Toán 12 [Đấu trường toán 12_ver2] Tích phân

N

nhokdangyeu01

trantien.hocmai said:
$I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{sin2x}{\sqrt{cos^2x+4sin^2x}}dx$

đặt $t=\sqrt{cos^2x+4sin^2x} \rightarrow t^2=cos^2x+4sin^2x \rightarrow 2tdt=(-2sinxcosx+8sinxcosx)dx=3sin2xdx \rightarrow \frac{2}{3}tdt=sin2xdx$
đổi cận
$x=0 \rightarrow t=1$
$x=\frac{\pi}{2} \rightarrow t=2$
ta có
$I=\frac{2}{3} \int_1^2 \frac{tdt}{t}=\frac{2}{3} \int_1^2dt=\frac{2}{3}$
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Cách đặt khác:
I=$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{2sinxcosx}{\sqrt[]{1-sin^2x+4sin^2x}}dx$
=$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{2sinxcosx}{\sqrt[]{1+3sin^2x}}dx$
Đặt $\sqrt[]{1+3sin^2x}$=t \Leftrightarrow $t^2=1+3sin^2x$ \Leftrightarrow tdt=3sinxcosxdx \Leftrightarrow sinxcosxdx=$\frac{tdt}{3}$
Đổi cận: x=0 \Rightarrow t=1
x=$\frac{\pi}{2}$ \Rightarrow t=2
\Rightarrow I=$\int_{1}^{2}\frac{2}{3}dt = \frac{2t}{3}|_1^2 =\frac{2}{3}$
 
T

trantien.hocmai

$I=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x^2sinx+1}{1+2cos^2x}dx$
đặt $x=-t \rightarrow dx=-dt$
đổi cận
$x=-\frac{\pi}{4} \rightarrow t=\frac{\pi}{4}$
$x=\frac{\pi}{4} \rightarrow t=-\frac{\pi}{4}$
ta có
$I=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{-t^2sint+1}{1+2cos^2t}dt$
$=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{-x^2sinx+1}{1+2cos^2x}dx$
$2I=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{2}{1+2cos^2x}dx$
tới đây là xong nhá
 
Last edited by a moderator:
N

nhokdangyeu01

noinhobinhyen_nb said:
$I=\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \dfrac{sinxdx}{cosx.\sqrt{3+sin^2x}}$
Đặt $t = cosx$ \Rightarrow $dt=-sinxdx$ hay $sinxdx=-dt$

đổi cận:
$x=0$ \Rightarrow $t = 1$
$x= \dfrac{\pi}{3}$ \Rightarrow $t=\dfrac{1}{2}$

Khi đó $I=\int_{\frac{1}{2}}^{1} \dfrac{dt}{t.\sqrt{4-t^2}}$

đặt $t=2sinu (u \in [0; \dfrac{\pi}{2}])$ \Rightarrow $dt=2cosu.du$
đổi cận hơi lẻ ...

khi đó biểu thức này sẽ là \int_{}^{}$\dfrac{2cosu.du}{2.sinu.2cosu}$ = \int_{}^{}$\dfrac{1}{2sinu}du$ = $\dfrac{1}{2}.ln|tan\dfrac{u}{2}|$
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Cách giải khác:
I=$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\frac{sinx}{cosx\sqrt[]{3+sin^2x}}dx$
=$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}\frac{sinxcosx}{cos^2x . \sqrt[]{3+sin^2x}}}dx$
Đặt $\sqrt[]{3+sin^2x}=t$
\Leftrightarrow $t^2=3+sin^2x$
\Leftrightarrow $sin^2x=t^2-3$ \Rightarrow $cos^2x=4-t^2$
\Leftrightarrow $2sinxcosxdx=2tdt$ \Leftrightarrow $sinxcosxdx=tdt$
Đổi cận: $x=\frac{\pi}{3}$ \Rightarrow $t=\frac{\sqrt[]{15}}{2}$
x=0 \Rightarrow t=$\sqrt[]{3}$
\Rightarrow I=$\int_{\sqrt[]{3}}^{\frac{\sqrt[]{15}}{2}}\frac{dt}{4-t^2}$
Có: $\frac{1}{4-t^2}= \frac{1}{4(2+t)}+\frac{1}{4(2-t)}$
\Rightarrow I=$\int_{\sqrt[]{3}}^{\frac{\sqrt[]{15}}{2}}[\frac{1}{4(2+t)}+\frac{1}{4(2-t)}]dt$
=$\frac{1}{4}ln(\frac{2+t}{2-t})|_{\sqrt[]{3}}^\frac{\sqrt[]{15}}{2}$
=$\frac{1}{4}ln(\frac{2+\frac{\sqrt[]{15}}{2}}{2-\frac{\sqrt[]{15}}{2}})-\frac{1}{4}ln(\frac{2+\sqrt[]{3}}{2-\sqrt[]{3}})$
 
