Xét phương trình bậc bốn:
[tex] x^{4} + ax^{3} + bx^{2} + cx + d = 0 \qquad (1)[/tex]
(1)[tex] {\Leftrightarrow} {x^{4} + ax^{3} = - bx^{2} - cx - d}[/tex]
[tex]{\Leftrightarrow}{x^{4} + ax^{3} + { \frac{a^{2}x^{2}}{4}}= {({ \frac{a^{2}}{4}}- b)}x^{2} - cx - d}[/tex]
[tex]{\Leftrightarrow}{(x^{2} + { \frac{ax}{2}})^{2} = {({ \frac{a^{2}}{4}}- b)}x^{2}- cx - d}[/tex] (*)
Ta đưa vào phương trình ẩn phụ y như sau:
Cộng hai vế của phương trình (*) cho[tex] (x^{2} + { \frac{ax}{2}}).y + { \frac{y^{2}}{4}} [/tex]. Ta có:
[tex]{(x^{2}+{ \frac{ax}{2}})^{2}+(x^{2}+{ \frac{ax}{2}})y+{ \frac{y^{2}}{4}}= (x^{2}+{ \frac{ax}{2}})y+{ \frac{y^{2}}{4}}+{({ \frac{a^{2}}{4}}-b)}x^{2}-cx-d}[/tex]
[tex]{\Leftrightarrow}{(x^{2}+{ \frac{ax}{2}}+{ \frac{y}{2}})^{2}=(x^{2}+{ \frac{ax}{2}})y+{ \frac{y^{2}}{4}}+{({ \frac{a^{2}}{4}}-b)}x^{2}-cx-d} (**)[/tex]
Ta tìm giá trị y sao cho vế phải là biểu thức chính phương (trường hợp vế phải của (*) đã là biểu thức chính phương thì việc đưa vào biến phụ y là không cần thiết). Muốn vậy, vế phải phải có nghiệm kép theo biến x.
Hay: [tex]\Delta = ({ \frac{ay}{2}}-c)^{2} - 4({\frac{a^{2}}{4}}-b+y).({ \frac{y^{2}}{4}}-d) = 0[/tex]
Nghĩa là, ta tìm y là nghiệm của phương trình:
[tex]y^{3} -by^{2}+(ac-4d)y-[d(a^{2}-4b)-dy] = 0 (***)[/tex]
Với giá trị [tex]y_{0}[/tex] vừa tìm được thì vế phải của (**) có dạng [tex]({\alpha}x+{\beta})^{2}[/tex]
Do đó, thế[tex] y_{0}[/tex] vào phương trình (**) ta có:
[tex]{(x^{2}+{ \frac{ax}{2}}+{ \frac{y_{0}}{2}})^{2}}={ ({\alpha}x+{\beta})^{2}} (****)[/tex]
Từ (****) ta có được 2 phương trình bậc hai:
[tex]{x^{2}+{ \frac{ax}{2}}+{ \frac{y_{0}}{2}}}={ {\alpha}x+{\beta}} (a)[/tex]
[tex] {x^{2}+{ \frac{ax}{2}}+{ \frac{y_{0}}{2}}}={ -{\alpha}x-{\beta}} (b)[/tex]
Từ đây, giải 2 phương trình (a), (b) ta sẽ có 4 nghiệm của phương trình bậc 4 tổng quát ban đầu.
P/s: từ phương trình (***) ta sẽ có 3 giá trị y, và với mỗi giá trị y có được ta sẽ có 4 giá trị x. Như vậy, tổng cộng ta có 12 giá trị x là nghiệm của phương trình (1). Tuy nhiên, do (1) là phương trình bậc bốn nên chỉ có đúng 4 nghiệm (thực hoặc phức). Do đó, các giá trị x tương ứng với y0 sẽ phải trùng lại với các giá trị x tương ứng với y1 và y2. Vì vậy, từ (***) ta chỉ cần tìm 1 giá trị yo là đủ.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
