Đề thi HSG trường Mạc Đĩnh Chi - Tây Ninh

[chonhoi110]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1:
a, Cho đa thức $A(n)=(n^2+3n+1)^2-1$. Chứng minh A(n) chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n.

b, Tìm các cặp số $(a;b)$ thỏa mãn: $\dfrac{3b}{a^2-4}=\dfrac{1-125a-3b}{6a+13}=1-125a$

Bài 2: Rút gọn biểu thức:

$Q=\dfrac{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac}{a^3+b^3+c^3-3abc}.[\dfrac{a+b}{ab}(a^2+b^2-c^2)+\dfrac{c+b}{bc}(b^2+c^2-a^2)+\dfrac{c+a}{ac}(c^2+a^2-b^2)]$

Bài 3: Giải các phương trình sau:

a, $\dfrac{ax-1}{x-1}+\dfrac{b}{x+1}=\dfrac{a(x^2+1)}{x^2-1}$

b, $\dfrac{[2015(x+1)-2014(x+3)]^3+[2014(x+3)-x+5]^3+[x-5-2015(x+1)]^3}{2012.2013.2014.2015.2016}=0$

Bài 4:

a, Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC. CMR:
$$P=(b^2+c^2-a^2)-4b^2c^2 <0$$
b, Tìm x,y để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất:
$$K=x^2-2xy+6y^2-12x+2y+100$$

Bài 5: Cho hình vuông ABCD và một điểm E bất kì trên cạnh BC. Tia Ax vuông với AE cắt cạnh CD kéo dài tại F. Kẻ trung tuyến AI của tam giác AEF và kéo dài cắt cạnh CD tại K. Đường thẳng qua E song song với AB cắt AI tại G.

1, CM: $AE=AF$ và tứ giác EGFK là hình thoi
2, CM: $AF^2=KF.CF$
3, Cho điểm E di động trên cạnh BC. CMR: $EK=BE+DK$ và chu vi tam giác $ECK$ không đổi

P/s: Đề còn 1 câu nhưng do chủ pic quá "lười" nên quyết định không đánh =))

 

[tensa_zangetsu]

Chém câu dễ trước )

$A=(n^2+3n)(n^2+3n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3) \vdots 24$(tích 4 số tự nhiên liên tiếp)

 

[congchuaanhsang]

$A=n(n+1)(n+2)(n+3)$

\Rightarrow A chia hết cho 3

*Xét n chẵn:

Đặt $n=2k$ ($k \in N$)

thì $n(n+2)=2k(2k+2)=4k(k+1)$ chia hết cho 8

(do $k(k+1)$ chia hết cho 2)

\Rightarrow A chia hết cho 8

*Xét n lẻ
Tương tự cũng có A chia hết cho 8

Vì (3,8)=1 \Rightarrow A chia hết cho 24

 

[congchuaanhsang]

Lúc này ta chỉ có hứng thú với bđt

4a, Có $P=(b^2+c^2-a^2-2bc)(b^2+c^2-a^2+2bc)$

\Leftrightarrow $P=[(b-c)^2-a^2][(b+c)^2-a^2]=(b-c-a)(b+a-c)(b+c-a)(b+c+a)$

Do a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác nên:

$b-c-a<0$ ; $b+a-c>0$ ; $b+c-a>0$ ; $b+c+a>0$

\Rightarrow P<0

 

[congchuaanhsang]

4b, $K=(x^2-2xy+y^2)-12(x-y)+36+5(y^2-2y+1)+59$

\Leftrightarrow $K=(x-y)^2-12(x-y)+36+5(y-1)^2+59$

\Leftrightarrow $K=(x-y-6)^2+5(y-1)^2+59$ \geq 59

$K_{min}=59$ \Leftrightarrow $x=7$ ; $y=1$

 

[su10112000a]

câu 1a:
có thể c/m bằng cách này nhanh hơn :
ta có:
A=$n.(n+1).(n+2).(n+3)$
\RightarrowA chia hết cho 3
ta có: A là tích của 4 số liên tiếp nên A cũng là tích của 2 số chẵn liên tiếp
\RightarrowA chia hết cho 8
vì (3,8)=1 nên A chia hết 24