Last edited by a moderator:
E

endinovodich12

trantien.hocmai said:
$I=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x^2sinx+1}{1+2cos^2x}dx$
đặt $x=-t \rightarrow dx=-dt$
đổi cận
$x=-\frac{\pi}{4} \rightarrow t=\frac{\pi}{4}$
$x=\frac{\pi}{4} \rightarrow t=-\frac{\pi}{4}$
ta có
$I=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{-t^2sint+1}{1+2cos^2t}dt$
$=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{-x^2sinx+1}{1+2cos^2x}dx$
$2I=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{2}{1+2cos^2x}dx$
tới đây là xong nhá
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Chưa song đâu !

$2I=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{2}{1+2cos^2x}dx$

Cái này bằng mấy !
 
T

trantien.hocmai

$I=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{1+2cos^2x}dx$
$=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{(tan^2+3)cos^2x}dx$
$=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{tan^2x+1}{tan^2x+3}dx$
đăt $t=tanx \rightarrow dt=(tan^2x+1)dx$
đổi cận
$x=-\frac{\pi}{4} \rightarrow t=-1$
$x=\frac{\pi}{4} \rightarrow t=1$
$I=\int_{-1}^1 \frac{dt}{t^2+3}$
đặt
$t=\sqrt{3}tanu \rightarrow dt=\sqrt{3}(tan^2u+1)du$
đổi cận
$t=-1 \rightarrow u=-\frac{\pi}{6}$
$t=1 \rightarrow u=\frac{\pi}{6}$
ta có
$I=\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} \frac{\sqrt{3}}{3}du$
đến đây thì không còn nguyên nhân gì để mà không xong cả
 
T

trantien.hocmai

lại là mấy câu dễ nữa anh em vào chém nhá
$I=\int \frac{x^5dx}{x^6-x^3-2}$
$I=\int \frac{x^4-3}{x(x^8+3x^2+2)}dx$
hâm nóng topic
 
C

connhikhuc

lâu không lên, nay rảnh, cho mình góp bài:

$I = \int_{0}^{1} \frac{3^x-1}{(3^{-x}+1).\sqrt[]{3^x+1}} $

Chúc mọi người học tốt :D
 
Last edited by a moderator:
D

duynhan1

connhikhuc said:
lâu không lên, nay rảnh, cho mình góp bài:

$I = \int_{0}^{1} \frac{3^x-1}{(3^{-x}+1).\sqrt[]{3^x+1}} $

Chúc mọi người học tốt :D
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

$$\begin{array}{ll} I & = \int_{0}^{1} \frac{3^x-1}{(3^{-x}+1).\sqrt[]{3^x+1}}\\

&= \int_0^1 \dfrac{3^x - 1}{(3^x + 1)\sqrt{3^x+1}} \dfrac{d(3^x+1)}{\ln 3} \\
& = \dfrac{1}{\ln 3} \int_2^4 \dfrac{t-2}{t \sqrt{t}} dt \\
& = \dfrac{1}{\ln 3} \left( 2 \sqrt{t} + \dfrac{4}{\sqrt{t}} \right) \Large|_2^4
\end{array}$$

P/s: Mấy bạn MOD sao không viết hoa đầu dòng + Gõ LaTeX xấu quá :))
 
