)(b+1)}-\frac{5}{12}$
    =$\frac{a.b}{(a+1)(b+1)}-\frac{1}{3}+\frac{1}{c+1}-0,25$+$\frac{1}{6}-\frac{1}{(a+1)(b+1)}$=$\frac{2.a.b-a-b-1}{3(a+1)(b+1)}+\frac{3-c}{4(c+1)}+\frac{a.b+a+b-5}{6(a+1)(b+1)}$ \geq $\frac{2.a.b-a-b-1}{3(a+1)(b+1)}+\frac{3-b-1}{4(c+1)}+\frac{a.b+b+a-5}{6(a+1)(1+b)}+\frac{a.b+a+b-5}{(a+1)(b+1)6}$ \geq 0
    \Rightarrow $Q$ \geq $\frac{5}{12}$
    \Rightarrow Min$Q$=$\frac{5}{12}$
    Khó thiệt @-)
     
    Last edited by a moderator: 28 Tháng tư 2014
  17. Tiếp nhé :)&gt;-.
    C/m bất đẳng thức sau luôn đúng với mọi $d$ :
    $3.(1+d^2+d^4)$ \geq $(1+d+d^2)^2$
     
  18. eye_smile

    eye_smile Guest

    BĐT Cauchy-Schwarz mà :)
    ${(1+d+{d^2})^2}$ \leq $(1+1+1)(1+{d^2}+{d^4})=3(1+{d^2}+{d^4})$
    Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow d=1
     
  19. Tiếp nhé :).
    C/m rằng
    $(r+s)^4$ \leq $8.(r^4+s^4)$
     
  20. C/m bất đẳng thức sau luôn đúng với mọi d :
    $3.(1+d^2+d^4)$ \geq $(1+d+d^2)^2$
    Bài này còn 1 cách khác nữa nhé chị eye_smile
    Xét hiệu $VT-VP=2.(1+d+d^2)(1-d)^2$ \geq $0$
    Từ đó suy ra điều phải c/m ( dấu bằng xảy ra khi $d=1$)
     
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->