 

[tensa_zangetsu]

$A=n(n+1)(n+2)(n+3)$

\Rightarrow A chia hết cho 3

*Xét n chẵn:

Đặt $n=2k$ ($k \in N$)

thì $n(n+2)=2k(2k+2)=4k(k+1)$ chia hết cho 8

(do $k(k+1)$ chia hết cho 2)

\Rightarrow A chia hết cho 8

*Xét n lẻ
Tương tự cũng có A chia hết cho 8

Vì (3,8)=1 \Rightarrow A chia hết cho 24

Có tính chất tích $n$ số tự nhiên liên tiếp chia hết cho $n!$ mà.

 

[huy14112]

Xời nản quá , đang ôn thi nó cũng kêu mình làm . chém tạm 1 bài cho nó đỡ khóc .

4b

$K=x^2-2xy+6y^2-12x+2y+100=(x-y-6)^2+5(y-1)^2+59 \ge 59 $

Tự tìm x,y sai thì thôi nhé , ôn tiếp đây

 

[congchuaanhsang]

Có tính chất tích $n$ số tự nhiên liên tiếp chia hết cho $n!$ mà.

Theo mình được biết thì các tính chất không có trong SGK khi đi thi đều cần chứng minh.
Tính chất đó tất nhiên không có trong SGK toán 8.

 

[tensa_zangetsu]

Đề hình sai, phải là C/m $EGFK$ là hình thoi, không phải $AGFK$

 

[tensa_zangetsu]

a) $\widehat{EAB}=\widehat{FAD}$
$\widehat{ABE}=\widehat{ADF}$
$AB=AD$
$\leftrightarrow \Delta ABE=\Delta ADF$
$\rightarrow AF=AE$
$\rightarrow AFE$ vuông cân.

$GE//FK$
$\rightarrow \widehat{IFK}=\widehat{GEI}$
Có $FI=IE$
$\hat{I}=90^o$
$\rightarrow EGFK$ là hình thoi

b) $\widehat{KAF}=\widehat{ACK}$
$\hat{K}$ chung
$\rightarrow \Delta AFK \sim CFA$
$\rightarrow$ dpcm

c) Có $AK$ nằm trên đường tt của $FE$, suy ra $EK=FK$
Theo câu a) có $BE=DF$
suy ra được dpcm.

 

[duchieu300699]

Bài 3: Giải các phương trình sau:

a, $\dfrac{ax-1}{x-1}+\dfrac{b}{x+1}=\dfrac{a(x^2+1)}{x^2-1}$

b, $\dfrac{[2015(x+1)-2014(x+3)]^3+[2014(x+3)-x+5]^3+[x-5-2015(x+1)]^3}{2012.2013.2014.2015.2016}=0$


P/s: Đề còn 1 câu nhưng do chủ pic quá "lười" nên quyết định không đánh =))

Anh em đã chém nát quả cam 1 cách không thương tiếc, thôi còn câu nào làm câu ấy vậy.

3a) Nếu tính x theo a,b thì quy đồng rồi giải (không chắc ăn nên không giải chi tiết)

b) Đặt $2015(x+1)-2014(x+3)=a$ ; $2014(x+3)-x+5=b$ ; $x-5-2015(x+1)=c$

Có a+b+c=0 ; $a^3+b^3+c^3=0$
nên $a^3+b^3+c^3=3abc$
$\rightarrow$ 3abc=0
$\rightarrow$ a=0 hoặc b=0 hoặc c=0

Xét từng TH suy ra nghiệm x

 

[evilfc]

1b trước nhé

1b.Ta có :3b\frac{a}{b}a^2-4=1-125a-3b\frac{a}{b}6a+13=1-125a\frac{a}{b}(a+3)^2=1-125a
\Rightarrow(1-125a)(1\frac{a}{b}(a+b)^2 -1)=0
\Rightarrowa=1/125 hoặc a=-2(loại vì k thoả đkxđ) hoặc a=-4
thay vào tìm dc b=0 hoặc b=2004

 

[evilfc]

1b trước nhé

1b.Ta có :3ba^2-4=1-125a-3b6a+13=1-125a(a+3)^2=1-125a
(1-125a)(1(a+b)^2 -1)=0
a=1/125 hoặc a=-2(loại vì k thoả đkxđ) hoặc a=-4
thay vào tìm dc b=0 hoặc b=2004

 

[tensa_zangetsu]

Anh em đã chém nát quả cam 1 cách không thương tiếc, thôi còn câu nào làm câu ấy vậy.