Last edited by a moderator:
T

trantien.hocmai

$\text{các công thức cơ bản để tính tích phân} \\
1.\int 0 dx=C \\
2.\int dx=x+C \\
3.\int x^{a}=\frac{1}{a+1}.x^{a+1}+C (a \not= -1)\\$
$4.\int(cx+b)^{a}dx=\frac{1}{c}.\frac{(cx+b)^{a+1}}{a+1}+C \\
5.\int \frac{1}{x^a}=-\frac{1}{a-1}.\frac{1}{x^{a-1}}+C \\
6.\int \frac{1}{(cx+b)^{a}}=-\frac{1}{a}.\frac{1}{c-1}.\frac{1}{(cx+b)^{a-1}}+C \\
7.\int \frac{dx}{x}=\ln x+C \\
8.\int \frac{dx}{ax+b}=\frac{1}{a}\ln (ax+b)+C \\
9.\int Kdx=Kx+C K \in R \\$
$10.\int e^xdx=e^x+C \\
11.\int e^{ax+b}=\frac{1}{a}.e^{ax+b}+C \\
12.\int a^xdx=\frac{a^x}{\ln a}+C \\
13. \int \sin xdx=-\cos x+C \\
14.\int \sin (ax+b)=-\frac{1}{a}.\cos (ax+b)+C \\
15.\int \cos x=\sin x+C \\$
$16.\int \cos (ax+b)=\frac{1}{a}.\sin (ax+b)+C \\
17. \int \frac{1}{\cos ^2x}=\tan x+C \\
18.\int \frac{1}{\sin ^2x}=-\cot x+C \\$
 
T

trantien.hocmai

$$\text{TÍCH PHÂN}$$
$$\text{Dạng 1}$$
$$\text{tính tích phân dạng} \\
I=\int \frac{dx}{\sin (x+a).\sin (x+b)} \\
\text{ta thực hiện các bước sau} \\
\text{bước 1: sử dụng đồng nhất thức} \\
1=\frac{\sin (a-b)}{\sin (a-b)}=\frac{\sin [(x+a)-(x+b)]}{\sin (a-b)} \\
\text{bước 2: ta được} \\
I=\int \frac{dx}{\sin (x+a).\sin (x+b)}=\frac{1}{\sin (a-b)}.\int \frac{\sin [(x+a)-(x+b)]}{\sin (x+a).\sin (x+b)}dx \\
=\frac{1}{\sin (a-b)}.\int \frac{\sin (x+a).\cos (x+b)-\sin (x+b).\cos (x+a)}{\sin (x+a).\sin(x+b)}dx \\
=\frac{1}{\sin (a-b)}.[\int \frac{\cos (x+b)}{\sin (x+b)}dx-\int \frac{\cos (x+a)}{\sin (x+a)}dx]=\frac{1}{\sin (a-b)}.[\ln |\sin (x+b)|-\ln |\sin (x+a)|] \\
=\frac{1}{\sin (a-b)},\ln |\frac{\sin (x+b)}{\sin (x+a)}|+C \\$$
$\text{chú ý}$
$\text{phương pháp trên cũng được áp dụng cho các dạng tích phân sau:} \\
1.I=\int \frac{dx}{\cos (x+a).\cos (x+b)}dx \\
\text{sử dụng đông nhất thức }1=\frac{\sin (a-b)}{\sin (a-b)} \\
2.I=\int \frac{dx}{\sin (x+a).\cos (x+b)}dx \\
\text{sử dụng đồng nhất thức }1=\frac{\cos (a-b)}{\cos (a-b)} $
$$\text{ví dụ } \\$$
$$\text{1. tính nguyên hàm} \\
I=\int \frac{dx}{\cos x.\cos (x+\frac{\pi}{4})}dx \\
\text{sử dụng đồng nhất thức } \\
1=\frac{\sin \frac{\pi}{4}}{\sin \frac{\pi}{4}}=\frac{\sin [(x+\frac{\pi}{4})-x]}{\sin \frac{\pi}{4}}=\sqrt{2}.\sin [(x+\frac{\pi}{4})-x] \\
\text{thay vào ta có} \\
I=\int \frac{dx}{\sin (x+\frac{\pi}{4}).\sin x}dx=\sqrt{2}.\frac{\sin [(x+\frac{\pi}{4})-x]}{\cos (x+\frac{\pi}{4}).\cos x}dx \\
=\sqrt{2}.\frac{\sin (x+\frac{\pi}{4}).\cos x-\cos (x+\frac{\pi}{4}).\sin x}{\cos (x+\frac{\pi}{4}).\cos x}dx \\
=\sqrt{2}.[\int \frac{\sin (x+\frac{\pi}{4})}{\cos (x+\frac{\pi}{4})}dx-\int \frac{\sin x}{\cos x}dx] \\
=\sqrt{2}.[-\ln |\cos (x+\frac{\pi}{4})|+\ln |\cos x|]=\sqrt{2}. \ln |\frac{\cos x}{\cos (x+\frac{\pi}{4})}| \\
$$
$$\text{người tổng hợp kiến thức: Nguyễn Tiến}$$
 