3a) Nếu tính x theo a,b thì quy đồng rồi giải (không chắc ăn nên không giải chi tiết)

b) Đặt $2015(x+1)-2014(x+3)=a$ ; $2014(x+3)-x+5=b$ ; $x-5-2015(x+1)=c$

Có a+b+c=0 ; $a^3+b^3+c^3=0$
nên $a^3+b^3+c^3=3abc$
$\rightarrow$ 3abc=0
$\rightarrow$ a=0 hoặc b=0 hoặc c=0

Xét từng TH suy ra nghiệm x

Bài 3 a quy đồng đúng rồi: )
Có: $(ax-1)(x+1)+bx-b=ax^2+a$
$(a+b-1)x=a+b$
Tự làm và biện luận )

 

[casidainganha]

b, Tìm các cặp số $(a;b)$ thỏa mãn: $\dfrac{3b}{a^2-4}=\dfrac{1-125a-3b}{6a+13}=1-125a$

Có một cách nhanh hơn đặt là sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau
$\dfrac{3b}{a^2-4}=\dfrac{1-125a-3b}{6a+13}=1-125a$
= $\frac{3b+1-125a-3b-1+125a}{a^2-4+6a+13-1}$
=0 với mọi a,b ngoại trừ a= 4,-4, $\frac{-13}{6}$
Không biết đúng hay sai vì ngắn quá nên cũng hơi nghi nghi :|:|:|:|:|:|:|:| sai kệ nhé

 

[tanngoclai]

Có một cách nhanh hơn đặt là sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau
$\dfrac{3b}{a^2-4}=\dfrac{1-125a-3b}{6a+13}=1-125a$
= $\frac{3b+1-125a-3b-1+125a}{a^2-4+6a+13-1}$
=0 với mọi a,b ngoại trừ a= 4,-4, $\frac{-13}{6}$
Không biết đúng hay sai vì ngắn quá nên cũng hơi nghi nghi :|:|:|:|:|:|:|:| sai kệ nhé

Sai rồi nhá =))
$(a;b)=(\dfrac{1}{125};0)$ mới đúng Mà a khác -2 với -2 chứ k phải 4 nhá =))

 

[tanngoclai]

4a đề thiếu mũ 2 nhá =))

Đề bài 6 này
Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH. Trên tia HC lấy D sao cho HD=HA. Từ D vẽ đường thẳng song song với AH cắt AC tại E.
a) C/m : AE = AB
b) Gọi M là trung điểm của BE. C/m : AH.BM = AB.HM + AM.BH

Cái phần b) ai làm ngắn được tớ sẽ hậu tạ chứ tớ làm dài dòng văn tự lắm =))

 

[tensa_zangetsu]

4a đề thiếu mũ 2 nhá =))

Đề bài 6 này
Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH. Trên tia HC lấy D sao cho HD=HA. Từ D vẽ đường thẳng song song với AH cắt AC tại E.
a) C/m : AE = AB
b) Gọi M là trung điểm của BE. C/m : AH.BM = AB.HM + AM.BH

Cái phần b) ai làm ngắn được tớ sẽ hậu tạ chứ tớ làm dài dòng văn tự lắm =))

Câu b:
Dễ mà.
$\widehat{BMA}=\widehat{BHA}$
$\rightarrow BHMA$ nội tiếp đường tròn
Áp dụng đẳng thức Ptolemy ta có điều phải chứng minh ), nhanh, gọn, lẹ, và không có thêm điểm nào )

 

[casidainganha]

Sai rồi nhá =))
$(a;b)=(\dfrac{1}{125};0)$ mới đúng Mà a khác -2 với -2 chứ k phải 4 nhá =))

Bạn trình bày đầy đủ hơn được không:|:|:|:khi (175)::khi (175)::khi (175)::khi (175)::khi (175)::khi (175)::khi (175):