Last edited by a moderator:
T

trantien.hocmai

$$\text{TÍCH PHÂN} \\$$
$$\text{Dạng 2} \\$$
$$\text{tính tích phân dạng } \\
I=\int \tan x.\tan(x+a) \\
\text{ta thực hiện các bước sau} \\
\text{bước 1: biến đổi I về dạng: } \\
I=\int (\frac{\sin x.\sin (x+a)+\cos x.\cos (x+a)}{\cos x.\cos (x+a)}-1)dx=(\int \frac{\cos a}{\cos x.\cos (x+a)}-\int dx) \\
=\cos a.\int \frac{1}{\cos x.\cos (x+a)}-x (1) \\
\text{bước 2: áp dụng dạng 1 để giải (1)} \\
$$
$\text{chú ý}$
$\text{phương pháp trên cũng được áp dụng để giải các dạng tích phân } \\
1.I=\int \tan (x+a).\cot (x+b)dx \\
2.I=\int \cot (x+a).\cot (x+b)dx \\$
 
X

xuanquynh97

sao chả ai nhòm cái topic thế này tội nghiệp nó thế

Bạn Tiến có bài nào hay không cop link t làm cái file PDF cho nó đẹp
 
S

sincere97

chưa học tích phân bạn ạ :)
mới học đến logarit thôi
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
 
T

trantien.hocmai

$\text{tuân lệnh chị quỳnh em ra bài dễ đây} \\$
$$I=\int_{-1}^1 \dfrac{x^4+\sin x}{x^2+1}dx \\
I=\int_{-1}^1 (e^{x^2}.\sin x+e^2.x^2)dx \\
I=\int_{-\dfrac{\pi}{2}}^{\dfrac{\pi}{2}} \dfrac{\sin ^3xdx}{\sqrt{1+\cos x}} \\
$$
 
Q

quynhsieunhan

Khó hơn 1 xíu nhá:
$I = \int\limits_{\frac{-1}{2}}^{0}(\frac{\sqrt{3 - 4x^2 - 4x}}{4x^2 + 4x + 5} + x\sqrt{2x + 1})dx$
$I = \int\limits_{1}^{e}\frac{(x^4 + 1)lnx + 2x^3 + 1}{2 + xlnx}dx$
 
T

trantien.hocmai

$$I=\int_1^e \dfrac{(x^4+1)\ln x+2x^3+1}{2+x\ln x}dx=\int_1^e \dfrac{x^4\ln x+\ln x+2x^3+1}{2+x\ln x}dx \\
=\int_1^e \dfrac{x^3(2+x \ln x)+\ln x+1}{2+x\ln x}dx=\int_1^e x^3dx+\int_1^e \dfrac{\ln x+1}{2+x\ln x}dx=I_1+I_2 \\
I_1=\int_1^e x^3dx=\dfrac{1}{4}x^4|_1^e=\dfrac{1}{4}e^4-\dfrac{1}{4} \\
I_2=\int_1^e \dfrac{\ln x+1}{2+x\ln x}dx \\$$
$\text{đặt }u=2+x\ln x \rightarrow du=(\ln x+1)dx \\
\text{đổi cận }x=1 \rightarrow u=2, x=e \rightarrow u=2+e \\$
$$I_2=\int_2^{2+e} \dfrac{du}{u}=\ln |u||_2^{2+e}$$
 
Last edited by a moderator:
Q

quynhsieunhan

Tiếp nhé :D
$I = \int\limits_{1}^{e}\frac{2x^2 + x(1 + 2lnx) + ln^2x}{(x^2 + xlnx)^2}dx$
$I = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{x^2 + sin^2x - sinx}{x + cosx}dx$
$I = \int\limits_{\frac{-\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{cos(\frac{x}{2} + \frac{3\pi}{8})}{\sqrt{2} + sinx + cosx}dx$
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom